数学 旋转的专项 培优易错试卷练习题及答案

一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）

（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝ ；

（2）试判断：旋转过程中

BD

AE

的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；

（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．

【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3125；（4）BD=102114． 【解析】

试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CE

CB CA

=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．

（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．

（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．

（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可． 试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =1

2

n ．故答案为90°，

1

2

n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =

32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m

．故答案为n

m

． （2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵

CD BC n

CE AC m

==，

∴△ACE ∽△BCD ，∴

BD BC n

AE AC m

==．

（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB =22AC BC -=6．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，

∴AE =22AB BE +=2263+=35，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴

BD BC

AE AC

=，∴

35=810，∴BD =125．故答案为125

． （4）∵m =6，n =42，∴CE =3，CD =22，AB =22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°

时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD =22BC CD +=224222+（）（）

=210． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于

M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，，∴AM =5，AE =

22AM ME +=57，由（2）可知

DB AE =223

，∴BD =2114

3． 故答案为210或

2114

3

．

点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．

2．如图所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC 的延长线交BD 于点P ．

（1）把△ABC 绕点A 旋转到图1，BD ，CE 的关系是 （选填“相等”或“不相等”）；简

要说明理由；

（2）若AB=3，AD=5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图形，PD=，简要说明计算过程；

（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为，最大值为．

【答案】（1）BD，CE的关系是相等；（2）

5

34

17

或

20

34

17

；（3）1，7

【解析】

分析：（1）依据△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，进而得到△ABD≌△ACE，可得出BD=CE；

（2）分两种情况：依据∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，可得△PCD∽△ACE，即可得到

PD AE =

CD

CE

，进而得到PD=

5

34

17

；依据∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，可得

△BAD∽△BPE，即可得到PB BE

AB BD

=，进而得出PB=

6

34

34

，PD=BD+PB=

20

34

17

；

（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．在Rt△PED中，PD=DE?sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD的最小值以及最大值．

详解：（1）BD，CE的关系是相等．

理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE；

故答案为相等．

（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：

∵∠EAC=90°，

∴2234

AC AE

+=

∵∠PDA=∠AEC ，∠PCD=∠ACE ， ∴△PCD ∽△ACE ， ∴

PD CD

AE CE =， ∴PD=

5

3417

； 若点B 在AE 上，如图2所示：

∵∠BAD=90°， ∴Rt △ABD 中，BD=2234AD AB +=，BE=AE ﹣AB=2，

∵∠ABD=∠PBE ，∠BAD=∠BPE=90°，

∴△BAD ∽△BPE ，

∴PB BE

AB BD

=，即334PB =， 解得PB=

6

3434

， ∴PD=BD+PB=34+63434=20

3417

， 故答案为

53417或203417

； （3）如图3所示，以A 为圆心，AC 长为半径画圆，当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PD 的值最小；当CE 在在⊙A 右上方与⊙A 相切时，PD 的值最大． 如图3所示，分两种情况讨论：

在Rt △PED 中，PD=DE?sin ∠PED ，因此锐角∠PED 的大小直接决定了PD 的大小． ①当小三角形旋转到图中△ACB 的位置时， 在Rt △ACE 中，2253-，

在Rt△DAE中，DE=22

+=，

5552

∵四边形ACPB是正方形，

∴PC=AB=3，

∴PE=3+4=7，

在Rt△PDE中，PD=2250491

-=-=，

DE PE

即旋转过程中线段PD的最小值为1；

②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，

此时，DP'=4+3=7，

即旋转过程中线段PD的最大值为7．

故答案为1，7．

点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题．

3．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．

（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；

（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为_____；

（3）在（1）的条件下，若CD=6，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．

【答案】(1)见解析（2）AD=BE+DE （3）8

【解析】

试题分析：（1）延长DA到F，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得证；

（2）在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；

（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．试题解析：（1）证明：如图①，延长DA到F，使DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，

∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°．又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，

∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，

∵

CE CF

ACF BCE

AC BC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即

AD+BE=DE；

（2）解：如图②，在AD上截取DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，

∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°．又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，

∵

CE CF

ACF BCE

AC BC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即

AD=BE+DE；

故答案为：AD=BE+DE．

（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，

∴CD=DF=DE=6．∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD

=

1

12

+

×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

4．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.

(1)设AB的长为a，PB的长为b(b

中阴影部分)的面积；

(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.

【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.

【解析】

试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．

（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．

试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，

∴△PAB≌△P'CB，

∴S△PAB=S△P'CB，

S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；

（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，

∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，

∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；

又∵∠BP′C=∠BPA=135°，

∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．

PC==6．

考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．

5．如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E．（1）求证：△ACF≌△CBE；

（2）将直线旋转到如图2所示位置，点D是AB的中点，连接DE．若AB=2，

∠CBE=30°，求DE的长．

【答案】（1）答案见解析；（226

+

【解析】

试题分析：（1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得到

∠EBC=∠CAF，即可得到结论；

（2）连接CD，DF，证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF2DE，EF=CE+BE，进而得到DE的长．

试题解析：解：（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．

在△BCE与△ACF中，∵

90

AFC BEC

EBC ACF

BC AC

∠=∠=?

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△ACF≌△CBE（AAS）；

（2）如图2，连接CD，DF．∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．

在△BCE与△CAF中，∵

90

AFC BEC

EBC ACF

BC AC

∠=∠=?

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△BCE≌△CAF（AAS）；

∴BE=CF．∵点D是AB的中点，∴CD=BD，∠CDB=90°，∴∠CBD=∠ACD=45°，而

∠EBC=∠CAF，∴∠EBD=∠DCF．在△BDE与△CDF中，∵

BE CF

EBD FCD

BD CF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠EDB=∠FDC，DE=DF．∵∠BDE+∠CDE=90°，

∴∠FDC+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴EF2DE，∴EF=CE+CF=CE+BE．∵CA=CB，∠ACB=90°，AB2∴BC=4．又∵∠CBE=30°，

∴CE=1

2BC=2，BE3CE3∴EF=CE+BE3∴DE

2

23

2

26．

点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证得△BCE≌△ACF是解题的关键．

6．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.

（1）求证：BE＝CE

（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）

①求证：△BEM≌△CEN；

②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；

③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62 4

.

【解析】

【分析】

（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；

（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；

②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，3，6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.

【详解】

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠A=∠D=90°，

∵E是AD中点，

∴AE=DE，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE．

（2）①解：如图2中，

由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EBM=∠ECN=45°，

∵∠MEN=∠BEC=90°，

∴∠BEM=∠CEN，

∵EB=EC，

∴△BEM≌△CEN；

②∵△BEM≌△CEN，

∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，

∴S△BMN=1

2

?x（4-x）=-

1

2

（x-2）2+2，

∵-1

2

＜0，

∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．

③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，3m，6m．

∴EG=m+3m=（1+3

）m ， ∵S △BEG =12?EG?BN=1

2

?BG?EH ， ∴EH=3?(13)

m m +=3+3

m ，

在Rt △EBH 中，sin ∠EBH=3+3

6226m

EH

EB m

+==． 【点睛】

本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，

7．如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A ，B 和D 的距离分别为1，22，

10.△ADP 沿点A 旋转至△ABP ′，连接PP ′，并延长AP 与BC 相交于点Q .

(1)求证：△APP ′是等腰直角三角形； (2)求∠BPQ 的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPQ=45°． 【解析】 【分析】

（1）根据旋转的性质可知，△APD ≌△AP′B ，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB ，因为∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形；

（2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B 是直角三角形，再根据平角定义求出结果. 【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB=AD ，∠BAD=90°，

∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，

∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，

∴△APP′是等腰直角三角形；

（2）∵△APP′是等腰直角三角形，

∴PP′=2PA=2，∠APP′=45°，

∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，

∴PD=P′B=10，

在△PP′B中，PP′=2，PB=22，P′B=10，

∵（2）2+（22）2=（10）2，

∴PP′2+PB2=P′B2，

∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，

∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理的综合运用，有一定难度，关键是明确旋转的不变性．

8．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．

（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．

（2）设OD＝t，

①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．

②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．

【答案】(1)见解析;(2) ①见解析; ②t＝2或14.

【解析】

【分析】

（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；

（2）①当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到

C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；

②存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求

得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；当6＜t＜10时，此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．

【详解】

（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，

∴∠DCE＝60°，DC＝EC，

∴△CDE是等边三角形；

（2）①存在，当6＜t＜10时，

由旋转的性质得，BE＝AD，

∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，

由（1）知，△CDE是等边三角形，

∴DE＝CD，

∴C△DBE＝CD+4，

由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，

此时，CD＝，

∴△BDE的最小周长＝CD+4＝

；

②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，

∴当点D与点B重合时，不符合题意；

当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，

∴∠BED＝90°，

由（1）可知，△CDE是等边三角形，

∴∠DEB＝60°，

∴∠CEB＝30°，

∵∠CEB＝∠CDA，

∴∠CDA＝30°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠ACD＝∠ADC＝30°，

∴DA＝CA＝4，

∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，

∴t＝2；

当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，

∴此时不存在；

当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，

又由（1）知∠CDE＝60°，

∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴只能∠BDE＝90°，

从而∠BCD＝30°，

∴BD＝BC＝4，

∴OD＝14，

∴t＝14，

综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．