学习讲义范例_直角三角形的边角关系

( 即 sin15°、cos15°、tan15°之值 ) ＜配合課本習題 B2＞
1-1 直角三角形的边角关系
范例 8《由几何方法求15°的正弦、余弦与正切》
分析 (1) 利用等腰三角形與 30°－60°－90°直角三角形邊長的關係求
CD 與 AD ，再利用畢氏定理求 AB 。 (2) 利用正弦、餘弦與正切的定義求之。
1-1 直角三角形的边角关系
范例 12《利用平方关系求值》
設θ為一銳角，若 sinθ－cosθ＝ 55，試求下列各值： (1) sinθcosθ。 (2) sinθ＋cosθ。
分析 先將所求式通分整理，利用平方關係與已知式解之。
1-1 直角三角形的边角关系
范例 13《正弦、余弦与正切大小的比较》
試比較 sin50°、cos50°、tan50°三數的大小。 ＜配合課本隨堂練習＞
分析 用餘角關係將 sin50°，cos50°化成同為正弦或同為餘弦再比較；
用商數關係比較 sin50°與 tan50°的大小。
1-1 直角三角形的边角关系
范例 1《锐角之正弦、余弦与正切的求法》
在△ABC 中，∠C 是直角，∠A＝θ，若 AC ＝3， BC ＝4，
求θ的正弦、餘弦與正切。
＜配合課本例 1＞
分析
θ的對邊長
θ的鄰邊長
sinθ＝ 斜邊長 ，cosθ＝ 斜邊長 ，
θ的對邊長 tanθ＝ θ的鄰邊長。
1-1 直角三角形的边角关系
分析 (1) 利用和差的平方公式展開，再配合平方關係求值。
(2) 餘角關係與平方關係的綜合應用。
1-1 直角三角形的边角关系
范例 11《利用平方关系求值》
設θ為銳角，且 cosθ＝sin2θ，求
cosθ cosθ 1＋cosθ＋1－cosθ
之值。
分析 先將所求式通分整理，利用平方關係與已知式解之。
分析 解二次方程式 4x2－8x＋3＝0，滿足 0＜x＜1 的 x 才是 cosθ，
由此求出θ與 sinθ，tanθ之值。
1-1 直角三角形的边角关系
范例 8《由几何方法求15°的正弦、余弦与正切》
作一直角三角形 ABC，使得∠C＝90°，∠A＝15°， 如右圖。另作∠ABD＝15°，且 D 點在 AC 上，故得∠BDC＝30°， 若 BC ＝1，求： (1) CD 、 AD 與 AB 之長。 (2) 15°的正弦、餘弦與正切。
范例 2《由正弦、余弦与正切其中一个求其它两个》 設θ為銳角，且 sinθ＝ 187，試求 cosθ與 tanθ之值。
＜配合課本例 2＞
分析 作一直角三角形，使其一內角度量為θ，斜邊長為 17，對邊長為 8。
1-1 直角三角形的边角关系
范例 3《由正切求含有正、余弦的式子之值》
設θ為銳角，且 tanθ＝
15 17
，
試求下列各值：
(1) AD 。 (2) AC 。 (3) BC 。
1-1 直角三角形的边角关系
范例 5《特别角的正弦、余弦与正切》
試求下列各式的值： (1) cos60°sin45°＋sin30°cos45°。
tan45°－cos30° (2) tan45°＋sin60° 。
分析 分別以特別角的正弦、餘弦與正切代入求值。
范例 9《由商数关系求值》
1-1 直角三角形的边角关系
設θ是銳角，若 5sinθ－12cosθ＝0，求 sinθ＋cosθ之值。
分析 由給定的條件，利用商數關係求出 tanθ，再藉此求 sinθ，
cosθ之值。
1-1 直角三角形的边角关系
范例 10《利用平方关系与余角关系化简算式》
設 0°＜θ＜45°，試化簡下列各式： (1) ( sinθ＋cosθ)2＋( sinθ－cosθ)2。 (2) sin2 ( 45°＋θ)＋sin2 ( 45°－θ)。
1-1 直角三角形的边角关系
范例 6《利用正切求三角形面积》
設一等腰三角形底邊長為 4，兩底角各為 30°，求此等腰三角形
的面積。
＜配合課本例 3＞
分析
利用
30°的正切表示高，再由
1 2
×底邊長×高求三角形面積。
1-1 直角三角形的边角关系
范例 7《由余弦的关系式求值》
設θ為銳角，且 cosθ是方程式 4x2－8x＋3＝0 的一根，求θ與 sinθ＋tanθ之值。
3 4
，求
sinθ cosθ 1－sinθ＋1－cosθ
之值。
分析 利用演練 2 的方法，求出 sinθ與 cosθ，再代入欲求 的式子進一步求值。
1-1 直角三角形的边角关系
范例 4《由已知正弦与余弦求线段长》
如右圖，在△ABC 中，
AD ⊥ BC ， AB ＝25，
sinB＝
3 5
Байду номын сангаас
，sinC＝