数据的集中趋势及离散分析总结性讲义
数据的集中趋势和离散程度(名师总结)
数据的集中趋势和离散程度【知识点1】正确理解平均数、众数和中位数的概念一、平均数：平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．例1：有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个数:86, 92, 100, 106, 那么原4个数的平均数是________ .例2：有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高13分,他们的平均分就到达90分,如果赵峰的得分降低5分,他们的平均分就只得87分,那么这些同学共有________人.例3：有5个数,其平均数为138,按从小到大排列,从小端开始前3个数的平均数为127,从大端开始顺次取出3个数,其平均数为148,那么第三个数是_______ .例4：某5个数的平均值为60,假设把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是________ .例10：某人沿一条长为12千米的路上山，又从原路返回，上山的速度是2千米/小时，下山的速度是6千米/小时。
那么，他在上山和下山的全过程当中的平均速度是多少千米每小时？例11：假设不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供借鉴参考。
求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？二、众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个〔或几个〕数据就可以了．当一组数据中有数据屡次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．注：众数是数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．众数有可能不唯一，注意不要遗漏．例12：在一次数学测验中，甲、乙、丙、丁四位同学的分数分别是90、x 、90、70，假设这四个同学得分的众数与平均数恰好相等，那么他们得分的中位数是【 】A 、100 B 、90 C 、80 D 、70 例13：当5个整数从小到大排列，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，那么5个整数可能的最大的和是【 】A 、21 B 、22 C 、23 D 、24例14：10名工人，某天生产同一零件，生产到达件数是：15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，那么这一组数据的众数是【 】A 、15 B 、17 15 C 、14 D 、17 15 14 例15：〔1〕计算这9双鞋尺码的平均数、中位数和众数.〔2〕哪一个指标是鞋厂最感兴趣的指标？哪一个指标是鞋厂最不感兴趣的？三、中位数：是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数〔或处在最中间的两个数的平均数〕．一组数据中的中位数是唯一的． 注：求中位数要先把数据按大小顺序排列，可以从小到大，也可以从大到小．如果数据个数n 为奇数时，第21+n 个数据为中位数；如果数据个数n 为偶数时，第2n 、12+n 个数据的平均数为中位数．例16：李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期．收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元．用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为【 】A ．200千克，3000元B ．1900千克，28500元C ． 2000千克，30000元D ．1850千克，27750元〔1〕该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？〔2〕这组数据的中位数、众数分别是多少?〔3〕请你根据〔1〕、〔2〕的结果，用一句话谈谈自己的感受．【知识点2】极差、方差和标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.一、极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围，实际生活中我们经常用到极差.如一支足球队队员中的最大年龄与最小年龄的差，一个公司成员中最高收入与最低收入的差等都是极差的例子.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大方差越小数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ，那么该组数据方差的计算公式为：])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= . 例18：数据0、1、2、3、x 的平均数是2，那么这组数据的极差和标准差分别是【 】A 4，2B 4，2C 2，10D 4，10三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.即标准差=方差. 例19：数据90，91，92，93的标准差是【 】〔A 〕 2 〔B 〕54 〔C 〕54 〔D 〕52✪注意：极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比拟两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.例20：从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：〔单位：cm 〕甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐.例21：市体校准备挑选一名跳高运发动参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运发动进行了8次选拔比赛.他们的成绩〔单位：m 〕如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运发动的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运发动的成绩更为稳定？(3)假设预测，跳过1.65m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运发动参赛？假设预测跳过1.70m 才能得冠军呢？。
数据的集中趋势与离散程度(非常全面).
x)2
( x2
x)2
L
(xn x)2 ]
当堂训练: 为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽出5
株苗，测得苗高如下（单位：cm）： 甲：12，13，15，15，10； 乙：12，16，10，14，13； 问：哪种小麦长得比较整齐？
s2
1 n
[( x1
x)2
( x2
x)2
L
(xn x)2 ]
问题1：在调查一家工厂的月工资水平时，这家工厂的 月工资为2700元的厂长回答说：“我厂月工资水平是 934元”；代表该厂工人的工会负责人说：“月工资水 平是800元”；而税务检查人员说：月工资水平是850元。 这三种不同的说法都是根据下面的数据表得出的：
月 工 2700 2000 1500 1000 900
2 2 a2s2
y甲
1（9.0 6
2
9.2 3
9.5）
9..18（分），
y甲
1（9.0 6
9.2
2
9.4
2
9.5）
9..28（分），
此方案乙的成绩比甲高，与大多数评委的观点相符。
因此，按方案二评定选手的最后得分较可取.
考考你：有一篇报道说，有一个身高 1.7米的人在平均水深只有0.5米的一条 河流中淹死了，你感觉奇怪吗？
方案一：x甲 1（8.8 9.2 2 9.3 3 9.5 9.8） 9.21（分） 8
x乙 1（8.0 9.0 9.2 2 9.4 2 9.5 9.6） 9.16（分） 8
此方案，甲的成绩比乙高.
中职数学课件10.1集中趋势与离散程度
；
当n为偶数时，中位数是中间位置的两个数值的算术平均数，
即
Me=
．
10.1.1 集中趋势
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.中位数
容易看出，中位数以其居中的位置体现了这组数据的集中趋势，
并且不受极端数据值的影响，当一组数据中出现极端数据值时， 用
中位数反映集中趋势比用算术平均数更准确．但是，中位数不能充
x1f1+x2f2+…+xnfn
．
f1+f2+…+fn
称为这组数据的加权算术平均数，其中fk(k=1，2，…，n)也称为样
本数据xk (k=1，2，…，n)的权重．
10.1.1 集中趋势
情境导入
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1.算术平均数
显然，加权算术平均数不仅依赖于样本数据，还依赖
特点，有助于我们在实际应用中选择合适的统 计量来描
述数据的集中趋势．
10.1.1 集中趋势
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练习
1. 求下列各组数据的算术平均数、中位数和众数．
（1）1，2，4，2，5；
（2）12，22，16，22，20，22；
（3）6，6，6，7，7，7，8，8，8；
准规格．那么，如何判断哪个厂家生
产的零件更接近标准规格呢？
10.1.2 离散程度
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为了更进一步揭示规格数据的分布特征，可以考察规格数据与算术
平均数的差以及规格数据之间的差等，这就涉及数据的离散程度．
数据的集中趋势与离散程度
数据的集中趋势与离散程度统计学中，描述和衡量数据分布特征的两个重要方面是集中趋势和离散程度。
集中趋势指的是数据集中在哪个数值附近，而离散程度描述了数据的分散程度。
在本文中，我将详细介绍集中趋势和离散程度的定义、常用的衡量指标和如何应用。
一、集中趋势集中趋势是指数据集中在哪个数值处的趋势或位置，常用的衡量指标包括均值、中位数和众数。
1. 均值均值是数据集所有观测值的算术平均数。
它是最常用的衡量集中趋势的指标。
计算均值的方法是将所有观测值相加，再除以观测值的个数。
均值受极端值的影响较大。
2. 中位数中位数是将数据集按照大小排序后，位于中间位置的观测值。
如果数据集的个数是奇数，则中位数就是排序后位于中间的观测值；如果数据集的个数是偶数，则中位数是中间两个观测值的平均数。
中位数对极端值不敏感，更能反映数据的典型情况。
3. 众数众数是数据集中出现频率最高的观测值。
一个数据集可能存在一个众数，也可能存在多个众数，或者没有众数。
众数主要用于描述离散型数据。
二、离散程度离散程度是描述数据分散程度的指标，常用的衡量指标包括极差、方差和标准差。
1. 极差极差是数据集中最大观测值和最小观测值之间的差值。
极差越大，表示数据的离散程度越大；极差越小，表示数据的离散程度越小。
极差对极端值非常敏感。
2. 方差方差是数据集观测值与均值之差的平方的平均值。
方差衡量了数据与其均值之间的离散程度，数值越大表示数据的离散程度越大，反之亦然。
方差对极端值非常敏感。
3. 标准差标准差是方差的平方根，用于衡量数据集的离散程度。
标准差具有与原始数据相同的度量单位，比方差更容易解释和理解。
标准差越大，表示数据的离散程度越大，反之亦然。
三、应用集中趋势和离散程度的概念和指标在各个领域具有广泛的应用。
在金融领域，通过分析股票价格的均值和离散程度，可以评估股票的风险和收益。
在市场调研中，通过分析产品价格的中位数和标准差，可以了解市场需求和产品价值的稳定性。
第3章数据的集中趋势和离散程度单元复习课课件
因为月销售额在18万元以上（含18万元）的人数
有16人，占总人数的一半左右，
所以可以估计，月销售额定为18万元，将有一半
左右的营业员获得嘉奖．
阶段小结
3．平均数、中位数和众数描述数据的特点
平均数、中位数和众数都刻画了数据的集中趋势，但它们各有特点．
平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在
∴这组数据的众数是88分．
（3）若全校九年级有800名学生，请估计全校九年级有多少名学生成绩到达90分及以上？
估计全校九年级成绩到达90分及以上的学生人数为800×
=128（人）．
应用举例
例9 某校组织全校学生开展“时事新闻大比拼”比赛，并随机抽取九年级的25名学生的成绩（满分为100分）
进行分析．收集数据：25名学生的成绩（满分为100分）统计如下（单位：分）：
据的平均数为：x x1 f1 x2 f 2 x3 f 3 xk f k .
n
中位数：
将一组数据按照大小排列，如果数据的个数是奇数个，那么处于中间位置的数叫作这组数的中位
数；如果数据的个数是偶数个，那么处于中间位置的两个数的平均数叫作这组数据的中位数.
众数：
一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数.
例4 老师布置了10道选择题作为课堂练习，如图是全班解题情况的统计，做对题数的中位数
为
，众数为
.
将这46个数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为9、
9，中位数为9题.
做对8题和10题人数最多，均为15人，做对题数的众数为
8题和10题.
基本计算
3．平均数、中位数和众数的综合考查
2022年《数据的集中趋势和离散程度》优秀教案
第3章数据的集中趋势和离散程度一、知识结构与回忆一组数据1、平均数、中位数、众数的概念及举例一般地对于n个数X1，……X n把错误!〔X1X2…X n〕叫做这n个数的算术平均数，简称平均数如某中外合资企业要招工，测试内容为数学、语文、外语三门文化课的综合成绩，总分值都为100分，且这三门课分别按25%、25%、50%的比例计入总成绩，这样计算出的成绩为数学，语文、外语成绩的加权平均数，25%、25%、50%分别是数学、语文、个数中，1出现f1次，2出现f2次，3出现f3次，… … n出现f n次，〔其中f1f2f3……f n=n〕，这n个数的平均数可表示为：中位数就是把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的数〔或最中间两个数据的平均数〕叫这组数据的中位数众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据如3，2，3，5，3，4中3是众数一组数据中的中位数是惟一的；一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有2、平均数、中位数和众数的特征〔1〕平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平〞的平均数〔2〕平均数能充分利用数据提供的信息，在生活中较为常用，但它容易受极端数字的影响，且计算较繁〔3〕中位数的优点是计算简单，受极端数字影响较小，但不能充分利用所有数字的信息〔4〕众数的可靠性较差，它不受极端数据的影响，求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势〞3、算术平均数和加权平均数有什么区别和联系算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数4、利用计算器求一组数据的平均数当所处理的数据较多时，手工计算的效率较低，运用计算器和计算机的方法就能迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于对数据的讨论和对结果实际意义的解释．5、方差和标准差方差描述一组数据的离散程度可采取许多方法，在统计中常先求这组数据的平均数，再求这组数据与平均数的差的平方和的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小：设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，那么我们求它们的平均数，即用标准差有些情况下，需用到方差的算术平方根，即并把它叫做这组数据的标准差它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量4、利用计算器求一组数据的方差当所处理的数据较多时，手工计算的效率较低，运用计算器和计算机的方法就能迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于对数据的讨论和对结果实际意义的解释．利用计算器求一组数据的方差就能很好地解决二、全章综合剖析平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中程度的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数运用最为广泛，应当注意平均数、中位数和众数的合理选用，防止平均数的误用这三个量的各自特点是：平均数的大小与一组数据的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会引起相应平均数的变动，这说明平均数充分地反映了一组数据的信息中位数的大小仅与数据的排列位置有关，当将一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据为中位数，于是局部数据的变动 对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势众数着眼于对各数据出现的频数的考察，因此求一组数据的众数既不需要计算，也不需要排序，而只要数出出现次数较多的数据的频数就行了，众数的大小仅与一组数据中的局部数据有关，当一组数据中有不少数据屡次重复出现时，它的众数也往往是我们关心的一种集中趋势极差、方差与标准差是用来描述一组数据的离散程度，它们是用来描述一组数据的稳定性的一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定三、例题精讲类型之一 求平均数及应用例1 两组数据1，2，3，…n 和1，2，3，…n 的平均数分别为，，求〔1〕21，22，23…2n 的平均数 〔2〕211，221，231…2n 1的平均数〔3〕11，22，33…nn 的平均数 分析:化单纯的知识记忆为理解记忆〔1〕的平均数为2;〔2〕的平均数为21; 〔3〕的平均数为例2 一家公司对A 、B 、C 三名应聘者进行了创新、综合知识和语言三项素质测试，他们的成绩如下表所示：测试成绩 测试工程 7074 50 综合知识 67 85 72 创新C B A〔1〕如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，你选谁？〔2〕根据实际需要，公司给出了选人标准：将创新、综合知识和语言三项测试得分按4：3：1的比例确定各人的测试成绩你选谁？解：〔1〕A的平均成绩为70分B的平均成绩为68分C的平均成绩为68分由70>68，故A将被录用〔2〕根据题意，A的成绩为分B的成绩为分C的成绩为分因此候选人B将被录用说明：当条件变化时，应注意平均数的不同求法类型之二求中位数与众数例3 在第29届奥林匹克运动会上，青岛姑娘张娟娟为代表团夺得了历史上首枚奥运会射箭金牌，为祖国争得了荣誉．下表记录了她在备战奥运会期间的一次训练成绩〔单位：环〕：根据表中的数据可得：张娟娟这次训练成绩的中位数是环，众数是环．说明:考查众数、中位数概念注意有时众数可能不止一个，也可能没有求中位数时要排序答案:9，9类型之三中位数与众数的实际应用例 4 某校学生会干部对校学生会倡导的“助残〞自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，以下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之比为3∶4∶5∶8∶2，又知此次调查中捐15元和2021人数共39人．〔1〕他们一共抽查了多少人？捐款数不少于2021概率是多少？〔2〕这组数据的众数、中位数各是多少？〔3〕假设该校共有2310名学生，请估算全校学生共捐款多少元？图1解：〔1〕设捐15元的人数为5，那么根据题意捐2021人数为8．∴5＋8＝39，∴＝3∴一共调查了3＋4＋5＋8＋2＝66〔人〕∴捐款数不少于2021概率是．〔2〕由〔1〕可知，这组数据的众数是2021〕，中位数是15〔元〕．〔3〕全校共捐款〔9×5＋12×10＋15×15＋24×2021×30〕÷66×2310＝36750〔元〕说明:方程思想是数学的根本思想之一,数型结合是我们解决问题的手段例 5 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，初中三个年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩〔总分值为100分〕如下表所示：〔1〕请你填写下表：〔2〕请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：①从众数和平均数相结合看〔分析哪个年级成绩好些〕；②从平均数和中位数相结合看〔分析哪个年级成绩好些〕〔3〕如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些？并说明理由分析: 由所给的信息求出一组数据的平均数、中位数、众数；并结合具体的情境理解平均数、中位数和众数的区别与联系；并能根据具体问题，选择适宜的统计量表示数据的集中程度，对日常生活中的有关问题与现象做出一定的评判解：〔1〕〔2〕①∵平均数都相同，初二年级的众数最高，∴初二年级的成绩好一些；②∵平均数都相同，初一年级的中位数最高，∴初一年级的成绩好一些〔3〕∵初一、初二、初三各年级前三名学生决赛成绩的平均分分别是93分、91分、94分，∴从各年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，初三年级的实力更强一些类型之四极差、方差或标准差的实际应用例6 某农科所在8个试验点，对甲、乙两种玉米进行比照试验，这两种玉米在各试验点的亩产量如下〔单位：千克〕甲：450 460 450 430 450 460 440 460乙：440 470 460 440 430 450 470 440在这个试验点甲、乙两种玉米哪一种产量比拟稳定？剖析：我们可以算极差甲种玉米极差为460－430=30千克；乙种玉米极差为470－430=40千克所以甲种玉米较稳定还可以用方差来比拟哪一种玉米稳定甲2=100，乙2=2021甲2＜乙2，所以甲种玉米的产量较稳定 四、中考链接 1、〔 〕．一名射击运发动连续打靶8次，命中的环数如图2所示，这组数据的众数与中位数分别为〔 〕A ．9与8B ．8与9C ．8与D ．与9答案C 2、〔烟台市〕某校初一年级有六个班，一次测试后，分别求得各个班级学生成绩的平均数，它们不完全相同，以下说法正确的选项是〔 〕A ．全年级学生的平均成绩一定在这六个平均成绩的最小值与最大值之间B ．将六个平均成绩之和除以6，就得到全年级学生的平均成绩C ．这六个平均成绩的中位数就是全年级学生的平均成绩D ．这六个平均成绩的众数不可能是全年级学生的平均成绩答案 A3、南充一组数据2，1，，7，3，5，3，2的众数是2，那么这组数据的中位数是〔 〕A ．2B ．2.5C ．3D ．5答案 B图2 7 8 9 104、〔甘肃省白银市〕某校八年级32021生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考试成绩都以同一标准划分成“不及格〞、“及格〞和“优秀〞三个等级．为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生培训前后两次考试成绩的等级，并绘制成如图14的统计图，试结合图形信息答复以下问题： 1 这32名学生培训前后考试成绩的中位数所在的等级分别是 、 ；〔2〕估计该校整个八年级学生中，培训后考试成绩的等级为“及格〞与“优秀〞的学生共有多少名？提示:〔1〕不及格，及格； 〔2〕抽到的考生培训后的及格与优秀率为〔168〕÷32=75%， 由此，可以估计八年级32021生培训后的及格与优秀率为75%． 所以，八年级32021生培训后的及格与优秀人数为75%×3202140．5、〔遂宁〕“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间〞．在今年的慈善一日捐活动中，济南市某中学八年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据右图提供的信息，捐款金额．．的众数和中位数分别是〔 〕 A ．20210 B ．30、2021．30、30 D ．20210答案 C6、〔烟台市〕某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图〔如图〕．请你根据图中提供的信息，答复以下问题：图14 272天 3天 4天 5天 6天 7天 时间〔1〕求出扇形统计图中的值，并求出该校初一学生总数；〔2〕分别求出活动时间为5天、7天的学生人数，并补全频数分布直方图；〔3〕求出扇形统计图中“活动时间为4天〞的扇形所对圆心角的度数；〔4〕在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？〔5〕如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天〞的大约有多少人？提示：〔1〕a=25%．初一学生总数：2021人〕．〔2〕活动时间为5天的学生数：50〔人〕．活动时间为7天的学生数：10〔人〕．频数分布直方图〔略〕〔3〕活动时间为4天的扇形所对的圆心角是1080〔4〕众数是4天，中位数是4天．〔5〕该市活动时间不少于4天的人数约是4500〔人〕．7、为了考察某班普通话测试情况，从中抽查了10人的成绩如下〔单位：分〕：87，90，98，74，89，90，85，80，90，93．〔1〕这个问题中，总体、个体、样本各是什么？〔2〕这个问题中，样本平均数、方差、标准差各是多少并估计总体平均数、方差、标准差？〔平均数精确到1分，标准差保存三个有效数字〕．分析：〔1〕利用总体是所要考查对象的全体，个体是总体中每一个考查对象，样本是从总体中抽取的局部个体，即可得到答案；〔2〕利用样本平均数、方差、标准差估计总体即可．解答：〔1〕总体是某班普通话测试成绩，个体是某班每个学生的普通话成绩，样本是抽查的10人的普通话成绩．〔2〕样本平均数=〔87909874899085809093〕÷10=876÷10=〔分〕，方差=[〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2]÷10=，标准差≈，因此估计总体的平均数是分，方差是，标准差是．四、课堂小结在本节的复习中，你有什么收获？还有哪些疑问？。
数据的集中趋势与离散程度知识梳理及典型问题
数据的集中趋势与离散程度知识梳理及典型问题作者：薛飞来源：《初中生世界·九年级》2016年第10期《数据的集中趋势与离散程度》这一章中我们主要学习了体现数据集中趋势的三种“数”——平均数、中位数和众数以及体现数据离散程度的两种“差”——极差与方差.平均数分“算术平均数”与“加权平均数”，我们重点理解加权平均数.加权平均数重在理解什么是“权”.课本中是这样定义“权”的：一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据的“重要程度”的数值叫做“权”.例1 学校食堂午餐供应3元、4元和5元三种价格的盒饭，根据食堂某月销售午餐盒饭的统计图，计算该月食堂销售午餐盒饭的平均价格.【分析】这个题目给出的两组数据分别是：①午餐盒饭的价格为3元、4元和5元；②不同价格的盒饭所占的比例.题目最后要求的是午餐盒饭的平均价格，也就是说第①组数据是题目研究的数据对象，第②组数据中盒饭所占的比例是“权”.解：该月食堂销售午餐盒饭的平均价格为[15%×5+25%×3+60%×415%+25%+60%]=3.9（元）.答：该月食堂销售的午餐盒饭的平均价格为3.9元.求中位数的一般步骤：①把数据从小到大排列；②若该数据含有奇数个数，位于中间位置的数是中位数，若该数据含有偶数个数，位于中间位置的两个数的平均数就是中位数.例2 有奇数个数据10，20，80，40，30，90，50，40，50，40，60，求这一组数据的中位数.【分析】把这组数据按从小到大的顺序排列10、20、30、40、40、40、50、50、60、80、90，该数据含有奇数个数，位于中间位置的数是中位数，所以该组数据的中位数为40.例3 一组数据分别为1，2，8，4，3，9，5，4，5，6，求这组数据的中位数.【分析】首先把这组数据按从小到大的顺序排列1，2，3，4，4，5，5，6，8，9，该组数据共有10个，所以第5个和第6个数据的平均数4.5为中位数.【点评】中位数的求法一定要注意先排序，后根据总数的奇偶来找出中位数，从例3中可以看出中位数4.5并不是原始数据，所以中位数也不一定是原始数据中的一个.一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.众数可以没有，可以只有一个，也可以有多个.例3 一次数学测验后，老师将全班40名学生的成绩整理后绘制成频数分布直方图，判断下列命题正确的是.①全班成绩的中位数在84～96这一组；②全班成绩的众数在84～96这一组.【分析】命题①正确，命题②在判断众数的时候往往会掉入陷阱，看到84～96这一组最高，所以众数确定就在这一组.举个反例便知错在哪里：84～96之间一共是12人，其中84分，85分，86分，87分各3人，而72～84这一组中的9人分数都是80分，显然全班成绩的众数不在84～96这一组，所以这题正确的只有命题①.极差概念简单，通俗地说就是最大数据与最小数据的差，反映了一组数据的变化范围.例4 某位射击运动员射击5次命中的环数分别为6，7，9，10，8，求极差.【分析】找出最大值和最小值即可，最大值为10环，最小值为6环，所以极差为10-6=4.描述一组数据的离散程度还有方差，方差的计算公式：s2=[ （x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n].例6 为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：甲：8，7，10，7，8；乙：9，5，10，9，7.（1）将下表填写完整：（2）根据以上信息，若你是教练，选择谁参加射击比赛，理由是什么？（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这6次射击成绩的方差会 .（填变大或变小或不变）【分析】通过计算得出甲乙两人的平均数都是8环，但是甲的极差比乙小，更重要的是甲的方差也比乙小，方差越小越稳定，所以教练会选择发挥较为稳定的甲参加比赛.第（3）问的解决需要用到方差的计算公式，原来5次射击的方差是这样计算的s2（5次）=[ （x1-8）2+（x2-8）2+…+（x5-8）25]，增加一次8环的射击后，方差计算变成s2（6次）=[ （x1-8）2+（x2-8）2+…+（x5-8）2+（8-8）5+12].不难发现分子虽然增加了一项，但是分子的值并没有变化，但是分母却变大了，所以分子不变，分母变大，最终方差变小.（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）。
集中趋势与离散趋势
允许用户自定义查询条件、筛选数据和调整图表 参数，以便更深入地探索数据的内在规律和关联 关系。
数据动画
将数据变化过程以动画形式展现出来，帮助用户 更直观地理解数据的变化趋势和动态特征。
06 总结与展望
CHAPTER
主要发现与结论
集中趋势描述
通过平均数、中位数和众数等指标，可以有 效地描述数据的集中趋势，反映数据分布的 中心位置。
众数
一组数据中出现次数最多的数。众数可能不唯一，也可能不存在。众数适用于分类数据和顺序数据，对于数值型 数据，如果数据分布的波动性较大，众数可能不能很好地代表数据的集中趋势。
03 离散趋势
CHAPTER
定义与概念
离散趋势
指一组数据中各数值之间的差异程度 或离散程度，是数据分布的另一个重 要特征。
直方图（Histogram）
将数据按照一定范围进行分组并用矩形条表示，通过矩形条的高度和宽度反映数据的分布 规律。
散点图（Scatter Plot）
用点的位置表示两个变量之间的关系，可通过观察点的分布情况和趋势线分析数据的集中 和离散趋势。
动态数据可视化在趋势分析中的应用
1 2 3
时间序列分析
通过动态展示数据随时间变化的情况，揭示数据 的长期趋势、季节波动和周期性规律。
• 关注数据质量和异常值处理：在实际数据分析中，异常值和数据质量问题是不 可忽视的。未来的研究可以关注如何有效地处理异常值和数据质量问题，以提 高集中趋势和离散趋势分析的准确性和可靠性。例如，可以采用稳健的统计方 法或者数据清洗技术对异常值进行处理，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
谢谢
THANKS
Tableau
功能强大的数据可视化工具，支持交互式数据分析和动态图表展示， 适用于大数据处理。
理解数据的集中趋势与离散程度
理解数据的集中趋势与离散程度数据是我们生活中不可或缺的一部分，无论是在科学研究、商业决策还是个人生活中，我们都需要处理和分析大量的数据。
在数据分析过程中，了解数据的集中趋势和离散程度是非常重要的，它们能够帮助我们更好地理解数据的分布和特征。
一、集中趋势集中趋势是指数据分布中心的位置，常用的集中趋势度量指标有均值、中位数和众数。
均值是一组数据的平均值，通过将所有数据相加再除以数据个数得到。
均值能够反映数据的总体水平，但受到极端值的影响较大。
例如，考虑一个班级的学生成绩，大部分学生的成绩在70-90分之间，但有一个学生得了100分，这个极端值会使得均值偏高。
中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
中位数不受极端值的影响，更能反映数据的典型值。
在上述例子中，中位数仍然能够准确地反映学生的典型成绩水平。
众数是一组数据中出现次数最多的数值，它代表了数据分布的最高峰。
众数适用于描述离散型数据，如人口统计中的年龄分布。
二、离散程度离散程度是指数据分布的分散程度，常用的离散程度度量指标有范围、方差和标准差。
范围是一组数据的最大值与最小值之间的差距，它能够直观地反映数据的离散程度。
然而，范围只考虑了极端值，没有考虑其他数据的分布情况。
方差是一组数据与其均值之差的平方的平均值，它能够反映数据与均值之间的差异。
方差越大，数据的离散程度越高。
标准差是方差的平方根，它具有与原始数据相同的单位。
标准差能够衡量数据的离散程度，并且与均值具有相同的量纲，因此更容易进行比较和解释。
三、应用举例理解数据的集中趋势和离散程度在各个领域都有广泛的应用。
在金融领域，我们可以通过分析股票的收益率来了解市场的集中趋势和离散程度。
均值和中位数能够帮助我们了解市场的平均收益水平，而标准差则能够反映市场的波动性。
这些指标对于投资者制定投资策略和管理风险非常重要。
在医学研究中，我们可以通过分析患者的生命体征数据来了解疾病的发展趋势和离散程度。
数据的集中趋势和离散程度教案
第三章数据的集中趋势与离散程度-----第01课时课题：3.1平均数（1）目标：1、了解平均数的意义，会计算一组数据的算术平均数，并会用频数计算平均数和选取适当基数计算平均数。
2、在求实际问题的平均数的过程中，体会简化平均数算法的必要性，能灵活地用3种方法求平均数。
3、感受数学来源于实践，又为实践服务这一过程，体验转化的数学思想，养成用数学的良好意识。
重点：计算一组数据的平均数教学过程：一、基础训练1、数据17，19，16，21，19，22的平均数是＿＿＿＿＿；2、数据2、3、x、4的平均数是3，则x=________；3、5个数的平均数是14，3个数的平均数是6，则这8个数的平均数是＿＿＿＿＿；4、若两组数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为x和y，则x1＋y1，x 2＋y2，…，xn＋yn的平均数是_________；5、一场突如其来的地震给玉树带来了巨大的灾难！“一方有难，八方支援”，某校九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如则全班平均捐款为________元；6、强烈某食品厂为加强质量管理，对某天生产的罐头抽查了10个，样本，净重如下（单位：克）342，348，346，340，344，341，343，350，340，342求样本的平均数。
7、某班有50名学生，数学期中考试成绩90分有9人，84分的有12人，73分的有10人，65分有13人，56分有2人，45分有4人，计算这个班学生的数学期中考试平均成绩（保留到小数点后第一位）有这样一个问题：小明和小丽所在的A、B两个小组的同学身高如下：组同学的平均身高约为161cm ，B 组同学的平均身高约为163cm ，小明一定比小丽矮吗？（二）引入新课，梳理知识题1、2、3、4引入平均数的定义及直接算法，题5、6引入平均数的简便运算，题7是平均数的简单运用，体现平均数的实际意义。
通过学生对问题的回答与板演，教师适时点评、质疑、讨论、归纳，穿插引入新课：1、平均数的概念和计算方法通常，我们用平均数表示一组数据的“平均水平”，即：这组数据都“接近”这个数。
苏科版九年级上第三章数据的集中趋势和离散程度小结与思考课件ppt
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12、人乱于心，不宽余请。2021/5/112021/5/112021/5/11Tuesday, May 11, 2021
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2021/5/112021/5/112021/5/112021/5/115/11/2021
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年5月11日 星期二 2021/5/112021/5/112021/5/11
初中数学九年级上册 （苏科版）
第三章 小结与复习
问题1：有十五位同学参加竞赛，且他们的
分数互不相同，取八位同学进入决赛，某人 知道了自己的分数以后，还需知道这十五位 同学的分数的什么量，就能判断他能不能进 入决赛？
问题2：一家鞋店在一段时间内销售了某种女 鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2021/5/112021/5/11T uesday, May 11, 2021
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。2021/5/112021/5/112021/5/115/11/2021 8:11:13 AM
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11、人总是珍惜为得到。2021/5/112021/5/112021/5/11May- 2111-M ay-21
例3：甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶 的成绩情况如图所示：
平 中 命中9环以 均 位 上的次数 数数 甲
乙
（1）请填写右表： （2）请从下列三个不同的角度对测试结果进行分析： ①从平均数和中位数结合看（谁的成绩好些）； ②从平均数和9环以上的次数看（谁的成绩好些）； ③从折线图上两人射击环数的走势看（分析谁更有潜力）．
2．老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进
集中趋势和离散趋势课件
03
实时数据分析
在实时数据分析中，快速准确地计算集中趋势和离散趋势对于及时做出
决策具有重要意义。研究者们正在研究如何利用新的计算方法提高实时
数据分析的效率和准确性。
对决策的影响研究
决策支持
集中趋势和离散趋势的计算结果可以为决策提供重要支持，如市场预测、风险 评估等。研究者们正在研究如何更好地利用这些结果为决策提供依据。
新的计算方法
随着统计学的发展，新的计算方 法不断涌现，如机器学习算法、 人工智能技术等，这些方法可以 更快速、准确地计算集中趋势和
离散趋势。
算法优化
针对现有计算方法的不足，研究 者们正在不断优化算法，提高计 算效率和准确性，以满足日益增
长的数据处理需求。
可解释性研究
为了更好地理解计算结果，研究 者们正在研究如何提高计算方法 的可解释性，使非专业人士也能
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
集中趋势和离散趋势的 应用
在数据分析中的应用
描述数据分布情况
通过计算数据的集中趋势和离散 趋势，可以了解数据的分布情况 ，从而更好地理解数据的特点和
规律。
识别异常值
通过离散趋势分析，可以识别出数 据中的异常值，这些异常值可能对 数据分析结果产生重大影响，需要 特别关注。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
集中趋势和离散趋势 课件
目录
CONTENTS
• 集中趋势 • 离散趋势 • 集中趋势和离散趋势的应用 • 集中趋势和离散趋势的比较 • 集中趋势和离散趋势的未来发展
REPORT
初中数学知识归纳统计数据的集中趋势和离散程度
初中数学知识归纳统计数据的集中趋势和离散程度统计学是一门研究数据收集、处理、分析和解释的学科，它在生活中的应用非常广泛。
在统计学中，我们常常需要描述数据的集中趋势和离散程度。
本文将介绍几种常见的数据集中趋势和离散程度的统计量以及它们的含义和计算方法。
一、数据的集中趋势数据的集中趋势是指一组数据向某个中心值靠拢的趋势。
常用的统计量有均值、中位数和众数。
1. 均值（Mean）均值是指一组数据的总和除以数据的个数。
它是最常用的集中趋势统计量，用于表示数据的平均水平。
计算均值的方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
2. 中位数（Median）中位数是指一组数据中处于中间位置的值。
当数据集的个数为奇数时，中位数就是数据排序后的中间值；当数据集的个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值。
计算中位数的方法是将数据从小到大排序，然后找到中间位置的值。
3. 众数（Mode）众数是指一组数据中出现次数最多的数值。
一个数据集可能有一个或多个众数，也可能没有众数。
计算众数的方法是统计每个数值出现的频数，然后找到频数最大的数值。
二、数据的离散程度数据的离散程度是指一组数据的分散程度或波动程度。
常用的统计量有极差和标准差。
1. 极差（Range）极差是指一组数据的最大值与最小值之间的差值。
它是最简单的离散程度统计量，可以直观地反映数据的变化范围。
计算极差的方法是将最大值减去最小值。
2. 标准差（Standard Deviation）标准差是指一组数据偏离平均值的程度。
它通过计算每个数据与均值的差的平方，并求平均值来衡量数据的离散程度。
标准差越大，数据的离散程度越大。
计算标准差的方法包括计算均值、计算每个数据与均值的差的平方，并求平均值再开方。
三、应用举例现在我们来举两个实际问题的例子，通过计算集中趋势和离散程度的统计量来分析数据。
例1：小明的五次数学考试成绩分别是85、92、88、79和90，求这五次考试成绩的均值、中位数、众数、极差和标准差。
统计学课件 第2章-集中趋势与离散趋势
∑ (X
N i =1
i
− X
)=
0
（2）各变量值与其算术平均数的离差平方和最小： ）各变量值与其算术平均数的离差平方和最小：
∑ (X
N i =1
i
− X
)
2
= min
▲注意： 注意： 均值容易受到统计数据中个别极端数据的影响， 均值容易受到统计数据中个别极端数据的影响， 从而使均值代表某组统计数据的“平均水平” 从而使均值代表某组统计数据的“平均水平”时失 去意义，这时往往用“剔除极端值” 去意义，这时往往用“剔除极端值”的方法加以修 正。 的最高值用10000代替， 代替， 如例1中，如果将月薪 中 如果将月薪2825的最高值用 的最高值用 代替 则均值为3038 则均值为
S m −1 + f m + S m +1 = ∑ f
某班级英语考试成绩分组情况见下表： 例4.某班级英语考试成绩分组情况见下表： 某班级英语考试成绩分组情况见下表
成绩分组 人数 （分） 50以下 2 以下 50~60 5 60~70 10 累计人数 2 7 17 成绩分组 （分） 70~80 80~90 90以上 以上 人数 18 9 6 累计人数 35 44 50
X < Me < Mo
当分布右偏时（说明存在极端大的值） 当分布右偏时（说明存在极端大的值）
X > Me > Mo
3.在偏斜度适度的情况下，不论是左偏还是右偏，中位数与 在偏斜度适度的情况下，不论是左偏还是右偏， 在偏斜度适度的情况下 算术平均数之差约等于众数与算术平均数之差的1/3， 算术平均数之差约等于众数与算术平均数之差的 ，即有如 下经验公式： 下经验公式： 1 M e − X = (M O − X ) 3
数据的集中趋势及离散分析总结性讲义
一对一八年级数学教师辅导讲义学员编号： 年 级：八年级 课时数：1学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 张老师课 题 数据的集中趋势和离散程度总结授课时间： 2022.6.1备课时间：2022.5.29教学目标1、理解平均数和加权平均数的意义，会计算一组已知数据的加权平均数．2、理解加权平均数中权的意义，会计算k 个数的加权平均数．3、理解中位数的概念，会求一组已知数据的中位数．4、理解众数的概念，会求一组已知数据的众数．5、了解并体味平均数、中位数、众数在实际问题中所代表的实际意义及其不足之处．教学内容回顾与思量一、统计的普通过程1、平均数与加权平均数普通地，如果有n 个数据x1，x2，…xn ，那末，叫做这组数据的平均数．用表示，读作x 拔．即若n 个数据x1，x2，…，xk ，分别出现f1次，f2次，…，fk 次，则(称为这n 个数的加权平均数．平均数是描述一组数据的集中趋势的特征数字，由平均数(及加权平均数)的计算公式不难发现，平均数的大小与样本的每一个数据都相关．它是一组数据的“重心”，是度量一组数据波动大小的基准． 说明：（1）当f1＝ f2＝…＝fk ＝1时，即k=n 时，加权平均数公式就是平均数公式． （2）各数据的权改变，加权平均数也改变．数据采集数据整理数据分析作出决策 普查与抽查 个体样本总体样本容量 涉及 概念 采集 方式 整理统计表和统计图 形式集中趋势 离散程度 平均数中位数众数极差方差标准差2、中位数普通地，当将一组数据按照由小到大(或者由大到小)的顺序罗列后，处在最中间位置的一个数据（当数据的个数是奇数时）或者正中间位置的两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数．中位数是一个位置代表值．理解中位数的概念应注意以下几点：(1)求中位数时，数据必须按序罗列：由小到大或者由大到小；(2)所有的数据都必须参预排序，如数据a浮现3次，则在排序中应占3个位置；(3)中位数两边的数据各占一半；(4)中位数有时不一定是已知数据中的数．3、众数一组数据中，浮现次数最多的数据就是这组数据的众数．一组数据中的众数可能有一个，也可能不止一个．4、平均数、中位数和众数的异同平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用．但它受极端值的影响较大．当一组数据中某些数据多次重复浮现时，众数往往是人们关注的一个量，它不受极端值的影响，这是它的一个优势．中位数只需要少量计算，不受极端值的影响，在有些情况下这是一个优点．平均数、中位数和众数都是描述一组数据集中趋势的量，一组数据的平均数和中位数惟独一个，而众数可能有几个，它们各有自己的特点，能够从不同角度提供信息，在实际应用中，需要分析具体情况，选择适当的量来代表．平均数、中位数、众数的比较表：平均数中位数众数计算时要用到所有的数据；容易受组中极端值的影响．计算时只需要中间的数据；不受极端值的影响．简单明了，取频数最多的数据；不受极端值影响．二、典型例题剖析例1、一组数据5、7、7、x的中位数与平均数相等，则x的值为______．分析：由中位数与平均数相等关系列方程，但要注意分类讨论．例2、某广告公司欲招聘广告策划人员一位，对甲、乙、丙三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：(1)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那末谁将被录用?(2)根据实际需要，公司将创新、综合知识、语言三项测试得分按4︰3︰1的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用?点评：从本例应体味到“权”的差异对结果的影响，认识到“权”的重要性，从中也认识到算术平均数与加权平均数的区别．例3、某水果店有200个菠萝，原计划以2.6元/千克的价格出售，现在为了满足市场的需要，水果店决定将所有的菠萝去皮后出售．以下是随机抽取的5个菠萝去皮前、后相应的质量统计表(单位：千克)：去皮前各菠萝的质量 1.0 1.1 1.4 1.2 1.3 去皮后各菠萝的质量0.60.70.90.80.9(1)计算所抽取的5个菠萝去皮前的平均质量和去皮后的平均质量，并估计这200个菠萝去皮前的总质量和去皮后的总质量；(2)根据(1)的结果，要使去皮后的这200个菠萝的销售总额与原计划的销售总额相同，那末去皮后菠萝的售价应是每千克多少元？例4、一组参加驾驶执照初试考生所犯错误的数目记录如下：求这组应考司机所犯错误的数目的中位数和众数．点评：表中两栏都是“数据”，但题目要求的是应考司机所犯错误数据的中位数和众数，这就存在审题的问题了：什么是要研究的数据；此外，这组数据较多，若一一罗列很麻烦，也没有必要，故只需抓住中间的那一个或者两个数据．测试项目测试成绩甲 乙 丙 创新72 85 67 综合知识50 74 70 语言 88 45 67 所犯错误的数目 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数12324651例5、下图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩70分以上(包括70分)为合格． (1)请根据图中所提供的信息填写表格；(2)请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断； 依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙，________的体能测试成绩较好； 依据平均数与中位数比较甲和乙，_________的体能测试成绩较好． (3)依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好．例6、某商贸公司有10名销售员．去年完成的销售情况如下表：销售额(万元/单位) 3 4 5 6 7 8 10 销售员人数(人/单位)1321111(1)求销售额的平均数、众数、中位数；(2)今年公司为了调动员工的积极性，提高销售额，准备采取超额有奖的措施．请你根据(1)的计算结果，通过比较，匡助公司领导确定今年每一个销售人员统一的销售标准应是多少万元？说说你的理由．例7、某足球队对运动员进行射点球成绩测试，每人每天射点球5次，在10天中，运动员大刚的进球个数分别是： 5 4 5 3 3 5 2 5 3 5 （1）求大刚进球个数的平均数； （2）求大刚进球个数的方差. （3）求大刚进球个数的标准差.例8.八年级一班10 名同学参加用电脑绘图测试，成绩如下（满分30 分）:成绩/分2022262830人数/名12232平均数 中位数 体能测试成绩合格次数 甲 65 乙60这10 名同学测试成绩的标准差是多少（精确到0 . 1 分）?例9、.甲、乙两台编织机同时编织同种品牌的毛衣，在5 天中，两台编织机每天编织的合格产品数量如下（单位：件）:甲：10 8 7 7 8 乙： 9 8 7 7 9在这5 天中，哪台编织机每天编织的合格产品的数量较稳定？中考解析例1、(2022年青岛)某市广播电视局欲招聘播音员一位，对两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如下表所示．根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按的比例计算两人的总成绩，那末（填或者）将被录用．点评：本题考查和知识点为加权平均数． 例2、（2022年成都）一交通管理人员星期天在市中心的某十字路口，对闯红灯的人次进行统计，根据上午7∶00～12∶00中各时间段（以1小时为一个时间段）闯红灯的人次，制作了如图所示的条形统计图，则各时间段闯红灯人次的众数和中位数分别为（ ）测试项目 测试成绩面试 90 95 综合知识测试 85 80A．15，15B．10，15C．15，20D．10，20例3、（2022年陕西）在“爱的奉献”抗震救灾大型募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款．其中8位工作者的捐款分别是5万，10万，10万，10万，20万，20万，50万，100万．这组数据的众数和中位数分别是（ ）A．20万，15万 B．10万，20万C．10万，15万 D．20万，10万课外拓展下表显示了今年夏天某地进行钓鱼比赛的部份结果，这个表记录了钓到n条鱼的选手数：n 0 1 2 3 …13 14 15钓到n条鱼的人数9 5 7 23 … 5 2 1在赛事新闻中报导了：（1）冠军钓到15条鱼；（2）钓到3条或者更多条鱼的所有选手平均钓到6条鱼；（3）钓到12条或者更少条鱼的所有选手平均钓到5条鱼；问：在整个比赛中共钓到多少条鱼？分析：关键是求出表中未列出的人数和钓到的鱼的数量．回家作业一、选择题1．国家统计局发布的统计公报显示：2001到2005年，我国GDP增长率分别为8.3％，9.1％，10.0％，10.1％，9.9％。
数据的集中趋势与离散程度
数据的集中趋势与离散程度数据在现代社会中扮演着重要的角色，它们不仅可以揭示事物的本质和规律，还可以为决策提供支持。
在数据分析中，我们经常会关注数据的集中趋势和离散程度，这些指标能够帮助我们更好地理解数据的特征和分布。
本文将探讨数据的集中趋势和离散程度，并介绍一些常用的统计量和方法。
一、集中趋势集中趋势是描述数据分布中心位置的指标，它能够反映数据的平均水平。
常见的集中趋势统计量有均值、中位数和众数。
均值是数据的算术平均值，它是将所有数据相加后再除以数据个数得到的结果。
均值能够反映数据的总体水平，但受极端值的影响较大。
例如，一个班级的学生年龄平均值是15岁，但如果班级中有一个20岁的学生，那么平均值就会被拉高。
因此，在计算均值时需要注意数据的分布情况。
中位数是将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
中位数能够较好地反映数据的中心位置，不受极端值的影响。
例如，一个班级的学生年龄中位数是14岁，即有一半学生的年龄小于等于14岁，另一半学生的年龄大于等于14岁。
众数是数据中出现次数最多的数值。
众数能够反映数据中的典型值，但可能存在多个众数或无众数的情况。
例如，一个班级的学生身高众数是160cm，即身高为160cm的学生最多。
二、离散程度离散程度是描述数据分布的分散程度的指标，它能够反映数据的波动情况。
常见的离散程度统计量有范围、方差和标准差。
范围是数据的最大值与最小值之间的差异。
范围能够简单地反映数据的离散程度，但容易受极端值的影响。
例如，一个班级的学生成绩范围是60分到100分，范围为40分，但如果有一个学生得了0分或者满分150分，范围就会变得不够准确。
方差是数据与均值之间差异的平方的平均值。
方差能够较好地反映数据的离散程度，但计算过程较为繁琐。
方差越大，数据的离散程度越高。
例如，一个班级的学生成绩方差为100，说明学生成绩波动较大。
标准差是方差的平方根，它与方差具有相同的度量单位。
标准差能够在方差的基础上更好地理解数据的离散程度。
数据的集中趋势和离散程度知识点
数据的集中趋势和离散程度知识点文章一：《啥是数据的集中趋势？》朋友们，咱今天来聊聊数据的集中趋势。
比如说，咱班这次考试的成绩。
要是大部分同学都考了 80 分左右，那 80 分就可能是这个成绩数据的集中趋势。
再比如，咱去菜市场买菜。
一堆苹果，大多数都在半斤左右，那半斤就是这堆苹果重量数据的集中趋势。
像平均数、中位数和众数，都是能帮咱找到数据集中趋势的好帮手。
就拿平均数来说，一家人一个月的水电费，把所有费用加起来除以天数，得到的那个数就是平均数，能大概反映出这家人每天用水电的平均情况。
数据的集中趋势能让咱一下子就明白一堆数据的中心在哪儿，是不是挺有用？文章二：《走进数据的集中趋势》亲爱的小伙伴们，今天咱们来探索一下数据的集中趋势。
想象一下，学校运动会上，大家跑步的时间。
如果很多同学都在2 分钟左右跑完，那 2 分钟差不多就是跑步时间这个数据的集中趋势啦。
还有，大家一起收集树叶，看看树叶的大小。
要是多数树叶的面积都差不多，那这个差不多的大小就是树叶面积数据的集中趋势。
咱举个例子哈，一个班级同学的身高，把所有人的身高加起来除以人数，得到的那个数就是平均身高。
这个平均身高就能让咱知道这个班同学大概的身高水平。
再比如说，一组数字 3、5、5、7、8，这里面 5 出现的次数最多，那 5 就是众数，也是这组数据的集中趋势之一。
所以说，了解数据的集中趋势能帮咱快速抓住重点，是不是很有意思？文章三：《数据的集中趋势，你懂了吗？》朋友们好呀！今天咱们要说的数据的集中趋势，其实不难理解。
比如说，咱们去超市买零食，看各种零食的价格。
要是大部分零食都在 5 块钱左右，那 5 块钱就是这些价格数据的集中趋势。
再比如，咱们统计一个月里每天的气温。
如果有好多天的气温都在 25 度上下，那 25 度就可能是这个气温数据的集中趋势。
就拿咱班同学的零花钱来说吧，把大家的零花钱都加起来，再除以人数，算出来的那个数就是平均零花钱。
通过这个平均零花钱，咱能大概知道同学们零花钱的一般情况。
数据的集中趋势与离散程度——知识讲解
数据的集中趋势与离散程度——知识讲解撰稿：杜少波 责编：张晓新【学习目标】1、掌握平均数、加权平均数的意义和求法，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．2、了解中位数和众数的意义，掌握中位数的求法，并会找一组数据的众数.3、了解方差的意义及求法，体会用样本方差估计总体方差的思想，能用方差解决一些实际问题.4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用. 【要点梳理】要点一、平均数和加权平均数 1.平均数一般地，如果有n 个数据123n x x x x 、、、…，那么，()1231n x x x x n⋅⋅⋅++++就是这组数据的算术平均数，简称平均数，用“x ”表示.即()1231n x x x x x n=⋅⋅⋅++++. 要点诠释：（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任意一个数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 2.加权平均数若数据1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，3x 出现3f 次……k x 出现k f 次，这组数据的平均数为x ，则x =1122k k12kx f x f x f f f +f +++++……（其中1f +2f +…+k f =n ，k ≤n ）在一组数据中，数据重复出现的次数f 叫做这个数据的权.按照上述方法求出的平均数，叫做加权平均数.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. 要点诠释：（1）k f 越大，表示k x 的个数越多，“权”就越重. “权”越重，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 要点二、中位数和众数 1.中位数一般地，当一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数. 要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、众数、中位数都是反映数据集中趋势的统计量，能从不同的角度提供信息.区别：平均数能充分利用数据提供的信息，它的使用最为广泛，能刻画一组数据整体的平均状态，但不能反映个体性质，易受极端值的影响.中位数代表了这组数据数值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息.众数反映一组数据中出现次数最多的数据.一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有.总之，要根据具体问题来选择刻画一组数据的集中程度的统计量，选择的统计量要能够更客观地反映实际背景. 要点四、方差设一组数据是12,,n x x x …，，它们的平均数是x ，我们用()[]222212)(...)(1x x x x x x nS n -++-+-=来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差.一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，越不稳定. 在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度. 要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2k倍.要点五、用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 【典型例题】类型一、平均数、众数和中位数1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（ ） A ．99.60，99.70 B ．99.60，99.60 C ．99.60，98.80 D ．99.70，99.60 【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可． 【答案】B ；【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．故选B ．【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 举一反三：【高清课堂 数据的分析 例8】【变式1】若数据3.2，3.4，3.2，x ，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________． 【答案】3.2；3.5； 解：由题意3.43.5, 3.62x x +==，所以众数是3.2，平均数是3.5. 【变式2】某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ） A ．6.2小时 B ．6.4小时 C ．6.5小时 D ．7小时 【答案】B ；解：根据题意得：（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50 =（50+90+140+40）÷50 =320÷50 =6.4（小时）．故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时． 类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：测试项目 测试成绩甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力647284(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由． 【思路点拨】（1）运用求平均数公式()1231n x x x x n⋅⋅⋅++++即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果. 【答案与解析】解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72， 丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74， ∴ 候选人丙将被录用．(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2， 丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，∴ 候选人甲将被录用．【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用． 举一反三：【高清课堂 数据的分析 例10】【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?【答案】解：小王平时测试的平均成绩897885843x ++==（分）． 所以8410%9030%8760%87.610%30%60%⨯+⨯+⨯=++（分）． 答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分． 【高清课堂 数据的分析 例11】3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分． (1)求该班80分和90分的人数分别是多少?(2)设此班30名学生成绩的众数为a ，中位数为b ，求a b +的值． 【答案与解析】解：(1)设该班得80分的有x 人，得90分的有y 人．根据题意和平均数的定义，得257330,763050260570780901003,x y x y +++++=⎧⎨⨯=⨯+⨯+⨯+++⨯⎩整理得13,89109,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得8,5.x y =⎧⎨=⎩即该班得80分的有8人，得90分的有5人．(2)因为80分出现8次且出现次数最多．所以a ＝80，第15、16两个数均为80分，所以b ＝80，则a b +＝80＋80＝160．【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，建立等量关系. 举一反三：【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．零花钱数额（元） 5 10 15 20学生个数（个）a15 20 5请根据图表中的信息，回答以下问题.(1)求a的值；(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．【答案】解：(1) a＝50－15－20－5＝10．(2)众数是15．平均数为150(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．类型三、方差4.甲、乙两班举行汉字输入比赛，•参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：班级参加人数中位数方差平均字数甲 55 149 191 135乙 55 151 110 135（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀）（3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大．A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3） D．（1）（3）【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同.【答案】B【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B.【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义. 举一反三：【变式】甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是8，5，5，A，B，C, 且甲所中的环数的平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4．根据以上数据，对甲、乙射击成绩的正确判断是（）A．甲射击成绩比乙稳定 B．乙射击成绩比甲稳定C ．甲、乙射击成绩稳定性相同D ．甲、乙射击成绩稳定性无法比较 【答案】B.类型四、用样本估计总体5、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有多少户．【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t 的用户所占的百分比，再进一步估计总体． 【答案与解析】解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是62 6.54717.52816.810x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．∴ 这组样本数据的平均数为6.8．∴ 在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多． ∴ 这组数据的众数是6.5．∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 6.5，有6.5 6.56.52+=． ∴ 这组数据的中位数是6.5．(2)∵ 10户中月均用水量不超过7t 的有7户，有7503510⨯=． ∴ 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有35户．【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．6. 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm ） 甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25 乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44 (1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的方差.(2)哪种玉米的苗长得高些？ (3)哪种玉米的苗长得齐？【思路点拨】本题考察方差的定义.熟记方差的计算公式是解决问题的关键. 【答案与解析】解：（1）甲的平均值:）（）（甲cm x 3025404137221914394221101=+++++++++= 乙的平均值:甲的方差:)(2.10410)3025()3042()3021(22222cm S =-++-+-=甲, 乙的方差:)(8.12810)3144()3116()3127(22222cm S =-++-+-=乙（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以乙种玉米的苗长的高. （3）因为22S S 甲乙＜，所以甲种玉米的苗长得整齐.【总结升华】本题既是一道与方差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的一道题目，关键是理解和掌握方差的计算公式. 举一反三： 【变式】为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势． 【答案】5.8 5.2x x ==乙甲∵，，∴甲种水稻比乙种水稻长得更高一些．222.160.56S S ==乙甲∵，，∴乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．植株编号 1 2 3 4 5甲种苗高 7 5 4 5 8乙种苗高 6 4 5 6 5。
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课外拓展
下表显示了今年夏天某地进行钓鱼比赛的部分结果，这个表记录了钓到 n 条鱼的选手数： n 钓到 n 条鱼的人数 0 9 1 5 2 7 3 23 „ „ 13 5 14 2 15 1
在赛事新闻中报道了： （1）冠军钓到 15 条鱼； （2）钓到 3 条或更多条鱼的所有选手平均钓到 6 条鱼； （3）钓到 12 条或更少条鱼的所有选手平均钓到 5 条鱼； 问：在整个比赛中共钓到多少条鱼？ 分析：关键是求出表中未列出的人数和钓到的鱼的数量．
2
） B.3 C.0.5 D.-3 ）
6.一组数据的方差为 S ，将该数据每一个数据，都乘 2，所得到一组新数据的方差是（
S2 A. 2
B.S
2
C.2 S
2
D.4 S
2
7.已知一组数据：-1，x，0，1，-2 的平均数是 0，那么，这组数据的方差是（ A. 2 8.下列说法中，错误的有 B.2 （ C.4 ）
例 6、某商贸公司有 10 名销售员．去年完成的销售情况如下表： 销售额(万元/单位) 销售员人数(人/单位) 3 1 4 3 5 2 6 1 7 1 8 1 10 1
(1)求销售额的平均数、众数、中位数； (2)今年公司为了调动员工的积极性，提高销售额，准备采取超额有奖的措施．请你根据(1)的计算结果，通过比较， 帮助公司领导确定今年每个销售人员统一的销售标准应是多少万元？说说你的理由．
例 1、一组数据 5、7、7、x 的中位数与平均数相等，则 x 的值为______．
分析：由中位数与平均数相等关系列方程，但要注意分类讨论．
例 2、某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如 下表所示： (1)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用?
2
一对一
(2)根据实际需要，公司将创新、综合知识、语言三项测试得分按 4︰3︰1 的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被 录用? 测试项目 创新 综合知识 语言 测试成绩 甲 72 50 88 乙 85 74 45 丙 67 70 67
点评：从本例应体会到“权”的差异对结果的影响，认识到“权”的重要性，从中也认识到算术平均数与加权平均数 的区别． 例 3、某水果店有 200 个菠萝，原计划以 2.6 元/千克的价格出售，现在为了满足市场的需要，水果店决定将所有的菠 萝去皮后出售．以下是随机抽取的 5 个菠萝去皮前、后相应的质量统计表(单位：千克)： 去皮前各菠萝的质量 去皮后各菠萝的质量 1.0 0.6 1.1 0.7 1.4 0.9 1.2 0.8 1.3 0.9
2
2.对甲、乙两同学 100 米短跑进行 5 次测试，他们的成绩通过计算得； x 甲= x 乙，S 甲=0.025, S 乙=0.026,下列说法正确的是（ A.甲短跑成绩比乙好 C.甲比乙短跑成绩稳定 3.数据 70、71、72、73 的标准差是（ A. 2 4.样本方差的计算式 S = A.众数、中位数 C.样本中数据的个数、平均数
(1)计算所抽取的 5 个菠萝去皮前的平均质量和去皮后的平均质量，并估计这 200 个菠萝去皮前的总质量和去皮后的 总质量；
(2)根据(1)的结果，要使去皮后的这 200 个菠萝的销售总额与原计划的销售总额相同，那么去皮后菠萝的售价应是每 千克多少元？
例 4、一组参加驾驶执照初试考生所犯错误的数目记录如下：求这组应考司机所犯错误的数目的中位数和众数．
成绩/分 人数/名
4
20 1
22 2
26 2
28 3
30 2
一对一
这 10 名同学测试成绩的标准差是多少（精确到 0 . 1 分）?
例 9、.甲、乙两台编织机同时编织同种品牌的毛衣，在 5 天中，两台编织机每天编织的合格产品数量如下（单位： 件）: 甲：10 8 7 7 8 乙： 9 8 7 7 9 在这 5 天中，哪台编织机每
例 5、下图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩 70 分以上(包 括 70 分)为合格． (1)请根据图中所提供的信息填写表格； 平均数 甲 乙 60 中位数 65 体能测试成绩合格次数
(2)请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断； 依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙，________的体能测试成绩较好； 依据平均数与中位数比较甲和乙，_________的体能测试成绩较好． (3)依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好．
回顾与思考
一、统计的一般过程 数据收集 个体 样本 普查与抽查 方式 概念 总体 样本容量
收集 涉及 整理 形式
数据整理
数据分析 作出决策
统计表和统计图 平均数 集中趋势 中位数 众数 极差 离散程度 方差 标准差
1、平均数与加权平均数
一般地，如果有 n 个数据 x1，x2，„xn，那么，
叫做这组数据的平均数．用 表示， 读
9.数据：1、3、4、7、2 的极差是 。
10.对某校同龄的 70 名女学生的身高进行测量，其中最高的是 169 ㎝，最矮的是 146 ㎝，对这组数据进行整理时，可 得极差为 。
11.甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为 400 克的茶叶.从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了 10 盒，测得它们 的实际质量的方差如下表所示：
作 x 拔．即
若 n 个 数 据 x1 ， x2 ， „ ， xk ， 分 别 出 现 f1 次 ， f2 次 ， „ ， fk 次 ， 则 ( 称为这 n 个数的加权平均数．
平均数是描述一组数据的集中趋势的特征数字，由平均数(及加权平均数)的计算公式不难发现，平均数的大小与 样本的每一个数据都相关．它是一组数据的“重心” ，是度量一组数据波动大小的基准． 说明： （1）当 f1＝ f2＝„＝fk＝1 时，即 k=n 时，加权平均数公式就是平均数公式． （2）各数据的权改变，加权平均数也改变．
一对一
一对一八年级数学教师辅导讲义
学员编号： 学员姓名： 课 题 2014.6.1 年 级：八年级 辅导科目： 数学 课时数：1 学科教师： 张老师
数据的集中趋势和离散程度总结
备课时间：2014.5.29
授课时间：
教学目标
1、理解平均数和加权平均数的意义，会计算一组已知数据的加权平均数． 2、理解加权平均数中权的意义，会计算 k 个数的加权平均数． 3、理解中位数的概念，会求一组已知数据的中位数． 4、理解众数的概念，会求一组已知数据的众数． 5、了解并体会平均数、中位数、众数在实际问题中所代表的实际意义及其不足之处． 教学内容
所犯错误的数目 人数 2 1 3 0 4 2 5 3 6 2 7 4 8 6 9 5 10 1
点评：表中两栏都是“数据”，但题目要求的是应考司机所犯错误数据的中位数和众数，这就存在审题的问题了：什么 是要研究的数据；另外，这组数据较多，若一一排列很麻烦，也没有必要，故只需抓住中间的那一个或两个数据．
） D.10
①一组数据的标准差是它的差的平方；②数据 8，9，10，11，1l 的众数是 2；③如果数据 x1，x2，„，xn 的平均数为
x ，那么(x1－ x ）＋（x2－ x ）+„（xn－ x ）=0；④数据 0，－1，l，－2，1 的中位数是 l．
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.l 个
二、填空题
例 7、某足球队对运动员进行射点球成绩测试，每人每天射点球 5 次，在 10 天中，运动员大刚的进球个数分别是： 5 4 5 3 3 5 2 5 3 5 （1）求大刚进球个数的平均数； （2）求大刚进球个数的方差. （3）求大刚进球个数的标准差.
例 8.八年级一班 10 名同学参加用电脑绘图测试，成绩如下（满分 30 分）:
1
一对一
2、中位数
一般地，当将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列后，处在最中间位置的一个数据（当数据的个数是 奇数时）或正中间位置的两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数．中位数是一个位置代 表值． 理解中位数的概念应注意以下几点： (1)求中位数时，数据必须按序排列：由小到大或由大到小； (2)所有的数据都必须参与排序，如数据 a 出现 3 次，则在排序中应占 3 个位置； (3)中位数两边的数据各占一半； (4)中位数有时不一定是已知数据中的数．
3、众数
一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数．一组数据中的众数可能有一个，也可能不止一个．
4、平均数、中位数和众数的异同
平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用．但它受极端值 的影响较大． 当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们关注的一个量，它不受极端值的影响，这是它的一个优势． 中位数只需要少量计算，不受极端值的影响，在有些情况下这是一个优点． 平均数、中位数和众数都是描述一组数据集中趋势的量，一组数据的平均数和中位数只有一个，而众数可能有 几个，它们各有自己的特点，能够从不同角度提供信息，在实际应用中，需要分析具体情况，选择适当的量来代表． 平均数、中位数、众数的比较表： 平均数 中位数 众数 计算时要用到所有的数据；容 计算时只需要中间的数据； 简单明了，取频数最多的数据； 易受组中极端值的影响． 不受极端值的影响． 不受极端值影响． 二、典型例题剖析
2 2
） B.乙短跑成绩比甲好 D.乙比甲短跑成绩稳定 ） C.
B.2
5 2
D.
5 4
）
1 2 2 2 [（x1-30） +（x2-30）] +„+（xn-30） ]中，数字 20 和 30 分别表示样本中的（ 20
B.方差、标准差 D.样本中数据的个数、中位数
5.某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中一个数据 105 输入为 15，那么所求出平均数与实际平均数的 差是（ A.3.5