运筹学46最大流问题
《运筹学最大流问题》课件
实际应用效果：在实际应用中，最大流问题可以有效地解决物流运输中的路径规划、车辆调度等问 题，提高物流运输效率，降低运输成本。
网络流量优化中的最大流问题
背景：随着互联网 技术的发展，网络 流量优化成为重要 问题
预流推进法的实现
预流推进法是一种求解最大流问题的算法 基本思想：通过寻找增广路径，逐步增大流值
实现步骤：初始化、寻找增广路径、更新流值、重复以上步骤直到找不到增广路径
优点：效率较高，适用于大规模网络流问题
Dinic算法的实现
初始化：设置源 点s和汇点t，初 始化网络流网络
寻找增广路径： 使用BFS寻找从 s到t的增广路径
汇报人：
EdmondsKarp算法等
扩展问题：最小 费用最大流问题 的扩展问题包括 最小费用最大流 问题、最小费用 最大流问题等。
多终端最大流问题
定义：在一个网络中，有多个源点和多个汇点，每个源点和汇点之间都有一条或多条边相连，每条边上都有一个容 量限制，求从源点到汇点的最大流量。
应用场景：多终端最大流问题在物流、交通、网络等领域有广泛的应用。
电力分配中的最大流问题
电力分配：将电力从发电站分配到各个用户 最大流问题：在电力分配中，需要找到一种最优的分配方案，使得电力分配达到最大 实际应用：在实际电力分配中，可以使用最大流算法来寻找最优的分配方案 应用效果：使用最大流算法可以大大提高电力分配的效率和准确性，降低电力损耗和成本
感谢您的观看
更新流量：沿 着增广路径更 新流量
重复步骤2和3， 直到找不到增 广路径
输出最大流值： 计算从s到t的 最大流值
Ford-Fulkerson算法的实现
运筹学_最大流问题(精选)共15页文档
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
运筹学_最大流问题（精选）
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
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运筹学课件 最大流与最小费用流
精选ppt
11
定义 9
设 l(P)
min l(e) ，其中 l(e)
eE ( P )
c(e)
f
(e)
f
(e)
e P ， e P
（1）若 l(P) 0 ，则称 P 链为 f 饱和链；
（2）若 l(P) 0 ，则称 P 链为 f 非饱和链。
定义 10 设 f 是一个流， P 是从源 s 到汇 t 的一条链，若 P 满足
（2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集Y 的净流量。
定义 4 设 f 是网络 N 的一个流，则 f 的流的价值 Val f 定义为
Val f ＝ f (e) f (e)
eN ( X )
eN (Y )
即流的价值是发点集的流出量，也是收点集的流入量。
精选ppt
7
注 3：任何一个多源多汇网络 N (V , E, c, X ,Y ) 都等价与一个 单源单汇网络 N ' (V ', E', c', X ',Y ' ) 。在解决实际问题时，常把多源
则找到了一条增广路，沿该增广路对流 x 进行增广（增广的流量为 max f (t) ，增广路可以根据
得到），转 STEP1。
（3b）如果 t 没有标号（即 LIST= 且 maxf (t) 0 ），转 STEP1。
STEP4 从 LIST 中移走一个节点 i ；寻找从节点 i 出发的所有可能的增广弧：（4a） 对非饱和前向弧 (i, j) ，若节点 j 没有标号（即 pred( j) 0 ），对 j 进行标号，即令
多汇网络转化为单源单汇网络。
（1）V ' V {s, t}， s,t 分别是 N ' 的发点与收点； （2） E' E {(s, x) | x X } {( y,t) | y Y}； （3）c' c(e), e E ；c' (s, x) , x X ，c' ( y,t) , y Y 。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题摘要：1.运筹学最大流问题简介2.最大流问题的基本概念和方法3.最大流问题的求解步骤4.最大流问题在实际应用中的案例分享5.总结与展望正文：【提纲1：运筹学最大流问题简介】运筹学最大流问题是一种求解网络中最大流量的问题。
在有向图中，有一个发点（源）和一个收点（汇），其他点称为中间点。
给定每条边的容量，我们需要找到一条从发点到收点的路径，使得这条路径上的流量最大。
最大流问题在物流、交通、通信等领域具有广泛的应用。
【提纲2：最大流问题的基本概念和方法】在最大流问题中，我们需要了解以下几个基本概念：1.流量：表示在一条边上流动的单位数量。
2.容量：表示一条边能承受的最大流量。
3.增广链：从发点到收点的路径，路径上的每条边都有剩余容量。
求解最大流问题的基本方法是：1.初始化：将所有边的流量设为0。
2.寻找增广链：在图中寻找一条从发点到收点的路径，使得路径上的每条边都有剩余容量。
3.更新流量：将找到的增广链上的流量增加，同时更新路径上其他边的剩余容量。
4.重复步骤2和3，直到无法再找到增广链。
【提纲3：最大流问题的求解步骤】以下是求解最大流问题的具体步骤：1.构建网络图：根据题目给出的条件，构建有向图。
2.初始化：将所有边的流量设为0，记录发点和收点。
3.寻找增广链：使用深度优先搜索或广度优先搜索等算法，在图中寻找一条从发点到收点的路径。
4.更新流量：找到增广链后，将路径上的流量增加，同时更新路径上其他边的剩余容量。
5.重复步骤3和4，直到无法再找到增广链。
6.输出结果：最大流即为所有增广链上的流量之和。
【提纲4：最大流问题在实际应用中的案例分享】最大流问题在实际应用中具有广泛的价值，例如：1.物流配送：通过最大流问题优化配送路线，降低物流成本。
2.交通规划：通过最大流问题优化交通网络，提高出行效率。
3.通信网络：通过最大流问题优化网络资源分配，提高通信质量。
【提纲5：总结与展望】运筹学最大流问题是一种重要的优化问题，其在实际应用中具有广泛的价值。
运筹学最大流问题
它决定了整个网络的最大通过能力。
四、最大匹配问题
|M |表示集合M中M的边数。
一个图的最大匹配中所含边数是确定的, 但匹配方案可以不同。
定义23 二部图G=(X,Y,E), M是边集E的子集, 若M中的任意
若不存在另一匹配M1, 使得|M1|>|M|, 则称M为最大匹配.
x5
y1x3y2x2y3x1
y4
x4
y5
x5
y1
x3
y2
x2
y3
x1
y4
x4
y5
vs
vt
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
如图，要求设计一个方案，使量多的人能就业。
(1,3)
(2,4)
(4,3)
(1,2)
(3,2)
(3,t)
(2,4)
(3,t)
(4,3)
(4,t)
(1,3)
(3,t)
15
(4,t)
21
17
18
19
24
14
25
15
割
容量
4-3、最大流-最小割定理
定理
定理2 (最大流-最小割定理) 任一网络G中, 从vs 到 vt 的
定义
设 f 为网络G=(V, E, C)的任一可行流, 流量为W ,
未标号点集合为 S = {v1, v2, v4, v5, v6, v7}
割集(S, S )= {(vs, v1), (vs, v2), (v3, v6)}
割集容量
可得到一个最小割. 见图中虚线.
运筹学 最大流问题精简PPT学习教案
边称为饱和边，使fij<cij的边称为非饱和边；把
使fij＝0的边称为零流边，使fij>0的边称为非零
流边。
若μ是联结发点
v2 3,1
vs
1,0
5,2
4,1 1,0
v4
5,2
3,1 vt
2,1
vs和收点vt的一条链
，我们规定链的方向
是从vs到vt，则链上
v1
2,2 v3
的边被分成两类：前
向边、后向边。
1
y4 1 1
y5
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
第20页/共21页
基本概念
v2 3
vs
1
5 v1
4
v4
5
1
3
vt
2
2
v3
对于G中的每一条边(vi,vj)，相应地给一 个数cij（cij≥0 ），称 为边(vi,vj)的 容量。 我们把 这样的 网络 G称为容量网络 ，记为G＝(V,E,C)。
第1页/共21页
网络上的流，是指定义在边集E上的 函数f＝{f(vi,vj)}，并称f(vi,vj)为边 (vi,vj)上的流量，简记为fij。
第11页/共21页
下面用实例说明具体的操作方法：例
v2 (4,3
(3,3
)
v4 (5,3
在图中给出的可行
vs ) (5,1 )
(1,1 )
(1,1 )
v1 (2,2
(3,0 ) ) (2,1
vt
v3 )
流的基础上，求vs 到vt的最大流。
)
(-vv21,1)(4,3
《运筹学》英文单词
《运筹学》英文单词《运筹学》英语单词10－1 programming problem0－1规划问题2Artificial variable人工变量3Assignment problem分派问题4Augmenting path增广路5Bases基6Basic feasible solution基可行解7Basic solution基解8Basic variable基变量9Big-M method大M法10Bipartite graph二分图11Branch-and-bound method分枝定界法12Capacity容量13Chinese postman problem中国邮递员问题14Circuit回路15Combinatorial optimal problem组合优化问题16Cone锥17Connected graph连通图18Constraint约束19Convergence收敛20Convex programming problem凸规划问题 21Cut edge截边22Cutting plane method切平面法23Cycle圈24Cycling循环25Decision variable决策变量26Degenerate退化27Degree次28Directed arc有向弧29Discrete optimal problem离散优化问题30Dual problem对偶问题31Dual simplex algorithm对偶单纯形算法32Dynamic programming动态规划33Edge边34Euler tour欧拉迹35Feasible flow可行流36Fesible region可行域37Flow conservation constraint流量守恒条件38Flow value流量39Global optimal solution全局最有解40Goal programming目标规划41Hyperplane超平面42Initial solution初始解43Integer programming problem整数规划问题44Labeling algorithm标号算法45Linear programming problem线性规划问题46Local optimal solution局部最有解47Mathematical programming problem数学规划问题48Mathematical programming problem数学规划问题 49Maximal flow最大流50Network flow problem网络流问题51Nonbasic matrix非基矩阵52Nonlinear programming problem非线性规划问题53Northwest corner rule西北角法54Objective function目标函数55Optimal solution最优解56Optimality criterion最优性准则57Optimization最优化58Parametric analysis参数分析59Path路60Pivot column旋转行61Pivot element旋转元62Pivot row旋转列63Pivoting转轴运算64Polyhedral convex set凸多面体65Potential势66Preflow初始流67Primal problem原问题68Quadratic programming problem二次规划问题69Rank秩70Revised simplex algorithm修正单纯形算法71Revised simplex method改进单纯形法72Saturated arc饱和弧73Sensitivity analysis灵敏度分析74Shadow prices影子价格75Shortest path最短路76Simple path简单路77Simplex algorithm单纯形算法78Simplex multipliers单纯形乘子79Simplex tableau单纯形表80Sink汇点81Slack constraint松约束82Slack variable松弛变量83Slackness Condition松弛条件 84Smallest subscript rule最小下标规则85Souce源点86Spanning tree支撑树87Standard form标准型88Strong theorem of complementary slackness强对偶定理89Subgraph子图90Surplus variable剩余变量 91Tight constraint紧约束92Tourism promblem旅行商问题93Transportation problem 运输问题 94Tree树95Two-Phase Method两阶段法96Unbounded solution无界解97Vertex顶点98Walk路99Weak theorem of complementary slackness弱对偶定理100Weighted graph赋权图。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题一、问题描述在运筹学领域，最大流问题是一种重要的网络流问题，其目标是在给定有向图中，找到从源点到汇点的最大流量。
求解最大流问题可以应用于许多实际场景，比如物流调度、电力网络分配等。
二、问题分析最大流问题可以通过使用流网络模型来求解。
流网络由一组有向边和节点组成，其中每条边都带有一个容量值，代表该边所能通过的最大流量。
流量值表示通过该边的实际流量。
为了求解最大流问题，我们需要使用网络流算法，其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
这些算法通过不断寻找增广路径来增加流量，直到无法找到增广路径为止。
三、问题实例为了更好地理解最大流问题，以下是一个具体的例子：假设有一个物流网络，由多个节点和边构成。
每条边都带有一个容量值，表示该边所能通过的最大流量。
网络中有一个源点和一个汇点，我们需要找到从源点到汇点的最大流量。
节点和边的关系如下：源点 -> A: 容量为5源点 -> B: 容量为3A -> C: 容量为2A -> D: 容量为4B -> C: 容量为2B -> E: 容量为3C -> 汇点: 容量为4D -> 汇点: 容量为5E -> 汇点: 容量为3根据以上描述，我们可以通过使用Ford-Fulkerson算法来求解最大流问题。
算法的基本步骤如下：1. 初始化流网络，将所有边上的流量设为0。
2. 寻找增广路径：通过深度优先搜索或广度优先搜索，寻找从源点到汇点的一条路径，使得路径上的边上仍有剩余容量。
3. 计算路径上的最小容量值，即可通过的最大流量。
4. 更新路径上的边的流量，即增加最小容量值。
5. 重复步骤2-4，直到无法找到增广路径为止。
6. 最后，计算源点流出的总流量，即为最大流量。
通过以上例子，我们可以清楚地了解最大流问题的基本思想和求解步骤。
在实际应用中，可以根据具体情况使用不同的网络流算法来求解最大流问题。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题摘要：I.引言- 介绍运筹学最大流问题- 问题的背景和实际应用II.最大流问题的定义- 给定图和容量- 源点和汇点- 中间点III.最大流问题的求解方法- 增广链法- 最小费用最大流问题IV.例题详解- 例题一- 例题二- 例题三V.结论- 总结最大流问题的求解方法和应用- 展望未来研究方向正文：I.引言运筹学最大流问题是运筹学中的一个经典问题，主要研究在给定的有向图中，如何从源点向汇点输送最大流量。
最大流问题广泛应用于运输、通信、网络等领域，具有重要的理论和实际意义。
本文将介绍运筹学最大流问题的相关概念和方法，并通过例题进行详细解析。
II.最大流问题的定义最大流问题给定一个有向图G(V, E)，其中包含一个源点(vs)、一个汇点(vt) 和若干个中间点。
对于图中的每一条边(vi, vj)，都有一个非负容量cij。
我们需要从源点向汇点输送流量，使得总流量最大。
III.最大流问题的求解方法最大流问题的求解方法主要有增广链法和最小费用最大流问题。
1.增广链法增广链法是一种基于动态规划的方法。
假设我们已经找到了从源点到汇点的最大流量f，现在要寻找一条增广链，使得流量可以增加。
增广链的定义是：从源点出发，经过若干条边，最后到达汇点的路径，且这条路径上所有边的容量之和c > f。
如果找到了这样的增广链，我们可以将源点与增广链的起点之间的边(vs, v1) 的容量增加c，同时将增广链上所有边的容量减少c，从而得到一个新的最大流量f"，满足f" > f。
不断寻找增广链，直到无法找到为止，此时的最大流量即为所求。
2.最小费用最大流问题最小费用最大流问题是在最大流问题的基础上，要求源点向汇点输送的流量所经过的路径的费用最小。
求解方法是在增广链法的基础上，每次寻找增广链时，不仅要满足c > f，还要满足从源点到汇点的路径费用最小。
IV.例题详解以下是三个最大流问题的例题详解：例题一：给定一个有向图，源点vs 的入次为0，汇点vt 的出次为0，其他点的入次和出次均为1。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题（原创版）目录一、运筹学最大流问题的基本概念二、最大流问题的求解方法三、最大流问题例题详解四、总结与展望正文一、运筹学最大流问题的基本概念运筹学最大流问题是一种在网络中寻找最大流量的问题。
给定一个有向图 G(V,E)，其中仅有一个点的入次为零称为发点（源），记为 vs；仅有一个点的出次为零称为收点（汇），记为 vt；其余点称为中间点。
对于G 中的每一条边 (vi,vj)，相应地给一个数 cji（cji 0），称为边 (vi,vj) 的容量。
最大流问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量。
二、最大流问题的求解方法求解最大流问题的方法主要有两种：增广链路算法（如Ford-Fulkerson 算法）和最短路算法（如 Dijkstra 算法和Bellman-Ford 算法）。
增广链路算法主要思想是不断寻找增广链路，即在网络中寻找一条从源点到汇点的路径，使得路径上的每条边都有剩余容量。
最短路算法则是通过寻找源点到汇点的最短路径来解决最大流问题。
三、最大流问题例题详解假设有如下网络图：```vs --> v1 --> v2 --> vt| | |3 2 1```其中，vs 为源点，vt 为汇点，边 (vs,v1) 的容量为 3，边 (v1,v2) 的容量为 2，边 (v2,vt) 的容量为 1。
现在需要求解从 vs 到 vt 的最大流量。
利用增广链路算法，我们可以得到如下流程：1.初始化流量为 0，即所有边的流量均为 0。
2.从源点 vs 开始，遍历所有邻接点，找到有剩余容量的边，将其流量加 1，直到所有邻接点都遍历完毕。
3.更新流量，将当前点的流量分配给下一个邻接点，直到到达汇点 vt。
4.重复步骤 2-3，直到网络中不存在增广链路。
按照以上步骤，我们可以得到最大流量为 2。
四、总结与展望运筹学最大流问题是网络科学中的一个基本问题，有着广泛的应用。
通过增广链路算法和最短路算法，我们可以有效地解决最大流问题。
运筹学课件4.6 最大流问题
v5
)
vs
(1,3)
) 4 , 4 (
(0 ,1 )
vt
第三次迭代：最优解
v2
(4,4)
v4
( 5, 5)
,5 )
(2,2)
(1,4)
[vs ,1]
v1
v3
(1, 2
[ 0, ]
(2
(0,1)
v5
)
vs
(1,3)
) 4 , 4 (
(0 ,1 )
vt
四、确定网络中最大流的方法
最大流时始节点的净流出量 最大流时终节点的净流入量 最小割集的容量
割集：某连通图G上的一个边的集合。
割集容量：指割集中所有边的容量之和。 最小割集：割集中容量最小的割集。 最小割集最大流定理：网络最大流等于所有割
集中的最小割量。 标号法求得最小割集
一个简单的例子v2a1 Nhomakorabeav1
a4
a3
a2
v4
a5
Sv1 v3
v3
再看例4-2
习题
第一版：
(2,2)
[ 0, ]
(2
(0,1)
,5 )
2)
(0,4)
vs
(2,3)
4) , (3
( 5, 5)
[v5 ,1] vt
[v3 ,1]
(0 ) ,1
v1
v3 [v4 ,1]
v5
v2
(4,4)
v4
( 5, 5)
,5 )
(2,2)
(1,4)
[vs ,1]
v1
v3
(1, 2
[ 0, ]
(2
(0,1)
最大流问题求解算法_运筹学_[共4页]
![最大流问题求解算法_运筹学_[共4页]](https://img.taocdn.com/s3/m/bf4e91d2cc1755270622088d.png)
下面介绍寻找网络最大流的 Ford-Fulkerson 标号法。 Ford-Fulkerson 算法是由 Ford 和 Fulkerson 于 1956 年提出的，其实质是判断是否有增广链 存在，并设法把增广链找出来，也称为 Ford-Fulkerson 标号法。基本思想是，从一个可行流出 发，寻找自 v1 的增广链可以到达的所有顶点集合 S ，若 vn ∈ S ，则有 v1 到 vn 的增广链，修改 增广链上的流量，得到一个流量更大的可行流，重复这个过程，直到 vn∈S 为止。 从一个可行流出发，经过标号过程与调整过程。 1．标号过程 在这个过程中，网络中的点或者是标号点（又分为已检查和未检查两种），或者是未标号 点。每个标号点的标号包含两个部分：第一个标号表明它的标号是从哪一点得到的，以便找 出增广链；第二个标号是为确定增广链的调整量 θ 用的。 标号过程开始，先给 v1 标上（0, +∞），这时 v1 是标号而未检查的点，其余都是未标号点。 一般地，取一个标号而未检查的点 vi ，对一切未标号点 vj ： （1）若 在 弧（vi，v j）上 ， 有 xij < wij ， 则 给 定 v j 标 号（vi，（l v j））， 这 里 就 有 l(v j ) = min ⎡⎣（l vi），wij − xij ⎤⎦ ，这时点 vj 成为标号而未检查的点； （2）若 在 弧（vj，vi）上 ， 有 x ji > 0 ， 则 给 v j 标 号（− vi，（l v j））， 这 里 就 有（l v j）= min ⎡⎣（l vi），x ji ⎤⎦ ，这时点 vj 成为标号而未检查的点。 于是 vi 成为标号而已检查过的点。重复上述步骤，一旦 vn 被标上号，表明得到一条从 v1 到 vn 的增广链 μ ，转入调整过程。 若所有标号均已检查过，而标号过程进行不下去，则算法结束，这时的可行流就是最大流。
运筹学最大流问题实验报告
运筹学最大流问题实验报告一、实验目的1. 学习最大流问题的基本概念。
2. 掌握最大流问题的求解算法。
3. 通过程序模拟求解，加深对最大流问题的理解。
二、实验原理最大流问题是在一个有向图中，给定一条源点到汇点的路径以及每一条边的最大容量，求最大流量的问题。
在网络流中，每个有向边都表示一定的流量，其中每个边的构成是（开始节点，结束节点，最大容量）。
最大流问题通常使用增广路算法或Ford-Fulkerson算法来求解。
1.增广路算法增广路算法是一种贪心算法。
该算法不断寻找一条增广路，并将增广路中的最小流量分配给这条增广路的每一条边。
当不存在增广路时，算法结束，返回最大流量。
2.Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的解法，它是基于增广路径的算法。
但是这种算法是暴力寻求增广路径，时间复杂度较高。
需要借助一个可行函数，用来判断剩余网络中是否还有增广路。
一个网络的可行函数应该满足：当且仅当所有的边都满足限制的时候，可行函数有唯一最大值。
可行函数常常构建为距离标号（下面会讲到）。
三、实验步骤使用Python语言，实现最大流问题的求解算法。
算法采用增广路算法。
1. 构建有向图，每个节点可以表示为一个数字。
源点的编号为0，汇点的编号为N-1。
有向边的构成是（开始节点，结束节点，最大容量）。
2. 实现BFS广度优先搜索算法寻找增广路径。
3. 实现对路径上节点的最小流量计算并更新网络。
4. 不断循环执行2、3步骤，直到不存在增广路径为止。
5. 输出最大流量。
四、实验结果下面是一个简单的实例，以验证程序的正确性。
在这个网络中，从源点0到汇点5，可以有两条不同路径：0→1→2→4→5和0→1→3→4→5。
这两条路径中，最小容量的路径是第一条，容量为3。
在执行完毕后，程序输出了最大流量为3。
五、实验结论通过本实验，我们学习了最大流问题的基本概念，掌握了最大流问题的求解算法，并且通过程序模拟成功地求解了一个基本问题，加深了对最大流问题的理解。
第三节 最大流问题
精品课程《运筹学》
标号无法进行下去，最大流流量V(f*)=3+6=9， 最小割集（S*，T*）, S*={vs}, T*={ v1，v2，v3， v4，vt}。
精品课程《运筹学》
精品课程《运筹学》
§3.2 求解网络最大流的方法（标号法） 标号法是一种图上迭代计算方法，该算 法首先给出一个初始可行流，通过标号找出 一条增广链，然后调整增广链上的流量，得 到更大的流量。再用标号找出一条新的增广 链，再调整直到标号过程不能进行下去为止， 这时的可行流就是最大流。
精品课程《运筹学》
0 f ij cij
j
i
精品课程《运筹学》
可行流满足下列三个条件： ⑴ 0 f ij cij ⑵ f im f km vm vm ⑶v f f
vs sj vt it
条件（2）和条件（3）也称为流量守恒条件。
精品课程《运筹学》
在图D中，从发点到收点的一条路线称为链， 从发点到收点的方向规定为链的方向。与链的 方向相同的弧称为前向弧，前向弧集合记为u+ ， 与链的方向相反的弧称为后向弧，后向弧集合 记为u-。
（vi，vj）∈u+
（vi，vj)∈u（vi，vj ) u 得到新的可行流 f1 ，去掉所有标号，返回到第 二步从发点重新标号寻找增广链，直到收点不 能标号为止。
精品课程《运筹学》
例6.3.2用标号法求网络最大流（图6-3-1）， 弧旁数字为（cij ，fij(0)）。 解 （1） 标号过程。见图6-3-2。 （2） 增广链为{vs，v1，v2，v3，vt} （注意 （v2，v1），（v3，v2）∈u- ）。 （3）调整量θ =2调整后得图6-3-3。 （4） 二次标号过程。见图6-3-3。
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三、寻找网络最大流的标号法
调整过程：在增广链上，正向弧加上调整 量，反向弧减去调整量。经过调整网络流 v( f )增加一个调整量：
v( f ) v( f )
例4-2：第一次迭代
[vs ,4]
v2 (0,4)
(0,4)
(0,1)
vs
[0, ]
(2,5)
(2,2)
v1
a4
a3
a5 v4
v3
再看例4-2
习题
第一版：
P.266，习题4，图9-5（1）、（2）。
第二版：
P.285，习题7，图9-5（1）、（2）。
最大流时始节点的净流出量 最大流时终节点的净流入量 最小割集的容量
割集：某连通图G上的一个边的集合。
割集容量：指割集中所有边的容量之和。 最小割集：割集中容量最小的割集。
最小割集最大流定理：网络最大流等于所有割 集中的最小割量。
标号法求得最小割集
一个简单的例子
v1 v3 S
a1
v1
v3 [v4,1]
第二次迭代
[vs ,1]
v2
(3,4)
vs
[0, ]
(2,5)
v1
(0,1) (2,3)
(0,2)
(3,4) (0,1)
(2,2)
[v2 ,1]
v4
(5,5)
[vv5t,1]
(0,4) v5[v3,1]
v3 [v4,1]
v2 (4,4)
(4,4)
vs
[0, ]
(2,5)
(0,1)
(i, j)A
( j,i)A
一、网络流的基本概念
饱和弧和非饱和弧 正向弧：与链的走向一致的弧。 反向弧：与链的走向相反的弧。
一、网络流的基本概念
增广链：对于一可行流 fij，网络的一条链满足
fij cij , (i, j)
fij 0, (i, j)
f f 可增加的流量： min[ cij ij , ij ]
第四节 最大流问题
网络流的基本概念 求解网络最大流的基本原理 寻找网络最大流的标号法 确定网络中最大流的方法
一、网络流的基本概念
流量与容量 流量：表示某时间内通过弧（vivj）的物质数量，记
为fij。网络中的总流量用v(f)表示。 容量：弧的最大允许通过量，一般用cij表示。
一、网络流的基本概念
(2,2)
v1
[vs ,1]
(0,1) (1,3)
(1,2)
v4
(5,5)
vt
v (1,4) 5
v3
第三次迭代：最优解
v2 (4,4)
(4,4)
vs
[0, ]
(2,5)
(0,1)
(2,2)
v1
[vs ,1]
(0,1) (1,3)
(1,2)
v4
(5,5)
vt
v (1,4) 5
v3
四、确定网络中最大流的方法
可行流：节点和边的限制条件
1)容量限制条件：对于每一个弧{vivj} ∈ A，A为弧集， 0≤fij ≤ cij
2）节点限制条件
始点vs
fsj f js v( f )
(s, j)A
( j,s)A
终点vs 中间顶点i
ftj f jt v( f )
(t, j)A
( j,t )A
fij f ji 0
给出一初始可行流，例如 fij 0 。
寻找增广链，若存在，则通过该增广链调 整、增加网络流。
若不存在增广链，则网络流不可再增加。 求得最大流。
定理：可行流f为最大流的充分必要条件是 当且仅当网络不存在增广链。
三、寻找网络最大流的标号法
Ford-Fulkson标号算法，给每个节点以一对 标号，第一个标号表示箭尾节点，第二个 标号表示可调整量，若终点有了标号，则 找到一条增广链。否则不存在增广链。
二、求解网络最大流的基本原理
数学模型
max v( f )
fsj f js v( f )
( s, j )A
( j,s)A
ftj f jt v( f )
(t , j )A
( j,t )A
fij f ji 0, i s,t
(i, j )A
( j,i)A
0 fij Cij
二、求解网络最大流的基本原理
标号过程中，从任意顶点i出发都要确定标 号的方向。根据增广链的定义，有下面两 种情况：
1）从已标号的顶点vi出发的弧是正向弧 到顶点vj为止的增广链可以增加流量的大小是：
v j min[ (vi ), cij fij ]
2）从已标号的顶点vi出发的弧是反向弧
v j min[ (vi ), f ji ]
(0,1) (2,3)
(0,2)
[v2 ,4] v4
(2,5)
[v4 ,3] vt
v (0,4) 5
v3
[vs ,1]
v2
(3,4)
vs
[0, ]
(2,5)
v1
(0,1) (2,3)
(0,2)
(3,4) (0,1)
(2,2)
[v2 ,1]
v4
(5,5)
[vv5t,1]
(0,4) v5[v3,1]