精讲精练经典练习题

三角函数期末精讲精练

三角函数精讲

一、基本概念、定义：

1. 角的概念推广后，包括 、 、 ，与α终边相同的角表示为 。 终边角： x 轴上 y 轴上 第一象限 第二象限 第二四象限 直线y ＝x 上

2. 弧度制：把 叫1弧度的角。

公式：|α|＝— 换算：180°＝ 弧度； 1弧度＝ 度； 1°＝ 弧度 扇形： 弧长L ＝ ＝ ，面积S ＝ ＝ 3. 任意角的三角函数：

①定义：角α终边上任意一点P(x ，y)，则r ＝ ，六个三角函数的定义依次是 、 、 、 、 、 。

②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作 轴的垂线，垂足为M ，则 。过点A(1,0)作 ，交 于点T ，则 。 ③同角三角函数关系式：

平方关系： 商数关系： 倒数关系：

（1～2要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，3～6要求能证明，不记忆） 1．和、差角公式

=±)sin(βα =±)cos(βα

=±)tan(βα

2．二倍角公式

=α2sin =α2cos ＝ ＝ =α2tan 倍角公式变形：降幂公式

=ααcos sin =α2sin =α2cos

3．半角公式(书P45～46)

2cos 12

sin

αα

-±

=, 2cos 12cos αα+±=, α

α

αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= 4．万能公式： 2

tan

12

tan

2sin 2

ααα+=

；2

tan

12tan 1cos 2

2

α

αα+-=

；2

tan

12

tan 2tan 2

ααα-=．

5．积化和差公式(书P46～47)

)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(21

sin cos βαβαβα--+=；

)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(2

1

sin sin βαβαβα--+-=．

6．和差化积公式(书P46～47)

2

cos

2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin 2cos 2sin sin β

αβαβα-+=-； 2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+； 2

sin

2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=-． 应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明 基本技巧：

①1的妙用：1＝ ＝ ＝

②变角： (x+y)＋(x －y)＝ (x+y)＋(x －y)＝ α＝ ＝ ＝ 等 ③变名：切化弦；弦化切

④化一：a sinx ＋b cosx ＝

1、 作图：五点法，依次取ωx ＋ψ＝

2、 周期T ＝

3、 单调区间：A ∙ω>0时，增区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤ 减区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤

A ∙ω<0时，增区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤

减区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤ 4、最大值：A>0时，当ωx ＋ψ＝ 时，y 取最大值A 。 最小值：A>0时，当ωx ＋ψ＝ 时，y 取最小值－A 。

5、概念：振幅 ；周期T ＝ ；频率f ＝ ；初相 ；相位 。

6、三角变换： (A>0，ω>0)

将y ＝sinx 的图像—————————>y ＝sin(x ＋ψ) ——————————>y ＝sin(ωx ＋ψ)

——————————>y ＝Asin(ωx ＋ψ)

或者： 将y ＝sinx 的图像—————————>y ＝sin(ωx) —————————>y ＝sin(ωx ＋ψ) ——————————>y ＝Asin(ωx ＋ψ)

7、联系： y ＝tan((ωx ＋ψ) (ω>0)的周期是T ＝ ，单调 区间是解不等式 。

五、反三角定义：

1.在闭区间 上，符合条件sinx ＝a (-1≤a ≤1)的角x 叫a 的反正弦，记作：x ＝ 在闭区间 上，符合条件cosx ＝a (-1≤a ≤1)的角x 叫a 的反余弦，记作：x ＝ 在开区间 上，符合条件tanx ＝a 的角x 叫a 的反正切，记作：x ＝

2.反三角的三角函数、三角函数的反三角：

例：sin(arcsinx)＝ ，其中x ∈[-1,1]；arcsin （sinx ）＝ ，其中x ∈[－

π2，π

2

]； 六、数学思想方法： 数形结合思想，例如：解三角不等式可以用 、或 ；

整体思想，例如：研究函数y ＝Asin(ωx ＋ψ)的图像和性质可以把 看成整体

三角函数精练

A

⒈ 已知α是钝角，那么α

2

是 （ ）

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第一与第二象限角

D ．不小于直角的正角

2． 角α的终边过点P （－4k ，3k ）(k ＜0}，则cos α的值是 （ ）

A ． 3 5

B ． 45

C ．－ 35

D ．－ 45

3．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( )

A ．( π2， 3π4)∪(π， 5π4)

B ．( π4， π2)∪(π， 5π4)

C ．( π2 ， 3π4 )∪(5π4，3π2)

D ．( π4， π2 )∪(3π

4

，π)

4．若sinx= － 35，cosx =4

5

，则角2x 的终边位置在 ( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5．若4π＜α＜6π，且α与－ 2π

3

终边相同，则α= ．

6． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．

7．已知｜tanx ｜=－tanx ，则角x 的集合为 ． 8．如果θ是第三象限角，则cos(sin θ)·sin(sin θ)的符号为什么？ 9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．

B

1．sin600°的值是 （ ）

A ．12

B ．－ 12

C ． 3 2

D ．－ 3 2 2． sin(π4+α)sin （π

4

－α）的化简结果为 （ ）

A ．cos2α

B ．12cos2α

C ．sin2α

D ． 1

2

sin2α