江苏省沭阳县建陵高级中学2016届高三艺术班数学午间小

高三艺术班数学午间小练（177）

1、若122,34z a i z i =+=-，且

1

2

z z 为纯虚数，则实数a = ． 2、设集合}02{},012{2

<-=<-+=x x B x x x A ，则=⋂B A ．

3、某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如右下图所示，若(130,140]分数段的人数为90人，则(90,100]分数段的人数为 ．

4、已知在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 0

40表示的平面区域面积是9，则常数a 的值为_________．

5、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3，现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______．

6、圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了

53

cm ，则这个铁球的表面积为 2

cm .. 7、、若实数x 、y 满足1

14422x

y

x y +++=+，则22x y S =+的最大值是 ．

8、若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，

线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成53：

两段，则此椭圆的离心率为 ． 9．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''

()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，

()()x f x a g x =⋅，

(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()

()

n f n a g n =，则使数列{}n a 的前n 项和n S 超过15/16的最小自然数n 的值为

．

10． 在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，

60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点．（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11； （2）证明：//1F C 平面ABE ；

（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．

A

B

C

E

F P

1

A 1

B 1

C 分数

11. 已知椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>，一条准线:2l x =．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为

直径的圆D 交于,P Q 两点．①若PQ =D 的方程； ②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．

1.解析：

122(2)(34)(38)(46)34(34)(34)25

z a i a i i a a i

z i i i +++-++===

--+为纯虚数，故得83a =． 2. （2,3） 3. 810． 4. 1 5.

1

3

6. 100π

7. 4

8. 解析：根据题意，可得222

3()5()22b

b c c a b c ⎧+=-⎪

⎨⎪=+⎩

，解得5c e a ==

． 9. 解析：∵()()x f x a g x =⋅，且()0g x ≠，∴()()x

f x a

g x =

，从而有

(1)(1)15

(1)(1)2

f f a

g g a -+=+=-， 又''

2

()()()()()0()

x f x g x f x g x a g x -=<，知()()x

f x a

g x =为减函数，于是得12a =，1()2n n a =，由于2341234111115()()()222216a a a a +++=

+++=，故得使数列{}n a 的前n 项和n S 超过15

16

的最小自然数5n =．

10.（1）证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,0

60=∠ACB

∴32=AB ，∴2

22AC BC AB =+，∴BC AB ⊥

由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥

又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥⊂ …………5分 （2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1 在AB FM ABC //中，∆,

而FM ABE ⊄平面，∴直线FM //平面ABE

在矩形11A ACC 中，E 、M 都是中点，∴AE M C //1 而1C M ABE ⊄平面，∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//FMC ABE 面面

故AEB F C 面//1 …………………………10分 （或解：取AB 的中点G ，连结FG ，EG ，证明1//C F EG ，从而得证） （3）取11B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB

且12EH AB ==， 由（1）C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面，

H

G

B

∵P 是BE 的中点，

∴111111111

223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅4分

11. 解：（1

）由题设：2

2

c a a c

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，1a c ⎧⎪∴⎨=⎪⎩2221b a c ∴=-=， ∴椭圆C 的方程为：2

212

x y += ………………………… 4分

（2）①由（1）知：(1,0)F ，设(2,)M t ，

则圆D 的方程：2

2

2(1)()124

t t x y -+-=+， ………………………… 6分

直线PQ 的方程：220x ty +-=， ………………………… 8分

PQ ∴=

∴ ………………………… 10分

24t ∴=，2t ∴=±

∴圆D 的方程：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++= …………… 12分

②解法（一）：设00(,)P x y ，

由①知：22

2000

0(1)()124220

t t x y x ty ⎧-+-=+

⎪⎨⎪+-=⎩，

即：2200000020220x y x ty x ty ⎧+--=⎪

⎨+-=⎪⎩， ………………………… 14分

消去t 得：2200x y +=2

∴点P 在定圆22x y +=2上． ………………………… 16分 解法（二）：设00(,)P x y ， 则直线FP 的斜率为0

01

FP y k x =

-， ∵FP ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为00

1

OM x k y -=-， ∴直线OM 的方程为：00

1

x y x y -=-

，