春季班小学五年级家庭作业试题及答案第六讲

第六讲 约数和倍数
基础班
练习六
1．（第十届迎春杯）甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是l
81.乙数是_____. 分析：由(甲，乙)=7，且甲：乙=8
9，得乙数=7×8=56.
2．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？
分析：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．
3．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。

”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
分析：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。

爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。

由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。

[6，5，4，3，2]=60，爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。

考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。

所以现在小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁）， 爷爷的年龄=10×7=70（岁）。

4． 已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

分析：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。

5．两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．
分析：两数可以为：7、49或者21、35 ；那么差为42、14。

提高班
练习六
1．（第十届迎春杯）甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是l
81.乙数是_____. 分析：由(甲，乙)=7，且甲：乙=8
9，得乙数=7×8=56.
2．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？
分析：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．
3．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。

”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
分析：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。

爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。

由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。

[6，5，4，3，2]=60，爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。

考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。

所以现在小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁）， 爷爷的年龄=10×7=70（岁）。

4．两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．
分析：两数可以为：7、49或者21、35 ；那么差为42、14。

5． 已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

分析：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。

6．已知两个自然数的差是2，它们的最大公约数与最小公倍数的差是142。

求这两个数。

分析：设这两个自然数为ma 、mb ，其中a 与b 互质（不妨设a ≤b ），根据题意有：⎩
⎨⎧=-=-=-=-142)1(2)(ab m m mab a b m ma mb 可知m 是2和142的公约数。

（2，142）=2，所以m =2或1。

当m =2时，
⎩
⎨⎧==-721ab a b 72=8×9，说明a =8、b =9； 当m =1时，
⎩⎨⎧==-143
2ab a b 143=11×13，说明a =11、b =13。

由上可知这两个自然数是8×2=16、9×2=18或者11、13。

精英班
练习六
1．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？
分析：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．
2．两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．
分析：两数可以为：7、49或者21、35 ；那么差为42、14。

3．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。

”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
分析：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。

爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。

由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。

[6，5，4，3，2]=60，爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。

考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。

所以现在小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁）， 爷爷的年龄=10×7=70（岁）。

4．加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?
分析：为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A 、B 、C 个工人,有6A=10B=15C=k,那么k 的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．
5． 已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

分析：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。

6．大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。

由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印。

求圆形花圃的周长。

分析：必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数。

两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数[54，72]＝216cm 。

在216cm 里，两人留下的脚印数分别是：216÷54＝4（个），216÷72＝3（个）,由于两人有一个脚印重合，所以只有4＋3－1＝6（个）脚印。

60÷6＝10，即走完全程共重合10次，因此：花圃周长＝216×10＝2160（cm ）.
7．已知两个自然数的差是2，它们的最大公约数与最小公倍数的差是142。

求这两个数。

分析：设这两个自然数为ma 、mb ，其中a 与b 互质（不妨设a ≤b ），根据题意有：⎩
⎨⎧=-=-=-=-142)1(2)(ab m m mab a b m ma mb 可知m 是2和142的公约数。

（2，142）=2，所以m =2或1。

当m =2时，
⎩⎨⎧==-72
1ab a b 72=8×9，说明a =8、b =9； 当m =1时，
⎩⎨⎧==-143
2ab a b 143=11×13，说明a =11、b =13。

由上可知这两个自然数是8×2=16、9×2=18或者11、13。

竞赛班
练习六
1．（北大附中入学考题）把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？
分析：此题意换句话说，那就是梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人的总数整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求最多的人数，即是18和27的最大公约数9了。

2．（西城区13中入学试题）一次考试，参加的学生中有1/7得优，1/3得良，1/2得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有 人。

分析：7，2，3的最小公倍数为42（小于50人），所以参加的学生总数为42人。

答案为1人。

]
3．两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．
分析：两数可以为：7、49或者21、35 ；那么差为42、14。

4．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。

”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
分析：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。

爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。

由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。

[6，5，4，3，2]=60，爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。

考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。

所以现在小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁），
爷爷的年龄=10×7=70（岁）。

5．加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?
分析：为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．
6．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

分析：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。

7．大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。

由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印。

求圆形花圃的周长。

分析：必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数。

两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数[54，72]＝216cm。

在216cm里，两人留下的脚印数分别是：216÷54＝4（个），216÷72＝3（个）,由于两人有一个脚印重合，所以只有4＋3－1＝6（个）脚印。

60÷6＝10，即走完全程共重合10次，因此：花圃周长＝216×10＝2160（cm）.
8．甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇。

分析：甲，乙走一圈分别需要5分钟和8分钟，因此他们要是在A点再次相遇，两人都要走整圈数，所以所需的时间应是5和8的最小公倍数40分钟。

9．有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?
分析：当公约为33时，两数差为：165-132=33。