2012年湖北高考数学试卷(理科)+答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北A 卷）

数学（理工类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 方程2

+6+13=0x x 的一个根是

A -3+2i

B 3+2i

C -2 + 3i

D 2 + 3i

()()22

2+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2x x x x x i ∴±，所以=-32x i ±，故选A

2. 命题“3

00,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是 A 300,R x C Q x Q ∃∉∈ B 3

00,R x C Q x Q ∃∈∉ C 300,R x C Q x Q ∀∉∈ D 3

00,R x C Q x Q ∀∈∉

存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为3

00,R x C Q x Q ∀∈∉，选D

3. 已知二次函数()=y f x 的图像如图所示 ， 则它与x 轴所围图形的面积为 A.

25π B.43 C.32 D.2

π

由图像可知，二次函数解析式为()2

=1-f x x

设面积为S ，则()()1

1

1

223

-10014=1-=21-=2-=33

S x dx x dx x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

⎰⎰，故选

B

4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.

83π B.3π C. 103

π D.6π

此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，

现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V π，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3π，故选B 5.设a Z ∈，且013a ≤≤，若2012

51

+a 能被13整除，则=a

A.0

B.1

C.11

D.12

()

()2012

2012020121

201120112012

201220122012201251+=52-1+=52-52+

+-52++a a C C C C a ，显然上式除了+1a 外，其余各个因

式都能被13整除，所以2012

51+a 能被13整除，只需=12a ，故选 D

6.设,,,,,a b c x y z 是正数，且222222

++=10,++=40,++=20a b c x y z ax by cz ，则

++=++a b c

x y z

A.

14 B. 13 C.12 D.34

由柯西不等式知(

)()()2

222

222++++++=400a b c x y z ax by cz ≥，而此时()()222222++++=400a b c x y z 恰好满

足取等条件

==a b c x y z

，令===,=,=,=a b c

k a kx b yk c zk x y z 代入到222++=10a b c 中得

()2222211

++=10,=,>0=42

k x y z k k k ∴∴，所以由合比定理得

++1=====++2a b c a b c k x y z x y z ，故选C 7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}

n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①()2=f x x ；②()=2x f x ；③()=

f x x ；④()=ln f x x 。

则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④

令等比数列{}n a 的公比为q ，①()2=f x x ，()()2

2+12+1+12===n n n n n n f a a a q f a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭

是等比数列；②()=2x

f x ，

()()+1+1-+12==22n n n n a a a n a n f a f a 不一定是 常数，不一定是等比数列；③()=f x x ，()

()

+1+1+1

=

=

=n n n n n

n

a f a a q f a a a 是等比数列；④()=ln f x x ，举个特例，令()=2,=ln 2=ln 2=ln 2n n n n n a f a n 是等差数列不是等比数列，从而选C

8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A. 2

1-

π

B.

11-2π C. 2π D.1π

设大圆的半径为2，则小圆半径为1，扇形面积为2

1=2=4

S ππ⨯扇，而阴影部分的面积为

111-2-2-+2-=-224242πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

⎝

⎭

，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率

-22

=

=1-P πππ

，故选A 9.函数()2=cos f x x x 在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7

当=0x 时，()0=0f ，当2

0<4,0<16x x ≤≤，而使余弦为零的角的弧度数为+

,2

k k Z π

π∈，令+

162

k π

π≤

则=0,=1,=2,=3,=4k k k k k 时对应角分别为

3579,

,,,22222

πππππ

均满足条件，当=5k 时，

11>162

π

不满足条件，综上零点个数为6个，故选C

10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3

16

9

d V ≈类似的近似公式。根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是 A. 3

169d V ≈

32d V ≈ 3300157d V ≈ 32111

d V ≈ 由球的体积公式3

4=

3

V R π得3

34V R π3336=4V V d ππD 二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的

位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 （一）必考题（11-14题）

11.设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c.若()()+-++=a b c a b c ab ，则角C=______________。 由

()()+-++=a b c a b c ab

得

()

2

2222+-=+-=-a b c ab a b c ab ⇒，所以

222+-1

cos ==-22

a b c C ab ，=120C ︒

12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________.

=1,=1n s ；=2,=4n s ，当=3n 时，输出=9s

13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249

等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。则

（Ⅰ）4位回文数有______个；