第3章代数模型

ψ 未定
量纲分析法的评注
物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 中包括哪些物理量是至关重要的 基本量纲的选取 基本量纲个数n; 基本量纲个数n; 选哪些基本量纲 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 方法的普适性 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定 函数 和无量纲量未定
是与量纲单位无关的物理定律, 是与量纲单位无关的物理定律,X1,X2, … , Xn 是基本量 纲, n≤m, q1, q2, … , qm 的量纲可表为 ≤
[q j ] = ∏ X i ,
aij i =1
n
j = 1,2,, m
量纲矩阵记作 线性齐次方程组
A = { a ij } n × m ,
若 rank A = r
x = x (t ; r , v , g )
x = x (t ; ε )
ε为无量纲量
1 v ,ε = x = 2 (εx +1) rg x(0) = 0, x(0) =1
2
1)2)3) ) ) ) 的共同点 重要差别
解
x = x (t ; ε )
只含1个参数 只含 个参数——无量纲量ε 个参数 无量纲量 考察无量纲量
不能忽略ε项 忽略ε项
3)
1 v ,ε = x = 2 (εx +1) rg x(0) = 0, x(0) =1
2
= 1, x x(0) = 0, x(0) = 1
t x (t ) = + t 2
2
x t 2 x = ,t = t xc tc x(t ) = + t
2
xc = v / g, tc = v / g
x v g 0 m2 r
m1 m 2 m1 = k x 2 2 ( x + r ) km2 = r g
= g ( x = 0) x
r g = x 2 (x + r) x (0) = 0, x (0) = v
2
x = x ( t ; r , v , g ) ——3个独立参数 个独立参数
用无量纲化方法减少独立参数个数
f1 l1 3 = ( ) f l
3.1.3 无量纲化
例:火箭发射
星球表面竖直发射.初速 星球表面竖直发射.初速v, 星球半 表面重力加速度g 径r, 表面重力加速度 研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律 t=0 时 x=0, 火箭质量 1, 星球质量 2 火箭质量m 星球质量m 牛顿第二定律, 牛顿第二定律,万有引力定律 m1
动力学中 基本量纲 L, M, T 导出量纲
对无量纲量α,[α]=1(=L0M0T0)
m1m2 f =k 2 r
量纲齐次原则
例:单摆运动
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 量纲分析 利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
p= f(x,y,z)的形式为 的形式为
f ( x, y , z ) = λx y z
α β
γ
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
f (t , m , l , g ) = 0
[t ] = L0 M 0T 1 [ m ] = L0 M 1T 0 1 0 0 [l ] = L M T [ g ] = L1 M 0T 2
x = x (t ; ε )
ε为无量纲量
2)令 x c = r , t c =
r/g
x = x (t ; r , v , g )
x = x (t ; ε )
ε为无量纲量
3)令 xc = v / g , t c = v / g
2
1 x = ( x + 1) 2 x (0 ) = 0 2 (0 ) = ε , ε = v x rg
1 0 2 y4 0 0
0
L
y
y3 + y4
M T
y2
y1 2 y4
=LM T
0 0
0
基本解
= ( y1, y2 , y3 , y4 ) = (2, 0, 1, 1)
T
T
t l g = π F (π ) = 0
2 1
(t = λ l / g )
Pi定理 (Buckingham) 定理
设 f(q1, q2, …, qm) = 0
′ ′ f1 = l13g1ρ1ψ (π1,π 2 )
f , s,l,v, ρ , g
~模型船的参数 均已知 模型船的参数(均已知 模型船的参数 均已知) 注意: 注意:二者的ψ相同
f 1 , s 1 , l1 , v 1 , ρ 1 , g 1
f = l gρψ (π1,π 2 )
3
′ ′ f1 = l13g1ρ1ψ (π1,π 2 ) v1 s1 ′ π1′ = , π2 = 2 l1 g1l1
v s π1 = , π2 = 2 l gl
g = g1
3 1 3
π 1 = π 1′,
v1 2 l1 ( ) = v l
′ π2 =π2
s1 l1 2 = ( ) s l
f1 l ρ1 = f l ρ
( ρ = ρ1 )
按一定尺寸比例造模型船, 按一定尺寸比例造模型船, 量测 f,可算出 f1 ~ 物理模拟 ,
3.1.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力 已知模 型船所 π = v , π = s 1 2 2 受阻力 l gl
f = l gρψ (π1,π 2 )
3
可得原 型船所 π ′ = v1 , π ′ = s1 1 2 2 受阻力 l1 g1l1 ~原型船的参数 原型船的参数 (f1未知,其他已知 未知,其他已知)
2
1 2 x(t) = gt +vt 2
—无量纲变量 无量纲变量
xc = r, tc = r / v
x, t
利用新变量 x , t , x = x ( t ; r , v , g ) 将被简化
xc, tc的不同构造
x t x = ,t = xc tc
x = x(t; r , v, g ) 的不同简化结果 1)令 xc = r , t c = r / v x = x / r, t = vt / r
rg = 6370×103 × 9.8 = 8000(m / s)
ห้องสมุดไป่ตู้
v ε = rg
2
>> v
ε << 1
为因子的项? 在1)2)3)中能否忽略以ε为因子的项? ) ) ) 2 1 1 v 忽略ε项 = 0, 2 ,ε = ( x + 1) εx = 2 1) (x +1) rg x (0) = 0, x (0) = 1
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解 个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T
( g , l , ρ , v, s, f ) = 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解 个基本解
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 = ( 1/ 2,1/ 2,0, 1, 0, 0) T y2 = ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y = ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
π s = ∏qj
j =1
m
ysj
为得到阻力 f 的显式表达式
π = g l v 1 2 π 2 = l s π = g 1l 3 ρ 1 f 3 π 3 = ψ (π1,π 2 ) F=0
1 2 1 2
f = l gρψ(π1,π2 ),
3
v s π1 = , π2 = 2 l gl
t = λm l g
α1 α 2
α1 α2
1
α3
(1)
l m
α1, α2, α3 为待定系数,λ为无量纲量 为待定系数,
(1)的量纲表达式 的量纲表达式
[t ] = [ m ] [l ] [ g ] 2α α α +α T =M L T
α3
3 2
3
mg 对比
α1 = 0 α 2 + α3 = 0 2α = 1 3
y3 + y 4 = 0 y2 = 0 y 2y = 0 4 1
t m l g =π
y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数 π为无量纲量 为待定常数,
( L0 M 0T 1 ) y ( L0 M 1T 0 ) y ( L1 M 0T 0 ) y
1 2
3
(L M T ) = L M T
T
πs = ∏qj
j=1
m
ysj
π = g l v 1 π 2 = l 2 s π = g 1l 3 ρ 1 f 3
1 2 1 2
F(π1, π2 ,π3 ) = 0与 与 (g,l,ρ,v,s,f) = 0 等价 F(π 1, π2,…, πm-r ) = 0 与 f (q1, q2, …, qm) =0 等价
′ p1 = f (ax1, by1, cz1), p′ = f (ax2 , by2 , cz2 ) 2
f ( x1 , y1 , z1 ) f (ax1 , by1 , cz1 ) = f ( x2 , y2 , z2 ) f (ax2 , by2 , cz2 )
p1 p1′ = ′ p2 p2
个基本解, Ay = 0 有 m-r 个基本解,记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则
π s = ∏q j
j =1
m
ysj
个相互独立的无量纲量, 为m-r 个相互独立的无量纲量 且
F(π 1, π2,…, πm-r ) = 0 与 f (q1, q2, …, qm) =0 等价 F未定 等价, 未定
α1 = 0 α 2 = 1/ 2 α = 1/ 2 3
l t =λ g
l t = 2π g
t = λm l g
α1 α 2
α3
为什么假设这种形式
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 的量纲单 位缩小a,b,c倍 位缩小a,b,c倍
的两组测量值x 对 x,y,z的两组测量值 1,y1,z1 和x2,y2,z2, 的两组测量值 p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
dx x=v = vx dt 2 2 2 v d x v = x = x 2 r dt r
r g = x (x + r)2 x (0) = 0, x (0) = v
2
1 v ,ε = εx = 2 rg ( x + 1) x (0) = 0, x (0) = 1
2
x = x (t ; r , v , g )
x(0) = 0, x(0) = 1
x 无解
不能忽略ε项
1 x = ( x + 1) 2 2) x ( 0 ) = 0 v2 x (0 ) = ε , ε = rg
忽略ε项 = x
1 , 2 ( x + 1) x (0) = 0, x (0) = 0
x (t ) < 0 → x (t ) < 0
量纲分析示例: 量纲分析示例:波浪对航船的阻力 航船阻力 f 航船速度v, 船体尺寸l, 航船速度 船体尺寸 浸没面积 s, 重力加速度g 海水密度ρ, 重力加速度 .
f (q1 , q2 , , qm ) = 0
( g , l , ρ , v, s, f ) = 0
[g] = LT-2, [l] = L, [ρ] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
第3章 代数模型
3.1 量纲分析与无量纲化
3.1.1 量纲齐次原则 物 理 量 的 量 纲
长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m] 的量纲记 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 参数r,v,g的组合,分别 的组合, 用参数 的组合 构造与x,t具有相同 具有相同量纲 构造与 具有相同量纲 特征尺度) 的xc, tc (特征尺度) 如 令
x t x = ,t = xc tc
1 A= 0 2 (g) 1 3 1 2 1 (L) 0 1 0 0 1 (M) 0 0 1 0 2 (T) (l) (ρ) (v) (s) ( f )
[q j ] = ∏ X i ,
aij i =1
n
j = 1,2,, m
A = { a ij } n × m
m=6, n=3
f (q1 , q2 , , qm ) = 0