《数学史》宋元数学
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创造出许多具有世界历史意义的成就
数学家辈出： 宋元四大家：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。
数学著作涌现
3.3 宋元数学
整个宋元时期(公元960—1368)，重新统一了的
中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化．
这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如
通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世
南宋数学家秦九韶
秦九韶（1208年－1261年）南宋官员 、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称 宋元数学四大家。字道古，汉族，自称 鲁郡（今山东曲阜）人，生于普州安岳 （今属四川）。精研星象、音律、算术 、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知 府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所， 著作《数书九章》，其中的大衍求一术 、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界 意义的重要贡献。
第三位(三廉)
1 1+2＝3 3+3＝6 6+4＝10 10+5=15
第四位(四廉)
l 1+1＝2 2+1=3 3+1＝4 4+1＝5 5+1＝6 第五位(下廉)
11
1
1
1
1
隅算
就是说将隅算1自下而上增入前位，直到首位为止，就得第一位 数字(上廉)；求其他各位数字，自下而上重复刚才的程序，每次 低一位为止，这是一种随乘随加的过程，所以叫“增乘法”．贾 宪发现，这种增乘法不仅可以用来求“开方作法本源”图中的各 廉，而且可以被推广用来直接开方，这就是增乘开方法．
n 1 为偶数，cn1 就是所求的k i ．不论哪种情形，最后一步都
出现余数1，整个计算到此终止，秦九韶因此把他的方法叫做
“求一术”(至于“大衍”的意义，秦九韶在《数书九章》序
中把它和《周易》“大衍之数”相附会)．
可以证明，秦九韶的算法是完全正确且十分严密的．当然， 秦九韶本人并没有给出这样的证明．到18、19世纪，欧拉(1743) 和高斯(1801)分别对一次同余组进行了详细研究，重新独立地获 得与秦九韶“大衍求一术”相同的定理，并对模数两两互素的情 形作出了严格证明．1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的方法 与高斯算法是一致的，因此关于一次同余组求解的剩余定理常常 被称为“中国剩余定理”．
a3 x2
a4
，
其中系数 a0 , a1, a2 , a3 , a4 由下列增乘程序来确定：
即得到减根变换后的方程为
10 4 x24 12 10 4 x23 54 10 4 x22 108 10 4 x2 526336
④ 令 x2 10 1 x3 ，方程变换为
x34 120 x33 5400 x32 108000 x3 526336
秦九韶的成就也代表了中世纪世界数学发展的主流与 最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。
评价：
秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的 数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九 章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后 世数学发展产生了广泛的影响。
⑤ 议得次商(第二次商)为4 ⑥ 令 x3 4 x4 ，重复以上增乘程序：
由于常数项 (实)恰好被减尽，整个计算到此为止，我们 得到原开方式的精确根=34，若常数项仍不为零，还可以继 续重复增乘程序来求小数后的各位数字。
贾宪增乘开方法，是一个非常有效的和高度机械化的算 法，可适用于开任意高次方．这种随乘随加、能反复迭代计 算减根变换方程各项系数的方法，与现代通用的“霍纳算 法”(1819)已基本一致．而与此方法相联系的“贾宪三角”， 在西方文献中则称“帕斯卡三角”(1654)．
相当于一次同余方程组
x 0mod 300 180mod 240 60mod 180
其中180，60分别是乙，丙最后一日行路数 240 18 ,180 8
24
24
所求最小距离为 x 40500 168000 208500 3300 mod 3600
开方作法本源图(如图，采自
《永乐大典》)现称“贾宪三角”或
“杨辉三角”，它实际上是一张二
项系数表(x， a即)n (n 0,1,2, ,6)
展开
的各项系数，贾宪将左右斜线上的
数字1分别称为“积数”和“隅算”，
将这两行斜线数字中藏的数字称为
“廉”，开几次方，就用相应行的
廉；第三行为“二”是开平方的廉；
清代著名数学家陆心源（1834－1894）称赞说：“秦九韶能于 举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。”
德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价 了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的 天才”。
美国著名科学史家萨顿(G·Sarton，1884－1956)说过，秦九 韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大 的数学家之一”。
秦九韶把 a i叫“定数”g，i 叫“奇数”，他的大衍求一术，实
际上相当于把奇g i 数 ai 与定数
辗转相除，q1相, q2继,得, q商n 数
和余数r1, r2 , , rn ，在辗转相除时随即算出下表右边的c值：
秦九韶指出，当 rn 1 而 n 是偶数时，最后得到 cn 的就是所求 乘率 k i ；如果 rn 1而 n 是奇数，则将rn1 与 rn 相除，形式上令 qn1 rn1 1, 那么余数 rn1 仍是1，再作 cn1 qn1cn cn1, 这时
成就：
《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，概括 了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古 代数学的高峰。当它还是抄本时就先后被收入《永乐 大典》和《四库全书》。1842年第一次印刷后即在民 间广泛流传。
秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影 响着中国数学的研究方向。焦循、李锐、张敦仁、骆 腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的著述都是在《数书 九章》的直接或间接影响下完成的。
秦九韶著《数术大略》即(《数学九章》)作术而不言具体数字更 是师法贾宪，可见其方法论的生命力。
当然，这些数学思想方法也并非贾宪独创，也是历代数学著述、
研究、积累的结果，而贾宪又将其提炼和传承。
(二)秦九韶“正负开方术”
在高次方程数值求解领域的集大成者，是南宋数学家秦九 韶．秦九韶(约公元1202—1261)在他的代表著作《数书九章》 中，将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形。他将自己的 方法称为“正负开方术．正负开方术是求高次代数方程的完整 算法．
3.3.2 中国剩余定理
秦九韶《数书九章》卷一“大衍总数术”，明确地、系统 地叙述了求解一次同余方程组的一般方法．所谓“大衍总数术 ”，可以用现代符号来解释如下：
设有一次同余组
N Ri (mod ai ), i 1,2, , n.
假如诸模数 ai两两互素，那么只要求出一组数 k，i 满足：
ki
M ai
1(mod ai ), i 1,2,
, n,
就可以得到适合已给一次同余组的最小正数解为
n
N (
i 1
Ri ki
M ai
)
pM ,
其中 p为整数，M a1 a2 an .
“大衍总数术”中的关键部分，就是关于数组ki (i 1,2,…,n) 的计算方法．秦九韶称这些数 ki 为“乘率”，并把自己发 现的求乘率的方法称为“大衍求一术”．
先列出
a0 x n a1 x n1 an1 x an 0
形式的方程，其中方程系数除了常数项 a n 外都可正可负，常数 项则规定总为负，即“实常为负”．解方程的方法也是在取得 试商x 后通过减根变换x x h 将方程变形为新方程
a0' x n
a1' x n1
以任一乘率 ki 为例。令 先用 ai 除 Gi ，求得余数 gi
Gi
ai
M ,
，ai
若 Gi 那么
ai , 秦九韶首
Gi gi (mod ai ),
于是
kiGi ki gi (mod ai ),
但因 kiGi 1(mod ai )，故问题归结为求ki , 使适合
kiGi 1(mod ai ).
秦九韶，字道古，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江 苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，不久死于任 所．他早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”。 他潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，于 1247年写成世 界数学名著《数书九章》．《数书九章》全书18卷，81题， 分九大类(大衍，天时，田域，测望，赋役，钱谷，营建， 军旅，市易)．其中最重要的成就，除了“正负开方术”外， 还有“大衍总数术”，即一次同余式的一般解法．这两项贡 献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。
an' 1
x
aห้องสมุดไป่ตู้
' n
0
秦九韶“正负开方术”给出了一个机械化的迭代程序来计算新
方程的系a数0' , a1' ,
,
a
' n
，这一程序与贾宪增乘程序的主要区
别在于：后者在以试商由下而上累乘累加的最后，要将所得结
果从常数项中减去；而秦九韶的程序由于规定了“实常为负”，
整个运算便统一为加法，彻底实现了机械化的随乘随加．
杰等，在世界数学史上占有光辉的地位。
3.3.1 从“贾宪三角”到“正负开方”术
(一)贾宪三角与增乘开方法
贾宪是北宋人，约公元1050年完成一部叫《黄帝九章算术 细草》的著作，原书丢失，但其主要内容被南宋数学家杨辉著 《详解九章算法》(1261)摘录，因能传世。根据杨辉的摘录， 贾宪的高次开方法是以一张称为“开方作法本源”的图为基础。
下面用杨辉《详解九章算法》中记载的一道例题来说明这种 方法．该题相当于求
x4 1336336 的正根。贾宪的算法相当于以下程序：
① 令 x 10x1 ，方程变换为 10 4 x14 1336336
② 议得首商为3
③
令
x1
3
x
2，设方程变换为：
a0
x
4 2
a1 x23
a2 x22
数学史讲义
第三章 中世纪的中国数学
复习：
1、《周髀算经》与《九章算术》； 2、从刘徽到祖冲之； 3、祖冲之与祖暅； 4、《算经十书》 。
中世纪的中国数学
从公元前后至公元14世纪，中国数学先后经历了三 次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时 期，其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。
以《孙子算经》的“孙子问题”为例 “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩
二，问物几何？”
如，杨辉对孙子问题的推广 七除余一，八除余二，九除余二，问此数几何？
程行计地 “问：军师获捷，当早点差急足三名，往都下节节走报。其甲于
前数日申末到。乙后数日午正到。丙于今日辰末到。据供：甲日 行三百里，乙日行二百四十里，丙日行一百八十里。问：自军前 至都里数及三人各行日数几何？” 答数：前线到京城3300里，甲行11日，乙行13日4.5时辰，丙行 18日2时辰。
第四行三、“三”是开三次方的廉；
第五行“四、六、四”是开四次方
的廉，等等，“积”、“隅”、
“廉”都是沿用中国古代开方术语。
他在“增乘方求廉法草”中给出的求贾宪三角第七行各 数的方法相当于如下程序：
1 1+5=6
第一位(上廉)
1 1+4＝5 5+10＝15
第二位(二廉)
1 1+3＝4 4+6＝10 10+10＝20
秦九韶与《数书九章》
《数书九章》分18卷，约27万字，分九章：大衍类，天时类，田 域类，测望类，赋役类，钱谷类，营建类，军旅类，市物类。
全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类。题文也不只谈 数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经 济生活的重要参考文献。《数书九章》在数学内容上颇多创新。
贾宪数学思想的影响
贾宪对于《九章算术》中提出的问题，抽象分析，揭示数学本质 ；借助程序化，讲解方法的原理；提纲挈领，梳理知识脉络；注 重知识系统化，避免产生悖论。这些思想方法对宋元数学家有很 深的影响。
杨辉著《详解九章算法》借鉴了贾宪的抽象和探索成果，对《九 章》各题重新纂类。
朱世杰著《四元玉鉴》也用到这些思想方法，成就了我过古代数 学史上的巅峰之作。
毁誉参半
对于秦九韶究竟是何等样人，除了“伟大的数学家” 之外，通常就讳莫如深了。用现代的眼光看，秦九韶 可能是中国历史上少见的奇人之一 。
数学家辈出： 宋元四大家：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。
数学著作涌现
3.3 宋元数学
整个宋元时期(公元960—1368)，重新统一了的
中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化．
这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如
通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世
南宋数学家秦九韶
秦九韶（1208年－1261年）南宋官员 、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称 宋元数学四大家。字道古，汉族，自称 鲁郡（今山东曲阜）人，生于普州安岳 （今属四川）。精研星象、音律、算术 、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知 府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所， 著作《数书九章》，其中的大衍求一术 、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界 意义的重要贡献。
第三位(三廉)
1 1+2＝3 3+3＝6 6+4＝10 10+5=15
第四位(四廉)
l 1+1＝2 2+1=3 3+1＝4 4+1＝5 5+1＝6 第五位(下廉)
11
1
1
1
1
隅算
就是说将隅算1自下而上增入前位，直到首位为止，就得第一位 数字(上廉)；求其他各位数字，自下而上重复刚才的程序，每次 低一位为止，这是一种随乘随加的过程，所以叫“增乘法”．贾 宪发现，这种增乘法不仅可以用来求“开方作法本源”图中的各 廉，而且可以被推广用来直接开方，这就是增乘开方法．
n 1 为偶数，cn1 就是所求的k i ．不论哪种情形，最后一步都
出现余数1，整个计算到此终止，秦九韶因此把他的方法叫做
“求一术”(至于“大衍”的意义，秦九韶在《数书九章》序
中把它和《周易》“大衍之数”相附会)．
可以证明，秦九韶的算法是完全正确且十分严密的．当然， 秦九韶本人并没有给出这样的证明．到18、19世纪，欧拉(1743) 和高斯(1801)分别对一次同余组进行了详细研究，重新独立地获 得与秦九韶“大衍求一术”相同的定理，并对模数两两互素的情 形作出了严格证明．1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的方法 与高斯算法是一致的，因此关于一次同余组求解的剩余定理常常 被称为“中国剩余定理”．
a3 x2
a4
，
其中系数 a0 , a1, a2 , a3 , a4 由下列增乘程序来确定：
即得到减根变换后的方程为
10 4 x24 12 10 4 x23 54 10 4 x22 108 10 4 x2 526336
④ 令 x2 10 1 x3 ，方程变换为
x34 120 x33 5400 x32 108000 x3 526336
秦九韶的成就也代表了中世纪世界数学发展的主流与 最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。
评价：
秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的 数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九 章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后 世数学发展产生了广泛的影响。
⑤ 议得次商(第二次商)为4 ⑥ 令 x3 4 x4 ，重复以上增乘程序：
由于常数项 (实)恰好被减尽，整个计算到此为止，我们 得到原开方式的精确根=34，若常数项仍不为零，还可以继 续重复增乘程序来求小数后的各位数字。
贾宪增乘开方法，是一个非常有效的和高度机械化的算 法，可适用于开任意高次方．这种随乘随加、能反复迭代计 算减根变换方程各项系数的方法，与现代通用的“霍纳算 法”(1819)已基本一致．而与此方法相联系的“贾宪三角”， 在西方文献中则称“帕斯卡三角”(1654)．
相当于一次同余方程组
x 0mod 300 180mod 240 60mod 180
其中180，60分别是乙，丙最后一日行路数 240 18 ,180 8
24
24
所求最小距离为 x 40500 168000 208500 3300 mod 3600
开方作法本源图(如图，采自
《永乐大典》)现称“贾宪三角”或
“杨辉三角”，它实际上是一张二
项系数表(x， a即)n (n 0,1,2, ,6)
展开
的各项系数，贾宪将左右斜线上的
数字1分别称为“积数”和“隅算”，
将这两行斜线数字中藏的数字称为
“廉”，开几次方，就用相应行的
廉；第三行为“二”是开平方的廉；
清代著名数学家陆心源（1834－1894）称赞说：“秦九韶能于 举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。”
德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价 了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的 天才”。
美国著名科学史家萨顿(G·Sarton，1884－1956)说过，秦九 韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大 的数学家之一”。
秦九韶把 a i叫“定数”g，i 叫“奇数”，他的大衍求一术，实
际上相当于把奇g i 数 ai 与定数
辗转相除，q1相, q2继,得, q商n 数
和余数r1, r2 , , rn ，在辗转相除时随即算出下表右边的c值：
秦九韶指出，当 rn 1 而 n 是偶数时，最后得到 cn 的就是所求 乘率 k i ；如果 rn 1而 n 是奇数，则将rn1 与 rn 相除，形式上令 qn1 rn1 1, 那么余数 rn1 仍是1，再作 cn1 qn1cn cn1, 这时
成就：
《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，概括 了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古 代数学的高峰。当它还是抄本时就先后被收入《永乐 大典》和《四库全书》。1842年第一次印刷后即在民 间广泛流传。
秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影 响着中国数学的研究方向。焦循、李锐、张敦仁、骆 腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的著述都是在《数书 九章》的直接或间接影响下完成的。
秦九韶著《数术大略》即(《数学九章》)作术而不言具体数字更 是师法贾宪，可见其方法论的生命力。
当然，这些数学思想方法也并非贾宪独创，也是历代数学著述、
研究、积累的结果，而贾宪又将其提炼和传承。
(二)秦九韶“正负开方术”
在高次方程数值求解领域的集大成者，是南宋数学家秦九 韶．秦九韶(约公元1202—1261)在他的代表著作《数书九章》 中，将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形。他将自己的 方法称为“正负开方术．正负开方术是求高次代数方程的完整 算法．
3.3.2 中国剩余定理
秦九韶《数书九章》卷一“大衍总数术”，明确地、系统 地叙述了求解一次同余方程组的一般方法．所谓“大衍总数术 ”，可以用现代符号来解释如下：
设有一次同余组
N Ri (mod ai ), i 1,2, , n.
假如诸模数 ai两两互素，那么只要求出一组数 k，i 满足：
ki
M ai
1(mod ai ), i 1,2,
, n,
就可以得到适合已给一次同余组的最小正数解为
n
N (
i 1
Ri ki
M ai
)
pM ,
其中 p为整数，M a1 a2 an .
“大衍总数术”中的关键部分，就是关于数组ki (i 1,2,…,n) 的计算方法．秦九韶称这些数 ki 为“乘率”，并把自己发 现的求乘率的方法称为“大衍求一术”．
先列出
a0 x n a1 x n1 an1 x an 0
形式的方程，其中方程系数除了常数项 a n 外都可正可负，常数 项则规定总为负，即“实常为负”．解方程的方法也是在取得 试商x 后通过减根变换x x h 将方程变形为新方程
a0' x n
a1' x n1
以任一乘率 ki 为例。令 先用 ai 除 Gi ，求得余数 gi
Gi
ai
M ,
，ai
若 Gi 那么
ai , 秦九韶首
Gi gi (mod ai ),
于是
kiGi ki gi (mod ai ),
但因 kiGi 1(mod ai )，故问题归结为求ki , 使适合
kiGi 1(mod ai ).
秦九韶，字道古，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江 苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，不久死于任 所．他早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”。 他潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，于 1247年写成世 界数学名著《数书九章》．《数书九章》全书18卷，81题， 分九大类(大衍，天时，田域，测望，赋役，钱谷，营建， 军旅，市易)．其中最重要的成就，除了“正负开方术”外， 还有“大衍总数术”，即一次同余式的一般解法．这两项贡 献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。
an' 1
x
aห้องสมุดไป่ตู้
' n
0
秦九韶“正负开方术”给出了一个机械化的迭代程序来计算新
方程的系a数0' , a1' ,
,
a
' n
，这一程序与贾宪增乘程序的主要区
别在于：后者在以试商由下而上累乘累加的最后，要将所得结
果从常数项中减去；而秦九韶的程序由于规定了“实常为负”，
整个运算便统一为加法，彻底实现了机械化的随乘随加．
杰等，在世界数学史上占有光辉的地位。
3.3.1 从“贾宪三角”到“正负开方”术
(一)贾宪三角与增乘开方法
贾宪是北宋人，约公元1050年完成一部叫《黄帝九章算术 细草》的著作，原书丢失，但其主要内容被南宋数学家杨辉著 《详解九章算法》(1261)摘录，因能传世。根据杨辉的摘录， 贾宪的高次开方法是以一张称为“开方作法本源”的图为基础。
下面用杨辉《详解九章算法》中记载的一道例题来说明这种 方法．该题相当于求
x4 1336336 的正根。贾宪的算法相当于以下程序：
① 令 x 10x1 ，方程变换为 10 4 x14 1336336
② 议得首商为3
③
令
x1
3
x
2，设方程变换为：
a0
x
4 2
a1 x23
a2 x22
数学史讲义
第三章 中世纪的中国数学
复习：
1、《周髀算经》与《九章算术》； 2、从刘徽到祖冲之； 3、祖冲之与祖暅； 4、《算经十书》 。
中世纪的中国数学
从公元前后至公元14世纪，中国数学先后经历了三 次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时 期，其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。
以《孙子算经》的“孙子问题”为例 “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩
二，问物几何？”
如，杨辉对孙子问题的推广 七除余一，八除余二，九除余二，问此数几何？
程行计地 “问：军师获捷，当早点差急足三名，往都下节节走报。其甲于
前数日申末到。乙后数日午正到。丙于今日辰末到。据供：甲日 行三百里，乙日行二百四十里，丙日行一百八十里。问：自军前 至都里数及三人各行日数几何？” 答数：前线到京城3300里，甲行11日，乙行13日4.5时辰，丙行 18日2时辰。
第四行三、“三”是开三次方的廉；
第五行“四、六、四”是开四次方
的廉，等等，“积”、“隅”、
“廉”都是沿用中国古代开方术语。
他在“增乘方求廉法草”中给出的求贾宪三角第七行各 数的方法相当于如下程序：
1 1+5=6
第一位(上廉)
1 1+4＝5 5+10＝15
第二位(二廉)
1 1+3＝4 4+6＝10 10+10＝20
秦九韶与《数书九章》
《数书九章》分18卷，约27万字，分九章：大衍类，天时类，田 域类，测望类，赋役类，钱谷类，营建类，军旅类，市物类。
全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类。题文也不只谈 数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经 济生活的重要参考文献。《数书九章》在数学内容上颇多创新。
贾宪数学思想的影响
贾宪对于《九章算术》中提出的问题，抽象分析，揭示数学本质 ；借助程序化，讲解方法的原理；提纲挈领，梳理知识脉络；注 重知识系统化，避免产生悖论。这些思想方法对宋元数学家有很 深的影响。
杨辉著《详解九章算法》借鉴了贾宪的抽象和探索成果，对《九 章》各题重新纂类。
朱世杰著《四元玉鉴》也用到这些思想方法，成就了我过古代数 学史上的巅峰之作。
毁誉参半
对于秦九韶究竟是何等样人，除了“伟大的数学家” 之外，通常就讳莫如深了。用现代的眼光看，秦九韶 可能是中国历史上少见的奇人之一 。