2012年西部数学奥林匹克

2012中国西部数学邀请赛
内蒙古呼和浩特
（9月28、29日）
第一天
1.求最小的正整数m ，使得对于任意大于3的质数p ，都有2105|(929)p p m −+．
2.证明：在正21(3)n n −≥边形的顶点中，任意取出n 个点，其中必有三个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形．
3.设E 是一个给定的n 元集合，12,,,k A A A ⋯是E 的k 个两两不同的非空子集，满足：对于任意的1i j k ≤<≤，要么i j A A =∅∩，要么i A 与j A 中的一个是另一个的子集．求k 的最大值．
4.已知点P 为锐角ABC △内部任意一点，点E F 、分别为P 在边AC AB 、上的射影．BP CP 、的延长线分别与ABC △的外接圆交于点11B C 、，设ABC △的外接圆、内切圆的半径分别为R r 、．证明：11,EF r B C R
≥并确定等号成立时点P 的位置．第二天
5.在锐角ABC △中，H 为垂心，O 为外心（A H O 、、三点不共线），点D 是A 在边BC 上的射影，线段AO 的中垂线与直线BC 交于点E ．证明：线段OH 的中点在ADE △的外接圆上．
6.设数列{}n a 满足：()20+11=,=+=0,1,22012
n n n a a a a n ⋯，求整数k ，使得+1<1<k k a a ．7.对一张×n n 的方格表，称有公共边的方格是相邻的．开始时，每个方格中都写着+1，对方格表进行一次操作是指：任取其中一个方格，不改变这个方格中的数，而将所有与这个方格相邻的方格中的数都改变符号．求所有的正整数2n ≥，使得可以经过有限次操作，将所有方格中的数都变为1－．
8.求所有的质数p ，使得存在无穷多个正整数n ，满足()()+1|++1n n p n n ．。