关于弹性力学半无限问题的注记
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
关于弹性力学半无限问题的注记
2 判断依据
参考文献[1－3]，对弹性力学中的半无限问题 进行研究分析时，采用如下两个判断依据： ①平面应变问题是空间问题的特殊情况；平面 应变问题微分方程可由空间问题的微分方程导出。 ②“在水平表面作用无限均布压力下的半空间 体问题”的最合理解答为
。由于问题的复杂性，这些经典弹性问题
解答的精确性难以确定。本文根据两个合理的判断 依据，对荷载作用下的半无限平面应变问题和半空 间体问题的解答进行了比较分析，发现荷载作用下 的半无限平面应变问题和半空间体问题解答之间的 关系，并由此关系分析当中存在的问题与疑点，指
σ x = −2µ q, σ y = −q, σ z = − q, τ xy = τ yz = τ zx = 0
（5） （5）在法向荷载作用下，由半空间体 A 的布希 涅斯克圆柱坐标解答按文献[1]P300～305 的方式进 行分析，得到半空间体 C 的应力解答为
σx = −
(1 + 2 µ )q (1 + 2 µ )q ⎫ , σy = − , ⎪ 2 2 ⎬ ⎪ σ z = −q, τ xy = τ yz = τ zx = 0 ⎭
摘
要：根据两个合理的判断依据，对弹性力学中的楔形体、半平面体、圆锥体和半空间体等经典解答进行了比较分析，发
现了半无限平面应变问题和半空间体问题解答之间的关系；通过对解答之间的关系进行研究分析指出，弹性力学中的半无限 平面体的符拉芒解答和半空间体的布希涅斯克解答存在局限性。对半无限地基、底部完全位移约束的有限深地基和底部光滑 刚性支承的有限深地基在水平表面作用无限均布压力时的应力和位移分量进行了比较分析， 认为底部完全位移约束的有限深 地基模型较其他两种地基模型更合理些。 关 键 词：半无限平面应变体；半空间体；判断依据；关系；解答局限性；有限深地基 文献标识码：A 中图分类号：O 434
《弹性力学》试题参考答案(参考题)
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
第十章 弹性力学专题问题
第十章弹性力学专题问题布西内斯克问题赫兹接触热应力弹性波•柱坐标问题•——基本方程•球坐标问题•——基本方程目录§10.1 布西内斯克问题§10.2 赫兹接触§10.3 热应力§10.4 弹性波§10.1布西内斯克(Boussinesq)问题半无限平面作用法向集中力——布西内斯克问题应力和位移)]1(2[π2)1(])21([π2)1(222v Rz ER F v w zR v R z ER F v u -++=+--+=ρρρ52532322π23π23][π2)21(])21(3[π2R z F RFz zR R R z R F v zR R v R z R F rz z ρτσσρσθρ-=-=+--=+-+-=ρE F v w z π)1(|20-==表面沉陷半无限平面作用法向分布载荷布西内斯克问题的推广载荷作用区下位移外部沉陷内部沉陷§10.2赫兹接触问题赫兹（hertz, H.R ）1881年研究弹性球体的接触问题弹性接触对于球体是局部区域ρ<<R 1，R 1采用布西内斯克解分析局部变形接触压力是ρ的函数q (ρ)与接触区域半球面的纵坐标成正比ψρρ222max sin )(-=a a q q)sin (2πd )(222m ax ψρρ-=⎰a a q s q aa q s q 4)2(πd d )(22max 2ρψρ-=⎰⎰2π)11(m ax 222121aq E v E v -+-=δq v v π)11(max 22221ρβ-+-=2m ax π23aF q =ψρ222sin 2-=a s s 长度mn mn 中点压力q (ρ)回代可得最大接触压力32221212121)11()(43E E R R R FR a νν-+-+=322212122213221max )11(π)(6E E R R R R F q νν-+-+=接触区域半径最大接触压力如3.0,2111====ννE E E 3222212max )(6388.0R R R R FE q +=321221)(11.1R R E R FR a +=3212212)(23.1R R E R R F +=δ§10.3热应力•热应力——环境温度变化导致弹性体膨胀和收缩，因此产生的应力。
(完整版)《弹性力学》试题参考答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， 的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于M dxdy D=⎰⎰2ϕ杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准ϕ点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： ，。
0,=+i j ij X σ)(21,,i j j i ij u u +=ε二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。
ϕ题二（2）图（a ） （b ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x ⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量。
S∆题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为。
由得，l ∆q E)1(1με-=)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l 设板在力P 作用下的面积改变为，由功的互等定理有：S ∆lP S q ∆⋅=∆⋅将代入得：l ∆221b a P ES +-=∆μ显然，与板的形状无关，仅与E 、、l 有关。
高中物理弹性力问题详解
高中物理弹性力问题详解弹性力是高中物理中一个重要的概念，涉及到弹簧、弹力系数等内容。
在解决弹性力问题时，我们需要理解弹性力的定义、计算方法以及应用，以便能够熟练地解决各种相关题目。
一、弹性力的定义和计算方法弹性力是指物体在受到形变时产生的恢复力。
根据胡克定律，弹性力与形变之间成正比。
胡克定律的数学表达式为F = -kx，其中F表示弹性力，k表示弹簧的弹力系数，x表示形变量。
举个例子来说明弹性力的计算方法。
假设有一根弹簧，其弹力系数为k = 10N/m，当受到一个形变量为x = 0.2 m的力时，求弹簧的弹性力。
根据胡克定律，弹性力可以通过F = -kx计算得出，代入k和x的值，可得F = -10 × 0.2 = -2 N。
由于弹性力是恢复力，所以其方向与形变方向相反，即弹性力的方向为向上。
二、应用举例：弹簧振子弹簧振子是弹性力的一个常见应用。
假设有一个质量为m的物体，通过一根弹簧与一个支架相连。
当物体受到外力作用而发生形变时，弹簧会产生弹性力，使物体回复到平衡位置。
我们可以通过弹性力的计算来解决弹簧振子的问题。
例如，给定一个弹簧振子，弹簧的弹力系数为k = 20 N/m，物体的质量为m = 0.5 kg。
当物体受到外力作用形变量为x = 0.1 m时，求物体在振动过程中的频率。
根据胡克定律，弹性力可以通过F = -kx计算得出，代入k和x的值，可得F = -20 × 0.1 = -2 N。
根据牛顿第二定律F = ma，可得-2 = 0.5a，解得a = -4 m/s²。
由于振动是一个周期性的过程，所以可以利用振动的基本公式f = 1/T来计算频率。
而周期T可以通过T = 2π√(m/k)计算得出，代入m和k的值，可得T = 2π√(0.5/20) ≈ 0.628 s。
将周期代入振动的基本公式，可得f = 1/0.628 ≈ 1.59 Hz。
因此，物体在振动过程中的频率为1.59 Hz。
弹性力学基本概念和考点汇总
弹性⼒学基本概念和考点汇总基本概念：（1）⾯⼒、体⼒与应⼒、应变、位移的概念及正负号规定（2）切应⼒互等定理：作⽤在两个互相垂直的⾯上，并且垂直于改两⾯交线的切应⼒是互等的（⼤⼩相等，正负号也相同）。
（3）弹性⼒学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和⼩变形。
（4）平⾯应⼒与平⾯应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平⾏于板⾯并且不沿厚度变化的⾯⼒或约束。
同时，体⼒也平⾏与板⾯并且不沿厚度⽅向变化。
这时，0,0,0z zx zy σττ===，由切应⼒互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平⾏于xy ⾯的三个平⾯应⼒分量，即,,x y xy yxσσττ=，所以这种问题称为平⾯应⼒问题。
设有很长的柱形体，它的横截⾯不沿长度变化，在柱⾯上受有平⾏于横截⾯且不沿长度变化的⾯⼒或约束，同时，体⼒也平⾏于横截⾯且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应⼒互等，0,0xz yz ττ==。
由胡克定律，0,0zx zy γγ==，⼜由于z ⽅向的位移w 处处为零，即0z ε=。
因此，只剩下平⾏于xy ⾯的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平⾯应变问题。
（5）⼀点的应⼒状态；过⼀个点所有平⾯上应⼒情况的集合，称为⼀点的应⼒状态。
（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的⼀⼩部分边界上的⾯⼒，变换为分布不同但静⼒等效的⾯⼒（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应⼒分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。
（7）轴对称；在空间问题中，如果弹性体的⼏何形状、约束情况，以及所受的外⼒作⽤，都是对称于某⼀轴（通过该轴的任⼀平⾯都是对称⾯），则所有的应⼒、变形和位移也就对称于这⼀轴。
这种问题称为空间轴对称问题。
⼀、平衡微分⽅程：(1) 平⾯问题的平衡微分⽅程；00yxx x xy yy f x yf x yτστσ??++=++=??（记）(2) 平⾯问题的平衡微分⽅程（极坐标）；10210f f ρρ?ρ?ρ?ρ?ρ?σ?τσσ?ρρ??ρσ?ττρρρ-+++=+++=1、平衡⽅程仅反映物体部的平衡，当应⼒分量满⾜平衡⽅程，则物体部是平衡的。
弹性力学总结
通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界条件
转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力学问题得 到解答。
应用的注意事项：
1、取代原力系的必须是静力等效力系：主失量和主矩相等。 2、应用时不能讨论局部应力场。
弹性力学问题的提出
极坐标中的基本方程和边界条件
（1）平衡微分方程
1 f 0 2 1 f 0
（2）几何方程
（4-9）
u
u 1 u u u 1 u
（4-13）
弹性力学问题的提出
（3）物理方程（平面应力问题）
1 ( ) E 1 ( ) E 2(1 ) E
xБайду номын сангаас
0, 0,
o
a ( )
a
r
rd cos ( ) r rd sin 0 rd sin ( ) r rd cos 0
y
a ( )
a
r
M
0, ( ) r rd r M 0
习题课
A cos 2 B sin 2 C D
（3）求应力分量一般表达式：将上式代入（4-15），得 应力分量为：
1 1 2 1 2 2 4 A cos 2 4 B sin 2 2 2 0 1 1 ( ) 2 2 A sin 2 2 B cos 2 C
2 2
0
2
（4-14）
半无限弹性地基上的箱涵内力计算
半无限弹性地基上的箱涵内力计算张新忱3,鲁礼信,赵军铃,高俊霞(沧州市建筑设计研究院 河北沧州 061001)摘 要:本计算方法是以弹性力学平面应变问题为理论基础,把结构和地基看作一个整体,采用不同的E 和μ,用有限元法计算,然后把地基反力作为荷载加在结构上,算出结构各截面的内力。
此方法比以往计算方法更接近实际情况。
关键词:半无限弹性地基;箱涵;内力计算中图分类号:T U4 文献标识:A 文章编号:1008-911X (2006)02-0045-05A D i n t I n si de the Box Culvert of the I nf i n iteand Flex i ble Founda ti on of ha lf Co m puteZHANG X i n 2chen,L U L i 2x i n ,ZHAO Jun 2li n g,GAO Jun 2x i a(Cangzhou I n stitute of Arch itectura l D esi gn &Research,Cangzhou 061001,Ch i n a )Abstract:This calculati on method makes the flat contingency p r oble m of flexible mechanics the base f or theory,regarding the structure and f oundati on as a whole,thr ough adop ting different E and N,use li m ited di m ensi ons and then i m poses the anti -dint of f oundati on on the structure as a l oad,thus obtaining the internal force of structure secti ons .So the method is more accordance with actual cir 2cum stance than the f or m ones .Key words:infinite and flexible foundati on of half;box culvert;internal f orce calculati ons 关于箱涵的支承反力计算,以往的作法一般多假定地基反力为直线分布,或用文克尔假定按弹性地基上的框架进行分析[1]。
弹性力学弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件 位移表示的平衡微分方程应力解法 体力为常量时的变形协调方程 物理量的性质逆解法和半逆解法 解的迭加原理 ,弹性力学基本求解方法 、内容介绍通过弹性力学课程学习， 我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用 公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结， 并且讨论具体地求 解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计 15 个，基本方程有 平衡微分方程、 几何方程和本构方程， 也是 15 个。
面对这样一个庞大的方程组， 直接求解显然是困难的， 必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求， 本章的主要 任务有三个：是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质， 确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程， 得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、 应力解位移解法 位移边界条件 变形协调方程 混合解法 应变能定理 解的唯一性原理 圣维南原理法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15 个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
第三章 弹性半空间问题
p( , )dd P
S
作用区域S趋近于零
H 1 H P log( z ) z H P/ z
1
x2 y2 z2
法向集中力作用在原点
沿着r方向投影
做变换
a sin r sin
2
uz
rcosΦ
积分=0
ur
(1 2 )(1 ) p cosdsd 2E
a 2 cos2 d 4(1 ) p / 2 0 r1 (a 2 / r 2 ) sin 2 E 4(1 2 ) pr E(a / r ) (1 a 2 / r 2 )K (a / r ), r a E
2016/12/20
王战江 授课 1
3. 弹性半空间问题
问题描述
如何求解任意压力和切向力作用，弹性半空 间内部和表面的应力和位移
王战江 授课 2
接触力学
西南交通大学 王战江
p是压力，qx是沿x轴切向力，qy是沿y轴切向 力。
取C(ξ, η)点是载荷作用域S内的任意一点。 A(x, y, z)点是体内任意一点，B(x, y)点是表 面任意一点。CA之间的距离为
F1 q x ( , )dd
S
王战江 授课 4
G1 q y ( , )dd
S
G1 q y ( , )dd
S
H 1 p( , )dd
S
H 1 p( , )dd
S
式中 z log( z )
x
王战江 授课 16
xz
r2 p p 0 (1 2 ) n a
《弹性力学》试题参考答案与弹性力学复习题[1](2021年整理精品文档)
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弹性力学复习资料一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系?在应用这些方程时，应注意些什么问题？答:平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系.应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ,因此，决定应力分量的问题是超静定的,还必须考虑形变和位移,才能解决问题。
平面问题的几何方程：揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系.应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。
反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定.平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。
应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题?试作简要说明。
答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题.位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数.应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的,即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。
混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移,因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。
3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出.如何确定它们的正负号? 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x、y、z、xy、yz、、。
弹性力学半平面问题
另取微小三角板 B ，如图4-4，根据平衡条件 Fy 0 ，得到： y r sin 2 cos2 2 r sin cos
x
半平面体在边界上受法向集中力
命楔形体的中心角等于一个平角，这 楔形体的两个侧边就连成一个直边，而楔 y 形体就成为一个半平面体，如图4-15。 一、应力分量 当平面体在边界上受有垂直于边界的力 P 0 。于是得 时，在密切尔解答中令 、 式（1）： 2 P cos3
2 P cos r r 0 0 r r
沉陷减去 B 点的沉陷，如图4-16：
2P (1 ) P 2P (1 ) P ln r I ] [ ln s I] E E E E 2P s 简化以后，得： ln E r
[
s
y B M
r
P
O
x
图4-16
半平面体在边界上受法向分布力作用时的应力和沉陷,可 以由半平面体在边界上受法向集中力用叠加法得出。
x
o
r
P
x
图4-15
（1）
r 2 P sin 2 cos y r 2 P sin cos2 xy r
（2）
利用坐标变换可得到直角坐标中的应力分量式（2）：
或将其中的极坐标改为直角坐标而得：
2P x3 2 x 2 2 ( x y ) 2P xy 2 2 y 2 2 ( x y ) 2P x2 y 2 xy 2 2 ( x y )
半无限平面问题的边界条件
半无限平面问题的边界条件
半无限平面问题的边界条件是指在处理某些物理问题时，需要定义和考虑半无
限平面的边界上的条件。
这个问题通常涉及到分析一个有限大小的区域与一个无限大的区域之间的相互作用。
在数学和物理领域，半无限平面是指一个平面上仅取一侧的无限大区域。
半无
限平面问题的边界条件取决于具体的问题和所涉及的数学模型。
以下是一些常见的边界条件：
1. 自由边界条件：自由边界条件是指在半无限平面问题中，边界上的某些物理
量的值没有被指定，而是由系统自行决定。
这通常涉及到边界上的物体或场的自由运动或自由扩散。
2. 固定边界条件：固定边界条件是指在半无限平面问题中，边界上的物理量的
值被固定为特定的数值。
这可以是由物体的约束或边界上的固定条件所决定的。
3. 对称边界条件：对称边界条件是指在半无限平面问题中，边界上的物理量的
值具有某种对称性。
比如在一个以原点为中心的半无限平面问题中，边界上的物理量值在某个直线上是对称的。
4. 光滑边界条件：光滑边界条件是指在半无限平面问题中，边界上的物理量的
值的一阶导数在边界点处连续，即无突变或奇异性。
这些边界条件在处理半无限平面问题时起着重要的作用。
根据具体的问题和模型，对边界条件的准确定义和应用能够提供更合理和准确的分析和预测结果。
因此，在解决半无限平面问题时，需要仔细考虑和定义相应的边界条件，以确保问题的求解具有可靠的结果。
弹性力学逆解法和半逆解法多项式解法
第三章 平面问题的直角坐标解答
思考题
1. 当问题中的y轴为对称轴时，试说明Φ 和
σx , σ y , v应为x的偶函数，而 xy ,u 应为x的 奇函数。
2. 对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学 中是如何考虑平衡条件的？
第三章 平面问题的直角坐标解答
3. 试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不 符合平面截面假设。
y轴，故 Φ, σ应x , σ为y 的偶x函数， 为 xy
x的奇函数，故 E F 。G 0
第三章 平面问题的直角坐标解答
⑸ 考察边界条件。 主要边界 y h/20,
(σ y ) yh/2 0, (σ y ) yh/2 q, (τ xy ) y h/2 0. 由此解出系数A , B , C , D 。
学解相同。
第三章 平面问题的直角坐标解答
思考题
1. 弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学 的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此 是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？
2. 试证明刚体位移 u0 , v0 , 实际上表示弹性体中
原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以
验证。
第三章 平面问题的直角坐标解答
应力
最后应力解答：
σx
6q (l 2 h3
x2)y q
y h
(4
y2 h2
3) 5
M I
y
q
y h
(4
y h
2 2
3), 5
xy
6q h3
x(
h2 4
y2
)
FS S bI
,
σ
y
q 2
(1
y h
)(1
2y h
弹性力学总结与复习全文
4
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量： r , , r
（4－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（4－5）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
y
叠加法的应用
第七章 平面问题的差分解
（1）了解差分法的基本思想； （2）了解应力函数差分解中，应力分量的差分公式；应力函数
Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
4. 半平面问题 P
O
y
r
rf ( ) x
q
O
r
y
r2 f ( )
M O
y
r
( ) x
q(x)
O
x
x
r
q aa
y r3 f ( )
O
x
r
y 0
y f ( y)
y xf ( y)
O
x
O
b
x
xl
g
gy
y
y 0
习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
g
y
(x, y)
ax3 bx2 y cxy2 dy3
第四章 平面问题的极坐标解答
（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？ （圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等）
弹性力学教材习题及解答
1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。
A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
b. 关于弹性力学的正确认识是A。
A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。
d. 所谓“完全弹性体”是指B。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
2－1. 选择题a.所谓“应力状态”是指B。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
2－2.梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。
已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。
2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。
根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2－4.单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。
试写出楔形体的边界条件。
2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。
试写出球体的面力边界条件。
2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。
试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。
3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B成立。
A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。
地下建筑结构 考点 答案
第一章绪论1.地下建筑是修建在地层中的建筑物，它可以分为两大类：一类是修建在土层中的地下建筑结构；另一类是修建在岩层中的地下建筑结构。
2.衬砌的作用：衬砌结构主要是起承重和围护两方面的作用。
承重，即承受岩土体压力、结构自重以及其他荷载的作用；围护，即防止岩士体风化、坍塌、防水、防潮等。
3.地下建筑与地面建筑结构相比，在计算理论和施工方法两方面都有许多不同之处。
其中，最主要的是地下建筑结构所承受的荷载比地面结构复杂。
这是因为地下建筑结构埋置于地下，其周围的岩土体不仅作为荷载作用于地下建筑结构上，而且约束着结构的移动和变形。
所以，在地下建筑结构设计中除了要计算因素多变的岩土体压力之外，还要考虑地下结构与周围岩土体的共同作用。
这一点乃是地下建筑结构在计算理论上与地面建筑结构最主要的差别。
（重要）4.地下建筑结构的形式主要由使用功能、地质条件和施工技术等因素确定。
要注意施工方法对地下结构的形式会起重要影响。
5.施工方案是决定地下结构形式的重要因素之一，在使用和地质条件相同情况下，由于施工方法不同而采取不同的结构形式。
（判断）6.拱形结构优点：(1）地下结构的荷载比地面结构大，且主要承受竖向荷载。
因此，拱形结构就受力性能而言比平顶结构好（例如在竖向荷载作用下弯矩小）。
(2）拱形结构的内轮廓比较平滑，只要适当调整拱曲率，--般都能满足地下建筑的使用要求，并且建筑布置比圆形结构方便，净空浪费也比圆形结构少。
(3）拱主要是承压结构。
因此，适用于采用抗拉性能较差，抗压性能较好的砖、石、混凝土等材料构筑。
这些材料造价低，耐久性良好，易维护。
7.喷锚结构：在地下建筑中，可采用喷混凝土、钢筋网喷混凝土、锚杆喷混凝土或锚杆钢筋网喷混凝土加固围岩。
这些加固形式统称为喷锚结构（定义）。
喷锚结构可以做临时支护，也可作为永久衬砌结构。
8.复合衬砌结构：复合支护结构通常由初期支护和二次支护组成，防水要求较高时须在初期支护和两次支护间增设防水层。
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σx =σy = −
µ
1− µ
q, σ z = − q, τ ij = 0
（1）
收稿日期：2008-05-09 第一作者简介： 黄耀英， 男， 1977 年生， 博士， 副教授， 主要从事水工结构安全监控和数值计算方面的教学与研究工作。 E-mail： huangyaoying@
第 12 期
σ x = −q, σ y = −2µ q, σ z = − q, τ xy = τ yz = τ zx = 0
（4） 此时与上述第（2）点中“由半平面应变问题 A 的符拉芒解答积分取极限得到半平面应变问题 B 的 解答，然后根据‘第 1 条判断依据’ （对称性）得到 的半空间体 C 的解答”是一致的。 （4）在法向荷载作用下，由半空间体 A 的布希
Abstract: According to two logical judgements, the relation of the semi-infinite plane strain problem and semi-infinite spatial problem is found through analyzing the classical answer of wedge, semi-infinite plane, cone and semi-infinite spatial etc. The Flament answer of semi-infinite plane strain problem and the Boussinesq answer of semi-infinite spatial problem are confinable from the relation. Based on a comparison of stress and displacement components of the semi-infinite elastic foundation, the elastic finite depth foundation with rigid constraint at the bottom, and the elastic finite depth foundation with smooth rigid supporting constraint at the bottom under infinite uniform pressure on horizontal surface, it is concluded that the elastic finite deep foundation model with rigid constraint at the bottom is more rational than other two models. Key words: semi-infinite plane strain; semi-infinite space; logical judgement; relation; answer confinement; finite deep foundation
σ x = −2µ q, σ y = −q, σ z = − q, τ xy = τ yz = τ zx = 0
（5） （5）在法向荷载作用下，由半空间体 A 的布希 涅斯克圆柱坐标解答按文献[1]P300～305 的方式进 行分析，得到半空间体 C 的应力解答为
σx = −
(1 + 2 µ )q (1 + 2 µ )q ⎫ , σy = − , ⎪ 2 2 ⎬ ⎪ σ z = −q, τ xy = τ yz = τ zx = 0 ⎭
Note on elasticity’s semi-infinite problem
HUANG Yao-ying1, WANG Run-fu2, WU Zhong-ru2
(1. China Three Gorges University, Yichang 443002, China; 2. Hohai University, Nanjing 210098, China)
黄耀英等：关于弹性力学半无限问题的注记
3683
这个解答满足如下条件：垂直向应力 σ z = −q ； 对称性条件 ε x = ε y = 0 。
（7）可以由在表面一点作用一法向或切向集中 力的半平面应变问题的解答导出在水平线上作用无 限的均布法向或切向荷载的半平面应变问题的解 答； （8）由关系（4）可以推知，在水平线上作用无 限的均布法向或切向荷载的半平面应变问题的解答 与在水平表面上作用无限的均布法向或切向荷载的 半空间体的解答应该是一致相通的。 图中，半空间体 A 为半空间体在表面一点作用 法向或切向集中力；半空间体 B 为半空间体在表面 沿 y 方向作用由负无穷到正无穷的线性均布荷载； 半空间体 C 为在水平表面上作用无限的均布法向或 切向的半空间体；半平面应变问题 A 为在表面一点 作用一法向或切向集中力的半平面应变问题；半平 面应变问题 B 为在水平线上作用无限的均布法向或 切向荷载的半平面应变问题。
（6）
6 解答探求
在实际工程中，常使用如下三种地基模型：半 无限大地基模型、底部完全位移约束的有限深地基 模型和底部光滑刚性支承的有限深地基模型。如图
（6）上述第（3～5）点中，采用不同坐标系和 不同积分次序得到半空间体 C 的解答， 也可由 A. E. 洛佛和 B. Γ. 科罗特金氏所研究课题[4]“半空间体在 水平表面作用 2a × 2b 的矩形均布法向荷载的解答” 先后对 a、b 取极限和同时对 a、b 取极限得到。 （7）在法向荷载作用下，虽然采用不同的坐标 系以及采用不同的积分次序得到的半空间体 C 的应 力解答不一致，但这些解答的应力第一不变量 Θ 是 相等的，即
半空间体问题与半平面体问题的解答存在如 下关系，如图 1 所示。 （1）圆锥体在锥顶作用法向或切向集中力的解 答可以导出半空间体在原点作用法向或切向集中力 的解答； （2）楔形体在楔顶作用法向或切向集中力的解 答可以导出半平面体在原点作用法向或切向集中力 的解答； （3）可以由半空间体在表面一点作用法向或切 向集中力的解答导出半空间体在表面沿 y 方向作用 由负无穷到正无穷的线性均布法向或切向荷载的解 答； （4）根据问题的对称性，半空间体在表面沿 y 向作用由负无穷到正无穷的线性均布法向或切向荷 载的解答与在原点作用一法向或切向集中力的半平 面应变问题的解答是一致相通的； （5）可以由半空间体在表面一点作用法向或切 向集中力的解答导出在水平表面上作用无限的均布 法向或切向荷载的半空间体的解答； （6）可以由半空间体在表面沿 y 方向作用由负 无穷到正无穷的线性均布法向或切向荷载的解答导 出在水平表面上作用无限的均布法向或切向荷载的 半空间体的解答；
3684
岩
土
力
学
2009 年
涅斯克直角坐标解答先对 x 积分，然后对 y 积分得 此时半空间体 C 的应力解答 到半空间体 C 的解答。 为
布希涅斯克解答不是半空间体 A 最合理的解答， 而 是存在局限性。 ④将这些解答与上述第 2 节的“第 2 个判断依 据”给出的正确解答比较可知，弹性力学中的半无 限平面应变问题符拉芒解答和半空间体的布希涅斯 克解答都是存在局限性。 ⑤布希涅斯克应力解答与积分取极限的次序 有关系的原因，笔者认为，这与积分表达式中含有 反正切等函数以及无穷大是一个奇异数有关，即数 学函数性质的局限性导致积分次序的问题。
σ x = −q, σ z = −q, τ xy = τ yz = τ xz = 0, σ y = −2µ q
（3） （3）在法向荷载作用下，由半空间体 A 的布希 涅斯克直角坐标解答先对 y 积分得到半空间体 B 的 解答，然后对 x 积分得到半空间体 C 的解答。此时 半空间体 C 的应力解答为
半平面应变问题B 7 x
x
4 解答分析
对关系图 1 分析可知： （1）在切向荷载作用下，图 1 中的半空间体与 半平面应变体问题的应力分量解答全部满足关系 图，且与积分次序无关。 （2）在法向荷载作用下，由半平面应变问题 A 的符拉芒解答直接积分得到的半平面应变问题 B 的 应力解答为
图 1 半空间体与半平面应变体关系 Fig.1 Relation of the semi-infinite spatial problem and the semi-infinite plane strain problem
2 判断依据
参考文献[1－3]，对弹性力学中的半无限问题 进行研究分析时，采用如下两个判断依据： ①平面应变问题是空间问题的特殊情况；平面 应变问题微分方程可由空间问题的微分方程导出。 ②“在水平表面作用无限均布压力下的半空间 体问题”的最合理解答为
。由于问题的复杂性，这些经典弹性问题
解答的精确性难以确定。本文根据两个合理的判断 依据，对荷载作用下的半无限平面应变问题和半空 间体问题的解答进行了比较分析，发现荷载作用下 的半无限平面应变问题和半空间体问题解答之间的 关系，并由此关系分析当中存在的问题与疑点，指
3 解答比较
通过对弹性力学中给出的楔形体、半平面体、 圆锥体和半空间体等经典问题在荷载作用下的解答 进行比较分析可以得到如下的解答关系，如图 1。
r z 半空间体 C 5 x 3 y z 半空间体A 1 圆锥体 z r y z 半空间体B z 半平面应变问题A 2 x 楔形体 z 8 z 6 4 x
σ x = −q, σ z = −q, τ xz = 0
（2）
此时，由第 2 节的“第 1 个判断依据”的对称 性条件 ε y = 0 ，以及由上面计算得到的平面应变体 问题 B 的解答 σ x = −q, σ z = − q ，并结合物理方程 容易得到 σ y = −2 µ q 。 这样得到图 1 中半空间体 C 的解答为
摘
要：根据两个合理的判断依据，对弹性力学中的楔形体、半平面体、圆锥体和半空间体等经典解答进行了比较分析，发