第七章 非线性系统的分析

2
A B Y
n


1
y (t ) cos nt d (t )
0
2
n

y (t ) sin nt d (t )
0 2 2 2
n
An Bn A ，A B
n n 0
由于y的高次谐波幅值 小于基波幅值，且系统 的线性部分 G ( s) 具有 低通滤波性质，可以假 设只有基波分量起作用， 而将高次谐波忽略不计。


a—继电器吸合电压 ma—释放电压 M—饱和输出
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特例
m=a=0 理想继电器
m=1 单值继电器
2018年10月12日
m=-1 仅含滞环 的继电器
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5.变放大系数特性
k1e(t ) y(t ) k2e(t )
e(t ) a e(t ) a
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非线性系统方框图如下： r(t)=0 系统由两部分组成：N(A)代表非线性元件，G(s)代表 线性部分。 对线性环节G(s)的要求：①最小相位传递函数； ②具有较好的低通滤波特性。 对非线性环节的要求：①非线性特性与时间无关； ②非线性输出可以只考虑基波分量。 ③非线性环节具有奇对称性 上述要求的目的使分析简化，一般系统均能满足。
2、饱和非线性 常见于放大器中，在大信
号作用下，放大倍数小，因而
降低了稳态精度。 在控制系统中若存在饱和
kx(t ) y(t ) ka sgn x(t ) x (t ) a
当x(t)>0时，sgn x(t) =+1； 当x(t)<0时，sgnx(t) =-1
x (t ) a
特性，将使系统在大信号作用 下的等效放大倍数降低，从而 引起瞬态过程时间的延长和稳 态误差的增加。对于条件稳定 系统，甚至可能出现小信号时
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
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4、继电器特性
继电器特性中包含了死区、 回环和饱和特性，因此对系统的 稳态性能、暂态性能和稳定性都 有不利影响。 由于继电器元件在控制系统中 常用来作为改善系统品质的切换元 件，因此继电器特性在非线性系统 的分析中占有重要地位。
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一、描述函数的定义
非线性特性的描述函数定义为：输出的基波分量y1(t)与 正弦输入信号x(t)的复数比：
N(X ) Y
1
X
1( j ) e B1 A1
j
1
X
这是一个复函数，模为输出基波幅值与输入幅值之比， 相角是输出基波对输入的相位移。 描述函数N(X)表示了当X为正弦信号时，输出基波分量 与X在幅值和相位上的关系，类似于线性环节的频率特性。
当x(t)>0时，sgn x(t) =+1； a为死区宽度，k=tgβ斜率 伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。 由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出，且用提高增量的方法也 无法消除。
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K0 X
a a K 0 X [arcsin 2 X X

(a sin cos ) a 2 1 ( ) ] X
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非线性环节的输出基波分量为：
y1 (t ) B1 jA1 Y1e
j1
Y1 B1
A1 1 arctg 0 B1
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大 的放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有 较小的放大系数，使系统响应既缓且稳。 具有这种特性的系统，其动态品质较好。
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其它类型非线性
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三、 非线性系统的分析和设计方法
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自持振荡
2018年10月12日
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二、典型非线性系统及对系统性能的影响
1、死区非线性
0 y(t ) k x(t ) a sgn x(t )
当x(t)<0时，sgnx(t) =-1
x (t ) a x (t ) a
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K 0 tg
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A1

1
2
0
n(t ) cos tdt 0
B1 4


0
1
2
0
n(t ) sin tdt


4

2 0
n(t ) sin tdt

[ K 0 X sin 2 tdt 2 K 0 a sin tdt ] 2
因此，饱和特性的描述函数为：
B1 2 a a a 2 N(X ) K 0 [arcsin 1 ( ) ], X a X X X X
显然，只有当X>a时研究饱和特性才有意义。
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对于饱和特性，习惯上将N 0 ( X ) 称为相对描述函数。 a
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7.4 描述函数
描述函数法是达尼尔(P．LDaniel)于1940年首先提
出的，其基本思想是：当系统满足一定的假设条件时，系 统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分 量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即 描述函数。这时非线性系统就近似等效为一个线性系统， 并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。
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x 设非线性环节的输入为：
2 A0 2
1
n 1
输出y(t)可以展开成下 列傅氏级数： A y(t ) 0 ( An cos nt Bn sin nt )
Y n sin(nt
n 1
X sint
)
n
式中
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描述函数法主要用来分析在无外作用的情况下，非 线性系统的稳定性和自振荡问题，并且不受系统阶次的 限制，一般都能给出比较满意的结果，因而获得了广泛 的应用。但是由于描述函数对系统结构、非线性环节的 特性和线性部分的性能都有一定的要求，其本身也是一 种近似的分析方法，因此该方法的应用有一定的限制条 件。
X 2 a a a 2 N 0 ( ) [arcsin 1 ( ) ] a X X X
两者之间关系为： N ( X ) K N ( X ) 0 0 负倒相对描述函数定义：
1 X N0 ( ) a
a
简称“负倒幅相特性”
将其写成与线性系统中幅相频率特性类似的形式：
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这 种方法既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。 其缺点是只限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法 描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不 受系统阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且 只能提供系统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法 波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域 判据。它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定 性的方法。
a为线性区宽度
k为线性区特性的斜率 k=tgβ
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稳定，而大信号时不稳定的情
况。
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3、间隙非线性
k x(t ) a y (t ) k x(t ) a c sgn x(t )
y (t ) 0 y (t ) 0 y (t ) 0
7.1 基本概念
系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线性化方 法化为线性系统，称为非线性系统。 有两种情况: （1）系统中存在非线性元件；（2）为了 某种控制目的，人为引进的非线性。
一 、非线性系统的特点
1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于系统的 结构、参数，而和系统的初始状态无关。 非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系 统的结构、参数，而且与系统的初始状态有关。
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特 性，不能给出时间响应的确切信息。
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总之： 1、 描述函数是非线性特性的一种线性近似方法。它是线 性系统理论中的频率特性法在一定假设条件下，在非线性 系统中的应用。 2、它主要用来分析非线性系统的稳定性，以及确定非线 性系统在正弦函数作用下的输出响应特性。应用这种方法 时非线性系统的阶数不受限制。 3、描述函数的最基本思想是用输出信号中的基波分量来 代替非线性元件在正弦输入信号作用下的实际输出。
0 0 y (t ) M sgn x(t ) M M
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m a x(t ) a a x(t ) m a x(t ) m a x(t ) m a
x (t ) 0 x (t ) 0 x (t ) a x (t ) 0 x (t ) 0
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二、典型非线性特性的描述函数
1、饱和非线性的描述函数 当输入信号为正弦信号：
x(t ) X sBaidu Nhomakorabean t
a sin
则输出为：
K 0 X sin t ,0 t n(t ) K 0 a, t ( ) K X sin t , ( ) t 0


a为间隙宽度 k为线性输出特性的斜率，k=tgβ 齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性、铁磁元 件的磁滞现象等均属于这类特性。间隙非线性特性包含了死 区非线性、饱和非线性、回环非线性等多种非线性因素。 当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少、稳态误差增大、 动态特性变坏，相对稳定性变差。
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2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收 敛（稳定）。 非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外 界作用，也可能会发生自持振荡，这是非线性系统独有的 现象。 3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。 非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含 有高次谐波的非正弦信号。 4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分 析的结果也适用于其它情况。 非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的方法来 处理各种非线性问题。 对非线性系统分析研究的重点是：（1）系统是否稳定； （2）有无自持振荡；（3）若存在自持振荡，确定自持振 荡的频率和振幅；（4）研究消除或减弱自持振荡的方法。
2018年10月12日 第7章第15页共７６页
x(t)
N(A)
y(t)
G(s)
c(t)
虽然 非线性控制系统的参考输入r(t)=0，但是系统 在干扰信号的激励下，非线性元件的出信号y(t)将是一个 非正弦的周期函数，若满足傅氏分解条件，可分解为直流 分量y0(t)、一次谐波分量y1(t)、二次谐波分量y2(t)、…， 其幅值取决于y(t)中各谐波分量的大小及系统线性部分的 频率特性G(jω)。 很多非线性元件的特性是奇对称的，则y(t)中的直流 分量y0(t)=0。G(jω)一般具有良好的低通性能，因此，y(t) 中的高次谐波幅值不大，略去这些较小分量，得到 y(t)≈y1(t)。一次谐波分量又称为基波分量。因此，非线性 的输出可只考虑基波分量y1(t)起作用，从而引出描述 函数的定义：

n
arctg

1

y (t )dt
0
2018年10月12日
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设非线性特性为对称型，则傅氏级数中的直流分量 A0 0
y的基波为：y
1
1
A cos t B sint Y 1 A y (t ) cos nt d (t )
1 2 1
0 1
1
sin(t
)
1
B

1
2

y (t ) sin nt d (t )
0 2 1
Y1
A
B1
2

arctg 1
A B
1 1
假设非线性系统满足上述条件，则：
y(t ) y
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1

A cos t B sint Y
1 1
1
sin(t
)
1