2018-2019学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(理科)

2018-2019学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．双曲线的一个焦点坐标为（）
A．B．C．（2，0）D．（0，2）
2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．
3．已知向量=（2，3，1），=（1，2，0），则|﹣|等于（）A．1 B．C．3 D．9
4．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是（）
A．B．C．D．
5．执行如图的程序框图，若输入t=﹣1，则输出t的值等于（）
A．3 B．5 C．7 D．15
6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是（）
A．至少有一个黑球B．恰好一个黑球
C．至多有一个红球D．至少有一个红球
7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂β B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊂β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
8．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0 C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m ＜0
9．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）
A．﹣y2=1 B．x2﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
11．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运
动，则xy的最大值为（）
A． B．C．3 D．4
12．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：
①正方体的截面不可能是直角三角形；
②正四面体的截面不可能是直角三角形；
③正方体的截面可能是直角梯形；
④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．
其中，所有正确结论的序号是（）
A．②③B．①②④C．①③D．①④
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表．
已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2．则x=；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为．
14．双曲线的离心率等于；渐近线方程为．15．在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为．
16．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：
（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；
（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．
18．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；
（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）
（注：s2= [（x）2+（x2﹣）2+…+（x）2]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E 是AB中点．
（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；
（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．
（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：AE⊥PF；
（Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求的值．
21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．
22．已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；
（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．
2018-2019学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．双曲线的一个焦点坐标为（）
A．B．C．（2，0）D．（0，2）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．
【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，
则c2=a2+b2=4，
则c=2，
故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），
故选：C
【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c之间的关系是解决本题的关键．
2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可知：2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=
c，椭圆的离心率e==．
【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由2b=2×2c，即b=2c，
a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，
∴椭圆的离心率e==，
椭圆的离心率，
故选D．
【点评】本题考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题．3．已知向量=（2，3，1），=（1，2，0），则|﹣|等于（）A．1 B．C．3 D．9
【考点】向量的模．
【分析】先根据空间向量的减法运算法则求出﹣，然后利用向量模的公式求出所求即可．
【解答】解：∵=（2，3，1），=（1，2，0），
∴﹣=（1，1，1）
∴|﹣|==
4．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子
分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．
【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，
则只能在中间1m的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1m，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率P（A）=．
故选：A．
5．执行如图的程序框图，若输入t=﹣1，则输出t的值等于（）
A．3 B．5 C．7 D．15
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的t的值，当t的值不满足条件（t+2）（t﹣5）＜0时退出循环，输出即可得解．
【解答】解：模拟执行程序，可得
t=﹣1，
不满足条件t＞0，t=0，满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，
不满足条件t＞0，t=1，满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，
满足条件t＞0，t=3，满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，
满足条件t＞0，t=7，不满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，退出循环，输出t的值为7．
故选：C．
6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是（）
A．至少有一个黑球B．恰好一个黑球
C．至多有一个红球D．至少有一个红球
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】利用对立事件、互斥事件定义直接求解．
【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
在A中，至少有一个黑球与事件恰有两个红球是对立事件，故A不成立；
在B中，恰好一个黑球与事件恰有两个红球是互的事件，故B不成立；在C中，至多一个红球与事件恰有两个红球是对立事件，故C不成立；在D中，至少一个红球与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件，故D成立．
故选：D．
7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）
A．若α∥β，l∥α，则l⊂β B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊂β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在A中，l⊂β或l∥β；在B中，由线面垂直的判定定理得l ⊥β；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，l与β相交、平行或l⊂β．
【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：
在A中，若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故A错误；
在B中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；
在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
8．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0 C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m ＜0
【考点】四种命题．
【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若
方程x2=m没有实根，则m＜0”，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．
9．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．
【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，
所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
故选B．
【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．
10．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）
A．﹣y2=1 B．x2﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，由双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，c2=a2+b2，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的标准方程．
【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b ＞0），由2c=2，则c=，
双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，
由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，
∴双曲线的标准方程为：，
故选A．
【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．
11．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）
A． B．C．3 D．4
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x≥0，y≥0），由基本不等式可得．
【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，
∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）
∴1=≥2，∴xy≤3，
当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题．
12．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：
①正方体的截面不可能是直角三角形；
②正四面体的截面不可能是直角三角形；
③正方体的截面可能是直角梯形；
④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．
其中，所有正确结论的序号是（）
A．②③B．①②④C．①③D．①④
【考点】平行投影及平行投影作图法；棱锥的结构特征．
【分析】利用正方体和正四面体的性质，分析4个选项，即可得出结论．
【解答】解：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；
②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；
③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；
④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确．
故选D．
【点评】本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表．
已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2．则x= 24；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为9．
【考点】分层抽样方法．
【分析】由于每个个体被抽到的概率都相等，由=0.2，可得得x 的值．
先求出三班总人数为36，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，求出每个学生被抽到的概率为，用三班总人数乘以此概率，即得所求．
【解答】解：由题意可得=0.2，解得x=24．
三班总人数为120﹣20﹣20﹣24﹣20=36，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，每个学生被抽到的概率为=，
故应从三班抽取的人数为36×=9，
故答案为24；9．
14．双曲线的离心率等于2；渐近线方程为y=x．【考点】双曲线的简单性质．
【分析】在双曲线的标准方程中，分别求出a，b，c，再由离心率和渐近线的定义进行求解．
【解答】解：双曲线中，
a=2，b=2，c==4，
∴e===2．
渐近线方程为：y=±=x．
故答案为：2，y=x．
15．在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如
图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为2600人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为97.5．
【考点】频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图的性质求出分数在90分以上的频率，由此能求出分数在90分以上的人数，根据频率分布直方图能估计此次考试成绩的中位数．
【解答】解：由频率分布直方图的性质得：
分数在90分以上的频率为：
1﹣（0.005+0.0125）×20=0.65，
∴分数在90分以上的人数约为：0.65×4000=2600．
由频率分布直方图知分数在90分以下的频率为（0.005+0.0125）×20=0.35，
分数在[90，110）的频率为：0.02×20=0.4，
∴根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为：
90+=97.5．
故答案为：2600，97.5．
16．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是4．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，运用抛物线的定义和条件可得△AKF为正三角形，F到l的距离为d=2，结合中位线定理，可得|AK|=4，根据正三角形的面积公式可得到答案．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，
由抛物线的定义可得|AF|=|AK|，
由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得|FK|=|AF|，
即有△AKF为正三角形，
由F到l的距离为d=2，
则|AK|=4，
△AKF的面积是×16=4．
故答案为：4．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：
（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；
（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．
【分析】（Ⅰ）结合图表，由平均值和方差的定义可得答案；
（Ⅱ）列举可得5名学生中选2人包含基本事件有共10个，事件A包
含基本事件有7个，由古典概型的公式可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为：
5名学生数学成绩的方差为：
5名学生物理成绩的平均分为：
5名学生物理成绩的方差为：
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大，所以，估计高三（1）班总体物理成绩比数学成绩稳定．
（Ⅱ）设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A，
5名学生中选2人包含基本事件有：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A2A3，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5，共10个．
事件A包含基本事件有：A1A4，A1A5，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5，共7个.
所以，5名学生中选2人，选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为．
18．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；
（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）
（注：s2= [（x）2+（x2﹣）2+…+（x）2]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）
【考点】极差、方差与标准差；频率分布折线图、密度曲线；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）由折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生人数，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数．
（2）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件A，由对立事件概率计算公式能求出至少有1人体育成绩在[60，70）的概率．
（3）当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79，84，
90或79，85，90．
【解答】解：（1）由折线图得样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，
∴该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有：1000×=750人．
（2）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件A，
由题意，得P（A）=1﹣=1﹣，
∴至少有1人体育成绩在[60，70）的概率是．
（3）∵甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，
且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，∴当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79，84，90或79，85，90．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E 是AB中点．
（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；
（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，可知CC1⊥AC，CC1⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空间直角坐标系C﹣xyz．则A，B1，E，A1，可得，，，可知，
根据，，推断出AB1⊥CE，AB1⊥CA1，根据线面垂直的判定定理可知AB1⊥平面A1CE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面A1CE的法向量，，进而利用向量数量积求得直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值
【解答】（Ⅰ）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，
又∠ACB=90°，
即AC⊥BC．
如图所示，建立空间直角坐标系C﹣xyz．A（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2），
∴，，．
又因为，，
∴AB1⊥CE，AB1⊥CA1，AB1⊥平面A1CE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面A1CE的法向量，
，
∴|cos＜，＞|==．
设直线A1C1与平面A1CE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．
所以直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值为．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．
（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：AE⊥PF；
（Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求的值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）证明EF∥PC即可得EF∥平面PAC．
（Ⅱ）证明AE⊥平面PBC 即可得AE⊥PF．
（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0），求出平面AEF的一个法向量为，由二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求出m，即可【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PBC中，因为点E是PB中点，点F是BC中点，
所以EF∥PC．…..
又因为EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，…．
所以EF∥平面PAC．…..
（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥AB．
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC．
PA∩AB=A
所以BC⊥平面PAB．…..
由于AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE．
由已知PA=AB，点E是PB的中点，所以AE⊥PB．…..
又因为PB∩BC=B，所以AE⊥平面PBC．…..
因为PF⊂平面PBC，所以AE⊥PF．…..
（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0）．
于是，．
设平面AEF的一个法向量为=（p，q，r），
由得取p=2，则q=﹣m，r=m，…．
得=（2，﹣m，m）．…..
由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，所以AP⊥平面ABCD．
即平面ABF的一个法向量为．…..
根据题意，，解得．…..
由于BC=AB=2，所以．…..
21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．
【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．
【分析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON．
【解答】（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，
所以，解得p=1，
所以抛物线的方程为y2=2x．
（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）．
将y=k（x﹣2）代入y2=2x，
消去y整理得k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0．
所以x1x2=4．
由，，两式相乘，得，
注意到y1，y2异号，所以y1y2=﹣4．
所以直线OM与直线ON的斜率之积为，
即OM⊥ON．
22．已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；
（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．
【考点】椭圆的应用．
【分析】（Ⅰ）根据直线和椭圆的位置关系即可求出AC的长；
（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，利用根与系数之间的关系即可求出三角形的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由，
得3x2+4x=0，
解得x=0或，
∴A，C两点的坐标为（0，1）和，
∴．
（Ⅱ）①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，
∵|OB|=3|OP|，P在线段OB上，
∴，求得，
∴△OAC的面积等于．
②若B不是椭圆的左、右顶点，
设AC：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），C（x2，y2），
由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
则，，
∴AC的中点P的坐标为，
∴，代入椭圆方程，化简得2k2+1=9m2．
计算|AC|===．∵点O到AC的距离d O﹣AC=．
∴△OAC的面积=．
综上，△OAC面积为常数．。