2018-2019学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(理科)

2018-2019学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．双曲线的一个焦点坐标为（）

A．B．C．（2，0）D．（0，2）

2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．

3．已知向量=（2，3，1），=（1，2，0），则|﹣|等于（）A．1 B．C．3 D．9

4．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是（）

A．B．C．D．

5．执行如图的程序框图，若输入t=﹣1，则输出t的值等于（）

A．3 B．5 C．7 D．15

6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是（）

A．至少有一个黑球B．恰好一个黑球

C．至多有一个红球D．至少有一个红球

7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂β B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊂β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

8．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0 C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m ＜0

9．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

10．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）

A．﹣y2=1 B．x2﹣=1

C．﹣=1 D．﹣=1

11．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运

动，则xy的最大值为（）

A． B．C．3 D．4

12．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：

①正方体的截面不可能是直角三角形；

②正四面体的截面不可能是直角三角形；

③正方体的截面可能是直角梯形；

④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．

其中，所有正确结论的序号是（）

A．②③B．①②④C．①③D．①④

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表．

已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2．则x=；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为．

14．双曲线的离心率等于；渐近线方程为．15．在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为．

16．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：

（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；

（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．

18．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．

（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；

（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）

（注：s2= [（x）2+（x2﹣）2+…+（x）2]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）

19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E 是AB中点．

（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；

（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．

（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；

（Ⅱ）求证：AE⊥PF；

（Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求的值．

21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．

22．已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；

（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．