范钦珊版材料力学习题全解 第11章 材料力学中的能量法

载荷引起的弯矩图，如图 11－7b（a）所示。
习题 11－7b 图
2、根据所要求的位移性质，建立单位载荷系统，画出单位载荷引起的弯矩图
确定θA 、∆Cy 的单位载荷引起的弯矩图分别如图 11－7b（b）、（c）所示。 3、弯矩图互乘
确定θA ——由图（a）与图（b）互乘，得到
θA
=
1 EI
(M C1AΩ1) =
(↑)
θB
=
1 EI
(−M C3 AΩ3 )
=
−
1 EI
⎡⎢⎣(
1 6
×
1 2
Ml
+
2 3
×
1 2
Ml)⎤⎥⎦
=
− 5Ml 12EI
（顺时针）
6
题（c） 解：
习题 11－6c 图
wA
=
1 EI
(2M C1AΩ1
+
M C2 AΩ2 )
=
1
⎡ ⎢2
⋅
(
5
⋅
l
2 )(
⋅
ql 2
⋅
l
)
+(1
⋅ ql 2 )( 1
=
1 EI
⎡⎢⎣(1)(
2 3
× ql 2
×l)
+
( 2)(1 × 32
1 2
ql 2
× l)⎤⎥⎦
=
ql3 （顺时针） 2EI
确定∆Bx ——由图（a）与图（c）互乘，得到
9
( ) ∆Bx
=
1 EI
M
′
C1
AΩ1
+
M
′
C
2
AΩ
2
=
1 EI
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
5 8
l
⎞ ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
2× 3
1 2
ql 2
习题 11－6d 图
wA
=
1 EI
(2MC1AΩ1 +
M C2 AΩ2 )
=
1 EI
⎢⎣⎡2
⋅
(
5 8
2 l)(
3
⋅ 2ql 2
⋅ 2l)
−
1 ( 2
⋅ ql2 )( 1 2
l
⋅
4l)⎥⎦⎤
=
7ql 4 3EI
(↓)
θB
=
1 EI
( M C3 AΩ3
+ M C 4 AΩ4
+ M C5 AΩ5
)
=
1 EI
（2）
S 表面
S表面
于是，应用功的互等定理，有
由此解得
q∆V ( F ) = F∆ (q) = 1− 2ν Fql
E
∆V ( F ) = 1− 2ν Fl
E
x
p
p
pz
（a）
(b)
习题 11－2 图
yp
习题 11－2 的解
11－3 具有中间铰的线弹性材料梁，受力如图 a 所 示，两段梁的弯曲刚度均为 EI。用莫尔法确定中间铰两侧 截面的相对转角有下列四种分段方法，试判断哪一种是正 确的。
习题 11－8 的解图
轴力
FN1
=
3 8
（拉），
FN 2
=
3 8
（拉），
FN3
=
5 8
（压），
FN4 = 0 ，
FN5
=
3 4
（压），
FN 6
=
5 8
（拉），
FN7 = 0 。 3、应用单位载荷法求位移 根据单位载荷法，并利用对称性，得到
∑ ∆Ay
=
13 i =1
FNi FNili EA
( ) =
1 EA
×
l
⎞ ⎟⎠
+
(l
)
⎛ ⎜⎝
1× 2
1 2
ql 2
×
l
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
=
11ql 4 24EI
（→）
确定∆Cy ——由图（a）与图（d）互乘，得到
∆Cy
=
1 EI
M C3 AΩ3
=
1 EI
⎛ ⎜ ⎝
1× 3
ql 2 2
+
2 3
×
ql 2 2
⎞ ⎟ ⎠
=
ql 4 16EI
（↓）
题（b）
解： 1、画载荷引起的弯矩图
法求点 A 的挠度；截面 B 的转角。 题（a） 解：
5
题（b） 解：
习题 11－6a 图
习题 11－6b 图
wA
=
1 EI
(M C1AΩ1
+
M C 2 AΩ2
+
M C3 AΩ3)
=百度文库
1 EI
⎡2 ⎢⎣ 9
l ⋅(1 2
Fl
⋅l)
+
l 2
(Fl
⋅l)
+
4 9
l(1 2
Fl
⋅ l )⎤⎥⎦
=
5Fl 3 6EI
（↓）
题（c） 解： 1、画载荷引起的弯矩图 载荷引起的弯矩图，如图 11－7c（a）所示。
2、根据所要求的位移性质，建立单位载荷系统， 画出单位载荷引起的弯矩图
确定∆AB 的单位载荷引起的弯矩图分别如图 11 －7c（b）所示。
3、弯矩图互乘 确定∆AB——由图（a）与图（b）互乘，得到
习题 11－7c 图 10
以，作莫尔积分时可以不分段，只需将一段的积分结果乘
4
习题 11－3 图
以 2。所以，正确答案是 A。
11－4 图示 M 和 M 图分别为同一等截面梁的载荷弯矩图和单位弯矩图，则在下列四种 情形下， AΩ 与 M Ci 或 AΩi 与 M Ci 相乘，试判断哪一种是正确的。
习题 11－4 图
解：图形互乘时的原则是：第一，单位载荷引起的弯矩图，必须为直线；第二，单位载 荷引起的弯矩图只能有一个斜率，否则，就要分段。
( ) ∆ AB
=
1 EI
4M C1 AΩ1 + 2M C2 AΩ2
=
1 EI
⎡ ⎢4 ⎣
⋅
⎜⎛ ⎝
2 3
l ⎟⎞⎜⎛ 1 ⎠⎝ 2
Fl
⋅
l
⎟⎞ ⎠
+
2(l
)(Fl
⋅
2l
)⎥⎤
⎦
=
16Fl 3 3EI
（分开）
题（d）
解： 1、画载荷引起的弯矩图
载荷引起的弯矩图，如图 11－7d（a）所示。
2、根据所要求的位移性质，建立单位载荷系统，画出单位载荷引起的弯矩图
范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio
eBook
材料力学习题详细解答
教师用书
(第 11 章)
2006-01-18
1
习题 11－1 习题 11－2 习题 11－3 习题 11－4 习题 11－5 习题 11－6 习题 11－7 习题 11－8 习题 11－9 习题 11－10 习题 11－11 习题 11－12
确定θCD 的单位载荷引起的弯矩图分别如图 11－7d（b）所示。
习题 11－7d 图
3、弯矩图互乘
确定θCD——由图（a）与图（b）互乘，得到
θCD
=
1 EI
⎡⎢⎣2 ×
1× 2
Fl 2
×
l 2
×1+
2×
Fl × l ×1+
3 2
Fl × 2l ×1⎤⎥⎦
=
21Fl 2 4EI
（分开）
11－8 图示桁架中各杆材料相同，均为线弹性材料；横截面面积均为 A。试用单位载荷 法确定点 A 的铅垂位移。
Vε
(
F
)
=
1 2
FwF
再加 M 时，由于反对称载荷，梁中点的挠度仍为 wF，这时先加的力 F 不作功，所以梁
内应变能将增加：
1 2
Mθ
M
= Vε(M )
同时施加 F 和 M 时的应变能，等于先加 F、再加 M 时的应变能，即
Vε(F , M ) = Vε(F ) + Vε(M )
所以，正确答案是 A。
（A）V ( F ) + Vε ( M ) ；
（B） Vε(F ) + Vε(M ) + Mθ max ； （C） Vε(F ) + Vε(M ) + Fwmax ；
（D） Vε(F )
+ Vε(M )
+
1 2
(Mθ
+
Fwmax )
。
习题 11－1 图
解：因为对于线性弹性结构，先加 F 时梁内的应变能为：
⎡⎣2
FN1FN1l1 + FN2 FN2l2 + FN3FN3l3 + FN4 FN4l4 + FN5 FN5l5 + FN6 FN6l6
+ FN7 FN7l7 ⎤⎦
= 2 FPl (3 × 3 + 3 × 3 + 5 × 25 + 0 + 3 × 3 + 5 × 25) + 0 = 103FPl = 4.29 FPl
剪力的影响。试用图乘法求指定截面的指定位移（均标示于图中，例如 ∆Bx 、 ∆Cy 分别为 点 B 的水平位移和点 C 的铅垂位移； ∆AB 为 A、B 两点的相对位移；θ CD 为转角）。
8
习题 11－6 图
题（a） 解： 1、画载荷引起的弯矩图 载荷引起的弯矩图，如图 11－7a（a）所示。
ql2 /2
EA 8 8 8 8 8 24 4 4 8 24
24EA
EA
11－9 线弹性材料悬臂梁所受载荷如图所示， Vε 为梁的总应变能， wB 、wc 分别为
⋅
l
⎤ ⋅l)⎥
=
29ql 4 (↓)
EI ⎢⎣ 8 4 3 8 2 2
2 4 ⎥⎦ 384EI
θB
=
1 EI
(M C3 AΩ3
+
M C 4 AΩ4 )
=
1 EI
⎡⎢⎣( 12 )(
2 3
×
ql 2 8
×l)
+
(2 3
×1)( 1 2
ql 2
⋅
⎤ l)⎥
⎦
=
9ql 2 24EI
（顺时针）
题（d）
7
解：
解：图形互乘时的原则是：第一，单位载荷引起的弯矩图，必须为直线；第二，单位载 荷引起的弯矩图只能有一个斜率，否则，就要分段。如果载荷引起的弯矩图也是直线的，也 可以反乘，但原则是相同的。
图（A）、（B）、（D）中的乘法，都不符合单位载荷弯矩图的分段原则，所以是不正确
习题 11－5 图
的。只有图（C）中的乘法符合图形互乘的原则，所以正确答案是（C）。 11－6 图示各梁中 F、M、q、l 以及弯曲刚度 EI 等均已知，忽略剪力影响。试用图乘
(↓)
θB
=
1 EI
(−MC4 AΩ4) =
−1 EI
⎡ ⎢⎣
1 2
(
1 2
Fl
⋅
l
⋅
2
+
Fl
⋅
l)⎥⎦⎤
= − Fl2 EI
（顺时针）
wA
=
1 EI
(− M C1 AΩ1
− MC2 AΩ2 )
=
−
1 EI
⎢⎣⎡(
l 2
⋅
1 )
3
⋅
1 ( 2
Ml)
+
l ( 2
⋅
21 )(
32
Ml)⎥⎦⎤
=
−
Ml 2 4EI
ql2 /2
A
B
习题 11－7a 图
2、根据所要求的位移性质，建立单位载荷系统，画出单位载荷引起的弯矩图
确定θA 、∆Bx 、∆Cy 的单位载荷引起的弯矩图分别如图 11－7a（b）、（c）、（d）所示。 3、弯矩图互乘
确定θA ——由图（a）与图（b）互乘，得到
θA
=
1 EI
(M C1 AΩ1
+
M C 2 AΩ2 )
∆(q)
=
εx
×l
=
1 E
⎡⎣−q
−ν
(−q
− q)⎤⎦ l
=
− 1− 2ν E
ql
（靠拢）
作为第 1 力系的外加载荷（一对 F 力）在第二力系引起的相应位移 ∆ (q) 上所作的功
F∆ (q) = 1− 2ν Fql
E
（1）
将静水压力 q 作为广义力，与之对应的广义位移就是圆柱体的体积改变量：
∫ qds ⋅ dr = q ∫ drds = q (∆V )
1 EI
⎡ ⎢( ⎣
1 2
)(
2 3
⋅
ql 2 8
⎤ ⋅ l )⎥
⎦
=
ql 3 24EI
（逆时针）
确定∆Cy ——由图（a）与图（c）互乘，得到
( ) ∆Cy
=
1 EI
2M C 2 AΩ2
=
2 EI
⎢⎡⎜⎛ ⎣⎝
5 8
⋅
l 4
⎟⎞ ⎠
+
⎜⎜⎝⎛
2⋅ 3
ql 2 8
⋅
l 2
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
5ql 4 384 EI
11－2 图示圆柱体承受轴向拉伸，已知 F、l、d 以及材料弹性常数 E、ν 。试用功的 互等定理，求圆柱体的体积改变量。
解：将外加载荷（一对 F 力）作为第 1 力系。为应用功的互等定理，建立辅助力系－ 静水压力 q 作为第 2 力系，如图所示。
3
在第 2 力系作用下，圆柱体上的任意点都处于三向等压应力状态σ1 = σ 2 = σ3 = −q 。因 此圆柱体两端面的相对线位移
如果载荷引起的弯矩图也是直线的，也可以反乘，但原则是相同的。 图（B）中的乘法，不符合单位载荷弯矩图的分段原则，所以是不正确的；图（C）和（D） 中的乘法，因为载荷引起的弯矩图不是直线，所以不能相乘，因而也是不正确的。图（A） 中的乘法符合图形互乘的原则，所以正确答案是 A。
11－5 图示 M 和 M 图分别为等截面梁的载荷弯矩图和单位弯矩图。试判断下列四种图 乘方法哪一种是正确的。
2
材料力学习题详细解答之十一 第 11 章 材料力学中的能量法
11－1 图示简支梁中点只承受集中力 F 时，最大转角为θ max ，应变能为V ( F ) ；中点
只承受集中力偶 M 时，最大挠度为 wmax ，梁的应变能为 Vε(M ) 。当同时在中点施加 F 和 M 时，梁的应变能有以下四种答案，试判断哪一种是正确的。
解：1、确定载荷系统引起的各杆的轴力
FN1
=
3 8
FP
（拉），
FN 2
=
3 8
FP
（拉），
FN3
=
5 8
FP
（压），
FN 4 = 0，
FN5
=
3 4
FP
（压），
FN6
=
5 8
FP
（拉），
FN 7 = 0。
习题 11－8 图
11
2、确定单位载荷系统引起的各杆的轴力 本例中所要求的是加力点 A 的铅垂位移，所以单位力应该加在 A 点、沿着 FP 的方向。 于是，将上述载荷引起的各杆力的表达式中的 FP＝1，即可得到单位载荷系统引起的各杆的
（A）按图 b 所示施加一对单位力偶，积分时不必分 段；
（B）按图 b 所示施加一对单位力偶，积分时必须分 段；
（C）按图 c 所示施加一对单位力偶，积分时不必分 段；
（D）按图 c 所示施加一对单位力偶，积分时必须分 段。
解：根据受力分析，载荷引起的弯矩方程 M 和单位
载荷引起的弯矩方程 M 在 AC 和 CB 两段都是相同的。所
⎡ ⎢⎣
1 2
⎜⎛ ⎝
2 3
⋅ 2ql 2
⋅ 4l ⎟⎞ − 1× ⎜⎛ 1 ⎠ ⎝3
⋅
1 2
ql 2
⋅ l ⎟⎞ − ⎜⎛ 1 ⎠ ⎝2
ql 2
⎟⎞⎜⎛ 1 ⎠⎝ 2
⋅1⋅ 4l ⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
3ql 3 2EI
（逆时针）
11－7 平面刚架受力如图所示，各刚架中的 F、q、l 以及 EI 等均已知，若忽略轴力和