测量误差的基本知识
测量误差的基本知识
如经纬仪测角的照准误差 水准仪在水准尺上的估读误差
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全 个三角形在相同的观测条件下观测了全 部内角，三角形内角和的真误差∆ 三角形内角 部内角，三角形内角和的真误差∆i=三角形内角 和测量值-180˚ 其结果如表 分析三角形内角和 其结果如表, 和测量值 的误差∆ 的规律。 的误差∆i的规律。
m L m =± ⋅ m = ± 站 ⋅ L = ±µ ⋅ L = ± L ⋅ m h km 站 S S
误差传播应用示例—角度测量 误差传播应用示例 角度测量
1、菲列罗公式—由三角形闭合差计算测角中误差 、菲列罗公式 由三角形闭合差计算测角中误差 设在三角网中等精度观测各三角形内角， 设在三角网中等精度观测各三角形内角，其测角中误差 均为mβ, 各三角形闭合差f i，闭合差的中误差mΣ为
三、容许误差
据偶然误差的第一特性： 据偶然误差的第一特性：在一定观测条件下偶然 误差的绝对值不会超过一定限值。 误差的绝对值不会超过一定限值。
P(−σ < ∆ < +σ) = 68.3% P(−2σ < ∆ < +2σ) = 95.5%
第5章测量误差的基本知识
2.全微分 dD (cos)dD (Dsin) d
3.化为中误差
[(cos15 ) 0.05]2 [(50 sin15 ) 30]2
mD 0.048(m)
六、应用误差传播定律的基本步骤
1. 列出观测值函数的表达式
Z f (x1, x2 ,xn )
2.对函数Z进行全微分
f
f
f
Z ( x1 ) x1 ( x2 ) x2 ( xn ) xn
消除方法 观测值偏离真值的程度称为观测值的准确度。系
统误差对观测值的准确度影响很大，但它们的符号和 大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的 措施消除或减弱其影响。
处理原则：找出规律，加以改正。 ◆ 测定系统误差的大小，对观测值加以改正。 如： 钢尺量距中进行尺长、温度、倾斜改正等。 ◆ 校正仪器，将系统误差限制在容许范围内。 ◆ 对称观测，水准测量中，使前后视距离相等 (中间法)；角度观测时，采用盘左盘右取平均值。
n
n
为该量的最可靠的数值，称为“最或是值”。
证明：设某量的真值为X，各次观测值为l1，l2……ln，
相应的真误差为 1，2， ，n ，则 1 l1 X ...2 l2 X
n ln X
相加并除以n得 [] [l] X
nn
X [l] [] x x nn
式中： x 为算术平均值，即 x l1 l2 ln [l]
处理原则：多余观测，制定限差。 为了提高观测值的精度，通常对偶然误差采用如下 处理方法 ◆.提高仪器等级； ◆.进行多余观测； ◆.求平差值。 3.粗差(错误) 测错，记错，算错……。错误在测量成果中不允许 存在。处理原则：细心，多余观测。遵守操作规程、严 格检查制度，及时发现和纠正错误。
测量误差的基本知识.
1）相同测量程序；2）相同测量条
件；3）相同观测人员；4）相同测量设
备；5）相同地点。
4
一、测量误差的几个名词术语
5、等精度测量：在同一条件下进行的一系列重 复测量。
6、误差公理：一切测量都具有误差，误差自始 至终存在于所有科学试验的过程之中。
研究测量误差的目的：寻找产生误差的原因， 认识误差的规律、性质，进而找出减少误差 的途径与方法以求获得尽可能接近真值的测 量结果。
7
1、 按误差的表示形式分
【例】要测稍小于80℃的温度，现在0.5级 的0～300℃和1.0级的0～100℃的两个温 度计，试问采用哪个温度计较好？
解：精度等级A=△x/（xmax－xmin）×100 ％
∴ε=△x/x= A×（xmax－xmin）/x
用0.5级时：ε1=300×0.5％/80=1.875％
从上述计算结果不难得出被测电源 电动势和内阻置信区间（K取3）内的测 量值分别为：
Ex Eˆ kˆEˆ 1.5150 0.0009V
Rx Rˆ kˆRˆ 0.37 0.03
44
4、 最小二乘法原理及其应用
2）在曲线拟合和回归分析中的应用 [例] 已知某一热敏电容传感器的温度
和电容值的实测数据如下表所示，试用 最小二乘法原理求其特性表达式。
I
A
用
【例】右图为电源电动 r 势E和电源内阻r的测 U
V
R
量电路，根据电路理 论，测量方程为已知
E
等精度重复测量的重
复测量的数据如下所
示，试求出E和r的估
计值和标准差。
37
4、 最小二乘法原理及其应用
i
Ii/mA
Ui/V
1
3.293
测量误差的基本知识
2、单位权 在Pi=λ²/mi²中，当Pi=1，Pi为单位权 ① Pi=1时相应的观测值，称单位权观测值 单位权观测值; 单位权观测值 ② Pi=1时，λ²＝mi² ，当权为1时， λ常数等于 观测值的中误差，所以称为单位权中误差 单位权中误差 （用m0表示） 3、定权的常用方法 ① 等精度观测值算术平均值的权 ：λ＝m（观 测值中误差）， ，则Pn＝n ② 水准测量的权：水准路线的权与路线长度成 反比，即Pi＝K/Li
4.误差的分类
观测成果的精确程度简称为精度，观测精 度取决于观测时所处的条件。依据观测条 件来区分观测值，可分为： 同等精度：观测条件相同的各次观测 不等精度观测：观测条件不相同的各次观 测 在相同观测条件下测量误差可分为：
①过失误差（粗差）：观测者错误引起
问题（1）：甲建筑公司在郑州大学行 政楼施工中进行变形观测，一次用DS3仪器 测量A点的沉降量为＋1.3mm，请问这次测 量结果是不是过失误差？
2、或然误差
或然误差：vi＝li－L 或然误差特性： ［v］=0 3、由或然误差求中误差： （白塞尔 白塞尔公式） 白塞尔 例：见教材中的例子 4、算术平均值中误差 ： 从这个公式可以看出，要使算术平均值中误差变小， 可以通过两个方面来实现：一是增加观测次数n，但观 测次数也不可能无限多，而且增加到一定次数后对算术 平均值中误差 的影响不明显，所以一般n取2～4；二是 减小每次观测时的中误差m，也就是要改善观测条件， 例如用精度更高的仪器，提高观测者的技能、责任心， 在气象条件好的环境下观测。
二、平均误差
θ＝［｜∆｜］/n θ越小，精度越高
三、中误差m=±来自[∆∆]nm越小，精度越高 例1、设甲乙两组观测，真误差为： 甲：＋4″，＋3 ″ ，0 ″ ，－2 ″，－4 ″ 乙：＋6″，＋1 ″ ，0 ″ ，－1 ″ ，－5 ″ 试比较两组的精度。
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
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一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
第6章 测量误差基本知识
水准仪：
经纬仪：
⑵采用对称观测的方法 大小相等、符号相反的系统误差，相互抵消 水准测量：前、后视距大致相等 角度测量：盘左、盘右取平均值
⑶测定系统误差的大小，对观测值加以改正 钢尺量距：尺长改正、温度改正、倾斜改正
3）偶然误差 偶然误差：在一定观测条件下的一系列观测值中，其误差大小、 正负号不定，但符合一定统计规律的测量误差。 也称随机误差 偶然误差反映观测结果的精密度。 精密度：在一定观测条件下，一组观测值与其数学期望值接近 或离散的程度，也称内部符合精度。 如：对中误差、瞄准误差、估读误差等
设Z为独立变量 x1，x2， … ，xn的函数，即
Z=f x1，x2， xn
2
2
mZ =
f
x1
m12
f x2
m22
f xn
2
mn2
例1：
在1:500的地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差 md=±0.2mm。求A、B两点间的实地水平距离D及其中误差mD。
h值越小，曲线两侧坡度越缓， 小误差出现的概率小，精度越低
2.中误差
与精度指数成反比
m n
式中：[△△]——偶然误差平方和 n——偶然误差个数
3.极限误差 由偶然误差的特性“误差绝对值不会超过一定限值”（有界性）
这个限值就是极限误差。
P m 0.683 68.3%
31.7%
P 2m 0.954 95.4% 4.6%
K
D往 D返
D
=
=
1
=1
1
2
D往 +D返
D平均
D平均 D
M
5.相对中误差
观测值中误差与相应观测值之比。
测量误差的基本知识
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。 思考题：一个边长为l的正方形，若测量一边中误差为ml＝±1cm，求周长
的中误差？若四边都测量，且测量精度相同，均为ml，则周长中误差是多 少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 • 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得观测值l1，l2，…ln • 算术平均值为 ：L=(l1+l2+…ln )/n=[l]/n • 算术平均值原理:当n→∞时，L=X • 证明：∆i＝li－X, [∆]=[l]－ nX，
mz
(
f x1
)
2
m12
( f x2
) 2 m22
... ( f xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
1、倍数函数：Z=kx
中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn
中误差：
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn
中误差：
mz m12 m22 ... mn2
此在测量工作中，我们常常取三倍中误差作为偶然误差的容许值（或限差），如果精 度要求较高时，就可以取两倍中误差作为限差，即：
∆容＝士 2|m| 或 ∆容＝士3|m |
§5.3 误差传播定律
• 误差传播定律：是指描述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律 一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自变量（如直接观测值），他们的 中误差分别为m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
• 所以甲组精度高 关于中误差要注意两点 • 中误差（m）与真误差（ ∆ ）不同，它只是表示某一组
第2章 测量误差基本知识
L l1 l2 l12 360 .000 m mL ml 12 17 .3mm mL 1 L 21000
(二)解：依题意，则
L 12 l 360 .000 m mL 12 ml 60 .0mm mL 1 L 6000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ
125.77 125.74 125.72 125.78 125.75 125.73 125.71 125.79 125.76 1131.75
-2 +1 +3 -3 0 +2 +4 -4 -1 0
4 1 9 9 0 4 16 16 1 60
[例]如图，为求未知点F的高程，由已知点A、B、C、 D和E向F布设五条水准路线，构成具有一个节点的水准 网。各已知点高程、各水准路线长度及高差观测值列 于表中，试求算： 1.未知点F的高程最或然值HF及其中误差mF； 2.每公里水准路线高差测定的中误差m公里； 3.各条水准路线的高差观测值的中误差m1、m2、m3、 m4、m5 。 B
p
i
cN i
距离测量中，当单位距离测量的中误差相同时，各
段距离观测值的权与其长度s成反比
c pi s i
三、单位权中误差
其值恰为1的权称为单位权，此时,pi=1. mi= 与之对应的观测值、精度值和中误差分别称为单位 权观测值L，单位权精度和单位权中误差。 设对某量进行n次不等精度观测，观测值为：L1， L2，…，Ln (权为：p1，p2，…，pn),则
piδHi (mm) +16.0 -7.5 -16.0 +140.0 +60.0
vi (mm) +1 +8 +13 -2 -1
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
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第五章测量误差的基本知识本章摘要：本章主要介绍测量误差的种类；偶然误差的统计特征和处理方法；精度的含义；评定测量精度的指标；不同精度指标表达的意义及其适用范围。
§5-1 测量误差及分类摘要内容：学习误差理论知识的目的，使我们能了解误差产生的规律，正确地处理观测成果，即根据一组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据误差理论制定精度要求，指导测量工作选用适当观测方法，以符合规定精度。
讲课重点：测量误差的概念、测量与观测值分类、测量误差及其来源、测量误差的种类、偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲课难点：偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲授重点内容提要：一、测量误差的概念人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差，这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。
二、测量与观测值通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。
三、观测与观测值的分类1.同精度观测和不同精度观测观测条件：构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
同精度观测：在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。
反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。
2.直接观测和间接观测直接观测：为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为直接观测，观测值称为直接观测值。
间接观测：通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。
（说明：例如，为确定两点间的距离，用钢尺直接丈量属于直接观测；而视距测量则属于间接观测。
）3.独立观测和非独立观测独立观测：各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测，观测值称为独立观测值。
非独立观测：若各观测量之间存在一定的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测，观测值称为非独立观测值。
（说明：如对某一单个未知量进行重复观测，各次观测是独立的，各观测值属于独立观测值。
观测某平面三角形的三个内角，因三角形内角之和应满足180°这个几何条件，则属于非独立观测，三个内角的观测值属于非独立观测值。
）四、测量误差及其来源1.测量误差的定义测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实值，简称真值。
对该量进行观测得到观测值。
真值与观测值之差，称为真误差，即：真误差=真值-观测值2.测量误差的反映测量中不可避免地存在着测量误差。
“多余观测”导致的差异事实上就是测量误差。
换句话说，测量误差正是通过“多余观测”产生的差异反映出来的。
（说明：例如，为求某段距离，往返丈量若干次；为求某角度，重复观测几测回。
这些重复观测的观测值之间存在着差异。
又如，为求某平面三角形的三个内角，只要对其中两个内角进行观测就可得出第三个内角值。
但为检验测量结果，对三个内角均进行观测，这样三个内角之和往往与真值180°产生差异。
第三个内角的观测是“多余观测”。
）3.测量误差的来源（1）测量仪器（说明：任何仪器只具有一定限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。
例如，在用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水准测量时，就难以保证估读的毫米值完全准确。
同时，仪器因装配、搬运、磕碰等原因存在着自身的误差，如水准仪的视准轴不平行于水准管轴，就会使观测结果产生误差。
）（2）观测者（说明：由于观测者的视觉、听觉等感管的鉴别能力有一定的局限，所以在仪器的安置、使用中都会产生误差，如整平误差、照准误差、读数误差等。
同时，观测者的工作态度、技术水平和观测时的身体状况等也是对观测结果的质量有直接影响的因素。
）（3）外界环境条件（说明：如温度、风力、大气折光等因素，这些因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影响，必然给观测结果带来误差。
）测量工作由于受到上述三方面因素的影响，观测结果总会产生这样或那样的观测误差，即在测量工作中观测误差是不可避免的。
测量外业工作的责任就是要在一定的观测条件下，确保观测成果具有较高的质量，将观测误差减少或控制在允许的限度内。
五、测量误差的种类粗差、系统误差和偶然误差三类。
1.粗差粗差也称错误。
（说明：是由于观测者使用仪器不正确或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等造成的错误，或因外界条件发生意外的显著变动引起的差错。
粗差的数值往往偏大，使观测结果显著偏离真值。
因此，一旦发现含有粗差的观测值，应将其从观测成果中剔除出去。
一般地讲，只要严格遵守测量规范，工作中仔细谨慎，并对观测结果作必要的检核。
粗差是可以发现和避免的。
）2.系统误差（1）概念系统误差：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。
准确度：是指观测值对真值的偏离程度或接近程度。
（说明：系统误差具有累积性，它随着单一观测值观测次数的增多而积累。
系统误差的存在必将给观测成果带来系统的偏差，反映了观测结果的准确度。
）（2）系统误差分析为了提高观测成果的准确度，首先要根据数理统计的原理和方法判断一组观测值中是否含有系统误差，其大小是否在允许的范围以内；然后采用适当的措施消除或减弱系统误差的影响。
通常有以下三种方法：a.测定系统误差的大小，对观测值加以改正（说明：如用钢尺量距时，通过对钢尺的检定求出尺长改正数，对观测结果加尺长改正数和温度变化改正数，来消除尺长误差和温度变化引起的误差这两种系统误差。
）b.采用对称观测的方法（说明：使系统误差在观测值中以相反的符号出现，加以抵消。
如水准测量时，采用前、后视距相等的对称观测，以消除由于视准轴不平行于水准管轴所引起的系统误差；经纬仪测角时，用盘左、盘右两个观测值取中数的方法可以消除视准轴误差等系统误差的影响。
）c.检校仪器（说明：将仪器存在系统误差降低到最小限度，或限制在允许的范围内，以减弱其对观测结果的影响。
如经纬仪照准部水准管轴不垂直于竖轴的误差对水平角的影响，可通过精确检校仪器并在观测中仔细整平的方法，来减弱其影响。
）系统误差的计算和消除，取决于我们对它的了解程度。
用不同的测量仪器和测量方法，系统误差的存在形式不同，消除系统误差的方法也不同。
必须根据具体情况进行检验、定位和分析研究，采取不同措施，使系统误差减小到可以忽略不计的程度。
3.偶然误差偶然误差：在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。
偶然误差反映了观测结果的精密度。
精密度：是指在同一观测条件下，用同一观测方法对某量多次观测时，各观测值之间相互的离散程度。
（说明：例如，用经纬仪测角时，就单一观测值而言，由于受照准误差、读数误差、外界条件变化所引起的误差、仪器自身不完善引起的误差等综合的影响，测角误差的大小和正负号都不能预知，具有偶然性。
所以测角误差属于偶然误差。
）六、偶然误差的特性及其概率密度函数1.偶然误差的特性偶然误差单个出现时不具有规律性，但在相同条件下重复观测某一量时，所出现的大量的偶然误差却具有一定的规律性。
由于偶然误差本身的特性，它不能用计算改正和改变观测方法来简单地加以消除，只能用偶然误差的理论加以处理，以减弱偶然误差对测量成果的影响。
这种规律性可根据概率原理，用统计学的方法来分析研究。
2.举例说明例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重复观测了358次，由于观测值含有误差，故每次观测所得的三个内角观测值之和一般不等于180°。
三角形各次观测的真误差△i=180°-(a i +b i +c i)现取误差区间d△（间隔）为0.2″，将误差按数值大小及符号进行排列，统计出各区间的误差个数k及相对个数k/n，见表。
误差统计表从上表的统计数字中，可以总结出在相同的条件下进行独立观测而产生的一组偶然误差，具有以下四个统计特性：（1）有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，即偶然误差是有界的；（2）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；（3）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（4）补偿性：在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即021==+++∞→∞→nn n nn ][lim lim∆∆∆∆ 式中：[ ]表示求和。
上述第四个特性是由第三个特性导出的，它说明偶然误差具有补偿性。
这个特性对深入研究偶然误差具有十分重要的意义。
3.概率密度函数表中相对个数k /n 称为频率。
若以横坐标表示偶然误差的大小，纵坐标表示频率/组距，即k /n 再除以∆d （本例取d △=0.2″）,则纵坐标代表k /0.2n 之值，可绘出误差统计直方图。
密度函数，其公式为22221)(σσπ∆--=∆ef4. 削减偶然误差措施（1）在必要时或仪器设备允许的条件下适当提高仪器等级。
（2）多余观测。
（3）求最可靠值。
一般情况下未知量真值无法求得，通过多余观测，求出观测值的最或是值，即最可靠值。
最常见的方法是求得观测值的算术平均值。
（说明：由偶然误差的特性可知，当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值必然趋近于零。
但实际上，对任何一个未知量不可能进行无限次观测，通常为有限次观测，因而不能以严格的数学理论去理解这个表达式，它只能说明这个趋势。
但是，由于其正的误差和负的误差可以相互抵消，因此，我们可以采用多次观测，取观测结果的算术平均作为最终结果。
）§5-2 衡量测量精度的指标摘要内容：在测量中，用精度来评价观测成果的优劣。
精密度简称精度。
建立一个统一的衡量精度的标准，给出一个数值概念，使该标准及其数值大小能反映出误差分布的离散或密集的程度，称为衡量精度的指标。
讲课重点：精度、中误差、容许误差、相对误差。
讲课难点：中误差、容许误差、相对误差。
讲授重点内容提要： 一、精度精确度：是准确度与精密度的总称。
准确度主要取决于系统误差的大小；精密度主要取决于偶然误差的分布。
精度：对基本排除系统误差，而以偶然误差为主的一组观测值，用精密度来评价该组观测值质量的优劣。
精密度简称精度。
衡量精度的指标：建立一个统一的衡量精度的标准，给出一个数值概念，使该标准及其数值大小能反映出误差分布的离散或密集的程度，称为衡量精度的指标。
（说明：在相同的观测条件下，对某量所进行的一组观测，这一组中的每一个观测值，都具有相同的精度。
为了衡量观测值精度的高低，可以采用误差分布表或绘制频率直方图来评定，但这样做十分不便，有时不可能。
） 二、中误差中误差：为了避免正负误差相抵消和明显地反映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即nnm n][∆∆∆∆∆±=+++±=22221 （说明：m 称为中误差，由于是等精度观测，因此中误差是指该组每一个观测值都具有这个值的精度，也称为观测值中误差。