高中必修四-向量知识点总结及高考题型总结.

向量的知识点与高考应用及题型融合

一,向量重要结论

(1、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ⋅= 规定00a ⋅=, 22||a a a a ⋅==

(2、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos ||||

a b a b θ⋅= (3、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线⇔存在惟一的R λ∈,使b a λ=。

(4、两向量平行的充要条件:向量11(,a x y =,22(,b x y =平行⇔12210x y x y -=

(5、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ⇔⋅=⇔12120x x y y +=

(6、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥⋅

(7、向量的坐标运算:向量11(,a x y =,22(,b x y =,则a b ⋅=1212x x y y +

(8、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ⋅∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9、向量:既有大小又有方向的量。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。相等向量:长度相等且

方向相同的向量。

(10、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0 ⇔|a |=0 由

于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别

(11、单位向量:模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔|

0a |=1

(12、平行向量(共线向量:方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1 给出直线的方向向量(k

u ,1= 或(n m u ,= ,要会求出直线的斜率;

(2给出+与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点; (3给出0 =+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;

(4给出(

+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5给出以下情形之一:①AC AB

//;②存在实数,A B A C

λλ=使;③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.

(6 给出λλ++=1OP ,等于已知P 是AB 的定比分点,λ为定比,即λ= (7 给出

0=⋅MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m MB MA ,等于已知

AMB ∠是锐角。 (8

给出=⎪⎫⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ (9在平行四边形ABCD 中,给出0((=-⋅+,等于已知ABCD 是菱形;

(10 在平行四边形ABCD 中,给出||||AB AD AB AD +=-,等于已知ABCD 是矩形;

(11在ABC ∆中,给出222==,等于已知O 是ABC ∆的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点; (12 在ABC ∆中,给出0=++OC OB OA ,等于已知O 是ABC ∆的重心(三角形的重心是三角形三条

中线的交点;

(13在ABC ∆中,给出OA OC OC

OB OB OA ⋅=⋅=⋅,等于已知O 是ABC ∆的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点;

(14在ABC ∆中,给出+=OA OP (||||

AB AC AB AC λ+(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内心; (15在ABC ∆中,给出

=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是

三角形三条角平分线的交点;

(16 在ABC ∆中,给出(12

AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线。 (17如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ使:2211e e a λλ+=,其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 (18向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合,而向量平行则包括共线(重合的情况

(19向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关 (201.结合律不成立:((

a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅;

2.消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅

3.a b

⋅=0不能得到a =0或b =0

1、向量与三角函数的结合

向量与三角函数结合,题目新颖而精巧,既符合在知识的“交汇处”构题,又加强了对双基的考查

1.(江西18.已知向量

x f x x x x ⋅=-+=+=(,4

2tan(,42sin(2(,42tan(,2cos 2(令πππ. 是否存在实数?(((0((],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在,则求出x 的值;若不存在,则证明之. 解:4

2tan(42tan(42sin(2cos

22(πππ-+++=⋅=x x x x x f 12cos 22cos 2sin 22

tan 112tan 2tan 12tan 12cos 222sin 22(2cos 222-+=+-⋅-+++=x x x x x x x x x

x .cos sin x x += x

x x x x f x f x f x f sin cos cos sin ((:,0((-++='+='+即令 .0cos 2==x

.

0((],,0[2,2='+∈==x f x f x x 使所以存在实数可得ππ

π

2.已知向量(cos ,sin m θθ=和((2sin ,cos ,,2n θθθππ=-∈,且825m n +=求cos

28θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 分析:考查知识点:(三角和向量相结合