毕奥-萨伐尔定律和载流回路的磁场资料
运动带电粒子的磁场载流子毕奥萨伐尔定律
磁通量(通过一定面积的磁力线数目，单位韦伯Wb)
S
B
匀强磁场
S
n
B
m BS
m B S BS cos
非匀强磁场
S
ds
S
n
B
ds
B
n
n
m
m B d S BdS cos
S S
B d S BdS cos
S S
通过某一曲面的总的磁通量，就是穿出与穿入的代数和。
(S ) (s)
注意：1）磁感应通量的单位：1韦伯＝1特斯拉×1米2 ，1Wb=1T×m2 2）磁感应强度的大小B可看成是通过单位面积的磁通量，即磁通密度。
3）如电力线的疏密度反映了电场强度的大小一样，磁感应线的疏密度也
反映了磁感应强度B的大小。即磁感应线密集的地方磁感应强度B大，磁感 应线稀疏的地方磁感应强度B小。
1.圆形积分回路
0 I 0 I B dl dl dl 0 I 2 r 2 r 2 r l 2 r
l
I
r
B dl I
0 l
B
l 与I 成右手螺旋关系
2.任意积分回路
L
B dl B cos dl
L
0 I cos dl 2 r L 0 I rd L 2r 0 I d 0 I L 2
§11-3 磁高斯定理、安培环路定理
一、磁高斯定理 (Gauss theorem)
1、磁感应线：像电场电力线一样，在磁场中也引入磁感应线
的概念，形象描绘磁场的分布。磁感应线上任意一点的切线方向 与该点的磁场方向一致，且穿过垂直于B的单位面积上的磁感应 线数，与B的大小相等。
§2载流回路的磁场
dB =
µ0 R dI
2
2 x2 + R2 3/ 2 （ ）
N dI = Idx = nIdx L
各个元段在P点产生的磁感强度方向相， 各个元段在 点产生的磁感强度方向相，整 点产生的磁感强度方向相 个螺旋线圈在P点产生的磁感强度为 个螺旋线圈在 点产生的磁感强度为
B = ∫ dB =
µ0nI
2
∫
x2
µ0 Idl × r B = ∫ dB = ∫ r2 4π l
0
积分对于整个载流导线进行 电流元的磁场 + 磁场叠加原理 注意 任意载流导 体的磁场
B = ∫ dB
与
B = ∫ dB 的区别
太原理工大学物理系
dB =
µ0 Idl × r
4π
1
0
r2
毕奥— 毕奥—萨伐尔定律
例1 判断下列各点磁感强度的方向和大小. 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
解 由圆形电流磁场公式 B =
µ 0 IR 2
（x + R ） 2
2 2 3/ 2
处取长为dx的元段 距p点x处取长为 的元段，其上有 点 处取长为 的元段，其上有ndx匝线 匝线 相当于dI=nIdx的圆电流。 的圆电流。 圈，相当于 的圆电流
太原理工大学物理系
dI在P点产生的磁感强度大小为 在 点产生的磁感强度大小为
Idl
dB
dB
P *
r
θ
Idl
I
r
dB的方向 的方向 垂直于 平面 与 r 组成的
Idl sin θ dB = k 2 r
太原理工大学物理系
Idl × r 0 毕—萨定律的数学表达式 dB = k r2
7-4毕奥-萨伐尔定律
r
x
O
dB dB dB
P
， 所有 dB 形成锥面。
Idl
dB
X
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例2
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例2
若
由对称性分析得 所以有
dB dBII dB
B dB 0
0 m B 2x 3
等效圆电流（具有磁矩）
地球
22 2 大磁偶极子 磁矩为 m 8.0 10 A m
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例2
思考题：
1、求半径为 R ，载有电流为I 的细圆环在其圆心
处 O 点所产生的磁感强度。 解：任取电流元，由毕—萨定律，其在 O 点 的磁感强度大小为
Idl
I
B
R
r
x
I
O
dB dB dB
P
Idl
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例2
dB
X
讨论：
B
1在圆心处，x 0，则圆心处磁感应强度 为
0 IR2
2 2 3/ 2
2( R x )
B
0 I
2R
2当x R，即P点远离圆电流时，磁感 应强度为
0
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例1
3若P点在载流直导线的延长 线上，1 2则B 0。
解题关键在于确定
0 I cos 1 cos 2 B 4a
1 , 2
1与电流的起点相关， 2与电流的终点相关。
其他例子：
a
O
I
毕奥-萨伐尔定律 磁通量 磁场的高斯定理
解：（1）判断电流元产生 每个电流元产生磁场同方向
磁场的方向是否一致
z
D
2
z r 0 cot
dz
I
z
1
r
r0
x
C
o
r0 dz d 2 sin dB r0 又r * y P sin 0 Idl sin (1) 大小 dB 2 4 r
B
0 I
2πr
I
B
I
X
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2013-7-5
10
[例14-2] 圆电流轴线上的磁场。
0 Idl 解： dB sin 90 2 4 r 0 Idl B dB sin 90 2 4 r
x 因为圆线圈上各个电流元在P点产生的磁感应强度 的方向是不同的，所以只能用它的矢量表示：
第五版
四.运动电荷的磁场
7-4
毕奥-萨伐尔定律
考虑一段导体，其截面积为S，其 中载流子的密度为n，载流子带电 q，以漂移速度 v 运动。
毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4 π r3 0 nSdlqv r dB 3 4π r
P r dB Idl j Sdl nSdlqv
z
o
r
Idl
y
R
0 I dl sin x 2 2 2 r2 r R z 4 2 2 R 0 IR 0 I sin dl 3 2 0 2 2 4 r 2( R z ) 2
B
0 IR
2
2 2 32
2( R z )
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例一、毕奥-萨伐尔定律1.毕奥-萨伐尔定律:载流导线产生磁场的基本规律。
微分形式为：整个闭合回路产生的磁场是各电流元所产生的元磁场dB的叠加。
磁感应线的方向服从右手定则，如图。
二、毕奥-萨伐尔定律应用举例两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。
例1.载流长直导线的磁场解：建立如图坐标系，在载流直导线上，任取一电流元Idz，由毕-萨定律得元电流在P点产生的磁感应强度大小为：方向为垂直进入纸面。
所有电流元在P点产生的磁场方向相同，所以求总磁感强度的积分为标量积分，即：（1）由图得：,即：此外：，代入（1）可得：讨论：（1）无限长直通电导线的磁场：（2）半无限长直通电导线的磁场：（3）其他例子例2:圆形载流导线轴线上的磁场：设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细导线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的P点的磁感应强度。
解：建立坐标系如图，任取电流元，由毕-萨定律得：，方向如图：，所有dB形成锥面。
将dB进行正交分解：，则由由对称性分析得：，所以有:，因为： ,r=常量，所以：，又因为：所以：，方向：沿x轴正方向，与电流成右螺旋关系。
讨论：（1）圆心处的磁场：x=0 ，。
（2）当即P点远离圆环电流时，P点的磁感应强度为：。
例3：设有一密绕直螺线管。
半径为 R ，通电流 I。
总长度L，总匝数N（单位长度绕有n 匝线圈），试求管内部轴线上一点 P 处的磁感应强度。
解：建立坐标系，在距P 点 x 处任意截取一小段 dx ，其线圈匝数为: 电流为：。
其相当于一个圆电流，它在P点的磁感应强度为：。
因为螺线管各小段在P点的磁感应强度的方向均沿轴线向右，所以整个螺线管在P点的磁感应强度的大小为：因为：代入上式得：所以：讨论：（1）管内轴线上中点的磁场:（2）当 L>>R时，为无限长螺线管。
此时,，管内磁场。
即无限长螺线管轴线上及内部为均匀磁场，方向与轴线平行满足右手定则。
7-3 毕奥-萨伐尔定律
−q
v r
θ
v v
v B
例2 半径 为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度为 σ , 并 以角速度 ω 绕通过盘心垂直于盘面的轴转动 ，求 圆盘中心的磁感强度. 圆盘中心的磁感强度 中心的磁感强度
σ R o
r
解法一
圆电流的磁场
dI =
ωv σ > 0, v σ < 0, Bω
dr
向外 向内
2π µ0dI µ0σω dB = = dr 2r 2
r =R +x
2 2 2
dB =
µ 0 Id l
2
sin ϕ dl ∴B = ∫l r 2 4π
B=
µ0 IR
4π r
∴B =
µ0IR
2
3 0
∫
2π R
dl
2 2 3 2
（ +R） 2x
v v v v µ0m m= ISen B = 3 2πr
I
R o x *
v B
x
B=
B=
µ0 IR
2
2 2 3
I v
B
v B
v Idl
r
o
R
ϕ
*
v p α B
v dB
I 根据对称性分析
4π r B = Bx = ∫ dB cos α
dB =
µ 0 Id l
2
x
v Idl
R
r
x
µ0 I
o
ϕ
ϕ
v dB
α
*p dB xx
4π r µ0 I sin ϕdl dBx = 2 4π r cosα = sin ϕ = R r
m的
金属棒 MN 位于两直导线正中间，且在同一平面内， 欲使 MN 处于平衡状态，求 MN 中的电流强度以及 电流流向.
电磁学2毕奥-萨伐尔定律
β lr
β dB
a
P
§4-3 毕奥
萨伐尔定律的应用
1. 载流直导线的磁场
dB 的方向： I dl × r 的方向
dB
的大小：
dB
=
μo
4π
I
dl sina
r2
几何关系：
I dl
sin a =sin ( 900 +β ) dl a
= cosβ l = a tgβ
β lr
dl = a sec 2β dβ r = a secβ
I dl
r
IR
θ x
y dB θ P x
By= Bz=0
Idl r z
dB
B = dB x = dB
sinθ
=
μ
4π
o
I r
2
sinθ
dl
=
μo
4π
I r
2
sinθ
dl
sinθ
=
R r
I dl
r
r = (x 2 +R2 )1 2 I R
θ x
y dB θ x
z
B=
μo
4π
I r
2
sinθ
dl
=
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
r
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
dB =
μ o I dl × r
4π r 3
=
μo
4π
I dl r2
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
毕奥-萨伐尔定律详细版-2022年学习资料
物理学-毕奥-萨伐尔定律-例4半径为R-的带电薄圆盘的电荷-面密度为σ ，并以角速-度绕通过盘心垂直-于盘面 轴转动，求-圆盘中心的磁感强度。-恒定磁场-22
物理学-毕奥-萨伐尔定律-解法一圆电流的磁场-d/-0o2π dr=cardr-2元-dB-uodI-Ho r-2r-B=-dr-Bc-o>0,B向外-。<0,B向内-恒定磁场-23
物理学-毕奥-萨伐尔定律-·毕奥一萨伐尔定律-电流元在空间产生的磁场-Idl sin O-dB-40-4元 万-d=-46-Idl×r-3-元1-真空磁导率-4=4π x107N.A2-恒定磁场
物理学-毕奥-萨伐尔定律-任意载流导线在点P处的磁感强度-dB-叠加原理--∫dB-=∫ldx和-万-4元 r3-恒定磁场-2
物理学-毕奥-萨伐尔定律-无限长载流长直导线的磁场-B-2元r-◆-电流与磁感强度成右螺旋关系-恒定磁场
物理学-毕奥-萨伐尔定律-例21-圆形载流导线轴线上的磁场.-解B=B,=∫dBsinp-cosa-r2= 2+x2-Idl-人U-4o-4元-dB:=-uo I cosadl-恒定磁场-8
物理学-毕奥-萨伐尔定律-dB.-Mo Icosadl-B=-4元-r2-LtoIR-2π R-Idl-4元 30-X-4,IR2-2x2+R2为-恒定磁场-9
物理学-毕奥-萨伐尔定律-4-BA=-Lol-d-A-元d-5-4R，-磁偶极矩-m=ISe-U-4oIR2-ω -B-Lom-2x3-2元x3-e -说明：只有当圆形电流的-面积S很小，或场点距圆电流-很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子.-恒定磁场-13
物理学-毕奥-萨伐尔定律-B-Jun-Idz sin-r2-=-ro cot e,r=r/sin 0-dz rde/sin20-4元0-人U-dB-uo-4元r-cos6,-cos8）-B的方向沿x轴的负方向-恒定 场-5
稳恒电流的磁场总结汇总
1.SI J ds =⎰⎰2. 毕奥-萨伐尔定律:34Idl r dB rμπ⨯=034LI r B dl rμπ⨯=⎰3. 有限长载流导线的磁感应强度()()021021sin sin 4cos cos 4 I B z Izμθθπμββπ=-=- !!!zP 1无限长载流导线的磁感应强度 02IB zμπ=!!!4. 载流线圈在轴线上任意一点的磁感应强度()2032222IRB Rzμ=+ !!!圆心处的磁感应强度02IB Rμ=!!!5. 有限长螺线管内部任意一点的磁感应强度()021cos cos 2nIB μθθ=-无限长直螺线管内的磁感应强度 0B n I μ=!!!6. 运动电荷的磁场034q v rB rμπ⨯= 7. 磁偶极子与磁矩磁偶极子：载流线圈（任意形状）。
磁矩：m IS ISn ==其中S Sn = ，n 为面元S 的法线方向单位矢量，与I 的环绕方向成右手螺旋关系。
8. 稳恒磁场的高斯定理 0SB d s =⎰⎰9. 稳恒磁场的安培环路定理0iiLB d l Iμ=∑⎰ 两项注意:(1)虽然B的环量仅与L内的电流有关，但B本身却取决于L 内、外的所有电流。
(2) 当i I 的流动方向与L 的环绕方向成右手螺旋关系时，0i I >，反之0i I <。
10. 无限长载流圆柱体020()2()2Irr R R B Ir R rμπμπ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩11. 无限大载流平面的磁感应强度大小：02B μα=（其中α为面电流线密度）；方向：右手螺线关系。
12. 安培定律－磁场对载流体的作用dF Idl B =⨯13. 在一均匀外磁场中，如果一任意形状的有限平面曲线电流的平面垂直于外磁场，那么平面电流所受到的安培力的大小与由起点到终点连接而成的直线电流所受到的安培力一样，方向垂直于从起点到终点的连线。
推论：处于均匀外磁场中的任意平面闭合载流回路，所受到的安培力=0，但要受到一力矩的作用L m B =⨯处于非均匀外磁场中的闭合载流线圈受到的安培力≠0。
电磁学毕奥-萨伐尔定律课件
1 π 2
cos 1 cos 2
cos 2
l/2
l / 22 R2
讨
B
论
0nI
cos2
0nI
2
l l 2 / 4 R2 1/2
l R
B 0nI
18
（2）无限长的螺线管（3）半无限长螺线管
1 π, 2 0
1 0.5π, 2 0
B 0nI
B 0nI / 2
1 2
0
nI
B 0nI
dB 0 dr
2
B 0
R
dr
0R
20
2
24
o 垂直于盘面的轴转动 ，求圆盘中心的磁
感强度.
22
向内 解法一 圆电流的磁场
0, B
向外
dI
2 π rdr
rdr
2π
dB 0dI 0 dr
2r 2
B 0 R dr 0R
20
2
0, B
23
END
v r
dB0
0
4π
dqv r2
dq 2解π法二rdr 运动电
荷的磁场
2 π x3
10
(1)
R
B0
x
推
Io
广 (2)
I
R
组
o×
合 (3) I
R ×o
B0
0I
2R
B0
0I
4R
B0
0I
8R
11
o
BA
0I
d
4πd
R1
R2
B0
0I I
4RA 2
0I
4R1
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I0
毕奥-萨伐尔定律介绍
0I
4πr
6
无限长载流长直导线的磁场
B 0I
2πr
I B
I XB
电流与磁感强度成右手螺旋关系
7
例2 圆形载流导线轴线上的磁场.
解 分析点P处磁场方向得：B Bx dBsin
Idl
cos R r
R
o
r
dB
r2 R2 x2
x
*p x
dB
0
4π
Idl r2
I
dBx
0
4π
I
cosdl
r2
Idl
2
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
×
7
Idl × 3
R
6
×
4
dB
5
0
4π
Idl
r
r3
1、5点 ：dB 0
3、7点
：dB
0 Idl
4π R2
2、4、6、8 点 ：
dB
0 Idl
4π R2
sin
450
毕奥－萨伐尔定律
3
二 毕奥－萨伐尔定律应用举例
例1 载流长直导线的磁场.
一 毕奥－萨伐尔定律
(电流元在空间产生的磁场)
dB
0
4π
Idl sin
r2
dB
0
4π
Idl
r
r3
真空磁导率 0 4 π107 N A2
r
dB
P*r
Idl
dB
Idl
I
1
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度 叠加原理
B dB
0I
dl
磁场与毕奥萨伐尔定律
解 求出：
：
r dB
=
μ0 4π
Idzerz
×
(
r0 erx r02 +
− zerz z 2 )3 /
2
r Idl
=
Idzerz
，相应的
r dB
用毕—萨定律
∫ ∫ 磁场
r B
=
r dB
=
μ0 4π
Iery
r0
∞ ∞
( r02
dz + z2
)3 / 2
=
μ0 2πr0
Iery
[例
3-2-2]半径为r0的圆形电流I，在轴线上距离为z的P1点的磁场
r H
（）之间的关系，然后拉普拉斯
从数学上导出电流
r Idl
及其场强
r dH
（或
r dB
=
r μ 0 dH
）之间的关系，因此（4）式
又称为毕奥—萨伐尔—拉普拉斯（Biot-Sarvart-Laplace）定律。毕奥—萨伐尔 的重要实验是弯折导线的实验，参见图 3.23 实验结果是
H∞ 1 tg a r2
半截导线与上半截导线重合，由这个特点就能推出下半截导线与上半截导线产生
的磁场是相等的，都是H/2。现在A点附近取一点A1（参见图 5 或附图 1），令AA1=dl，
考虑到A1 以上段的半直线电流可以成以A1 为顶点的折线电流的上半段，因它在
P0
点所产生的磁场为
r H
′′
=
r H1 2
=
k1 I 2r1
a
− da 2
)ery
=
k1 2
I[
dr r2
tg
a 2
+
毕奥-萨伐尔定律
Idl dB 所有电流元与 夹角 , sin 1 r 4 r 2 2 2 对称性分析: dB构成一个锥形, 垂直轴线的分量全部抵 ! 消
R dB dB sin dB r
Idl
dB
p *
B
o
R
I
B
x
3
2R IdlR B dB 0 3 4 r 2
答案：B 0 思考：
若电流I的流向如图b所示， 则O点的磁感应强度？
I
a I 2
O 3 图b
19 – 3 毕奥—萨伐尔定律
第十九章 稳恒磁场
例2 : 如图, 无限长平板宽 a , 单位宽度内电流为
求与板共面P点(离边缘距离为 )的B ? b
dx
,
解 : 取dx宽, di dx, 则
任意载流回路在 点产生磁感应强度 为 P B
μ Idl r B dB 4π r 3
* 矢量积分
19 – 3 毕奥—萨伐尔定律
毕奥—萨伐尔定律
Id l r dB 4 r 3
第十九章 稳恒磁场
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1 8
19 – 3 毕奥—萨伐尔定律
第十九章 稳恒磁场
μ Ia sec 2 β cos βdβ μI β 2 β2 B β β1 cosβdβ 2 2 1 4π 4 πa a sec β I I (sin 2 sin 1 ) (cos 1 cos 2 ) 4a 4a
Id l
α
r
Idl sin dB 4 r2
Idl sin B 4 r2
统一变量:
l C
毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生的磁场
一个运动电荷产生的磁场为：
B
dB
dN
0 4
I dl r dN r3
0 4
vSnq
dl
r
nS dl r3
0 4
dlq v r dl r3
0 4
q v r r3
运动电荷的磁场公式： B
0 4
q v r r3
S P
r
dB
11
例6：氢原子中的电子，以速率v在半径为r的圆周轨道
上作匀速率运动。求电子在轨道中心产生的磁感应强
r
P
•大小o ：od1cB2 4401Id0l7rs(2iNn
/ A2
)
真空中的磁导率
为Idl 与 r 之间的夹角。
2
dB
0
4
Idl
r
r3
0 4
Idl er
r2
dB
Idl
•方向：
Idl
r的方向。
一段载流导线产生的磁场：B
dB
r
o
Idl
er
应用毕萨定律解题的方法
L
L 4r 2
计算一段载流导体的磁场
1.建立坐标系;
4.求 B 的分量 Bx 、By 、Bz ;
2.分割电流元;
5.由 B Bx2 By2 Bz2 求总场。
3.
确定电流元的磁场 dB
0 4
Id
l
r
r3
3
例1:一段有限长载流直导线,通有电流为 I ,求距 a 处
的 P 点磁感应强度。 解: 分割电流元
4
cos
3
4
2
20 I b
2
B
I 1 o
毕奥萨伐尔定律
毕奥萨伐尔定律
毕奥－萨伐尔定bai律指出: 磁场du的源是电流元，磁场随场点到电流元的距zhi离平方而衰减，dao磁场遵从叠加原理，由任意形状通电导线所激发的总磁感应强度B 是由电流元所激发的磁感应强度dB 的矢量积分，任意形状的载流导线都可以看成由许多电流元Idl 组成，只要知道了电流元激发磁场的规律，再用叠加原理就可以求得任意载流导线激发的磁场分布。
载流导线的任一电流元Idl 在给定点P 所产生的磁感应强度dB 的大小与电流元的大小成正比，与电流元和由电流元到P 点的矢径r 之间夹角的正弦成正比，并与电流元到P 点的距离的平方成反比; dB 的方向垂直于dl 与r 所决定的平面，指向由右手螺旋法则决定，即当右手螺旋由Idl 经小于180°的角转向r 时螺旋前进的方向，如附图－1 所示。
其数学表达式为
式中: k 为比例系数，在真空中k =107T·m·A－1，不同的磁介质k 值不同。
为了使dB 的公式有理化，取k = μ/4π，μ为介质的磁导率，真空中μ= 4π×107T·m·A－1，这样，式( 附－1) 改为:
任意形状载流导线在P 点产生的磁感应强度B，等于导线上各个电流元Idl 在该点处所产生的磁感应强度矢量和，即: 毕奥－萨伐尔定律给出了电流元Idl 对距离r 处的空间某一点P 处产生dB 的大小与方向，但由于电流元不可能单独存在，所
以毕奥－萨伐尔定律不可能由实验直接加以验证。
毕奥－萨伐尔定律的正确性是通过间接的方法被证实的，因为由毕奥－萨伐尔定律推出的所有结果都能很好地与实验结果相符合。
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0 IR2
2( R x )
2 3 2 2
载流圆线圈轴线上的磁场
0 IS B 2 ( R 2 x 2 ) 2( R 2 x 2 )
2
3 2
0 IR
3
2
讨论：
（1）在圆心处
x0
B
0I
2R
（2）在远离线圈处
载流线圈 的磁矩
x R, x r
0 B 2 0 B 2
载流长直导线的磁场
考虑三种情况：
0 I sin 2 sin 1 B 4d
1 2 2
2
(1)导线无限长，即
I
0 I B 2d 0 I B 4d
dl
L
r
(2) 导线半无限长，场点与一端 的连线垂直于导线
l
(3)P点位于导线延长线上，B=0
O
d
2 2 3/ 2
dB
0 R nI d l
2
载流圆线圈轴线上的磁场
l R cot
d l R csc d
2 2 2 2 2
1
A1
r
dB
p
2
R
A2
又 R l R csc
B L
0 R nI d l
2
l
dl
2( R l )
2
2 3/ 2
IS 0 IS 3 3 x 2 r pm r3
引入 pm ISen
(3) 载流圆弧
圆心角
0 I 0 I B 2 R 2 4R
B
I
例 如图所示，两根长直导线沿半径方向接到 粗细均匀的铁质圆环上的A和B两点，并与很 远处的电源相接， 试求环中心o点处的磁感应 强度． 解 三段直导线在圆心处 B 产生的磁场为零． 2 1 o 0 Idl r dB 3 A 4 r
第二节 毕奥-萨伐尔定律和载流回路的磁场
一、 载流长直导线的磁场．在真空中有一长 为 L 载流直导线，导线中电流强度为 I ，求导 线附近一点 P 的磁感应强度．
0 Idl sin 解 dB 4 r2
0 B Idl sin B dB 2 A A 4 r l r0ctg r r0 sin
dB
0 Idl dB 4 r 2
Idl
dB 由于圆形电流具有对称性，各垂直分量 相互抵消，所以总磁感强度 B 的大小为各个平 行分量 dB// 的代数和为
B dB// dB cos
cos R r
0 IR2 0 IR 2R B dl 3 3 0 2r 4 r
1
2
P
dB
R 的载 二、 圆形电流的磁场．有一半径为 I ，求它轴线上任一点 P 流圆环，电流强度为 的磁感应强度 B ． Id l 0 Idl sin dB r dB 解 dB 2 R 4 r o dB// x x 0 P 90
0
0
2
2
nI
2
1
sin d
nI (cos 2 cos 1 )
载流圆线圈轴线上的磁场
B
0 nI
2
(cos 2 cos 1 )
讨论：
（1）螺线管无限长
1 , 2 0 B 0 nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
B 0 nI / 2
1.71 105 T
方向
S点
0 I 3 BLA (cos 0 cos ) 4a 4 0 I 3 B L A (cos cos ) 4a 4 B p BLA BLA 7.07 105 T
2 2 3/ 2
2 R x 三：载流螺线管中的磁场 无限长螺管：
(不必记)
B内 0 nI，B 外 0
练 习
求圆心O点的 B 如图，
I
I
B
O R
O
R
0 I
4R
B
0 I
8R
I
R
O
2 3
I
0 I B 4 R 2R
0 I
0 I 3 B (1 ) 6R R 2
实际上， L>>R 时 ，螺线 管内部 的 磁 场近似 均匀 ， 大 小为 0 nI
0 nI
0 nI
2
B
A1
O
A2
一：载流直导线的磁场
0 I cos1 cos2 B 4 r
二：载流圆线圈轴线上的磁场
B 中心 B 轴线
2
I r B
0 I
2R
1
0 IR 2
B
r0 dl d 2 sin
B Id l
l
2
0 2 I sin d B 4 1 r0
r o r0
dB
A
1
0 I (cos 1 cos 2 ) 4 r0
特例：无限长导线： 1 0, 2
0 I B 2r0
三、 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为 R，电流为 I ，每单位长度 有线圈n匝。
1
A1
r
dB
R
p
2
A2
dl
l
载流圆线圈轴线上的磁场
1
A1
r
dB
p
2， ndl匝线圈可作 Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
2( R l ) 2 0 R nI d l B L dB L 2 2 3/ 2 2( R l )
0 Idl dB 4 R 2
0 I1dl 0 I1l1 B1 2 1 4 R 4 R 2
0 I 2dl 0 I 2 l2 B2 2 4 R 2 4 R 2 U U I R l s I1 l 2 I 2 l1
B B1 B2 0
0 I
O
R
例.无限长载流直导线弯成如图形状
L
I 20 A a 4cm 求： P、R、S、T四点的 B
解： P点 B p BLA BLA
R
a
I A
a
L
S
I
a
P T
R点
0 I 0 5 10 5 T 4a
方向
BR BLA BLA 0 I 0 I 3 1 (cos 0 cos ) (cos cos ) 4a 4 4a 4