全等三角形讲义

全等三角形

全等三角形性质

图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用

．．．．．．．．．．．．．．．．．．≅表示，读作“全等于”

．．．．．．．．．．

全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如

∆和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF DEF

ABC∆

≅

∆。

ABC∆

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

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1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）

A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④

2.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______．

3.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______．

4.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是

______________,对应角是____________________．

5.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另

外两组对应角是_____．

三角形全等的条件一（SSS）

三角形有六个条件：三条边和三个角

如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形，能否保证两个三

角形全等？

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满足一个条件：①只有一条边对应相等；②只有一个角对应相等；

结论：

满足两个条件：①两角对应相等；②两边对应相等； 一边一角对应相等

结论：

如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况？

① 两边一角对应相等

结论：

② 两角一边对应相等

结论：

③ 三边对应相等

结论：

④ 三个角对应相等

结论：

定义：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写为“边边边”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 例1.已知：如图，DE=CE ，DF=CF ．求证：△DEF ≌△CEF ．

例2.已知：如图，DA=CB ，DB=CA ．求证：△DAB ≌△CBA ．

例3.已知：如图AB=CD,AD=BC ，求证：AD ∥BC 。

例4..已知：如图，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上,AC=BD,AM=CN,BM=DN,

求证：△AMB ≌△CND ．

例6.已知AB=CD ，BF=CE ，AE=CF ，问AB ∥CD 吗？

例6.已知：如图,AB=AE,AC=AD,BC=DE,C,D 在BE 边上.求证：∠CAE=∠DAB ． 课堂练习：

1.如图，AB=AD ，CB=CD ，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD 的度数是()

A.120°

B.125°

C.127°

D.104°

2.如图，线段AD 与BC 交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ，则下面的结论中不正确的是()

A.△ABC ≌△BAD

B.∠CAB=∠DBA

C.OB=OC

D.∠C=∠D

F

3.如图，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．

4.如图,AD⊥BC，垂足为D，BD=CD.求证：△ABD≌△ACD.

6.已知：如图，AB=DC，BD=AC，AC，BD交于O．求证：△AOB≌△DOC．

7.如图，已知：AB=AC，BE=CE，E为AD上一点，求证：∠BED=∠CED。

8.已知：如图，A、E、F、B在一条直线上，AC=BD,AE=BF，CF=DE。求证：AD∥BC

课后练习：

1.工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图：∠AOB是一个任意角，在OA、OB 上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P 的射线OP便是∠AOB的平分线。你知道这样做的理由吗？

2.已知：如图：BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF。

3.如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．

4.已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，问AE∥CF吗？

10.如图，AC=BD，BC=AD，求证:△ABC≌△BAD．

能力提高：

1.如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC=

2.已知：如图,E是AD上的一点,AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE．求证：∠B=∠CAE．

3.如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。(1)求证：△ABE≌△DCF;(2)CF∥BE.

4.如图,AD=BC,AB=DC.求证：∠A+∠D=180°.

三角形全等的条件二(SAS)

定义：

．．．如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．简．写成“边角边”

．．．．．．．两边一角对应相等

结论：

例1.如图，AE=DB,BC=EF,BC∥EF,求证:△

例2.如图，

AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC，求证：△ABC≌△ADE．例3.已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．