线性代数1.1行列式的定义

序调所换以一我下们，先目将的是a让4 2a元3 素1a2行3a标5 6按a1标4a准6 5排（列1），将6个a因1 4数与的a顺4 2
交换一下，（注：这里并不是排列的对换，只是元素乘积
顺序的改变）得到 a1 4a3 1a2 3a5 6a4 2a6 5（2）。
我们注意到交换（1）中这两因素的位置，其行标排列
p1 ps 1 pt p 1 s pt pn （4）
再对排列（4）中的数码 pt 依次与 ps pt 1…… ps 1 这t-s数
码进行t-s次相邻对换得到排列
p1 pt ps 1 pt p 1 s pn （5）
这样排列（3）共经过 （ t-s-1 ）+（ t-s）=2(t-s)-1 这奇数 次相邻两数码对换完成了在（3）中对换 ps 与 pt 的目的得
同理在对（2）中交换因数 a2 3与 a3 1位置得到的 a1 4a2 3a3 1a5 6a4 2a6 5（3）中仍有
1 N 132546 N 413625
1 N 123546 N 431625
在交换（3）因数 a5 6与 a3 1 位置后得到的
a1 4a2 3a3 1a4 2a5 6a6 5（4）中有
a a a a N 4 2 3 1 14 22 33 41
- 1 N 1 3 2 4 1 4 2 3 3 2 4 1
a a a a - = a1 1a2 2a3 3a4 4
11 23 32 44
a a a a - a1 4a2 2a3 3a4 1
14 23 32 41
又
- 1 N 432516 N 213645
线性代数
•
变量之间的依存关系如果是一次
幂的关系，那么就称为线性关系，这种关
系是最简单的关系，我们这门课就是讨论
这种最简单关系的课程。现实中变量关系
是很复杂的，但若可微，那么一阶微分之
间的关系依然是线性关系，也就是说变量
之间在局部范围仍呈现线性关系，也可使
用这里所讲的知识，由于线性关系是最基
础的关系，它在各领域内的应用也是最广
3、n阶行列式的每项都有n个因数乘积，这些因数是行列 式位于不同行、不同列n个元素。
4也、就a是1 p1说a2行p2 列式an一pn 项的的符符号号为是当1这N元p素1p2行 标p为n 标准排列
时，列标组成的排列为偶排列时，则这项符号为正，奇 排列时为负，而奇偶排列数量各占一半，所以行列式正 负项也各占一半。
定义2 在一排列 p1p2 pn中，若其中的两个数
码(可以不相邻)大的比小的更靠左，则称这两个数码构成
一个逆序，一个排列 p1p2 pn 数码构成逆序的总
数称为逆序数，记为
。
N p1p2 pn
显然 标准排列的逆序数为零。
例1 计算 1）N(32514) 2) N(34512)
解：1）在32514中
所以排列（1）与（2）的奇偶性不同
这里还可以总结为对一排列进行奇数次相邻两数
码对换改变其奇偶性，而偶数次则不改变。
2对）于再排证列任意位置p上1 两数p码s p对s 换1 命题p成t 1立pt。 pn （3）
将数码 ps 依次与 ps 1 … pt -1这 t-s-1个数码进行t-s-1次相
邻对换得到
- 1 N 123546 N 431625
1 N 123456 N 431265
（4）中的行标已经是标准排列，所以（4）符号就为
1 N 123456 N 431265
由于(1) 与（4）是行列式里的同一项所以（1）的符号为
1 N 123456 N 431265
泛和最常见的。
第一章 行列式
•
行列式在讨论多变量线性关系时是经常遇
到的，像解析几何中平行多面体的体积公式，微
积分中多重积分的变量替换公式，概率论中多元
正态分布的公式，还有解线性方程组等都会用到
行列式，下面我们就介绍行列式的概念。
第一节 行列式的概念
• 一 排列与逆序
• 定义1 由1、2、……、n这n个数码按一定顺序
若 ps ps 1 ，则 ps ps 1构成一个逆序，而 ps p 1 s 不构成逆序，又由于对换前后其它数码相互位置不变，其它数
码与这两个数码位置也没有改变。
所以有 N
同理 若
pp1s
ppssps1 1
pn
=N
p1 ps ps 1 pn
+1
则有 N p1 ps ps 1 pn = N p1 ps ps 1 pn -1
到排列（5），所以（3）与（5）的奇偶性不同。证毕
这个命题还可叙述为排列进行奇数次对换改变其
奇偶性，而偶数次不改变。
因为标准排列是偶排列，所以奇排列要通过奇数
次才能对换成标准排列，而偶排列要通过偶数次。
命题3 n级排列(n>1) 中，奇排列偶排列数量各占一半，均 为 n!个。
2
证：设n级排列(n>1) 中共有p个不同的奇排列，q个不同偶
不写这一项，这样第一行我们就只取元素 a1 1，在第二行取 元素时我们就不能取与 a1 1同一列的元素，那些元素零也没 必要取，所以取a2 2，同理第三行取 a3 3,……第n行取 ann）
D 所以 n = 1 N 1 2 3n a1 1a2 2a3 3 an n
= a1 1a2 2a3 3 an n
使用行列式定义计算行列式在行列式较复杂或阶
数较高时很容易会漏掉一些项或重复一些项，因此这不是
一种常用的方法，后面我们会使用行列式的性质来计算行
列式的值。
例6 试确定6阶行列式中一项a4 2a3 1a2 3a5 6a1 4a6 5 的符号。
解：行列式一项的符号，其元素的行标必须是标准排列， 然后由列标排列的奇偶性来确定。
1p1 2p2
n pn
p1p2 pn
行列式简记为d e t (ai j) ，ai j 称为此行列式的第i行，
第 j行元素 。
说明
1、这本书里行列式的元素是数字或最终代表数字的代数 式，它只对这些数字进行了乘积和求和的两种运算，运 算结果当然也是个数字，因此行列式的本质是一个数字。
2、n阶行列式共有n!项。
3与2, 3与1构成逆序，3与后面(右面)的数码构成2个逆序
2与1构成逆序，
2与后面(右面)的数码构成1个逆序
(2虽然与3也构成逆序，但在讨论3时已经有这个逆序了，为
避免重复计算2与前面(左面)构成的逆序就不重复写出了.）
5与1, 5与4构成逆序 5与后面(右面)的数码构成2个逆序
1与后面的数不构成逆序，4后面没有数码了，与后面的数码
对于n阶行列式
a1 1 a1 2 a1n a2 1 a2 2 a2n
an1 an 2 an n
我们称红线上的元素为主对角线元素，例3中主对 角线以上元素均为零，我们称这样的行列式为下三角型行 列式。而主对角线以下元素都为零的行列式称为上三角型 行列式。
我们看到下三角型行列式值等于它的主对角线元 素乘积，这个结论是用来计算一个行列式的常用方法。
例4 计算n阶行列式
0 0 0 1 0 0 2 0 Dn
0 n 1 0 0 n 0 0 0 解：显然第一行只能取 1，第二行只能取 2 ……第n-1行只能取 n 1 ，第n行只能 n , 而1 ，2 …… n 1, n 这些元素是分别为行列式的第n
列，第 n-1列……..第2列，第1列 ，所以
排列。 由命题1可知
p q n!
对p个奇排列中的每个排列的第一数码与最后数码进行对换
，则得到p个不同的偶排列，又由于一共才有q个不同偶排
列，这得到的偶排列一定是那q个不同偶排列中的一部分，
所以 得到
p p
q q
。同理对q个不同偶排列进行相同的操作就能
，所以
p
q
n!
2
证毕
思考题：已知 N p1p2 pn p 1 n k 求 N pn pn 1 p2p1
5、一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混。
二 计算 例3 计算n阶行列式
a1 1 0
00
a2 1 a2 2 0 0
Dn a3 1 a3 2 a3 3 0
an1 an 2 an 3 an n
解：（按照行列式定义，n阶行列式中的每一项是来自不同 行不同列n个元素的乘积，如果这n个元素有一个是零，则 这一项n个元素乘积也就是零，那这一项也就没必要写出它 了，所以在各行或列取元素时，遇到元素是零的完全可以
在选中 在选中
aa1111后和，a2第3 后2行，选第a32行3 就，只能选
a3
2，第4行只能取a4
4
这同样理我第们一又行得选到a1一4后项也a可1 1得a2到3a两3 2a项4 4
a1 4a2 2a3 3a4 1 和 a1 4a2 3a3 2a4 1。
所以
D a a a a 4= - 1 N 1 2 3 4a1 1a2 2a3 3a4 4+ - 1 N 1 3 2 4 1 1 2 3 3 2 4 4
项符号为 1 N p1p2 pn ，
而这样在各行元素中取出n个不同列的元素的方法有n!种， 每种乘积后都生成了行列式的一项，最后将这n!项赋予符 号后求和就是这个行列式。
a1 1 a1 2 a1n
即
Dn
a2 1 a2 2 a2n
an1 an2 an n
a a a 1 N p1p2pn
n(n 1)
2
n级排列n(n-1)….321中任意两个数都构成逆序，因此这个排 列的逆序数达到了最大，所以我们有
0
N p1p2 pn
n(n 1)
2
定义3 逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的 排列称为偶排列。
显然标准排列为偶排列。 在例1中N(32514)=5，所以32514是奇排列。
排成一有序组，称为一个n级排列，
• 记作 p1p2 pn
。
• 注：这里的n级排列是指这n个数码都要用到，并
且每个数码只能出现一次。
• 如：32514为一个5级排列。
• 而3251和325124则不是这里所说的排列。
显然有 命题1 n级排列共有n!个。 比如3级排列共有3！=6个，它们是 123, 132，312，321, 231，213. 从左到右是从小到大排列的排列称为标准排列。 比如12.....n就是一个n级标准排列。
432516与列标排列213645同时做了相同位置的两数码的对换
而得到（2）中行标排列132546与列标排列413625。
由于（1）行标与列标两个排列的奇偶性都发生改变，那么
它们逆序数之和的奇偶性将保持不变，
即
1 N 432516 N 213645
1 N 132546 N 413625
Dn =
=
1 N n n 12 112 n 1 n n n 1
1 2 12 n 1 n
例5 计算4阶行列式
a1 1 0
0 a1 4
D4
0 0
a2 2 a3 2
a2 3 a3 3
0 0
a4 1 0
0 a4 4
解在 在：选选这第中中样1aa行我11 可11们后和选得第a2到2a2行后一1可1或，项选a第13aa4，行12 12我就a或2们只2aa先能23 33a选选，4 先aa4 13选13，，a第2 24，行只能取a4 4
也不构成逆序。
所以N(32514) =2+1+2+0+0=5.
总结这种做法，计算一个排列的逆序数只需从左边的数码依
次计算与后面数码的逆序个数求和即可。
2） N(34512)=2+2+2+0+0=6
例2 计算N(n(n-1)….321)
解： N(n(n-1)….321)
=（n-1）+（n-2）+……+2+1+0=
N(34512)=6，所以34512是偶排列。
定义4 将一排列中的两数码对掉，其它数码位置不变的操作称 为一次对换。
比如对换排列32514中的数码2与4就得到排列34512。
命题2 对n级排列(n>1)施行一次对换，改变排列的奇偶性。
证 对 得：于到排排1）列 列先证pp明11` 相邻pp两ssp数1ps码s1 对换pp命nn 题（（成12））立对。换数码 ps ps 1
二、n阶行列式
1）定义 由 n 2 个元素 ai j (i 1,2, n,j 1,2, n)
组成的记号
a1 1 a1 2 a1n
Dn
a2 1 a2 2 a2n
an1 an 2 an n
称为n阶行列式， 它表示 从行列式的第1行，第2行……第n行取出不同列上的n
个元素 a1p1 ,a2p2 , ,an pn （ p1,p2, ,pn互不相同） 进行乘积 a a 1p1 2p2 an pn 形成行列式的一项，然后赋予这