第六章刚体动力学_大学物理

第七章机械振动
刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系
刚体定轴转动的动力学方程，熟练使用刚体定轴转动定律
刚体对固定轴的角动量的计算，正确应用角动量定理及角动量守恒定理
掌握刚体的概念和刚体的基本运动
理解转动惯量的意义及计算方法，会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量
掌握力矩的功，刚体的转动动能，刚体的重力势能等的计算方法
了解进动现象和基本描述
§6.1 刚体和自由度的概念
一. 力矩
力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体
运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因.
将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于
不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即
力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零.
讨论:
(1)力对点的力矩.
(2) 力对定轴力矩的矢量形式
力矩的方向由右螺旋法则确定.
(3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.
例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图)
求摩擦力对y 轴的力矩.
解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如
图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为
则该线元的摩擦力对y轴的力矩为
积分得摩擦力对y轴的力矩为
注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如
二. 刚体对定轴的转动定律
实验证明: 当力矩M为零时,则刚体保持静止或匀速转动,当存在M时,角加速度β与M成正比,而与转动惯量J 成反比,即.也可写成
国际单位中k=1.
若设作用在刚体上的外力对z轴的力矩总和为合外力矩,刚体对z 轴的转动惯量为J, 则有
上式表明,刚体绕定轴转动时,刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩的代数和.该式称为刚体绕定轴转动微分方程,也称转动定律.
讨论:
(1) M 正比于β ,力矩越大,刚体的β越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
(3) 与牛顿定律比较,
转动定律的理论证明:
如右图,在刚体上任取一质量元,作用在质量元上的力可以分为两类:表示来自刚体意外一切力的合力(称外力),表示来自刚体内各质点对该质量元作用力的合理(称内力).刚体绕定轴Z 转动过程中,质量元以为半径作圆周运动,按牛顿第二定律,有
将此矢量方程两边都投影到质量元的圆轨迹切线方向上,则有
再将此式两边乘以,则得对固定轴的力矩
对所有质量元求和,则得
等式右边第一项为合外力矩;第二项为所有内力对z 轴的力矩总和,由于内力总是成对出现,
而且每对内力大小相等、方向相反,且在一条作用线上,因此内力对z 轴的力矩的和恒等于零.
又.则有
即证.
三. 转动惯量
刚体对某Z 轴的转动惯量,等于刚体上各质点的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积之和,即
事实上刚体的质量是连续分布的,故上式中的求和可写为定积分,即
刚体对轴转动惯量的大小决定于三个因素,即刚体的质量、质量对轴的分布情况和转轴的位置.
(1) J 与刚体的总质量有关
例 1 两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
解：在如图的棒上取一线元dx,则积分得其转动惯量为
显然，本题中，则
(2) J 与质量分布有关
例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量
解: 在如图的圆环上取一线元dl,则积分得其转动惯量为
例3 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
解: 在如图的圆盘上取一宽为dr的圆环带,令,则质量元
则积分得圆盘的转动惯量为
(3) J 与转轴的位置有关
例 4 均匀细棒绕端点轴转动惯量
解: 在如图棒上取一线元dx,积分得棒的转动惯量为
例 5 均匀细棒对通过中心并与棒垂直得轴的转动惯量
解: 如图,以杆的中心O为坐标原点,取Oxz坐标系.积分得棒对z轴的转动惯量为
四. 平行轴定理及垂直轴定理
1. 平行轴定理
设刚体得质量为M,质心为C,刚体对通过质心某轴z(称为质心轴）得转动惯量为.如有另一与z 轴平行的任意轴,且z和两轴间的垂直距离L.刚体对轴的转动惯量设为,则可以证明：.即刚体对任意轴(轴)的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴(z轴)的转动惯量加上刚体的质量与两轴间垂直距离L平方的乘积.这个结论称为平行轴定理.
例1 : 求均匀细棒的转动惯量.
解: 如图,已知均质杆对质心轴z 的转动惯量为,为通过杆的一端、且与z 轴平行的轴的转动惯量,按平行轴定理有
2.垂直轴定理
如右图所示, x、y轴在刚体内, z轴垂直于刚体.则刚体对z 轴的转动惯量等于其对x、y轴的转动惯量之和
此即为垂直轴定理.
例求对圆盘的一条直径的转动惯量
解：以圆盘圆心C为坐标圆点,建立xyz 坐标系
如右图.易求得圆盘对z 轴的转动惯量为
根据垂直轴定理,有
又
则
五. 转动定律的应用举例
例1 一轻绳绕在半径r =20 cm 的飞轮边缘,在绳端施以F =98 N 的拉力,飞轮的转动惯量J =0.5 kg·m 2,飞轮与转轴间的摩擦不计,(如图)
求: (1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量P =98 N 的物体挂在绳端，试计算飞轮
的角加速度
解: (1) 根据转动定律,有
(2) 分别对物体和飞轮进行受力分析,如图所示,根据牛顿运动定律和转动定律,有
，
因为，所以有
例2一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置
求它由此下摆角时的
解: 在直棒上取如图的质量元dm ,则积分得整个直棒重力对轴O的力矩为
又
故
由上式可以看出,重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩.
则角加速度为:
又, 则杆下摆至角速度为
例3圆盘以在桌面上转动,受摩擦力而静止
求到圆盘静止所需时间
解:在圆盘内取一半径为r 的,厚度为dr 的环带, 其质量为
该环带的摩擦力对质心轴的力矩为
积分得圆盘的摩擦力力矩为
由转动定律得
所以,得
则
例4如图一个刚体系统,已知转动惯量,现有一水平作用力作用于距轴为处
求轴对棒的作用力(也称轴反力)
解: 设轴对棒的作用力为N,分解为.
由转动定律得
由质心运动定理得
解得
打击中心
则
思考题
1. 刚体可有不止一个转动惯量吗? 除了刚体的形状和质量以外,要求它的转动惯量,还要已知什么信息?
2.能否找到这样一个轴,刚体绕该轴的转动惯量比绕平行于该轴并通过质心的轴的转动惯量小?
3.刚体在力矩作用下绕定轴转动,当力矩增大或减小时,其角速度和角加速度将如何变化?
4.猫有一条长长的尾巴,它习惯于在阳台上睡觉,因而从阳台上掉下来的事情时有发生.长期的观察表明猫从高层的楼房的阳台掉到楼外的人行道上时,受伤的
程度将随高度的增加而减少,据报道有只猫从32层楼掉下来,也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤.为什么会这样呢?
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§ 6.2 绕定轴转动刚体的动能动能定理
一. 转动动能
刚体I 绕定轴z 转动,转动惯量,某时刻t ,角速度ω ,角加速度为β,设想刚体是由大量质点组成,现研究质量为的质点i,如图.显然,质点i 的速度为,由质点动能的定义知,质量i 的动能为
由于动能为标量且永为正,故整个刚体的动能E等于组成刚体所有质点动能的算数和,即
即绕定轴转动刚体的动能,等于刚体对转动的转动惯量于其角速度平方乘积的一半. 将刚体绕定轴转动的动能与质点的动能加以比较,再一次看出转动惯量对应于质点的质量,即转动惯量是刚体绕轴转动惯性大小的量度.
二.力矩的功
力的累积过程——力矩的空间累积效应
功的定义
如图,设绕定轴z 转动刚体上P 点作用有一力,现研究刚体转动时力
在其作用点P 的元路程ds 上的功.由图易得
即作用在定轴转动刚体上的力的元功,等于该力对转轴的力矩于刚体的元角位移的乘积.这也称为力矩的元功.
力矩作功的微分形式
对一有限过程
刚体从角坐标到的过程中,力矩对刚体所作的功为
若力矩M为常数,则上式可以进一步写成
既作用在定轴转动刚体上的常力矩在某一转动过程中对刚体所作的功,等于该力矩与刚体角位移的乘积.
讨论:
(1) 合力矩的功
(2) 力矩的功就是力的功
(3) 内力矩作功之和为零
三. 转动动能定理——力矩功的效果
力矩的元功
此式表示绕定轴转动刚体动能的微分,等于作用在刚体上所有外力元功的代数和.这就是绕定轴转动刚体的动能定理的微分形式. 若定轴转动的刚体在外力作用下,角速度从变到,则由微分式,可得到
式中A 表示刚体角速度从变到这一过程中,作用于刚体上的所有外力所作功的代数和. 上式表明,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和.这就是绕定轴转动刚体的动能定理的积分形式.
刚体的机械能等于刚体的动能、重力势能之和.
其中的重力势能为
故刚体的机械能又可表示为
刚体的机械能守恒,则有
对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立.
例1一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置
求它由此下摆角时的
解: 易得杆摆至角时对O 轴的力矩为
由动能定理,重力矩作的功得
又,由此得
即
例2图示装置可用来测量物体的转动惯量.待测物体A 装在转动架上,转轴
Z 上装一半径为r的轻鼓轮,绳的一端缠绕在鼓轮上,另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m 的重物.重物下落时,由绳带动被测物体A绕Z 轴转动.今测得重物由静止下落一段距离h .所用时间为t .
求物体 A 对Z 轴的转动惯量.设绳子不可伸缩,绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计.
待测物 A 的机械能:
重物m 的机械能:
由机械能守恒得:
又
则可得
故,物体 A 对Z 轴的转动惯量为
思考题
1.两个重量相同的球分别用密度为的金属制成,今分别以角速度
绕通过球心的轴转动,试问这两个球的能量之比多大?
§ 6.3 动量矩和动量矩守恒定律
一. 质点动量矩( 角动量) 定理和动量矩守恒定律
1.质点的动量矩
设一质点在平面S ,如图所示.在时刻t,质点的动量为,对某固定点O质点的位矢为,则质点对O点的动量矩(或质点对O点的角动量)定义为: 位矢和动量的矢积,即
根据矢积定义,质点对O点动量的大小为:
指向由右螺旋法则确定.(可以证明,质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩)
特例：质点作圆周运动时,
说明: (1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关
(2) 当质点作平面运动时,质点对运动平面内某参考点O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩
例一质点m ,速度为v ,如图所示A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为.
求此时刻质点对三个参考点的动量矩
解: 质点对某点的动量矩, 在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩
2. 质点的动量矩定理
质点为m 的质点，在力的作用下运动，某一时刻t ,质点相对固定点O 的位矢为,速度为,按上述质点动量矩的定义,有
两边对时间求导,得
由于,故上式右边第二项为零,而第一项中,因此,上式右边第二项是作用在质点上所有力的合力对O 点的力矩,即
此式表明,在惯性系中,质点对任意固定点O的动量矩对时间的导数,等于作用在质点上所有力的合力对同一点O 的力矩.这就是质点动量矩定理.
质点动量矩定理的微分形式:
质点动量矩定理的积分形式:
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量
说明:
(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因
(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果
质点动量矩定理也可直接用来求解质点动力学问题,特别是质点在运动过程中始终和一个点或一根轴相关联的问题,例如单摆运动,行星运动等问题.
3. 质点动量矩守恒定律
在质点动量矩定理可以看出,当作用在质点上的合力对固定点的力矩恒为零时,质点对该点的动量矩为常矢量,即
若时,=常矢量
这就是质点动量守恒定律.
讨论:
(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一,它不仅适用于宏观体系,也适用于微观体系, 且在高速低速范围均适用
(2) 通常对有心力：过O 点,M= 0, 动量矩守恒.
例如由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律
行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积
例发射一宇宙飞船去考察一质量为M 、半径为R 的行星, 当飞船静止于
空间距行星中心4R 时,以速度发射一质量为m 的仪器.要使该仪器恰好掠过行星表面
求θ 角及着陆滑行的初速度多大
解:由引力场(有心力)系统的机械能守恒得
由质点的动量矩守恒得
则
所以有
二. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
1. 刚体定轴转动的动量矩
刚体以角速度ω 绕定轴z转动时,刚体上任意一点均在各自所在的垂至于z轴的平面那作圆周运动,如图.
由于刚体上任一质点对z轴的动量矩都具有相同的方向(或者说都具有相同的正负号),因此整个刚体对z轴的动量矩应为各质点对z轴的动量矩之和,即
上式表明,绕定轴转动刚体对z 轴的动量矩,等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积.
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
将动量矩表达式对时间求导,得
由于刚体对给定轴的转动惯量是一常量,因此利用前面讲过的转动定律,可以将上式进一步写成
上式表明,绕定轴转动刚体对z轴的动量矩对时间的导数,等于作用在刚体上所有外力对z轴的力矩的代数和.这就是刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理.
动量矩定理微分形式:
将上式两边乘以dt并积分,得动量矩定理积分形式:
,分别表示在时刻转动刚体对z轴得动量矩,成为在时间内对z 轴得冲量矩.冲量矩表示了力矩在一段时间间隔内的积累效应.上式表明,定轴转动刚体的动量矩在某一时间间隔内的增量,等于同一时间间隔内作用在刚体上的冲量矩.
3. 刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律
当作用在定轴转动刚体上的所有外力对转轴的力矩代数和为零时,根据动量
矩定理式,刚体在运动过程中动量矩保持不变(守恒),即
=0时,=常量.
以上的讨论是对绕定轴转动的刚体进行的.对绕定轴转动的可变形物体来说,如果物体上各点绕定轴转动的角速度相同,即可用同一角速度来描述整个物体的转动状态,则某一时刻t , 物体对转动轴的动量矩也可表示为该物体在时刻t 对同一轴的转动惯量与角速度的乘积.只是由于物体上各点相对于轴的位置是可变的,所以对轴的转动惯量不再是一个常量,可表示为
可以证明,这是可变形物体对转轴的动量矩对时间的导数仍然等于作用于该
可变形物体的所有外力对同一轴的力矩的代数和,即仍成立. 这时如果作用在可变形物体上所有外力对该轴的力矩的代数和恒为零,则在运动过程中,可变形物体对转轴的动量矩保持不变(守恒).更一般地说,如果作用在质点系上所有外力对某一固定轴的力矩之和为零,则质点系对该轴的动量矩保持不变,这是动量矩守恒定律的更为一般的表述形式.
动量矩守恒定律在实际生活中及工程中有着广泛的应用.
例如花样滑冰的表演者可以容过伸展或收回手脚(改变对轴的转动惯量)的动作来调节旋转的角速度.
例一长为l 的匀质细杆,可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动,开始时杆静止于水平位置.一质量与杆相同的昆虫以速度垂直落到距O点l /4 处的杆上,昆虫落下后立即向杆的端点爬行,如图所示.若要使杆以匀角速度转动.
求昆虫沿杆爬行的速度
解:设杆和昆虫的质量均为m ,昆虫与杆碰后以共同的角速度转动.昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统,和外力矩为零,动量矩守恒,故有
化简此式可得杆的转动角速度,即
由题可知,此后杆以此角速度作匀速转动.设碰后t 时刻,杆转过角,昆虫爬到距O 点为r的位置处, 此时,昆虫和杆系统所受合外力矩为
根据动量定理,有
由题设不变,所以
其中的值为
带入上式有
因此,为了使保持不变,昆虫的爬行速率应为
说明:
此题使一个系统绕定轴转动问题.在解此题的过程中应用了动量矩定理
,该定理与刚体绕定轴转动定律的区别.
三. 进动
如图为一玩具陀螺,我们发现如果陀螺不绕自身对称轴旋转,则它将在起重力对质点O的力矩作用下翻到.但是当陀螺以很高的转速绕自身对称轴(称作自转或自旋)时,尽管陀螺仍然受重力矩作用,陀螺却不会翻到.陀螺的重力对O点的力矩作用结果将使陀螺的自转轴沿虚线所示的路径画出一个圆锥面来.
我们称陀螺高速旋转时,其轴绕铅直轴的转动为进动.
陀螺绕其对称轴以角速度高速旋转,如下图.对固定点O,它的动量矩L 可近似(未计进动部分的动量矩)表示为
作用在陀螺上的力对O 点的力矩只有重力的力矩.显然, 垂至于动量矩矢量,按动量矩定理
→
可见在极短的时间内,动量矩的增量与d与平行, 也垂直于.这表明,在dt 时间内,陀螺在重力矩作用下,其动量矩的大小未变,但方向却改变了(方向绕铅直轴z 转过了dθ角)
事实上,由于,带入动量矩定理式中.得
所以,
若陀螺自转角速度保持不变,则进动角速度也应保持不变.实际上由于各种摩擦阻力矩的作用,将使不断减小,与此同时,进动角速度Ω 将逐渐增大,进动将变得不稳定.
以上的分析是近似的,只适用于自转角速度比进动角速度Ω 大得多得情况.因为有进动的存在,陀螺的总动量矩除了上面考虑到的因自转运动产生的一部分外,尚有进动产生的部分.只有在时,才能不计及因进动而产生的动量矩.
思考题
1. 如果一个质点在作直线运动,那么质点相对于那些点动量矩守恒?
2. 如果作用在质点上的总力矩垂直于质点的动量矩,那么质点动量矩的大
小和方向会发生变化吗?
3. 当刚体转动的角速度很大时,作用在上面的力及力矩是否一定很大?
4. 一个人随着转台转动,两手各拿一只重量相等的哑铃,当他将两臂伸平,他和转台的转动角速度是否改变?
5. 试说明: 两极冰山的融化是地球自转速度变化的原因之一.。