第六章刚体动力学_大学物理

第七章机械振动

刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系

刚体定轴转动的动力学方程，熟练使用刚体定轴转动定律

刚体对固定轴的角动量的计算，正确应用角动量定理及角动量守恒定理

掌握刚体的概念和刚体的基本运动

理解转动惯量的意义及计算方法，会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量

掌握力矩的功，刚体的转动动能，刚体的重力势能等的计算方法

了解进动现象和基本描述

§6.1 刚体和自由度的概念

一. 力矩

力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体

运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因.

将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于

不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即

力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零.

讨论:

(1)力对点的力矩.

(2) 力对定轴力矩的矢量形式

力矩的方向由右螺旋法则确定.

(3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.

例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图)

求摩擦力对y 轴的力矩.

解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如

图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为

则该线元的摩擦力对y轴的力矩为

积分得摩擦力对y轴的力矩为

注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如

二. 刚体对定轴的转动定律

实验证明: 当力矩M为零时,则刚体保持静止或匀速转动,当存在M时,角加速度β与M成正比,而与转动惯量J 成反比,即.也可写成

国际单位中k=1.

若设作用在刚体上的外力对z轴的力矩总和为合外力矩,刚体对z 轴的转动惯量为J, 则有

上式表明,刚体绕定轴转动时,刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩的代数和.该式称为刚体绕定轴转动微分方程,也称转动定律.

讨论:

(1) M 正比于β ,力矩越大,刚体的β越大

(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同

(3) 与牛顿定律比较,

转动定律的理论证明:

如右图,在刚体上任取一质量元,作用在质量元上的力可以分为两类:表示来自刚体意外一切力的合力(称外力),表示来自刚体内各质点对该质量元作用力的合理(称内力).刚体绕定轴Z 转动过程中,质量元以为半径作圆周运动,按牛顿第二定律,有

将此矢量方程两边都投影到质量元的圆轨迹切线方向上,则有

再将此式两边乘以,则得对固定轴的力矩

对所有质量元求和,则得

等式右边第一项为合外力矩;第二项为所有内力对z 轴的力矩总和,由于内力总是成对出现,

而且每对内力大小相等、方向相反,且在一条作用线上,因此内力对z 轴的力矩的和恒等于零.

又.则有

即证.

三. 转动惯量

刚体对某Z 轴的转动惯量,等于刚体上各质点的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积之和,即

事实上刚体的质量是连续分布的,故上式中的求和可写为定积分,即

刚体对轴转动惯量的大小决定于三个因素,即刚体的质量、质量对轴的分布情况和转轴的位置.

(1) J 与刚体的总质量有关

例 1 两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量

解：在如图的棒上取一线元dx,则积分得其转动惯量为

显然，本题中，则

(2) J 与质量分布有关

例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量

解: 在如图的圆环上取一线元dl,则积分得其转动惯量为

例3 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量

解: 在如图的圆盘上取一宽为dr的圆环带,令,则质量元

则积分得圆盘的转动惯量为

(3) J 与转轴的位置有关

例 4 均匀细棒绕端点轴转动惯量

解: 在如图棒上取一线元dx,积分得棒的转动惯量为

例 5 均匀细棒对通过中心并与棒垂直得轴的转动惯量

解: 如图,以杆的中心O为坐标原点,取Oxz坐标系.积分得棒对z轴的转动惯量为

四. 平行轴定理及垂直轴定理

1. 平行轴定理

设刚体得质量为M,质心为C,刚体对通过质心某轴z(称为质心轴）得转动惯量为.如有另一与z 轴平行的任意轴,且z和两轴间的垂直距离L.刚体对轴的转动惯量设为,则可以证明：.即刚体对任意轴(轴)的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴(z轴)的转动惯量加上刚体的质量与两轴间垂直距离L平方的乘积.这个结论称为平行轴定理.

例1 : 求均匀细棒的转动惯量.

解: 如图,已知均质杆对质心轴z 的转动惯量为,为通过杆的一端、且与z 轴平行的轴的转动惯量,按平行轴定理有

2.垂直轴定理

如右图所示, x、y轴在刚体内, z轴垂直于刚体.则刚体对z 轴的转动惯量等于其对x、y轴的转动惯量之和

此即为垂直轴定理.

例求对圆盘的一条直径的转动惯量

解：以圆盘圆心C为坐标圆点,建立xyz 坐标系

如右图.易求得圆盘对z 轴的转动惯量为

根据垂直轴定理,有

又

则

五. 转动定律的应用举例

例1 一轻绳绕在半径r =20 cm 的飞轮边缘,在绳端施以F =98 N 的拉力,飞轮的转动惯量J =0.5 kg·m 2,飞轮与转轴间的摩擦不计,(如图)

求: (1) 飞轮的角加速度

(2) 如以重量P =98 N 的物体挂在绳端，试计算飞轮

的角加速度

解: (1) 根据转动定律,有

(2) 分别对物体和飞轮进行受力分析,如图所示,根据牛顿运动定律和转动定律,有

，

因为，所以有

例2一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置

求它由此下摆角时的

解: 在直棒上取如图的质量元dm ,则积分得整个直棒重力对轴O的力矩为

又

故

由上式可以看出,重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩.

则角加速度为: