2018-2019福州市质检试卷及答案

准考证号：姓名：1
（在此卷上答题无效）
2018—2019学年度福州市九年级质量检测
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，满分150分．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生
要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名
是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4．考试结束后，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．下列天气预报的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D
2．地球绕太阳公转的速度约为110000千米/时，将110000用科学记数法表示，其结果是
A ．61.110⨯
B ．51.110⨯
C ．41110⨯
D ．6
1110⨯3．已知△ABC ∽△DEF ，若面积比为4∶9，则它们对应高的比是
A ．4∶9
B ．16∶81
C ．3∶5
D ．2∶3
4．若正数x 的平方等于7，则下列对x 的估算正确的是
A ．1＜x ＜2
B ．2＜x ＜3
C ．3＜x ＜4
D ．4＜x ＜5
5．已知a ∥b ，将等腰直角三角形ABC 按如图所示的方式放置，其中锐角顶点B ，直角顶点C 分别落在直线a ，b 上，若∠1=15°，则∠2的度数是
A ．15°
B ．22.5°
C ．30°
D ．45°6．下列各式的运算或变形中，用到分配律的是
A
．=B ．222()ab a b =C ．由25x +=得52x =-D ．325a a a
+=7．不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的a 个白球、b 个红球、c 个黄球，则任意摸出一个球，
是红球的概率是
A ．b a c +
B ．a c a b c +++
C ．b a b c ++
D ．a c b
+8．如图，等边三角形ABC 边长为5，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF =2，则BD
的长是
A ．247
B ．218
C ．3
D ．29．已知Rt △ABC ，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，AD 平分∠BAC ，则点B 到射线AD 的距离是
A ．2B
．C
D ．3
10．一套数学题集共有100道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人都解
对了其中的60道．如果将其中只有1人解对的题称作难题，2人解对的题称作中档题，3人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是
A ．容易题和中档题共60道
B ．难题比容易题多20道
C ．难题比中档题多10道
D ．中档题比容易题多15道A
E D B C
F A
21
C B a b
A x
y B C
O 109876
0成绩/环次数12345678910乙甲第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．2．作图可先用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．分解因式：34m m -=．12．若某几何体从某个方向观察得到的视图是正方形，则这个几何体可以是．
13．如图是甲、乙两射击运动员10次射击成绩的折线统计图，则这10次射击成绩更稳定的运动员是．14．若分式65
m m -+-的值是负整数，则整数m 的值是．15．在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径的⊙O 与
直线23y kx k =++（0k ≠）交于A ，B 两点，则弦AB 长
的最小值是．
16．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限，
点B 是x 轴正半轴上一点，∠OAB =45°
，双曲线k y x =过点A ，交AB 于点C ，连接OC ，若OC ⊥AB ，则tan ∠ABO
的值是．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分8分）
计算：3tan 30-+︒-(3.14π-)0．
18．（本小题满分8分）如图，已知∠1=
∠2，∠B =∠D ，求证：CB =CD ．19．（本小题满分8分）先化简，再求值：(11x -)2
221x x x -+÷，其中1x +．20．（本小题满分8分）
如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BD 平分∠ABC ．
求作⊙O ，使得点O 在边AB 上，且⊙O 经过B ，D 两点；并证明
AC 与⊙O 相切．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
B C A
D 2
1C
A B
D
如图，将△ABC 沿射线BC 平移得到△A ′B ′C ′，使得点A ′落在
∠ABC 的平分线BD 上，连接AA ′，AC ′．
（1）判断四边形ABB ′A ′的形状，并证明；
（2）在△ABC 中，AB =6，BC =4，若AC ′⊥A′B′，求四边形ABB ′A ′
的面积．22．（本小题满分10分）
为了解某校九年级学生体能训练情况，该年级在3月份进行了一次体育测试，决定对本次测试的成绩进行抽样分析．已知九年级共有学生480人．请按要求回答下列问题：
（1）把全年级同学的测试成绩分别写在没有明显差别的小纸片上，揉成小球，放到一个不透
明的袋子中，充分搅拌后，随意抽取30个，展开小球，记录这30张纸片中所写的成绩，得到一个样本．你觉得上面的抽取过程是简单随机抽样吗？
答：．（填“是”或“不是”）
（2）下表是用简单随机抽样方法抽取的30名同学的体育测试成绩（单位：分）：
59
69777372627978668185
84838486878885868990979198909596939299
若成绩为x 分，当x ≥90时记为A 等级，80≤x ＜90时记为B 等级，70≤x ＜80时记为C 等级，x ＜70时记为D 等级，根据表格信息，解答下列问题：
①本次抽样调查获取的样本数据的中位数是；
估计全年级本次体育测试成绩在A ，B 两个等级的人数是；
②经过一个多月的强化训练发现D 等级的同学平均成绩提高15分，C 等级的同学平均成绩提高10分，B 等级的同学平均成绩提高5分，A 等级的同学平均成绩没有变化，请估计强化训练后全年级学生的平均成绩提高多少分？
23．（本小题满分10分）
某汽车销售公司销售某厂家的某款汽车，该款汽车现在的售价为每辆27万元，每月可售出两辆．市场调查反映：在一定范围内调整价格，每辆降低0.1万元，每月能多卖一辆．已知该款汽车的进价为每辆25万元．另外，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元；销售量在10辆以上，超过的部分每辆返利1万元．设该公司当月售出x 辆该款汽车．（总利润＝销售利润＋返利）
（1）设每辆汽车的销售利润为y 万元，求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当x ＞10时，该公司当月销售这款汽车所获得的总利润为20.6万元，求x 的值．
B A
C A'B'C'
D
在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点（不与点A ，C 重合），以AD ，AE 为邻边作平行四边形AEGD ，GE 交CD 于点M ，连接CG ．
（1）如图1，当AE ＜12
AC 时，过点E 作EF ⊥BE 交CD 于点F ，连接GF 并延长交AC 于点H ．①求证：EB =EF ；
②判断GH 与AC 的位置关系，并证明；
（2）过点A 作AP ⊥直线CG 于点P ，连接BP ，若BP =10，当点E 不与AC 中点重合时，求
PA 与PC 的数量关系．B C D A E G
M F
H B C
D A 图1备用图
25．（本小题满分13分）
已知抛物线1(5)()2
y x x m =-+-（m ＞0）与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）直接写出点B ，C 的坐标；（用含m 的式子表示）
（2）若抛物线与直线12
y x =交于点E ，F ，且点E ，F 关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）若点P 是线段AB 上一点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线AC 于点N ，
当线段MN 长的最大值为258
时，求m 的取值范围．
答案及评分标准
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考
查内容比照评分参考制定相应的评分细则．
2．对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：每小题4分，满分40分．
1．A 2．B 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8．B
9．C 10．B 二、填空题：每小题4分，满分24分．
11．(2)(2)
m m m +-12．正方体13．甲
14．415
．16
注：12题答案不唯一，能够正确给出一种符合题意的几何体即可给分，如：某个面是正方形的长方体，底面直径和高相等的圆柱，等．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17
．解：原式31=+-·····································································6分311=+-··············································································7分3=．···················································································8分18．证明：∵∠1=∠2，
∴∠ACB =∠ACD ．·····································3分在△ABC 和△ADC 中，
B D ACB ACD A
C AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ABC ≌△ADC (AAS )，··························································6分
∴CB =CD ．·············································································8分
注：在全等的获得过程中，∠B ＝∠D ，AC ＝AC ，△ABC ≌△ADC ，各有1分．
19．解：原式22121x x x x x
--+=÷··································································1分21C A B
D
22
1(1)x x x x -=⋅-·······································································3分1
x x =-，··············································································5分当1x 时，原式=·····················································6分==．······················································8分20．解：B
C A
D O
·············································3分
如图，⊙O 就是所求作的圆．·························································4分
证明：连接OD ．
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠CBD =∠ABD ．·····························································5分
∵OB =OD ，
∴∠OBD =∠ODB ，
∴∠CBD =∠ODB ，·····························································6分
∴OD ∥BC ，
∴∠ODA =∠ACB
又∠ACB =90°，
∴∠ODA =90°，
即OD ⊥A C ．······································································7分
∵点D 是半径OD 的外端点，
∴AC 与⊙O 相切．······························································8分
注：垂直平分线画对得1分，标注点O 得1分，画出⊙O 得1分；结论1分．
21．（1）四边形ABB ′A ′是菱形．··································································1分
证明如下：由平移得AA ′∥BB ′，AA ′=BB ′，
∴四边形ABB ′A ′是平行四边形，∠AA ′B =∠A ′B C ．··············2分
∵BA ′平分∠ABC ，
∴∠ABA ′=∠A ′BC ，
∴∠AA ′B =∠A ′BA ，······················································3分
∴AB =AA ′，
∴□ABB ′A ′是菱形．·······················································4分
（2）解：过点A 作AF ⊥BC 于点F ．
由（1）得BB ′=BA =6．
D
由平移得△A ′B ′C ′≌△ABC ，
∴B ′C ′=BC =4，
∴BC ′=10．·····························5分
∵AC ′⊥A ′B ′，
∴∠B ′EC ′=90°，
∵AB ∥A ′B ′，
∴∠BAC ′=∠B ′EC ′=90°．
在Rt △ABC ′中，AC
′8==．····································6分
∵S △ABC ′1122
AB AC BC AF ''=⋅=⋅，∴AF 245
AB AC BC '⋅=='，····························································7分∴S 菱形ABB ′A ′1445
BB AF '=⋅=，∴菱形ABB ′A ′的面积是1445．···················································8分22．（1）是；···························································································2分
（2）①85.5；336；··············································································6分
②由表中数据可知，30名同学中，A 等级的有10人，B 等级的有11人，
C 等级的有5人，
D 等级的有4人．依题意得，15410551101030⨯+⨯+⨯+⨯··········································8分5.5=．·······································································9分
∴根据算得的样本数据提高的平均成绩，可以估计，强化训练后，全年
级学生的平均成绩约提高5.5分．············································10分
23．解：（1）27250.1(2)0.1 2.2y x x =---=-+；··········································4分
（2）依题意，得(0.1 2.2)0.5101(10)20.6x x x -++⨯+⨯-=，··················7分
解得1216x x ==．···································································9分
答：x 的值是16．·································································10分
注：（1）中的解析式未整理成一般式的扣1分．
24．（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADC =∠BCD =90°，CA 平分∠BCD ．∵EF ⊥EB ，∴∠BEF =90°．证法一：过点E 作EN ⊥BC 于点N ，···········1分∴∠ENB =∠ENC =90°．
∵四边形AEGD 是平行四边形，∴AD ∥GE ，
∴∠EMF =∠ADC =90°，∴EM ⊥CD ，∠MEN =90°，
∴EM =EN ，·······················································2分
∵∠BEF =90°，
∴∠MEF =∠BEN ，
∴△EFM ≌△EBN ，
∴EB =EF ．························································3分B C D A E G
M F N H
证明二：过点E 作EK ⊥AC 交CD 延长线于点K ，··················1分
∴∠KEC =∠BEF =90°，
∴∠BEC =∠KEF ，
∵∠BEF +∠BCD =180°，∴∠CBE +∠CFE =180°．∵∠EFK +∠CFE =180°，∴∠CBE =∠KFE ．
又∠ECK =12
∠BCD =45°，∴∠K ＝45°，∴∠K =∠ECK ，
∴EC =EK ，························································2分
∴△EBC ≌△EFK ，
∴EB =EF ．························································3分
证明三：连接BF ，取BF 中点O ，连接OE ，OC ．·················1分
∵∠BEF =∠BCF =90°，∴OE =12BF =OC ，∴点B ，C ，E ，F 都在以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 上．∵ BE
BE =，∴∠BFE =∠BCA =45°，·········2分∴∠EBF =45°=∠BFE ，
∴EB =EF ．························································3分
②GH ⊥AC ．···············································································4分证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，
四边形AEGD 是平行四边形，
∴AE =DG ，EG =AD =AB ，AE ∥DG ，
∠DGE =∠DAC =∠DCA =45°，
∴∠GDC =∠ACD =45°．············································5分由（1）可知，
∠GEF =∠BEN ，EF =EB ．∵EN ∥AB ，∴∠ABE =∠BEN =∠GEF ，
∴△EFG ≌△BEA ，·····················6分
∴GF =AE =DG ，∴∠GFD =∠GDF =45°，
∴∠CFH =∠GFD =45°，
∴∠FHC =90°，
∴GF ⊥AC ．······························································7分
（2）解：过点B 作BQ ⊥BP ，交直线AP 于点Q ，取AC 中点O ，
∴∠PBQ =∠ABC =90°．
∵AP ⊥CG ，
∴∠APC =90°．C D G M F A E N B H B C D A E G
M F O H G B C D A E M F K H
①当点E 在线段AO 上时，（或“当102AE AC <<时”）∠PBQ -∠ABP =∠ABC -∠ABP ，
即∠QBA =∠PBC ．································8分∵∠ABC =90°，
∴∠BCP +∠BAP =180°．
∵∠BAP +∠BAQ =180°，
∴∠BAQ =∠BCP ．································9分∵BA =BC ，
∴△BAQ ≌△BCP ，······························10分∴BQ =BP =10，AQ =CP ，
在Rt △PBQ 中，PQ
=
=∴PA +PC =PA +AQ =PQ
=········································11分②当点E 在线段OC 上时，（或“当12AC AE AC <<时”）∠PBQ -∠QBC =∠ABC -∠QBC ，
即∠QBA =∠PBC ．
∵∠ABC =∠APC =90°，∠AKB =∠CKP ，∴∠BAQ =∠BCP ．·······························12分∵BA =BC ，∴△BAQ ≌△BCP ，∴BQ =BP =10，AQ =CP ，
在Rt △PBQ 中，PQ
=
=∴PA -PC =PA -AQ =PQ
=············13分综上所述，当点E 在线段AO 上时，PA +PC
=当点E 在线段OC 上时，PA －PC
=25．（1）B （m ，0），C （0，52
m ）；·····························································2分解：（2）设点E ，F 的坐标分别为（a ，2a ），（a -，2
a -），························3分代入25111(5)()(5)2222y x x m x m x m =-+-=-+-+，得22511(5)2222511(5)2222
a a m a m a a m a m ⎧-+-+=⎪⎨⎪---+=-⎩①，②·········································4分由①-②，得(5)m a a -=．
∵0a ≠，
∴6m =，·············································································5分∴抛物线的解析式为2111522
y x x =-++．··································6分（3）依题意得A （5-，0），C （0，52
m ），由0m >，设过A ，C 两点的一次函数解析式是y kx b =+，
九年级数学—11—（共5页）将A ，C 代入，得5052k b b m -+=⎧⎪⎨=⎪⎩．，解得1252
k m b m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，∴过A ，C 两点的一次函数解析式是5122y mx m =+．····················7分设点P （t ，0），则5t m - （0m >），
∴M （t ，2511(5)222t m t m -+-+），N （t ，5122mt m +）．①当50t - 时，
∴MN 255111(5)()22222
t m t m mt m =-+-+-+25122
t t =--．·····························································8分∵102
-<，∴该二次函数图象开口向下，又对称轴是直线52
t =-，∴当52
t =-时，MN 的长最大，此时MN 2555251()(22228
=-⨯--⨯-=．·································9分②当0t m < 时，
∴MN 255111[(5)]22222mt m t m t m =+--+-+25122t t =+．············10分∵102
>，∴该二次函数图象开口向上，又对称轴是直线52
t =-，∴当0t m < 时，MN 的长随t 的增大而增大，∴当t m =时，MN 的长最大，此时MN 25122m m =+．···············11分∵线段MN 长的最大值为258
，∴25251228
m m + ，·······························································12分整理得2550(
24
m + ，
m ∵
0m >，
∴m 的取值范围是0m < ．········································13分。