大学物理第二章 3 波的能量
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2.5 波的能量
一．有波传播时媒质质元的能量 二．能量密度 三．能流密度
作业：2.12
2.5 波的能量
在弹性媒质中有波传播时， 媒质中各质元都在各自的平衡位置附近振动， 由于各质元有振动速度，所以它们具有振动动能。
同时由于质元产生了形变，所以还具有弹性势能。 这样，随同振动的传播就有机械能量的传播。 这是波动过程的一个重要特征。 下面说明能量传播的定量表达式 为了说明这一问题， 先求任一质元的振动动能和弹性势能.
时而达到最大值，时而为零
W V 2 A2 sin2 (t 2 x )
0
K2
0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
P2
0
质元的动能和势能都随时间作简谐振动，
而且它们具有相同的振幅、角频率、相位。
1 V 2 A2
2
W P
W K
o
y
t
1 V 2 A2
2
W P
W K
o t
y
意味着，质元经过平衡位置时， 具有最大的振动速度，同时其形变也最大。
E u2 V Sx
所以 t 时刻质元 ab 的弹性势能
WP
1 2
ESx( 2 )2 A2 sin2 (t
2
x 0)
2 u
E u2 V Sx
W
1
u2
V
(
)2
A2
sin
2
(t
2
x
)
P2
u
0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
t 时刻质元 ab
所受弹性力
f S ES y
x
Δy 为 质元 ab 长度变化 ES / x 为常数
与弹簧比较 f弹簧 Kx
弹簧的弹性势能
W弹簧P
1 2
Kx 2
所以时刻质元 ab
的弹性势能
WP
1 2
ES x
(y)2
（对比而得的）
所以 t 时刻质元 ab
的弹性势能
WP
质元 ab 体积 V Sx 质量 m V
设有波函数为 y A cos( t 2 x )
a
的平面简谐纵波在细棒中传播
则质元 ab 在 t 时刻
振动表达式
y A cos( t 2 x )
a
a
b
o●●
S
x●
x x
u
x m V
1 2
ES x
(y)2
y y x y t y x 考虑 t 时刻
x t x
所以 t 0
WP
1 2
ES x
( y x
x)2
1 2
ESx( y )2 x
y A cos( t 2 x )
a
y 2 A sin( t 2 x )
y A cos( t 2 x )
a
1）求动能：
质元 ab 在 t 时刻的速度
v y A sin( t 2 x )
t
a
质元 ab 在 t 时刻的动能 W 1 mv 2
K2
a
o●●
S
x●
x x
b u
x m V
v y A sin( t 2 x )
t
a
W 1 mv2 K2
1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
2
0
1）求势能：
a
b u
o●●
x●
d
●
x
x x
t
a
b u
时
o●
刻
y●
●
y y
x
当有纵波传播时，在应力作用下质元 ab 发生线变,
设 t 时刻质元 ab 正被拉长，
这一点与孤立的振动系统显著不同，作一比较
质元的动能和势能的振动曲线
1 V 2 A2
2
W
P
o
W K y
弹簧振子的动能和势能振动曲线
1 KA2 2
o
E P
E K
x
t
E E
K
P
t
1 V 2 A2
2
W
P
o
W K yt
1 KA2 2
o
E P
E K
x
E E
K
P
t
讨论题 质元的动能和势能为何同时达最大同时达最小？
一．有波传播时媒质质元的能量
（以平面纵波在固体细长棒中的传播为例）
设有一截面积为 S ，密度为 ρ 的固体细棒，
一平面纵波沿棒长方向传播。
a
b u
o●●
S
x●Leabharlann Baidu
●
x
x x
选棒长的方向为 x 轴，在棒上距 o 点 x 处附近 取一长为 Δx 质元 ab ，
a
b u
o●●
S
x●
x
x x
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
K2
0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
P2
0
质元的机械能 W W W
K
P
W V 2 A2 sin2 (t 2 x )
0
表明：质元的总能量随时间作周期性变化，
u x
y x
由胡克定律
E y
质元 ab 所受应力
x
E 杨氏模量。
a
b u
o●●
x●
d
●
x
x x
t
时 刻
o●
a
b
y●
●
y y
u x
E y
x
质元 ab
所受弹性力
f S ES y
x
Δy 为 质元 ab 长度变化 ES / x 为常数
P2
0
a
b
o●●
S
x●
x x
u
x m V
结论
t 时刻质元 ab 的动能和弹性势能
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
K2
0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
P2
0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
由图上几何关系，质元 ab 长度变化为 Δy
a
b u
o●●
x●
d
●
x
x x
t
时 刻
o●
a
b
y●
●
y y
u x
质元 ab 长度变化为 Δy
质元 ab 的应变为 y x
质元 ab 的原长 Δx
a
b u
o●●
x●
d
●
x
x x
t
时 刻
o●
a
b
y●
●
y y
x
a
所以 t 时刻质元 ab
的弹性势能
WP
1 2
ESx( y )2 x
y 2 A sin( t 2 x )
x
a
WP
1 ESx( 2
2
)2 A2 sin2 (t
2
x 0)
2 ，T
T
u
2 u
u
E
一．有波传播时媒质质元的能量 二．能量密度 三．能流密度
作业：2.12
2.5 波的能量
在弹性媒质中有波传播时， 媒质中各质元都在各自的平衡位置附近振动， 由于各质元有振动速度，所以它们具有振动动能。
同时由于质元产生了形变，所以还具有弹性势能。 这样，随同振动的传播就有机械能量的传播。 这是波动过程的一个重要特征。 下面说明能量传播的定量表达式 为了说明这一问题， 先求任一质元的振动动能和弹性势能.
时而达到最大值，时而为零
W V 2 A2 sin2 (t 2 x )
0
K2
0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
P2
0
质元的动能和势能都随时间作简谐振动，
而且它们具有相同的振幅、角频率、相位。
1 V 2 A2
2
W P
W K
o
y
t
1 V 2 A2
2
W P
W K
o t
y
意味着，质元经过平衡位置时， 具有最大的振动速度，同时其形变也最大。
E u2 V Sx
所以 t 时刻质元 ab 的弹性势能
WP
1 2
ESx( 2 )2 A2 sin2 (t
2
x 0)
2 u
E u2 V Sx
W
1
u2
V
(
)2
A2
sin
2
(t
2
x
)
P2
u
0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
t 时刻质元 ab
所受弹性力
f S ES y
x
Δy 为 质元 ab 长度变化 ES / x 为常数
与弹簧比较 f弹簧 Kx
弹簧的弹性势能
W弹簧P
1 2
Kx 2
所以时刻质元 ab
的弹性势能
WP
1 2
ES x
(y)2
（对比而得的）
所以 t 时刻质元 ab
的弹性势能
WP
质元 ab 体积 V Sx 质量 m V
设有波函数为 y A cos( t 2 x )
a
的平面简谐纵波在细棒中传播
则质元 ab 在 t 时刻
振动表达式
y A cos( t 2 x )
a
a
b
o●●
S
x●
x x
u
x m V
1 2
ES x
(y)2
y y x y t y x 考虑 t 时刻
x t x
所以 t 0
WP
1 2
ES x
( y x
x)2
1 2
ESx( y )2 x
y A cos( t 2 x )
a
y 2 A sin( t 2 x )
y A cos( t 2 x )
a
1）求动能：
质元 ab 在 t 时刻的速度
v y A sin( t 2 x )
t
a
质元 ab 在 t 时刻的动能 W 1 mv 2
K2
a
o●●
S
x●
x x
b u
x m V
v y A sin( t 2 x )
t
a
W 1 mv2 K2
1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
2
0
1）求势能：
a
b u
o●●
x●
d
●
x
x x
t
a
b u
时
o●
刻
y●
●
y y
x
当有纵波传播时，在应力作用下质元 ab 发生线变,
设 t 时刻质元 ab 正被拉长，
这一点与孤立的振动系统显著不同，作一比较
质元的动能和势能的振动曲线
1 V 2 A2
2
W
P
o
W K y
弹簧振子的动能和势能振动曲线
1 KA2 2
o
E P
E K
x
t
E E
K
P
t
1 V 2 A2
2
W
P
o
W K yt
1 KA2 2
o
E P
E K
x
E E
K
P
t
讨论题 质元的动能和势能为何同时达最大同时达最小？
一．有波传播时媒质质元的能量
（以平面纵波在固体细长棒中的传播为例）
设有一截面积为 S ，密度为 ρ 的固体细棒，
一平面纵波沿棒长方向传播。
a
b u
o●●
S
x●Leabharlann Baidu
●
x
x x
选棒长的方向为 x 轴，在棒上距 o 点 x 处附近 取一长为 Δx 质元 ab ，
a
b u
o●●
S
x●
x
x x
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
K2
0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
P2
0
质元的机械能 W W W
K
P
W V 2 A2 sin2 (t 2 x )
0
表明：质元的总能量随时间作周期性变化，
u x
y x
由胡克定律
E y
质元 ab 所受应力
x
E 杨氏模量。
a
b u
o●●
x●
d
●
x
x x
t
时 刻
o●
a
b
y●
●
y y
u x
E y
x
质元 ab
所受弹性力
f S ES y
x
Δy 为 质元 ab 长度变化 ES / x 为常数
P2
0
a
b
o●●
S
x●
x x
u
x m V
结论
t 时刻质元 ab 的动能和弹性势能
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
K2
0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
P2
0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
由图上几何关系，质元 ab 长度变化为 Δy
a
b u
o●●
x●
d
●
x
x x
t
时 刻
o●
a
b
y●
●
y y
u x
质元 ab 长度变化为 Δy
质元 ab 的应变为 y x
质元 ab 的原长 Δx
a
b u
o●●
x●
d
●
x
x x
t
时 刻
o●
a
b
y●
●
y y
x
a
所以 t 时刻质元 ab
的弹性势能
WP
1 2
ESx( y )2 x
y 2 A sin( t 2 x )
x
a
WP
1 ESx( 2
2
)2 A2 sin2 (t
2
x 0)
2 ，T
T
u
2 u
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E