高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1.3平行截割定理学案新人教B版选修278.doc

1．1.3 平行截割定理

[对应学生用书P8]

[读教材·填要点]

1．平行截割定理

(1)定理的内容：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例． (2)符号语言表示：如图，若l 1∥l 2∥l 3，则AB BC ＝

DE

EF

.

2．平行截割定理的推论

(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．

(2)符号语言表示：

如图，若l 1∥l 2∥l 3，则AD AB ＝AE AC ＝

DE

BC

.

[小问题·大思维]

1．在平行截割定理中，被截的两条直线m ，n 应满足什么条件？

提示：被截取的两条直线m 、n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行直线

a 、

b 、

c 都相交．

2．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”，是否仍然成立？ 提示：仍然成立．

[对应学生用书P9]

[例1] 已知：如图，l

1∥l 2∥l 3，

AB BC ＝m n

. 求证：DE DF ＝

m

m ＋n

.

[思路点拨] 本题考查平行截割定理及比例的基本性质．解答本题需要利用定理证得DE EF

＝AB BC ，然后利用比例的有关性质求出DE DF

即可．

[精解详析] ∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ＝m

n

. ∴EF DE ＝n m ，EF ＋DE DE ＝n ＋m

m ，

即DF DE ＝

m ＋n m ，∴DE DF ＝m

m ＋n

.

解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性质，常见的性质有： (1)比例的基本性质：

a b ＝c

d

(bd ≠0)⇔ad ＝bc ； a b ＝b c

(bc ≠0)⇔b 2

＝ac ； a b ＝c d (abcd ≠0)⇔b a ＝d c

. (2)合分比性质：如果a b ＝c

d ，那么

a ±

b b ＝

c ±d

d

.

(3)等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (bd …n ≠0，b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么

a ＋c ＋…＋m

b ＋d ＋…＋n ＝a

b

.

1．如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC 交BC

于D .

求证：1AD ＝1AB ＋1

AC

.

证明：过D 点作DE ∥AB 交AC 于E 点，

∵∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC ， ∴∠DAE ＝60°，∠BAD ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠ADE ＝60°， ∴AD ＝DE ＝AE ， ∴AD AB ＝DE AB ＝CE

AC

.

∴AD AB ＋AD AC ＝CE AC ＋AD AC ＝CE AC ＋AE

AC .

∵CE AC ＋AE AC ＝

AC AC ＝1，∴AD AB ＋AD

AC ＝1.

∴1AB ＋1AC ＝1AD

.

[例2] 如图所示，已知直线l 截△ABC 三边所在的直线分别于E ，F ，D 三点，且AD ＝

BE .

求证：EF ·CB ＝FD ·CA .

[思路点拨] 借助平行线分线段成比例定理即可证得．

[精解详析] 法一：如图1，过D 作DK ∥AB 交EC 于点K ，则EF FD ＝EB BK ，CA AD ＝BC BK ，即CA BC ＝AD

BK

.

∵AD ＝BE ， ∴CA BC ＝BE

BK ，∴EF FD ＝

CA

CB

.

即EF ·CB ＝FD ·CA .

图1

法二：如图2，过E 作EP ∥AB ，交CA 的延长线于点P . ∵AB ∥EP ， ∴CB BE ＝CA AP ，即CA CB ＝

AP

BE

.

在△DPE 中，∵AF ∥PE ， ∴EF FD ＝AP AD

. ∵AD ＝BE ，∴CA CB ＝

EF

FD

.∴EF ·CB ＝FD ·CA .

图2

法三：如图3，过D 作DN ∥BC ，交AB 于N . ∵ND ∥EB ，∴EB DN ＝EF

DF ，

∵DN ∥BC ，∴BC DN ＝CA

AD

，

即CA CB ＝AD DN

. ∵AD ＝EB ，∴EF FD ＝

CA

CB

，即EF ·CB ＝FD ·CA .

图3

本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的平行线的性质定理，找到CA CB 与

EF

FD

的比值关系，再借助等量代换，使问题得以突破．

2.如图所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于D ，与AC 边交于E ，

与BA 的延长线交于F ，且BD ＝DC ，求证：AE ·FB ＝EC ·FA .

证明：过A 作AG ∥BC ，交DF 于G 点．

∵AG ∥BD ，∴FA FB ＝

AG

BD .

又∵BD ＝DC ，∴FA FB ＝AG DC

. ∵AG ∥DC ，∴AG DC ＝

AE

EC

.

∴AE EC ＝FA FB

，即AE ·FB ＝EC ·FA .

[例3] 如图，已知▱ABCD 中，延长AB 到E ，使BE ＝1

2

AB ，连接ED 交

BC 、AC 于F 、G .求EF ∶FG ∶GD 的值．

[思路点拨] 本题考查平行截割定理及其推论的应用．解答本题需要求出EF ∶FG ，EF ∶

GD 的比值，进而求出EF ∶FG ∶GD 的值．

[精解详析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC . ∵BE ＝1

2

AB ，

∴EF ED ＝BE AE ＝13＝BF AD

. 设EF ＝k ，ED ＝3k ，∴FD ＝2k . ∵BC ∥AD ，∴FG GD ＝

FC AD ＝2

3

.

∴FG FD ＝25，∴FG ＝45k ，GD ＝65

k ，