数学论文-探索直角三角形性质的证明方法

探索直角三角形性质的证明方法

【摘要】

本文通过对直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）证明方法的研究，通过自我探究及查阅资料等途径，得到多种证明方法。

【关键词】

直角三角形斜边中线

【问题研究】

1 在Rt ABC

中，.ACB =90，CD是AB上的中线。证明CD AB 。

2 这是直角三角形的一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。有着广泛运用。但是教科书中并未对这个性质予以证明，所以我想尝试去证明。

通常情况下，证明两个线段相等，会用三角形全等法或等腰三角形法。本题我想证明

DBC（或厶DAC）是等腰三角形，也即要证明• DCB二.DBC，直接证明太困难了！

有没有可能这不是个等腰三角形，但是在探索的过程中我发现：只要• DCB二.DBC，那么.CDA二.CAD。综合起来，我就有了以下的想法。

证明方法解：如右下图，在线段AB上取点，使得/ B= / BC。！，贝V C D1=B D1。

•••/ ACB=90

•••/ A+ / B=90° ,Z AC D1+Z BC D1=90

•••/ A= / AC D1

•A D1=C D1

•A D1=B D1即D1为AB的中点

•/ D是AB的中点

•••点D、D1重合

1

•CD=AD=BD= AB

2

证明方法二：

解：如右图，作线段AC的中垂线DE,交AB

D，连接CD，作B1D=AD。

•AD=CD= B1 D

•••/ A= / ACD ，/ DC B 1 =/ D B 1C

又•••/ A+ / ACD+ / DC B 1 + / D B 1C=180

•/ ACD+ / DC B 1 = / AC B 1=180。吃=90 °Z ACB

•••点B 、B 1重合

1 --AD=CD=BD= AB

2

后来经过查询，得知这种证明方法叫做同一法，证法一、 证法二都是同一法，几何证明

中经常会用到这种方法。

证明方法三:

/ a

如图建立直角坐标系，设

A(0,a),B(b,0),则D (—,

2

又.CD^(a )2

(b )2

2 2 2

• “ 1

--CD= AB

2

这个学期刚刚学习了直角坐标系，

也学习了中点坐标公式， 没想到用计算的方法也能证明几

何题，而且如此简单，真是太妙了！ 后来经过查询知道这种方法叫坐标法。 体现了数学中的

数形结合的思想，在以后的学习中有着广泛的应用。

证明方法四:

如右下图，作 AE // BC 且AE=BC ，作BE // AC 且BE=AC ，即把原图形补成了长方形

ACBE 。连接长方形对角线 CE ,对角线AB 、CE 交于点D 。

1

•••CD=DE= CE , AB=CD (矩形对角线互相平分且

2

相等)

1

• CD= -AB

2

证明方法五:

如右下图，取线段 AB 中点D 、线段AC 中点E ,连接DE 。 • DE 是厶ABC 的中位线

.AB 2 二 a 2 b 2 .AB 二、a 2 b 2

• DE // BC (三角形的中位线平行于第三边) :丄 DEC= / ACB=90，又E 是AC 中点

••• DE是AC中垂线上的线段

••• AD=CD

T AD= 1AB

2

1

•- CD= AB

2

【拓展】

在如右下图的直角三角形ABC中，/ ACB=90，/ B=30°, CD是斜边AB上的中线。

1

证明：AC= — AB

2

解：I/ ACB=90 , CD是斜边AB上的中线

1

• CD=AD= AB

2

•// B=30°

•••/ A=90° -/ B=60°

•/ AD=CD

•••/ ACD= / A= / ADC=60

1

--AC=AD=CD= AB

2

结论：在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半。

【总结】

通过这次对直角三角形性质的证明方法的探究，我最大的体会就是：学无止境。我认识

到应该对书本上的知识应抱有敢于质疑、勇于求证的态度，同时对同一问题的解决采取多种

不同的方法，能起到活跃思维的效果。在已有结论的基础上，可以加以拓展，进行更深层次

的研究。而且在探究过程中，如遇到现有知识无法解决的问题，可以通过查阅资料解决疑难，

如在问题研究”的证明方法三、四中涉及到目前我们还未学习的矩形性质及中位线的知识，我通过搜索互联网查阅了这两个知识点的详细内容，在自学的过程中积极思考，得到了进步。