北师大版数学选修1-1教案：第3章-疑难解析：导数概念

有关导数概念的几个疑难问题

一、导数相关概念

1．导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。

函数y =)(x f 在x 0点可导是)(x f 在x 0点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。如果0lim →∆x x

y ∆∆不存在，称函数在x 0点不可导；若0lim →∆x x y ∆∆存在，则函数在一点处的导数y 0=)(0x f '是一个常数，不是变量．

②．函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数y =)(x f 在区间(a ，b)内每一点都可导，是指对于区间(a ，b)内每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数y 0=)(0x f '．根据函数的定义，在开区间(a ，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y =)(x f 的导函数y =)(x f '．

③．函数y =)(x f 在点x 0处的导数y 0=)(0x f '就是导函数y =)(x f '在点x = x 0处的函数值，即)(0x f '=)(x f '|0x x =．称此极限值为函数在该点的导数。

2．y =)(x f 在x 0点可导有以下三个条件：

①y =)(x f 在x 0点处及其附近有意义；②左极限-→∆0lim x x y ∆∆及其右极限+→∆0lim x x y ∆∆都存在；③-→∆0lim x x y ∆∆=+→∆0lim x x

y ∆∆，即左右极限相等。三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不可导。

3．导函数y =)(x f '与原来的函数y =)(x f 有相同的定义域(a ，b)．

4．“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别：

5．导数与连续的关系：

若函数y =)(x f 在x 0处可导，则此函数在x 0处连续，但逆命题不成立，即函数y =)(x f 在x 0处连续，未必在x 0处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．因而可导性比连续性要求更高．

下面用两个例题说明这个问题．

例1 求证：若函数在点x 0处可导，则函数)(x f 在点x 0处连续． 证明：∵函数)(x f 在点x 0处可导，∴在点x 0处有： 0lim x x →[)(x f －)(0x f ] =0lim →∆x y ∆=0lim →∆x (x y ∆∆·x ∆) =0lim →∆x x y ∆∆·0lim →∆x x ∆=)(0x f '·0 = 0， ∴0

lim x x →)(x f =)(0x f ，即函数)(x f 在点x 0处连续． 例2 求证：函数)(x f = | x |在点x 0= 0处连续，但在x 0处不可导． 证明：∵①)0(f = 0；②-→∆0lim x | x | =+→∆0lim x | x | =0lim →∆x | x | = 0 ；③0

lim →∆x )(x f =)0(f ． ∴)(x f = | x |在点x 0= 0处连续．

① 又∵函数)(x f = | x |在点x 0= 0及其附近有意义； ②x y ∆∆=x

x f x x f ∆-∆+)()(00=x f x f ∆-∆+)0()0(=x x f ∆∆)(=x x ∆∆||=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆-=∆∆-∆=∆∆0.10,1＜x x

x x ＞x x ； ③-→∆0lim x x

y ∆∆=－1，+→∆0lim x x y ∆∆=1，即0lim →∆x x y ∆∆不存在，所以)(x f = | x |在点x 0= 0处不可导．

综上所述，函数)(x f = | x |在点x 0= 0处连续，但在在x 0处不可导． 综上，函数y =)(x f 在点x 0处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念，它们之间的关系是：

)(x f 在点x 0处有定义，不一定在x 0处连续；但)(x f 在点x 0处连续，一定在点x 0处有定义，即)(x f 在点x 0处有定义是)(x f 在点x 0处连续的必要而不充分的条件。

)(x f 在点x 0处连续，则)(x f 在点x 0处一定有极限，且0lim x x →)(x f =)(0x f ；但)(x f 在点x 0处有极限，不一定在点x 0处连续，即)(x f 在点x 0处连续是)(x f 在点

x

处有极限的充分而不必要的条件。

)

(x

f在点x

0处连续是)

(x

f在点x

处可导的必要而不充分的条件。