北师大版数学选修1-1教案：第3章-疑难解析：导数概念
(北师大版)选修1-1课件：第3章-导数的乘法与除法法则-参考课件
x 2 (2)函数y 是函数f ( x) x 和函数 ln x g ( x) ln x之商, 根据导数公式表分别得 出: 1 f ( x) 2 x, g ( x) , x 由求导的除法法则得: 1 2 2 x ln x x 2 x x(2 ln x 1) x . 2 2 ln x (ln x) ln x
令x 0,由于 lim ( x0 x) x ,
2 x 0 2 0
f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ), x 0 x 2 ( x0 x) 2 x0 lim 2 x0 , x 0 x 知f ( x) g ( x) x 2 f ( x)在x0处的导数值为 x f ( x0 ) 2 x0 f ( x0 ).
导数的加法和减法法则是什么? 两个函数和(差)的导数等于这两个函数 导数的和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x), f ( x) g ( x).
问题提出
如果有函数 y f ( x) g ( x) x f ( x),
例题讲解
例3求下面函数的导数 : (1) y x e ; ( 2) y
2 x
2 x
x sin x; (3) y x ln x.
2 x
解 : (1)函数y x e 是函数f ( x) x 与g ( x) e 之积, 由导数公式表分别得出 f ( x) 2 x, g ( x) e x , 根据两函数之积的求导 法则, 可得 : ( x 2 e x ) 2 xe x x 2 e x (2 x x 2 )e x .
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 导数的概念及其几何意义 参考教案
3.2 导数的概念及其几何意义教学目标：1．导数的概念及几何意义；2．求导的基本方法；3．导数的应用.教学重点：导数的综合应用；教学难点：导数的综合应用.一.知识梳理1．导数的概念及几何意义.2．求导的基本方法①定义法：()x f '=()()xx f x x f x y x ∆-∆+=∆∆→∆0lim ②公式法：0c ='（c 为常数）;)(x n ' = 1-n nx (n ∈N) ; )v (u '±=v u '±'3．导数的应用①求曲线切线的斜率及方程；②研究函数的单调性、极值、最值；③研究函数的图象形态、性状；④导数在不等式、方程根的分布（个数）、解析几何等问题中的综合应用．二．基础训练1.函数()13++=x ax x f 有极值的充要条件是 ( )A.0>aB.0≥aC.a<0D.0≤a2.函数()133+-=x x x f 在闭区间[]03，-上的最大值、最小值分别是 （ ）A.1，-1B.1，-17C.3，-17D.9，-193.a>3,则方程x 3-ax 2+1=0在(0,2)上恰好有A 0个根B 1个根C 2个根D 3个根 4. 设函数y=f(x)在其定义域上可导,若)(x f '的图象如图所示,下列判断: q x () = -2⋅cos x ()- 2 - ②x=-1时, f(x)取得极小值;③x=1时, f(x)取得极小值;④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.其中正确的是A ①②B ②③C ③④D ②③④5. 函数f(x) =-x 3+3x 2+ax+c 在(-∞,1]上是单调减函数,则a 的最大值是A -3 B-1 C1 D36．设t≠0，点P(t ，0)是函数f(x)=x 3+ax 与y=bx 2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．(I)用t 表示a ，b ，c ；(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-l ，3)上单调递减，求 t 的取值范围．三．典型例题例1.设a 为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a ．（I ）求f(x)的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点． 例2已知f(x)=x 3+ax+b 定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l ，x 2∈[-1，1]，且x 1≠x 2．1)求证：|f(x 1)-f(x 2)|< 2|x 1-x 2|；2)若0<x l <x 2≤1，求证：|f(x 1)-f(x 2)|<1．例3已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线L 同时是1C 和2C 的切线，称L 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 导数的四则运算法则 参考教案__2
3.4 导数的四则运算法则教学目的：1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：函数的积、商的求导法则的推导．授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=二、讲解新课：例1.求2y x x =+的导数.法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x = 法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+ 证明：令()()y f x g x =，则=∆y ()f x x +∆()g x x +∆-()()f x g x()f x x =+∆()g x x +∆-()f x ()g x x +∆+()f x ()g x x +∆-()()f x g x ，=∆∆x y ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x ()()g x x g x x+∆-∆ 因为()g x 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，()()g x x g x +∆→， 从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x 0lim →∆x ()()g x x g x x+∆-∆ '()()()'()f x g x f x g x =+，法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭三、讲解范例：例1 求下列函数的导数1、y =x 2+sin x 的导数.2、求2(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法)3、求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t+= 4、y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′5、求y =xx sin 2的导数. 变式：(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x1·cos x 的导数. 例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、课堂练习：1.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232xx + (3)y =x cos 11- 五、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(v u)′=2vv u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：。
高中数学北师大版选修1-1教案：第3章 计算导数 参考教
计算导数教学进程：一、温习一、导数的概念；二、导数的几何意义；3、导函数的概念；4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均转变率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 本节课咱们将学习常见函数的导数。
第一咱们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3问题1：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？问题2：从对上面几个幂函数求导，咱们能发觉有什么规律吗？二、新授一、大体初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x'=- ⑺ ()2x x '= 由⑶~⑹你能发觉什么规律?⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数）⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，咱们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以够了。
例一、求下列函数导数。
（1）5-=x y （2）x y 4= （3）x x x y =（4）x y 3log = （5）y=sin(2π+x) (6) y=sin 3π （7）y=cos(2π－x) （8）y=(1)f '例2：已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。
高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 导数应用 参考教案
复习总结：导数应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c,m x (m 为有理数)，x x a e x x a xx log ,ln ,,,cos ,sin的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值． 导数导数的概念导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数导数的应用函数的单调性函数的极值函数的最值主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数. 例1．求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(2202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1. 求y=x在x=x 0处的导数解)())((limlim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x yx x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim00x x x x x =+∆+=→∆例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 25x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521xx x xxx x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）方法一 y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11. 方法二 'y =[])3)(2)(1()3()2)(1('+++++'++x x x x x x=[])2)(1()2(）1（'++++'+x x x x （x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x 2（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x x x xxy -=+--++=++-=12)1)(1(111111 ，∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：求y=tanx 的导数. 解y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=例3. 已知曲线y=.34313+x（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ， 则切线的斜率k='y |x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y∵点P （2，4）在切线上，∴4=,343223020+-x x即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= . 答案 2或41-例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3.（1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值. （1）解2)(1)(b x a x f +-='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a 因为a,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f （2）证明 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,00x x x ． 由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--． 令x=1，得1100-+=x xy ，切线与直线x=1交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,100x x ．令y=x ，得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(00--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ． 所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x）的解析式解 ∵f （x ）的图象过点P （0，1），∴e=1. ①又∵f （x ）为偶函数，∴f （-x ）=f （x ）故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+ ∴b=0，d=0.②∴f （x ）=ax 4+cx2∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）∴a+c+1=-1. ③∵)1('f =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c ，∴4a+2c=1. ④由③④得a=25，c=29-∴函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。
(北师大版)选修1-1课件：第3章-计算导数-参考课件(2)
3 ． 若 y ＝ 10x ， 则 y′|x ＝ 1 ＝ ________. 解析： ∵y′＝10xln10， ∴y′|x＝1＝10ln10. 答案： 10ln10
4．求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝x ；(2)y＝x3；(3)y＝ x；
13
(4)y＝log3x；(5)y＝sin x；(6)y＝
π k＝－sin－3＝
3 ， 2
1 3 π ∴其切线方程为 y－2＝ 2 x＋3， 即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
2.求曲线 y＝sin x 在点
π 1 A6，2的切线方程；
解析：
y′＝(sin x)′＝cos x，
π 3 ∴y′|x＝ ＝ ， 6 2 3 ∴切线斜率 k＝ 2 ， 1 3 π ∴切线方程为 y－ ＝ x－6， 2 2 化简得：6 3x－12y＋6－ 3π＝0.
1 cos2x
. . . .
f(x)＝tan x
原函数 f(x)＝cot x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
导函数 f′(x)＝ f′(x)＝ f′(x)＝ 1
1 －sin2x
. . .
axlna(a>0)
ex
xlna(a>0 且 a≠1) 1 x
f′(x)＝
f′(x)＝
.
.
10 10－1
＝10x ；
9
1 －2 －2－1 －3 (4)y′＝( 2)′＝(x )′＝－2x ＝－2x . x
(2011· 江西卷， 4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A．1 C．e B．2 1 D.e
)
解析： 由 y′ ＝ ex ，得在点 A(0,1) 处的切线的斜率 k ＝ y′|x ＝ 0 ＝ e0 ＝ 1 ， ∴选A. 答案： A
《导数的概念及其几何意义》教案1(北师大版选修1-1).doc
导数的概念及其几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的儿何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：%1.创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数在x=xo处的瞬时变化率，反映了函数在x=x。
附近的变化情况，导数r（x）的几何意义是什么呢？%1.新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当乙（％./'（x〃））（〃 = 1,2,3,4）沿着曲线/（X）趋近于点P（XO ,/（XO））时，割线P4的变化趋势是什么？我们发现，当点P沿着曲线无限接近点P即Ax-0时，割线PP趋近于确定的位置,这个确定位置的直线pr称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线尸4的斜率如与切线 阿的斜率k 有什么关系?⑵切线P7的斜率*为多少?容易知道，割线PR 的斜率是kn=K*E ,当点己沿着曲线无限接近点尸时，幻无 限趋近于切线PT 的斜率比，即k = lim /任J *）二,佻）=广（X 。
）A —o Ax说明：（1）设切线的倾斜角为那么当△*-（）时，割线PQ 的斜率，称为曲线在点P 处的切线 的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的木质一函数在x = X 。
处的导数・（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与 求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3）曲线的切线, 并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义： 函数》顼W 在x=xo 处的导数等于在该点（x 0,/（x 0））处的切线的斜率, 即广（0=lim 川。
+奇）-/氐）小0 ^->o Ax说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：%1 求出P 点的坐标；%1 求出函数在点与处的变化率广3。
北师版数学选修1-1课件：第3章 §2 2-1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
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利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤： 1求函数的增加量 Δy＝fx0＋Δx－fx0； fx0＋Δx－fx0 Δy 2求平均变化率Δx：＝ ； Δx Δy 3求 f′x0＝ lim Δx. Δx→0
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[再练一题] 1． 一质点的运动路程 s(单位： m)是关于时间 t(单位： s)的函数： s＝－2t＋3， 求 s′(1)，并解释它的实际意义．
阶 段 一
§2
导数的概念及其几何意义 2.1 2.2 导数的概念 导数的几何意义
阶 段 三
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
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1．理解函数在某点处的导数定义及其几何意义．(重点、难点) 2．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义．(难点)
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[基础· 初探] 教材整理 1 导数的概念 阅读教材 P60“例 1”以上部分，完成下列问题． 设函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x0 变到 x1 时，函数值从 f(x0)变到 f(x1)，函数 Δy fx1－fx0 fx0＋Δx－fx0 值 y 关于 x 的平均变化率为Δx＝ ＝ .当 x1 趋于 x0，即 Δx Δ x x1 －x0 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个__________，那么这个值就是函数 y＝f(x) 在 x0 点的__________． 在数学中， 称瞬时变化率为函数 y＝f(x)在 x0 点的________， 通常用符号 f′(x0)表示， 记作 f′(x0)＝________________＝__________________.
【解析】 ∵f′(1)＝k＝－1， ∴切线方程为：y－2＝－(x－1)，即 x＋y－3＝0.
高中数学北师大版选修1-1教案：第3章 导数与函数的单
导数与函数的单调性一、 学习目标1．会从几何直观探索并了解函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用；2．会用导数判断或证明函数的单调性；3．通过对函数单调性的研究，加深对函数导数的理解，提高用导数解决实际问题的能力.二、 学习重、难点灵活应用导数研究与函数单调性有关的问题，并能运用数形结合的思想方式．三、 学习进程1．温习增函数、减函数的概念：一般地，设函数y=)(x f 的概念域为A ，若是对于概念域A 内某个区间I 上的任意两个自变量的值21x x 、，当21x x <时，（1）若都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间I 上是（2）若都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间I 上是2．函数的单调性与导数的关系（1）设函数y=)(x f ，若在某区间上恒有0)(>'x f ，则)(x f 为该区间上的 函数，若在某区间上恒有0)(<'x f ，则)(x f 为该区间上的 函数， 若是在某区间恒有0)('=x f ，那么)(x f 在该区间为常值函数.即由0)(>'x f 得函数y=)(x f 的单调 区间，由0)(<'x f 得函数y=)(x f 的单调 区间.（2）若可导函数)(x f 在),(b a 上单调递增⇒ ； 若可导函数)(x f 在),(b a 上单调递减⇒ .例1．肯定函数34)(2+-=x x x f 在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数.例2．求32287y x x =-+的单调区间.例3．肯定函数)2,0(,sin )(π∈=x x x f 的单调减区间.变式：讨论函数x x y sin 2-=在)2,0(π内的单调性．1、 当堂反馈1．肯定下列函数的单调区间：（1）3)(x x x f -= （2）31232)(23+-+=x x x x f（3）x x x f cos sin )(+= （4）)3()(2-=x x x f2．证明：x e x f x -=)(在区间)0,(-∞上是减函数.五、小结反思。
高中数学北师大版选修1-1课件：第三章 2 导数的概念及其几何意义 (2)
1. 根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法．
2. 求函数 y＝f(x)在 x0 处的导数的步骤：
(1)求函数值的改变量Δ y＝f(x0＋Δ x)－f(x0)；
(2)求平均变化率ΔΔ
y＝f（x0＋Δ x
x）－f（x0）； Δx
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝
Δ Δ
y x.
3. 注意导数的实际意义、几何意义．
题目类型一、求函数的导数例1ຫໍສະໝຸດ 求函数y＝f(x)＝
1在 x
x＝1
处的导数．
【思路探究】 先计算函数值的改变量，再代入公式计
算，注意Δy 需要化简整理．
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋1 Δx－1
＝1－1＋1＋ΔΔx x＝
－Δx 1＋Δx（1＋
1＋Δx），
∴Δ Δyx＝－
1 1＋Δx（1＋
【解析】 ∵Δy＝1＋Δx＋1＋1Δx－1－11 ＝Δx－1＋Δx1＋1＝（ΔΔx＋x）1 2. ∴Δ Δyx＝ΔΔx＋x 1， ∴y′|x＝1＝ ΔΔx＋x 1＝0. 【答案】 0
4. 求曲线 y＝f(x)＝x2＋1 在点 P(1，2)处的切线方程．
解：因为点 P(1，2)在曲线上，所以切线的斜率即为：
(1)f（x1＋Δ
x）－f（x1）是函数 Δx
f(x)在(x1，x1＋Δ
x)上的
平均变化率，有什么几何意义？
(2)Δ x 趋于 0 时，函数 y＝f(x)在(x1，x1＋Δ x)上的平均变 化率即为函数 y＝f(x)在 x1 点的瞬时变化率，能否看成函数 y ＝f(x)在(x1，f(x1))处的切线斜率？
确． 【答案】 C
2. 曲线 y＝－2x2＋1 在点(0，1)处的切线的斜率是( )
高中数学北师大选修1-1课件：第3章 §2 2.1 2.2 导数的概念 导数的几何意义
x x0
x0
1 x
yx1 x
【拓展提升】 1.利用定义求导数的三个步骤 (1)求自变量的改变量Δx及函数值的改变量Δy. (2)求平均变化率 (3)使Δx→0，求导数
y .
x
f
x0
lim
x0
f
x
0
x
x
f
x
0
.
2.利用定义求导数需要注意的问题 求解时不能给出自变量的改变量Δx的具体值，否则求出的 是平均变化率，而不是瞬时变化率，即不是导数值，求解的 关键是第二步对 的变形，使分子、分母能约去一个Δx.
在点A处_____，称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线.
3.几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线y=f(x)在点 x
(x0,f(x0))处的切线的_____.
相切
直线l
斜率
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在x0处可导，则必存在切线；若函数f(x)在x0 处不可导，则一定不存在切线.（ ） (2)可以利用导数求过圆上某点的切线方程.（ ） (3)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点.
1.设函数y=f(x)在x0附近有定义，且有f(x0+Δx)-f(x0) =aΔx+b(Δx)2(a,b为常数)，则( )
A.f′(x)=a
B.f′(x)=b
C.f′(x0)=a
D.f′(x0)=b
2.求函数y=x- 在x=1处的导数.
1 x
【解题探究】 1.题1中式子f(x0+Δx)-f(x0)表示的是在哪一点的改变量？ 2.题2中函数值的改变量是什么？ 探究提示： 1.题1中式子f(x0+Δx)-f(x0)表示的是函数f(x)在点(x0,f(x0)) 处的函数值的改变量. 2.题2中函数值的改变量为
高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 错误剖析：导数
导数典型错误剖析
一、因忽视解题顺序而致错
例1 求函数2()f x x =在2x =的导数．
误：(2)4f =∵，(2)0f '=∴．
析：()f x 在点0x 处的导数0()f x '，实际上是导函数()f x '在0x x =处的函数值，即00()()x x f x f x =''=|．故求()f x 在0x 处的导数0()f x '，应先求()f x 的导函数()f x '，再将0x x =代入()f x '求值，顺序不能颠倒．
正：()2f x x '=∵，(2)4f '=∴．
二、对题意理解不清而致错
例2 求曲线33y x x =-的过点(22)A -，的切线方程． 误：显然点A 在曲线33y x x =-上，且2()33f x x '=-，(2)9f =-∴． 故所求切线方程为29(2)y x +=--，即9160x y +-=． 析：曲线过点A 的切线与曲线在点A 处的切线不同，前者既包括点A 处的切线，也包括过点A 但切点为另一点的切线．因此，解题时必须理清头绪，弄清题意． 正：设切点为00()P x y ，，
233y x '=-∵，
∴在点P 处的切线方程为2000(33)()y y x x x -=--． 又切线过点A ，
3200002(3)(33)(2)x x x x ---=--∴，
整理，得3200340x x -+=，即200(1)(2)0x x +-=． 01x =-∴或02x =．
∴当01x =-时，切线方程为2y =-，当02x =时，切线方程为9160x y +-=．。
高中数学北师大版选修1-1第三章《导数在实际问题中的应用》word教案1
导数在实际问题中的应用教学目的：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -==)600(<<x ．23()602x V x x '=-)600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积_ 60x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、xx x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()Vs R R'=-+4πR=0解得，h=2V R π即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
【精品教案】高中数学选修1-1第三章《导数的概念》教案
导数的概念[教学目的]1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。
[教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点 [教学方法]讲授启发，自学演练。
[授课类型]：新授课 [课时安排]：1课时[教 具]：多媒体、实物投影仪 [教学过程]一、复习提问(导数定义的引入)1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位： s ）存在关系()105.69.42++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ （2）新课我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。
先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉表格1表格20<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内 0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内 ()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆=∆+-∆+-=t tt t t t h h v ()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-=-∆+-∆+=t tt t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051； 当=∆t 0.01时，-=v 13.149； 当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=∆t 0.000 01时，-=v 13.099 951；当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049；当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1； 当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9； 。
高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 疑难解析：导数概念
有关导数概念的几个疑难问题一、导数相关概念1．导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。
函数y =)(x f 在x 0点可导是)(x f 在x 0点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。
如果0lim →∆x xy ∆∆不存在，称函数在x 0点不可导；若0lim →∆x x y ∆∆存在，则称此极限值为函数在该点的导数。
2．y =)(x f 在x 0点可导有以下三个条件：①y =)(x f 在x 0点处及其附近有意义；②左极限-→∆0lim x x y ∆∆及其右极限+→∆0lim x x y ∆∆都存在；③-→∆0lim x x y ∆∆=+→∆0lim x xy ∆∆，即左右极限相等。
三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不可导。
3．导函数y =)(x f '与原来的函数y =)(x f 有相同的定义域(a ，b)．4．“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别： ①．函数在一点处的导数y 0=)(0x f '是一个常数，不是变量．②．函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数y =)(x f 在区间(a ，b)内每一点都可导，是指对于区间(a ，b)内每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数y 0=)(0x f '．根据函数的定义，在开区间(a ，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y =)(x f 的导函数y =)(x f '．③．函数y =)(x f 在点x 0处的导数y 0=)(0x f '就是导函数y =)(x f '在点x = x 0处的函数值，即)(0x f '=)(x f '|0x x =．5．导数与连续的关系：若函数y =)(x f 在x 0处可导，则此函数在x 0处连续，但逆命题不成立，即函数y =)(x f 在x 0处连续，未必在x 0处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．因而可导性比连续性要求更高．下面用两个例题说明这个问题．例1 求证：若函数在点x 0处可导，则函数)(x f 在点x 0处连续． 证明：∵函数)(x f 在点x 0处可导，∴在点x 0处有： 0lim x x →[)(x f －)(0x f ] =0lim →∆x y ∆=0lim →∆x (x y ∆∆·x ∆) =0lim →∆x x y ∆∆·0lim →∆x x ∆=)(0x f '·0 = 0， ∴0lim x x →)(x f =)(0x f ，即函数)(x f 在点x 0处连续． 例2 求证：函数)(x f = | x |在点x 0= 0处连续，但在x 0处不可导． 证明：∵①)0(f = 0；②-→∆0lim x | x | =+→∆0lim x | x | =0lim →∆x | x | = 0 ；③0lim →∆x )(x f =)0(f ． ∴)(x f = | x |在点x 0= 0处连续．① 又∵函数)(x f = | x |在点x 0= 0及其附近有意义； ②x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00=x f x f ∆-∆+)0()0(=x x f ∆∆)(=x x ∆∆||=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆-=∆∆-∆=∆∆0.10,1＜x xx x ＞x x ； ③-→∆0lim x xy ∆∆=－1，+→∆0lim x x y ∆∆=1，即0lim →∆x x y ∆∆不存在，所以)(x f = | x |在点x 0= 0处不可导．综上所述，函数)(x f = | x |在点x 0= 0处连续，但在在x 0处不可导． 综上，函数y =)(x f 在点x 0处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念，它们之间的关系是：)(x f 在点x 0处有定义，不一定在x 0处连续；但)(x f 在点x 0处连续，一定在点x 0处有定义，即)(x f 在点x 0处有定义是)(x f 在点x 0处连续的必要而不充分的条件。
高中数学北师大版选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
学习目标1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理(1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一利用定义求导数例1求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx. 跟踪训练1利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练3求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．类型三导数的几何意义的综合应用例4已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则() A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于()A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于() A ．－4B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学知识点一思考1平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值． 梳理lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理(1)点P 处 (2)li m Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1解∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1解由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数 f ′(2)＝lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2解(1)k ＝li m Δx→0Δy Δx＝lim Δx →02(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →04Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4.(2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →0(2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3解设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →014(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1， 即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3解lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4解因为f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究解由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4解设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练 1．C2.C3.D4.2 5．解因为lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx＝lim Δx→0－12(2＋Δx )＝－14.所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
高中数学北师大版选修1-1第三章《导数的四则运算法则》word教案1
导数的四则运算法则一、教学目标：掌握八个函数求导法则及导数的运算法则并能简单运用.二、教学重点：应用八个函数导数求复杂函数的导数..教学难点：商求导法则的理解与应用.三、教学过程：（一）新课1．基本初等函数的导数公式（见教材）2．导数运算法则：（1）．和（或差）的导数法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即(u ±v )'＝u '±v '．例1 求y ＝x 3＋sin x 的导数．解：y'＝(x 3)'＋(sin x )' ＝3x 2＋cos x ．例2 求y ＝x 4－x 2－x ＋3的导数．解：y'＝4x 3 －2x －1．（2）．积的导数法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即 (uv )'＝u 'v ＋uv '．由此可以得出 (Cu )'＝C 'u ＋Cu '＝0＋Cu '＝Cu ' ．也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即 (Cu )'＝Cu ' ．例3 求y ＝2x 3－3x 2＋5x －4的导数．解：y'＝6x 2－6x ＋5．例4 求y ＝(2x 2＋3) (3x －2) 的导数．解：y'＝(2x 2＋3)'(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)'＝4x (3x －2)＋(2x 2＋3)·3＝18x 2－8x ＋9．或：692623-+-=x x x y ，9418'2+-=x x y练习1．填空：⑴ [(3x 2＋1)(4x 2－3)]'＝( 6x )(4x 2－3)＋ (3x 2＋1)( 8x )；⑵ (x 3sin x )'＝( 3 )x 2·sin x ＋x 3· ( cos x )．2．判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正：[(3＋x 2)(2－x 3)]'＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)．[(3＋x 2)(2－x 3)]'＝2x (2－x 3)－3x 2(3＋x 2)．3．求下列函数的导数：⑴ y ＝2x 3＋3x 2－5x ＋4； ⑵ y ＝ax 3－bx ＋c ； ⑶ y ＝sin x －x ＋1；（4） y ＝(3x 2＋1)(2－x )； （5） y ＝(1＋x 2)cos x ； （6）x x y x 2log 3cos 2-= 例5． 已知函数f (x )＝x 2(x －1)，若f ' (x 0)＝f (x 0)，求x 0的值．（3）商的导数例6．求下列函数的导数（1）x x y tan = （2）xx y cos 1sin += （3）x x y 2log sin = 练习：求下列函数的导数（1）32521xx x y +-= （2）x x x y cos tan -= 例7．求函数x x x y cos sin =的导数思考：设 f (x )＝x (x ＋1) (x ＋2) … (x ＋n )，求f '(0)．练习. 函数f (x )＝x (x －1) (x －2)(x －3) …(x －100)在x ＝0处的导数值为( )A. 0B. 1002C. 200D. 100!（三）课 堂 小 结1．和（或差）的导数 (u ±v )'＝u '±v '．2．积的导数 (uv )'＝u 'v ＋uv '．（四）课 后 作 业。
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有关导数概念的几个疑难问题
一、导数相关概念
1．导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。
函数y =)(x f 在x 0点可导是)(x f 在x 0点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。
如果0lim →∆x x
y ∆∆不存在，称函数在x 0点不可导；若0lim →∆x x y ∆∆存在，则函数在一点处的导数y 0=)(0x f '是一个常数，不是变量．
②．函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数y =)(x f 在区间(a ，b)内每一点都可导，是指对于区间(a ，b)内每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数y 0=)(0x f '．根据函数的定义，在开区间(a ，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y =)(x f 的导函数y =)(x f '．
③．函数y =)(x f 在点x 0处的导数y 0=)(0x f '就是导函数y =)(x f '在点x = x 0处的函数值，即)(0x f '=)(x f '|0x x =．称此极限值为函数在该点的导数。
2．y =)(x f 在x 0点可导有以下三个条件：
①y =)(x f 在x 0点处及其附近有意义；②左极限-→∆0lim x x y ∆∆及其右极限+→∆0lim x x y ∆∆都存在；③-→∆0lim x x y ∆∆=+→∆0lim x x
y ∆∆，即左右极限相等。
三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不可导。
3．导函数y =)(x f '与原来的函数y =)(x f 有相同的定义域(a ，b)．
4．“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别：
5．导数与连续的关系：
若函数y =)(x f 在x 0处可导，则此函数在x 0处连续，但逆命题不成立，即函数y =)(x f 在x 0处连续，未必在x 0处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．因而可导性比连续性要求更高．
下面用两个例题说明这个问题．
例1 求证：若函数在点x 0处可导，则函数)(x f 在点x 0处连续． 证明：∵函数)(x f 在点x 0处可导，∴在点x 0处有： 0lim x x →[)(x f －)(0x f ] =0lim →∆x y ∆=0lim →∆x (x y ∆∆·x ∆) =0lim →∆x x y ∆∆·0lim →∆x x ∆=)(0x f '·0 = 0， ∴0
lim x x →)(x f =)(0x f ，即函数)(x f 在点x 0处连续． 例2 求证：函数)(x f = | x |在点x 0= 0处连续，但在x 0处不可导． 证明：∵①)0(f = 0；②-→∆0lim x | x | =+→∆0lim x | x | =0lim →∆x | x | = 0 ；③0
lim →∆x )(x f =)0(f ． ∴)(x f = | x |在点x 0= 0处连续．
① 又∵函数)(x f = | x |在点x 0= 0及其附近有意义； ②x y ∆∆=x
x f x x f ∆-∆+)()(00=x f x f ∆-∆+)0()0(=x x f ∆∆)(=x x ∆∆||=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆-=∆∆-∆=∆∆0.10,1＜x x
x x ＞x x ； ③-→∆0lim x x
y ∆∆=－1，+→∆0lim x x y ∆∆=1，即0lim →∆x x y ∆∆不存在，所以)(x f = | x |在点x 0= 0处不可导．
综上所述，函数)(x f = | x |在点x 0= 0处连续，但在在x 0处不可导． 综上，函数y =)(x f 在点x 0处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念，它们之间的关系是：
)(x f 在点x 0处有定义，不一定在x 0处连续；但)(x f 在点x 0处连续，一定在点x 0处有定义，即)(x f 在点x 0处有定义是)(x f 在点x 0处连续的必要而不充分的条件。
)(x f 在点x 0处连续，则)(x f 在点x 0处一定有极限，且0lim x x →)(x f =)(0x f ；但)(x f 在点x 0处有极限，不一定在点x 0处连续，即)(x f 在点x 0处连续是)(x f 在点
x
处有极限的充分而不必要的条件。
)
(x
f在点x
0处连续是)
(x
f在点x
处可导的必要而不充分的条件。