谈谈期权的蒙特卡洛定价法

谈谈期权的蒙特卡洛定价法
蒙特卡洛方法又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，最早应用于20世纪40年代中期的原子能领域。

蒙特卡洛方法是以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，利用随机数（实际应用中通常为伪随机数）来产生随机的基于一定分布假设的数字序列，进而解决各种计算问题。

通过对问题的结果分布进行假设和拟合，利用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。

为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡洛命名。

从理论上来说，蒙特卡洛方法需要大量的实验。

实验次数越多，得到的结果才越精确。

计算机技术的发展使得蒙特卡洛方法得到快速普及。

现代的蒙特卡洛方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。

它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。

借助计算机技术，蒙特卡洛方法兼具了两大优点：一是简单，省却了繁复的数学推导和演算过程，使得一般人也能够理解和掌握；二是快速，简单和快速是蒙特卡洛方法在现代项目管理中获得应用的技术基础。

在实际应用中，蒙特卡洛方法通过执行统计抽样实验来解决各种数学问题，提供了近似的解决方案。

在金融行业数量化工具的设计和定价中蒙特卡洛方法被广泛运用，如为一些难以求出解析解的奇异期权进行定价。

有些投资者不太清楚蒙特卡洛方法在期权定价领域里面的必要性，事实上产生这样的疑惑和国内期权市场发展情况息息相关。

国内期权市场发展落后于欧美发达国家，场内期权数量屈指可数，相关的指数和资产管理产品寥寥无几，同时场外期权主要交易的品种也以简单的香草期权（vanilla options）为主，夹杂少量特殊定制的奇异期权。

由于接触的大多是已经有解释解，或者说期权交易和对冲中的希腊字母相对容易计算的期权品种，无论是投资者还是大量金融机构的从业人员对相对复杂的期权品种的定价以及希腊字母的计算方式还是比较陌生的。

实际上在交易者频繁交易各种奇异期权的国外市场，蒙特卡洛方法是相当常用而且具有实战意义的定价方式。

下面我们以最为简单的美式期权展开讨论：
美式期权与欧式期权相对应，其持有者有权利在期权续存期内的任意时间行权。

在国外成熟的交易市场，绝大部分交易的期权合约都是美式的。

相比而言，欧式期权的定价更加容易，实际情况中，交易者会考虑利用相似的欧式期权的价格对美式期权价格进行推导。

假设C为美式期权价格，c为对应的欧式期权价格。

显然，由于美式期权和欧式期权的持有者的权利不同，两者必须符合以下规律：
由于持有者可以在存续期内任意时间行权，实值美式期权价格C必须不低于该期权的内含价值，也就是当前美式期权行权的收益。

理论上，由于控制风险的暴露、节省现金、减少时间价值的损失等原因，无分红情况下的美式看涨期权不会提前行权。

但在实际情况中，根据交易者具体对行情的判断，美式看涨期权仍然存在提前行权的可能。

由于无分红情况下的美式看跌期权存在理论上的提前行权的可能性，如深度实值的时候，故对美式期权的定价而言，主要的挑战和难点集中在美式看跌期权的定价上。

美式期权的定价问题实际上是一个最优停时问题，也就是说，关键在于寻找执行期权收益比继续持有期权的期望收益大的瞬间。

事实上Longstaff-Schwartz方法中的基础函数类似于支持向量机（Support Vector Machine）中的核函数，只是在Longstaff-Schwartz方法中没有考虑到支持向量的问题，可以看作为支持向量机的一个原始模型。

所以Longstaff-Schwartz方法中的基础函数其实有非常多的候选函数，像径向基核函数（Radial Basis Function）和Sigmoid函数都是可以用于实战的。

如前文提到，不同的基础函数会导致不同的拟合效果，故实际应用时基础函数的选择仍需要读者根据实际应用情况进行选择，仅选用简单有效的多项式函数作为基础函数进行讨论。

根据前文所述，没有分红的情况下美式期权的定价的难点主要集中在美式看跌期权，而实际定价中的主要问题是如何求解每一个时间点上继续持有期权的期望收益。

简要介绍了美式期权的定价逻辑，并推导出美式期权的定价难点集中在对继续持有期权的期望收益的求解上。

另外，还介绍了国际上解决这一问题的主流方法——Longstaff-Schwartz方法，通过对标的价格和下一期期权的价格的折旧值进行回归，得出对当期继续持有期权的期望收益的估计值，进而通过VBA代码展示了利用蒙特卡洛方法对标的价格的走势进行模拟，对美式看跌期权的定价过程。

相比更为原始的利用嵌套蒙特卡洛方法来求解继续持有期权的期望收益的做法，利用Longstaff-Schwartz方法大大提升了定价过程的效率，减少了过程中所需要的运算量。

值得注意的是，中选择的基础函数是多项式函数，在实际应用中不同的基础函数会导致不同的拟合效果，故实际应用时基础函数的选择仍需要交易者根据实际应用情况进行选择。