概率论
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率基本公式1.事件的概率：对于事件A，在随机试验中发生的次数记为n(A)，则事件A的概率为P(A)=n(A)/n，其中n为试验总次数。
2.互斥事件的概率：对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.事件的余事件概率：设事件A为必然事件，全集的概率为P(S)=1，事件A的余事件为A'，则有P(A')=1-P(A)。
4.条件概率：对于两个事件A和B，假设事件B已经发生，事件A发生的概率记为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
二、随机变量及其概率分布1.离散型随机变量：设X是一个离散型随机变量，其概率函数为P(X=k)，其中k为X的取值，概率函数满足P(X=k)≥0，且∑P(X=k)=12. 连续型随机变量：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，概率密度函数满足f(x)≥0，且∫f(x)dx = 13. 随机变量的数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望为E(X) = ∑k*P(X=k)；对于连续型随机变量X，其数学期望为E(X)=∫xf(x)dx。
4. 随机变量的方差：对于离散型随机变量X，其方差为Var(X) =E(X^2) - [E(X)]^2；对于连续型随机变量X，其方差为Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2三、常见的概率分布1.伯努利分布：表示一次实验成败的概率分布，概率函数为P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)，其中0≤p≤12.二项分布：表示n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，概率函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布：表示单位时间或单位面积内发生事件次数的概率分布，概率函数为P(X=k) = (lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)，其中lambda为平均发生率。
4.均匀分布：表示在一个区间内取值相等的概率分布，概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中[a,b]为区间。
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中研究随机事件的理论，它用于描述事件发生的可能性，并通过概率的计算和分析来预测、评估和决策。
下面给出一些概率论中常用的公式，帮助你更好地理解和运用概率论。
1.概率定义公式：P(A)=N(A)/N，表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A发生的次数，N代表试验的总次数。
2.互补事件公式：P(A')=1-P(A)，表示事件A的补事件发生的概率。
3.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，表示事件A或B发生的概率。
4.独立事件公式：P(A∩B)=P(A)*P(B)，表示事件A和事件B同时发生的概率，当事件A和事件B相互独立时成立。
5.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，表示事件B已经发生时事件A发生的概率。
6.乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)，也可以写作P(A∩B)=P(B，A)*P(A)，表示事件A和事件B同时发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bᵢ)*P(Bᵢ)，表示事件A发生的概率，Bᵢ代表一组互不相容且构成样本空间的事件。
8.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
9.随机变量的概率公式：P(X=x)≥0，表示随机变量X取值为x的概率非负。
10.随机变量期望公式：E(X)=ΣxP(X=x)*x，表示随机变量X的期望或均值。
11.随机变量方差公式：Var(X) = E[(X - µ)²]，表示随机变量X的方差，其中µ为X的期望。
12.二项分布公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)，表示n次独立重复实验中，事件发生k次的概率，其中，C(n,k)为组合数，p为事件发生的概率，q为事件不发生的概率。
13.泊松分布公式：P(X=k)=e^(-λ)*(λ^k)/k!，表示单位时间或空间中，事件发生了k次的概率，λ为事件发生率。
概率论课件
例3 盒中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任 取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所 取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试 求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率 。
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
1.7 全概率公式
例：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
古典概型中的概率: 设事件A中所含样本点个数为M ，以N记样 本空间S中样本点总数，则有
M P ( A) N
P(A)具有如下性质： (1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概
1.6 条件概率和乘法定理
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十
人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取 到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到 红球的概率又是多少？ 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
• 随机事件
定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随 机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 在每次试验的结果中某事件一定发生，则该事件称 为必然事件，记作U。 在每次试验的结果中某事件一定不发生，则该事件 称为不可能事件，记作V。
频率：
设随机事件A在n次试验中发生了m次
m f n ( A) n
第1章 概率论的基本概念
确定概率的常用方法有： （1）频率方法(统计方法) （2）古典方法 （3）几何方法 （4）公理化方法 （5）主观方法
古典概率
(1) 古典概率的假想世界是不存在的 .对于那些极其罕见的， 定义 1.2.5 如果试验满足下面两个特征，则称其 但并非不可能发生的事情，古典概率不予考虑.如硬币落地后 为古典概型(或有限等可能概型)： 恰好站立，一次课堂讨论时突然着火等. （1 ）有限性：样本点的个数有限； (2) 古典概率还假定周围世界对事件的干扰是均等的 .而在 （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相同 . 实际生活中无次序的、靠不住的因素是经常存在的 .
(3) 如果AiAj= (1 i < j k)，则
fn(A1∪A2∪ … ∪Ak ) = fn(A1 ) +fn(A2 ) + … +fn(Ak 着事件在一次试验中发生的可能性就 大，反之亦然. 人们长期的实践表明：随着试验重复次数n的增加， 频率fn(A)会稳定在某一常数a附近，我们称这个常数为频 率的稳定值.这个稳定值就是我们所说的(统计)概率.
互不相容与对立区别 随机事件间的关系与运算
（1）事件A与事件B对立 AB= , A∪B= . （2）事件 A与事件B互不相容 AB= . 关系 运算 包含 相等 互不相容 并 交 差 补
如果属于A的样本点一定 由在 中而不在事件 A 中的样本点 , B没有相同的样本点， 如果事件 A 由事件 如果 A A 与事件 B ，且 A B 中所共有的样本 B，那么 A=B. A中而不在事件B中的样 中所有的样本点 由在事件 属于B，则称 A 包含于 B ， BB.B 组成的新事件，也叫 A的对立 B A A A 则称互不相容 . 记作 A ∩ B= . 点组成的新事件 即B包含 A=B A B, A B A. . 组成的新事件 .记作 A记作 ∪ B.BA 本点组成的新事件 .记作 A-B. 或 A. 记作 B. .
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是一门研究随机现象的数学分支，它使用概率来描述和解释随机事件发生的规律性。
在实际应用中，我们常常需要使用一些基本概率公式来计算和分析各种随机现象。
以下是一些常见的概率论公式：1.概率的定义公式：P(A)=N(A)/N(S)其中P(A)表示事件A的概率，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中发生的总次数。
2.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中P(A∪B)表示事件A和事件B至少发生一个的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)某P(B，A)其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。
5.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bi)某P(Bi)其中P(A)表示事件A的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示对所有可能的事件Bi求和。
6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/ΣP(A，Bj)某P(Bj)其中P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A，Bj)表示在事件Bj发生的条件下事件A发生的概率，Σ表示对所有可能的事件Bj求和。
7.期望值的公式：E(X)=ΣXi某P(Xi)其中E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示随机变量X的可能取值，P(Xi)表示随机变量X取值为Xi的概率，Σ表示对所有可能的取值Xi求和。
8.方差的公式：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2其中Var(X)表示随机变量X的方差，E(X^2)表示随机变量X的二阶矩，[E(X)]^2表示随机变量X的期望值的平方。
概率论
第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。
有的是人为设置，有的是必须经历。
通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。
例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。
4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。
例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。
5．样本点：即基本事件，记为。
随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。
6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。
如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。
例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。
7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。
如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。
抽牌：Ω=“抽到一张牌”。
8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。
如投币：=“正面朝上且反面朝上”。
抽牌：=“抽到一张电影票”。
例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。
二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。
1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。
概率论的基本概念总结
概率论的基本概念总结概率论是一门研究随机现象和随机事件发生概率的学科。
以下是概率论的一些基本概念和原理的总结：1. 随机试验：指具有随机性质的实验，可以重复进行，并且每次实验的结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果构成的集合，记作Ω。
3. 事件：样本空间Ω 中的子集称为事件。
通常用大写字母A、B、C 等表示事件。
4. 事件的概率：事件A 发生的可能性大小可以用概率来描述，记作 P(A)。
概率是一个介于 0 和 1 之间的实数。
5. 等可能概型：当一个随机试验的样本空间中的每个结果发生的可能性相等时，称为等可能概型。
6. 频率：进行多次独立重复的随机试验，事件 A 发生的频率近似等于其概率。
7. 概率的性质：概率具有以下性质：- 非负性：对于任何事件 A，有P(A) ≥ 0。
- 规范性：对于样本空间Ω，有P(Ω) = 1。
- 加法性：对于任何两个互斥事件 A 和 B，有 P(A ∪ B) =P(A) + P(B)。
- 完备性：对于任何事件 A，有 P(A) + P(A的补) = 1。
8. 条件概率：当已知随机试验的某些信息时，我们可以计算某一事件发生的概率，这就是条件概率。
条件概率使用 P(B|A) 表示，读作“在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率”。
9. 乘法规则：当两个事件 A 和 B 依赖于彼此时，事件 A 和 B 同时发生的概率可以通过条件概率相乘得到，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)。
10. 独立事件：事件 A 和 B 是独立事件，如果 A 的发生与 B 的发生无关，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。
11. 事件的互斥和独立：事件 A 和 B 互斥，如果它们不能同时发生，即P(A ∩ B) = 0。
事件 A 和 B 独立，如果它们的发生与否相互独立，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。
12. 全概率公式：在条件概率已知的情况下，可以利用全概率公式求解事件的概率，即P(B) = Σ P(Ai) * P(B|Ai)，其中 Ai 是样本空间Ω 的一个划分。
《概率论》课件
物理学
描述粒子在气体或液体中的运动状态。
金融学
用于股票价格和收益率的分析。
隐马尔科夫模型
定义
隐马尔科夫模型是一种特殊的马尔科夫模型 ，其中观测状态与隐藏状态有关，而隐藏状 态之间相互独立。
应用
语音识别、手写识别、生物信息学等领域。
05
大数定律与中心极限定理
大数定律及其应用
大数定律
在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件发 生的频率趋于该事件发生的概率。
《概率论》ppt课 件
目录
• 概率论简介 • 概率的基本性质 • 随机变量及其分布 • 随机过程与马尔科夫链 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯统计推断
01
概率论简介
概率论的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过数学模型和公式 来描述随机事件、随机变量和随机过程。
随机变量
表示随机现象的数值变量，其取值具有随机性。
THANKS
感谢观看
计算机科学
概率论在计算机科学中用于算法设计和数据 挖掘等领域。
02
概率的基本性质
概率的公理化定义
概率的公理化定义是概率论的基础，它规定了概率的几个基本性质，包括非负性 、规范性、可加性和有限可加性。
非负性指的是任何事件的概率都不小于0；规范性指的是必然事件的概率为1；可 加性指的是两个独立事件的概率等于它们各自概率的和；有限可加性指的是任意 有限个两两独立的事件的概率等于这些事件概率的和。
应用
在统计学中，大数定律用于估计样本的统计量和参数 ，如平均值、方差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样 本均值的分布近似正态分布。
概率论公式总结
概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：BA B A =⋃BA AB ⋃=n i ini iA A11===ni ini iA A11===2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j inj i j ini ini i A A A P A A AP A AP AP A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P)()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==ni i ik k B AP B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p nk p pC k X P kn kk n,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理 0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk n n λλ(3) Poisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f xλλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex xtd 21)(22π7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞-=dv v x f x f X),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yYdudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y),()(8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X XYX0)()()(>=y f y x f y f YYX Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dyy f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxx f x y f dx y x f y f X XYY )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X XY =)(x y f XY)(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征 数学期望∑+∞==1)(k kkp xX E⎰+∞∞-=dxx xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )(kX E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|kX EX 的 k 阶中心矩 )))(((kX E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )(lkY X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()lkY E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -=协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的概率。
以下是概率论中常用的公式。
1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的有利结果数量，n(S)表示样本空间中的总结果数量。
2.加法公式：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)其中，P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.乘法公式：P(A且B)=P(A)×P(B，A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
4.条件概率公式:P(A，B)=P(A且B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
5.全概率公式：P(A)=Σ(P(A，Bi)×P(Bi))其中，P(A)表示事件A的概率，Bi表示S的一个划分，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=(P(A，Bi)×P(Bi))/Σ(P(A，Bj)×P(Bj))其中，P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
7.期望值公式：E(X)=Σ(Xi×P(Xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示X的取值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
8.方差公式：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 × P(Xi))其中，Var(X)表示随机变量X的方差，Xi表示X的取值，E(X)表示X 的期望值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
9.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。
10.二项分布的概率公式：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示组合数，p表示单次实验成功的概率，n表示试验重复的次数，k表示成功发生的次数。
概率论
S 7 : { ( x , y ) | T 0≤ x ≤ y ≤ T 1 }
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第一章 概率论的基本概念
2、 随 机 事 件
定义： 定义： •随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件 随机事件； 可能发生，也可能不发生） 随机事件； 可能发生，也可能不发生） ( •基本事件 : 有一个样本点组成的单点集； 基本事件 有一个样本点组成的单点集； ( •必然事件 : 样本空间 S 本身； 必然发生） 必然事件 本身； 必然发生） •不可能事件 : 空集∅。 不可能事件 空集∅ (必然不发生） 必然不发生）
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第一章 概率论的基本概念 2 ） 频率的稳定性 n=500时 时 nA 251 249 256 253 251 246 fn(A) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492
244 0.488
0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012 实验者 德•摩根 摩根 蒲 丰 n 2048 4040 nH 1061 2048 6019 fn(H) 0.5181 0.5096 0.5016 0.5005
A U A = A, A I A = A
A U B = B U A, A I B = B I A
( A U B ) U C = A U (B U C ) ( A I B ) I C = A I (B I C )
A U (B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ) Morgan定律 定律: De Morgan定律: U A α = I Aα , I A α = U A α
不能同时发生 与 不能同时发生” 50 互不相容 A I B = ∅ “A与B不能同时发生” 60 对立（互逆）事件 A I B = ∅ 且 A U B = S 对立（互逆）
概率论知识点总结
概率论知识点总结
概率论是有关概率事件发生及其后果的数学理论，是数理统计学的分支，也是概率统计理论基础。
概率论是一种统计理论，它是以定义、描述随机现象为主要内容的数学理论。
概率论可以用来处理日常生活中的各种问题，比如投骰子、抛硬币、抽奖等。
概率论的知识点总结可以分为以下几个方面：
1、定义和性质：概率是对某种情况发生或事件发生的可能性的衡量，它常用来表示出现某种特定结果的可能性。
概率的值介于0和1之间，当概率为1时，表示确定会发生，而概率为0时表示绝不会发生。
2、概率的组成：概率的三要素有性质空间、计数原理和独立性。
性质空间指的是一个事件发生的空间，它可以包含任意多个事件，称为概率空间。
计数原理指的是，在一个概率空间中，相关事件发生的次数可以被分为不同类别，比如有发生次数和未发生次数。
独立性是指，在一个概率空间中，某个事件发生或不发生，不影响另一个事件的发生或不发生。
3、概率的计算方法：概率的计算要综合考虑概率的三个要素，可以分为定义法，乘积法，加法法和条件概率法等。
定义法是从概率定义准备计算概率。
乘积法是将要计算概率的两个相关事件用乘法运算相乘，即概率乘积。
加法法是把概率的两个相关事件用加法运算相加，即概率和。
条件概率法是从已知条件概率出发，计算某一事件的发生概率。
4、概率的应用：概率论在现实生活中广泛应用，比如保险业、教育领域、决策科学等，它可以帮助人们做出更合理的决策，从而提高生活水平。
总之，概率论是一门基础而重要的理论，它不仅可以帮助我们理解许多自然现象，而且还可以为我们提供一个有力的工具，帮助我们进行正确的决策。
数学 概率
概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律。
它是应用数学的一个重要工具，广泛应用于统计学、物理学、生物学等领域。
概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。
对于一个随机试验，试验的每一个结果都称为样本点。
样本空间是所有可能的样本点的集合。
而事件是样本空间的一个子集。
概率的基本公理有三个：非负性、规范性和可列加性。
非负性指概率必须是非负的数值，即大于等于0。
规范性指样本空间的概率为1，即必然事件的概率为1。
可列加性指如果两个事件互斥，则它们的概率可以相加。
概率的计算方法在概率论中，有三种常见的计算方法：古典概型、几何概型和统计概型。
古典概型适用于样本空间中的每个样本点发生的概率相等的情况。
例如，掷一枚公正的硬币，正面和反面出现的概率都是1/2。
几何概型适用于样本空间是一个连续的区间的情况。
例如，从一个范围为0到1的均匀分布随机选择一个数，落在某个子区间的概率可以用该子区间的长度表示。
统计概型适用于实际问题中，根据历史数据或样本数据进行估计的情况。
例如，根据过去的天气数据，预测明天下雨的概率。
条件概率和独立性条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以用P(A|B)表示，读作“A在B发生的条件下的概率”。
独立性指两个事件的发生与否是相互独立的。
如果两个事件A和B是独立的，那么P(A|B) = P(A)，即B的发生对A的发生没有影响。
条件概率和独立性是概率论中的重要概念，它们在实际问题的建模和分析中有着广泛的应用。
例如，在医学诊断中，根据症状来计算各种疾病的概率，可以通过条件概率来实现。
期望值和方差期望值是随机变量的平均值，用E(X)表示。
对于离散型随机变量，期望值可以通过每个取值与其对应的概率相乘再求和来计算；对于连续型随机变量，期望值可以通过对密度函数进行积分来计算。
方差是随机变量偏离其期望值的程度的度量，用Var(X)表示。
它等于随机变量与其期望值之差的平方的均值。
概率论
1第一章 随机事件及其概率第一节 随机事件一. 必然现象与随机现象在自然界里，在生产实践和科学实验中，人们观察到的现象大体可归结为两种类型。
一类是可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的，或是根据它过去的状态，在相同条件下完全可以预言将来的发展。
我们把这一类型现象称之为确定性现象或必然现象。
如在一个大气压下，水在100度时会沸腾等。
一类是事前不可预言的，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同；或是知道它过去状况，在相同条件下，未来的发展事前却不能完全肯定。
这一类型的现象我们称之为偶然性现象或随机现象。
如掷一个质地均匀的硬币，结果可能是正面向上，或是背面向上。
二. 样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为ω；它们的全体称为样本空间, 记为Ω.事件 是指某一可观察特征的随机试验的结果。
基本事件是相对观察目的而言不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.如掷一枚骰子，向上的一面会出现1点，2点，3点，4点，5点，6点。
则样本点有6个。
若记,16i i i ω=≤≤，i ω即为样本点。
样本空间为123456{,,,,,}ωωωωωωΩ=。
记{}i i A ω=，i A 为一个基本事件，把“出现偶数点”这样一个事件记为B ，则246{,,}B ωωω=。
B 为一个复合事件。
三. 事件的运算规律事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：表1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅=-=⊂∅Ω ω,第二节 随机事件的概率一. 概率的定义定义1 设E 是随机试验, Ω是它的样本空间,对于E 的每一个事件A 赋于一个实数, 记为)(A P , 若)(A P 满足下列三个条件:1. 非负性：对每一个事件A ,有 0)(≥A P ;2. 完备性：()1P Ω=;3. 可列可加性：设 ,,21A A 是两两互不相容的事件，则有.)()(11∑∞=∞==i ii i AP A P2则称)(A P 为事件A 的概率.二. 概率的性质性质1：()0P ∅=。
概率论公式
概率论公式概率论是一种重要的数学理论，它分析和研究概率事件的可能结果以及它们的概率本质。
概率论的基本思想是：概率事件的发生频率有可能在一定的数量级上出现明显的变化，但是无法判断确切的发生率。
因此，在概率论中，人们通常使用概率公式来说明概率事件的可能结果。
概率论公式是概率论中最重要的数学工具，它们可以帮助人们更好地理解概率事件的发生率以及该事件的可能结果。
下面就来讨论概率论中一些常见的概率公式。
1. 伯努利定理：它是独立事件的基本理论，描述的是同一个概率事件的两种可能结果的概率和关系：P（A）= P（A）× P（B），其中，P（A）和P（B）分别表示概率事件A和B的概率。
2.叶斯定理：它可以明确描述两个概率事件的条件概率，即：P （AB）= P（A）×P（BA）/ P（B），其中，P（A）表示事件A发生的概率，P（BA）表示事件B在事件A发生的条件下发生的概率，P（B）表示事件B发生的概率。
3.律定理：它用于描述一系列的概率事件发生的节律性，即，当概率事件A发生n次后，下一次概率事件A发生的概率为：P（N+1）=P（N）/（1- P（N）），其中，P（N）表示概率事件A发生n次的概率。
4.合概率计算公式：它用于计算两个或多个概率事件发生概率的总和，即：P（A∪B）=P（A）+ P（B）- P（A∩B），其中，P（A∪B）表示概率事件A和B发生的概率之和，P（A）表示概率事件A发生的概率，P（B）表示概率事件B发生的概率，P（A∩B）表示概率事件A和B同时发生的概率。
5.体概率计算公式：它用于计算一组概率事件的概率总和，即：P（T） =∑i =1n（P（Ai）），其中，P（T）表示被考虑的概率事件T 的概率总和，P（Ai）表示概率事件Ai发生的概率。
6.概率公式：它用于计算某一事件发生的概率，即：P（A）=∑i=1n（P（Ai）×P（AAi）），其中，P（A）表示概率事件A发生的概率，P（Ai）表示概率事件Ai发生的概率，P（AAi）表示概率事件A 在Ai发生的条件下发生的概率。
概率论集合公式
概率论集合公式
一、基本集合运算公式。
1. 并集公式。
- 对于任意两个事件A和B，P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩ B)。
- 如果A和B是互斥事件（即A∩ B = varnothing），那么P(A∪
B)=P(A)+P(B)。
2. 交集公式。
- P(A∩ B) = P(A)P(BA)（当P(A)>0时），这是条件概率下的交集公式，也可以写成P(A∩ B)=P(B)P(AB)（当P(B)>0时）。
3. 补集公式。
- 对于事件A，P(¯A) = 1 - P(A)，其中¯A表示A的补集。
二、多个事件的公式。
1. 三个事件的并集公式。
- P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩ B)-P(A∩ C)-P(B∩ C)+P(A∩ B∩ C)。
2. 容斥原理（一般形式）
- 设A_1,A_2,·s,A_n是n个事件，则P(bigcup_i = 1^nA_i)=∑_i=1^nP(A_i)-
∑_1≤slant i
这些公式在解决概率论中的各种问题，如计算事件发生的概率、分析事件之间的关系等方面有着广泛的应用。
在人教版教材中，这些内容通常在高中数学选修2 - 3或者大学的概率论与数理统计教材中出现，通过大量的例题和练习可以加深对这些公式的理解和运用。
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项目2 概率论、数据统计与区间估计实验1 概率模型实验目的通过将随机试验可视化, 直观地理解概率论中的一些基本概念, 从频率与概率的关系来体会概率的统计定义, 并初步体验随机模拟方法. 通过图形直观理解随机变量及其概率分布的特点.基本命令1.调用统计软包的命令进行统计数据的处理, 必须调用相应的软件包, 首先要输入并执行命令<<statistics`以完成数据统计的准备工作.2.调用作图软件包的命令<<Graphics\Graphics.m用Mathematica作直方图,必须调用相应的作图软件包,输入并执行<<Graphics`这时可以查询这个软件包中的一些作图命令的用法. 如输入??BarChart则得到命令BarChart的用法说明; 如果没有, 则说明调用软件包不成功, 必须重新启动计算机, 再次调用软件包.实验举例频率与概率例1.1(高尔顿钉板实验)自高尔顿钉板上端放一个小球, 任其自由下落. 在其下落过程中, 当小球碰到钉子时从左边落下的概率为p, 从右边落下的概率为,-碰到下一排钉子又1p是如此, 最后落到底板中的某一格子. 因此任意放入一球, 则此球落入哪个格子事先难以确定. 设横排共有20m排钉子, 下面进行模拟实验:=(1) 取,5.0p自板上端放入一个小球, 观察小球落下的位置; 将该实验重复作5次, 观=察5次实验结果的共性及每次实验结果的偶然性;(2) 分别取,5000=n观察n个小球落下后p自板上端放入n个小球, 取,.085.0,5.0,15=呈现的曲线.作出不同p值下5000个小球落入各个格子的频数的直方图, 输入<<Statistics`<<Graphics`Graphics`Galton[n_Integer,m_Integer,p_]:=Module[{},dist={};For[l=1,l<=n,l++,k=0;t=Table[Random[BernoulliDistribution[p]],{i,1,m}];Do[If[t[[i]]==1,k++,k--],{i,1,m}];dist=Append[dist,k];pp=Frequencies[dist];];Histogram[dist,BarStyle->{RGBColor[0,0,1]}];]p=0.15;n=5000;m=20;Galton[n,m,p]p=0.5;n=5000;m=20;Galton[n,m,p]p=0.85;n=5000;m=20;Galton[n,m,p]则输出p=0.15p=0.5p =0.85 图1-1由图1-1可见: 若小球碰钉子后从两边落下的概率发生变化, 则高尔顿钉板实验中小球 落入各个格子的频数发生变化, 从而频率也相应地发生变化. 而且, 当,5.0>p 曲线峰值的 格子位置向右偏; 当,5.0<p 曲线峰值的格子位置向左偏.几何概型例1.2 甲、乙二人约定八点到九点在某地会面, 先到者等20分钟离去, 试求两人能会面 的概率.由于甲、乙二人在[0,60]时间区间中任何时刻到达是等可能的, 若以X ,Y 分别代表甲乙二 人到达的时刻, 则每次试验相当于在边长为60的正方形区域}60,0);,{(≤≤=ΩY X Y X中取一点.设到达时刻互不影响, 因此),(Y X 在区域Ω内取点的可能性只与区域的面积大小成正 比, 而与其形状、位置无关. 于是, 会面问题可化为向区域Ω随机投点的问题. 所关心的事 件“二人能会面”可表示为}20||);,{(≤-=Y X Y X A(图1-2)于是, 所求概率的理论值为=)(A P (A 的面积)/(Ω的面积)556.095≈=图1-2下面, 我们作如下模拟试验:(1) 模拟向有界区域Ω投点n 次的随机试验, 取100=n , 统计每次投点是否落在图1-2 所示区域A 中, 若是则计数1次.(2) 改变投点数,10000,5000,1000=n 统计落入区域A 的次数. 输入meet[n_Integer]:=Module[{x},x[k_]:=x[k]=Abs[Random[Integer,{0,60}]-Random[Integer,{0,60}]]; pile=Table[x[k],{k,1,n}];times=Count[pile,x_/;0<=x<=20]; Print[times];frequence=N[times/n]] n=100;meet[n] n=1000;meet[n] n=5000;meet[n] n=10000;meet[n]则输出所求结果, 为方便比较, 将输出结果列于表1-1中表1-1从上表结果可见, 当约会次数越来越大时, 试验约会成功频率与理论约会成功概率越来 越接近.离散型随机变量及其概率分布例1.3(二项分布)利用Mathematica 绘出二项分布),(p n b 的概率分布与分布函数的图形, 通过观察图形, 进一步理解二项分布的概率分布与分布函数的性质.设20=n , ,2.0=p 输入<<Statistics` <<Graphics`Graphics`n=20;p=0.2;dist=BinomialDistribution[n,p];t=Table[{PDF[dist,x+1],x},{x,0,20}];g1=BarChart[t,PlotRange->All]; g2=Plot[Evaluate[CDF[dist,x]],{x,0,20},PlotStyle->{Thickness[0.008],RGBColor[0,0,1]}];t=Table[{x,PDF[dist,x]},{x,0,20}];gg1=ListPlot[t,PlotStyle->PointSize[0.03],DisplayFunction->Identity];gg2=ListPlot[t,PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];p1=Show[gg1,gg2,g1,DisplayFunction->$DisplayFunction,PlotRange->All];则分别输出二项分布概率分布图形(图1-3)与分布函数图形(图1-4).图1-3图1-4从图1-3可见, 概率}{k X P =随着k 的增加,先是随之增加, 直到4=k 达到最大值, 随 后单调减少. 而从图1-4可见, 分布函数)(x F 的值实际上是x X ≤的累积概率值.通过改变n 与p 的值, 读者可以利用上述程序观察二项分布的概率分布与分布函数随 着n 与p 而变化的各种情况, 从而进一步加深对二项分布及其性质的理解.连续型随机变量及其概率密度函数例1.4 (正态分布)利用Mathematica 绘出正态分布),(2σμN 的概率密度曲线以及分布函 数曲线, 通过观察图形, 进一步理解正态分布的概率分布与分布函数的性质.(1) 固定,1=σ 取,2,0,2==-=μμμ 观察参数μ对图形的影响, 输入<<Statistics`<<Graphics`Graphics`dist=NormalDistribution[0,1]; dist1=NormalDistribution[-2,1]; dist2=NormalDistribution[2,1];Plot[{PDF[dist1,x],PDF[dist2,x],PDF[dist,x]},{x,-6,6},PlotStyle->{Thickness[0.008],RGBColor[0,0,1]},PlotRange->All];Plot[{CDF[dist1,x],CDF[dist2,x],CDF[dist,x]},{x,-6,6},PlotStyle->{Thickness[0.008],RGBColor[1,0,0]}];则分别输出相应参数的正态分布的概率密度曲线(图1-5)及分布函数曲线(图1-6).图1-6从图1-5可见:(a) 概率密度曲线是关于μ=x 对称的钟形曲线, 即呈现“两头小, 中间大, 左右对称” 的特点.(b) 当μ=x 时, )(x f 取得最大值, )(x f 向左右伸展时, 越来越贴近x 轴.(c) 当μ变化时, 图形沿着水平轴平移, 而不改变形状, 可见正态分布概率密度曲线的 位置完全由参数μ决定, 所以μ称为位置参数.(2) 固定0=μ, 取,5.1,1,5.0=σ观察参数σ对图形的影响, 输入dist=NormalDistribution[0,0.5^2]; dist1=NormalDistribution[0,1]; dist2=NormalDistribution[0,1.5^2];Plot[{PDF[dist1,x],PDF[dist2,x],PDF[dist,x]},{x,-6,6},PlotStyle->{Thickness[0.008],RGBColor[0,0,1]},PlotRange->All]; Plot[{CDF[dist1,x],CDF[dist2,x],CDF[dist,x]},{x,-6,6},PlotStyle->{Thickness[0.008],RGBColor[1,0,0]},PlotRange->All]; 则分别输出相应参数的正态分布的概率密度曲线(图1-7)及分布函数曲线(图1-8)图1-7从图1-7与图1-8可见: 固定μ, 改变σ时, σ越小, 在0附近的概率密度图形就变得越 尖, 分布函数在0的附近增值越快; σ越大, 概率密度图形就越平坦, 分布函数在0附近的增 值也越慢, 故σ决定了概率密度图形中峰的陡峭程度; 另外, 不管σ如何变化, 分布函数在 0点的值总是0.5, 这是因为概率密度图形关于0=x 对称.通过改变μ与σ的值, 读者可以利用上述程序观察正态分布的概率分布与分布函数随 着μ与σ而变化的各种情况, 从而进一步加深对正态分布及其性质的理解.随机变量函数的分布例1.5 设X ,Y 相互独立, 都服从(0,1)上的均匀分布, 求Y X Z +=的概率密度. 理论上, 我们可用卷积公式直接求出Y X Z +=的密度函数:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=其它,021,210,)(z z z z z g下面, 我们作如下模拟试验:(1) 产生两组服从(0,1)上均匀分布的相互独立的随机数,,,2,1,,n i y x i i = 取n ,1000= 计算;i i i y x z +=(2) 用数据i z 作频率直方图, 并在同一坐标系内画出用卷积公式求得的密度函数图形作 比较.输入<<Statistics`Clear[g1,t,t1,t2];t={};n=1000;g1[x_]:=50*Which[0<=x<=1,x,1<=x<=2,2-x,True,0];pic1=Plot[g1[x],{x,0,2},PlotStyle->{Thickness[0.01],RGBColor[0,0,1]}]; t1=RandomArray[UniformDistribution[0,1],n]; t2=RandomArray[UniformDistribution[0,1],n]; Do[t=Append[t,t1[[i]]+t2[[i]]],{i,n}];p1=Histogram[t]; Show[pic1,p1,DisplayFunction->$DisplayFunction];则在同一坐标系中输出所求频率直方图与密度函数的图形(图1-9).中心极限定理的直观演示例1.6 本例旨在直观演示中心极限定理的基本结论: “大量独立同分布随机变量的和的 分布近似服从正态分布”. 按以下步骤设计程序:(1) 产生服从二项分布),10(p b 的n 个随机数, 取2.0=p , 50=n , 计算n 个随机数之 和y 以及)1(1010p np np y --;(2) 将(1)重复1000=m 组, 并用这m 组)1(1010p np np y --的数据作频率直方图进行观察.输入<<statistics`<<Graphics`Graphics`m=1000;n=50;p=0.2;t={};dist={}; For[i=1,i<=m,i++,dist=RandomArray[BinomialDistribution[10,p],n]; ysum=CumulativeSums[dist];nasum=(ysum[[n]]-10*n*p)/Sqrt[n*10*p*(1-p)];t=Append[t,nasum];] Histogram[t,FrequencyData->False];则输出图1-10.图1-10从图1-10可见, 当原始分布是二项分布, n比较大时, n个独立同分布的的随机变量之和的分布近似于正态分布.实验习题1. (抛硬币实验) 模拟抛掷一枚均匀硬币的随机实验(可用0-1随机数来模拟实验结果), 取模拟n次掷硬币的随机实验. 记录实验结果, 观察样本空间的确定性及每次实验结果的偶然性, 统计正面出现的次数, 并计算正面出现的频率. 对不同的实验次数n进行实验, 记录下实验结果,通过比较实验的结果, 你能得出什么结论?2. (抽签实验) 有十张外观相同的扑克牌, 其中有一张是大王, 让十人按顺序每人随机抽取一张, 讨论谁先抽出大王.甲方认为: 先抽的人比后抽的人机会大.乙方认为: 不论先后, 他们抽到大王的机会是一样的. 究竟他们谁说的对?3. (泊松分布) 利用Mathematica在同一坐标系下绘出λ取不同值时泊松分布)π的概(λ率分布曲线, 通过观察输出的图形, 进一步理解泊松分布的概率分布的性质.4. (二项分布的正态分布逼近) 用正态分布逼近给出二项分布)B,1kk(=n,;(p, 并将得到的近似值与它的精确值比较.,2n,)实验2 数据统计实验目的掌握利用Mathematica求来自某个总体的一个样本的样本均值、中位数、样本方差、偏度、峰度、样本分位数和其它数字特征, 并能由样本作出直方图.基本命令1.求样本数字特征的命令(1) 求样本list 均值的命令Mean[list]; (2) 求样本list 的中位数的命令Median[list]; (3) 求样本list 的最小值的命令Min[list]; (4) 求样本list 的最大值的命令Max[list]; (5) 求样本list 方差的命令V ariance [list];(6) 求样本list 的标准差的命令StandardDeviation[list]; (7) 求样本list 的α分位数的命令Quantile[list,α]; (8) 求样本list 的n 阶中心矩的命令CentralMoment[list,n]. 2.求分组后各组内含有的数据个数的命令BinCounts 基本格式为BinCounts [数据,{最小值,最大值,增量}]例如,输入BinCounts[{1,1,2,3,4,4,5,15,6,7,8,8,8,9,10,13},{0,15,3}]则输出{4,4,5,1,2}它表示落入区间]15,12(],12,9(],9,6(],6,3(],3,0(的数据个数分别是4, 4, 5, 1, 2.注: 每个区间是左开右闭的. 3.作条形图的命令BarChart 基本格式为BarChart [数据,选项1,选项2,…]其中数据是{{11,x y },{22,x y },…}或{ ,,21y y }的形式.而 ,,21y y 为条形的高度,21,x x 为条形的中心.在数据为{ ,,21y y }的形式时默认条形的中心是{ ,2,1}.常用选项有BarSpacing →数值1,BarGroupSpacing →数值2.例如, 输入BarChart[{{4,1.5},{4,4.5},{5,7.5},{1.10,5},{2,13.5}},BarGroupSpacing->0.1]则输出如图2-1的条形图.图2-1实验举例样本的数据统计例2.1在某工厂生产的某种型号的圆轴中任取20个,测得其直径数据如下:15.28,15.63,15.13,15.46,15.40,15.56,15.35,15.56,15.38,15.21,15.48,15.58,15.57,15.36,15.48,15.46.15.52,15.29,15.42,15.69求上述数据的样本均值,中位数,四分位数;样本方差,极差,变异系数,二阶、三阶和四阶中心矩;求偏度,峰度,并把数据中心化和标准化.输入<<Statistics`data1={15.28,15.63,15.13,15.46,15.40,15.56,15.35,15.56,15.38,15.21,15.48,15.58,15.57,15.36,15.48,15.46,15.52,15.29,15.42,15.69}; (*数据集记为datal*)Mean[data1] (*求样本均值*)Median[data1] (*求样本中位数*)Quartiles[data1] (*求样本的0.25分位数, 中位数, 0.75分位数*)Quantile[data1,0.05] (*求样本的0.05分位数*)Quantile[data1,0.95] (*求样本的0.95分位数*)则输出15.440515.46{15.355,15.46,15.56}15.1315.63即样本均值为15.4405,样本中位数为15.46,样本的0.25分位数为15.355,样本的0.75分位数 15.56, 样本的0.05分位数是15.13, 样本的0.95分位数是15.63.输入V ariance[data1] (*求样本方差2s *)StandardDeviation[data1] (*求样本标准差s *) V arianceMLE[data1] (*求样本方差2*s *)StandardDeviationMLE[data1] (*求样本标准差*s *) SampleRange[data1] (*求样本极差R *)则输出0.020605 0.143544 0.0195748 0.13991 0.56即样本方差2s 为0.020605, 样本标准差s 为0.143544, 样本方差2*s 为0.0195748 样本标准 差*s 为0.13991, 极差R 为0.56.注: V ariance 给出的是无偏估计时的方差, 其计算公式为∑=--ni ix x n 12)(11, 而 V arianceMLE 给出的是总体方差的极大似然估计, 其计算公式为∑=-ni ix x n12)(1,它比前者稍微小些.输入CoefficientOfV ariation[data1](*求变异系数.变异系数的定义是样本标准差与样本均值之比*)则输出0.00929662输入CentralMoment[data1,2](*求样本二阶中心矩*) CentralMoment[data1,3] (*求样本三阶中心矩*) CentralMoment[data1,4] (*求样本四阶中心矩*)输出为0.0195748 -0.00100041 0.000984863输入Skewness[data1](*求偏度,偏度的定义是三阶中心矩除以标准差的立方*)Kurtosis[data1](*求峰度,峰度的定义是四阶中心矩除以方差的平方*)则输出-0.3652872.5703上述结果表明:数据(data1)的偏度(Skewness)是-0.365287,负的偏度表明总体分布密度有较长的右尾,即分布向左偏斜.数据(data1)的峰度(Kurtosis)为2.5703. 峰度大于3时表明总体的分布密度比有相同方差的正态分布的密度更尖锐和有更重的尾部. 峰度小于3时表明总体的分布密度比正态分布的密度更平坦或者有更粗的腰部.输入ZeroMean[data1](*把数据中心化,即每个数据减去均值*)则输出{-0.1605,0.1895,-0.3105,0.0195,-0.0405,0.1195,-0.0905,0.1195,-0.0605,-0.2305,0.0395,0.1395,0.1295,-0.0805,0.0395,0.0195,0.0795,-0.1505,-0.0205,0.2495}输入Standardize[data1](*把数据标准化,即每个数据减去均值,再除以标准差,从而使新的数据的均值为0,方差为1*)则输出{-1.11812,1.32015,-2.16309,0.135846,-0.282143,0.832495,-0.630467,0.832495,-0.421472,-1.60577,0.275176,0.971825,0.90216,-0.560802,0.275176,0.135846,0.553836,-1.04846,-0.142813,1.73814}读者可验算上述新数据的均值为0,标准差为1.作样本的直方图例2.2从某厂生产的某种零件中随机抽取120个, 测得其质量(单位:g)如表2-1所示. 列出分组表, 并作频率直方图.表2-1200 202 203 208 216 206 222 213 209 219216 203 197 208 206 209 206 208 202 203206 213 218 207 208 202 194 203 213 211193 213 208 208 204 206 204 206 208 209213 203 206 207 196 201 208 207 213 208210 208 211 211 214 220 211 203 216 221211 209 218 214 219 211 208 221 211 218218 190 219 211 208 199 214 207 207 214206 217 214 201 212 213 211 212 216 206210 216 204 221 208 209 214 214 199 204211 201 216 211 209 208 209 202 211 207220 205 206 216 213 206 206 207 200 198输入<<Statistics`<<Graphics`data2={200, 202, 203, 208, 216, 206, 222, 213, 209, 219,216, 203, 197, 208, 206, 209, 206, 208, 202, 203,206, 213, 218, 207, 208, 202, 194, 203, 213, 211,193, 213, 208, 208, 204, 206, 204, 206, 208, 209,213, 203, 206, 207, 196, 201, 208, 207, 213, 208,210, 208, 211, 211, 214, 220, 211, 203, 216, 221,211, 209, 218, 214, 219, 211, 208, 221, 211, 218,218, 190, 219, 211, 208, 199, 214, 207, 207, 214,206, 217, 214, 201, 212, 213, 211, 212, 216, 206,210, 216, 204, 221, 208, 209, 214, 214, 199, 204,211, 201, 216, 211, 209, 208, 209, 202, 211, 207,220, 205, 206, 216, 213, 206, 206, 207, 200, 198};先求数据的最小和最大值.输入Min[data2]Max[data2]得到最小值190,最大值222.取区间[189.5,222.5],它能覆盖所有数据.将[189.5,222.5]等分为11,这个小区间,设小区间的长度为3.0.数出落在每个小区内的数据个数,即频数)7,if(,2,1i可以由BinCount命令来完成.输入f1=BinCounts[data2,{189.5,222.5,3}]则输出{1,2,3,7,14,20,23,22,14,8,6}输入gc=Table[189.5+j*3-1.5,{j,1,11}](*产生11个小区间的中心的集合gc*)bc=Transpose[{f1/Length[data2],gc}](*Length[data2]为数据data2的总个数即样本的容量n, f1/Length[data2]为频率f i /n,Transpose 是求矩阵转置的命令, 这里bc 为数据对,第一个数是频率,第二个是组中心*)则输出结果.}}221,201{.},218,151{.},215,607{.},212,6011{.},209,12023{.},206,61{.},203,607{.},200,1207{.},197,401{.},194,601{.},191,1201{{输入作频率n f i /对组中心的条形图命令BarChart[bc]则输出所求条形图(图2-2).图2-2实验习题1.在某省一“夫妻对电视传播媒介观念的研究”项目中,访问了30对夫妻,其中丈夫所 受教育x (单位:年)的数据如下:18,20,16,6,16,17,12,14,16,18,14,14,16,9,20,18,12,15,13,16,16,21,21,9,16,20,14,14,16,16 (1) 求样本均值、中位数、四分位数;样本方差、样本标准差、极差、变异系数,二阶、 三阶和四阶中心矩;求偏度、峰度。