数学模型中的因子分析法
数学建模各种分析方法
现代统计学1.因子分析(Faｃｔor Ａｎalysis)因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子(之所以称其为因子,是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息.运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。
2．主成分分析主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前,用主成分分析来分析数据,让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的.主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。
(screeninｇ the daｔa)，b，和ｃｌuｓteｒ aｎaｌysｉs一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解,这时候可以使用主成份发对变量简化。
（ｒeduce dimensiｏｎality)d,在多元回归中,主成分分析可以帮助判断是否存在共线性(条件指数),还可以用来处理共线性。
主成分分析和因子分析的区别1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。
2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。
３、主成分分析中不需要有假设(ａｓｓｕｍptions）,因子分析则需要一些假设。
因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（speｃific fａct ｏr）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关.４、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的,可以旋转得到不同的因子。
５、在因子分析中,因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定,只要是特征值大于1的因子进入分析),而指定的因子数量不同而结果不同。
因子分析数学模型
因子分析数学模型1、因子分析看基本思想因子分析是一种旨在寻找隐藏在多变量数据中，无法直接观察到却影响或支配可观测变量的潜在因子，并估计潜在因子对可观测变量的影响程度，以及潜在因子之间的相关性的一种多元统计分析方法。
其基本思想是从分析多变量数据的相关关系入手，找到支配这种相关关系的少数几个相关独立的潜在因子，并通过建立起这些潜在因子与原变量之间的数量关系来预测潜在因子的状态，帮助发现隐藏在原变量之间的某种客观规律性。
因子分析和主成分分析都能起到清理多个原始变量内在结构关系的作用，但主成分分子重在综合原始变量信息，而因子分析重在解释原始变量间的关系，是比主成分分析更深入的一种多元统计方法。
因子分析法就是这些潜在因子的数学模型方法，它是在主成分的基础上构筑若干个意义较为明确的潜在因子，以它们为框架分析原变量，以考察原变量间的联系与区别。
2、因子分析的基本原理3、因子分析的数学模型假设对n例样品观测了p个指标，即，，…，，得到观测数据。
我们的任务就是从一组观测数据出发，通过分析各指标，，…，之间的相关性，找出支配作用的潜在因子，使得这些因子可以解释各个指标之间的相关性。
因子分析模型描述如下：（1）X=（，，…，）是可观测随机变量，均值向量E(X)=0，协方差Cov（X）与相关矩阵R相等，（只要将变量标准化即可实现）。
（2）F=(，，…，)（m<=p）是不可测的向量，其均值E(F)=0，协方差矩阵Cov（F）=1，即向量的各分量是独立的。
（3）e=（，，…，）与F相互独立，且E(e)=0，e的协方差矩阵是对角矩阵，即各分量e之间是相互独立的。
则因子分析的数学模型如下：由于该模型是针对变量进行的，各因子是正交的，所以也称为R型正交因子模型。
其矩阵形式为：X=AF+e。
其中：X= A= F= ，e=对于因子分析，要求数据和模型满足以下假设条件：●是均值为0、方差为1的随机变量；●是均值为0 ，方差为常数的正太随机变量。
因子分析数学模型
因子分析数学模型因子分析是一种统计方法，用于研究多个变量间的关系，并将其通过线性组合的方式转化为少数几个影响变量的因子。
因子分析模型是一种数学模型，旨在解释变量之间的相关性，找出潜在的因子影响变量的变异程度。
因子分析的数学模型可以分为两个阶段。
第一阶段是提取因子，通过主成分分析的方法从原始变量中提取出少数几个因子。
主成分分析的核心是将原始变量进行线性组合，使得新的变量能够解释尽可能多的原始变量的变异。
主成分分析将提取的因子按照解释的变异程度排序，选择解释性较好的因子作为主成分。
第二阶段是因子旋转，通过变换因子的坐标轴方向，使得因子能够具有较好的解释性和可解释性。
因子旋转可以使用正交旋转或斜交旋转的方法进行。
正交旋转将因子的坐标轴变换为正交的坐标轴，使得因子之间没有相关性；斜交旋转将因子的坐标轴变换为斜交的坐标轴，使得因子之间可以存在相关性。
根据具体问题的需求，选择适当的旋转方法。
因子分析的数学模型可以表示为：Y=λ1F1+λ2F2+…+λnFn+e其中，Y是观测变量的向量，包括m个变量；F是因子的向量，包括n个因子；λ是因子载荷的矩阵，表示观测变量对因子的影响程度；e是误差项。
因子载荷矩阵λ可以用来衡量观测变量与因子之间的关系，越大表示对应观测变量越受该因子的影响。
因子分析的数学模型还可以进一步扩展为混合因子分析模型。
混合因子分析模型考虑了因子间的相关性和观测变量间的相关性，通过引入协方差矩阵和错误项协方差矩阵，对因子和观测变量的相关性进行建模。
混合因子分析模型可以更准确地描述变量之间的关系，并提供更可靠的因子载荷和因子得分。
总之，因子分析是一种通过线性组合的方式转化变量间关系的统计方法，其数学模型可以用来解释变量之间的相关性，并提取出影响变量的少数几个因子。
因子分析的数学模型在社会科学、市场调研等领域具有广泛的应用价值。
因 子 分 析
应用举例
利用SPSS软件进行因子分析
从表3可以看出，第一个主因子在 X1、X8、X9上有较大载荷，因 此可以命名为盈利和现金获取能力 ；第二个因子主要由X6、X7、 X2、X5决定，可命名为成长因子 ；第三个因子主要由X3、X4决定 ，命名为偿债因子。 为了考查上市公司的竞争力状况， 并对其进行分析和综合评价，采用 回归方法求出因子得分矩阵，得到 3个主因子的得分F1,F2,F3，以 贡献率为权数，构建综合评价函数 综合得分 =(0.36064xF1+0.23066x F2+0.22132x F3)/0.81262 ，经计算得到样本17家上市公司 的综合因子总得分。（见表4）
谢
谢
因子模型的参数估计
因子载荷矩阵 A (aij ) pm 与特殊因子方差 i2 （i=1,...,p）的估计， 常采用的估计方法有以下三种：主成分法、主因子解和最大似然法。 主成分法： A ( l , , l ), 1 1 m m m 2 2 i 1, , p. i sii aij , j 1
Fj b j 0 b j1 X1 b jp X p , j 1, , m
^
F A' R 1 X
其中R是X的相关系数矩阵。 最后以每个公共因子的贡献率来求出各因子权重，求得综合得分。
^
因子分析与主成分分析的异同比较
相同点：主成分分析法和因子分析法都是从变量的方差-协 方差结构入手，在尽可能多的保留原始信息的基础上，用 少数新变量来解释原始变量的多元统计分析方法。 区别：因子分析是把变量表示成各公因子的线性组合；而 主成分分析中则是把主成分表示成各变量的线性组合。主 成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分； 因子个数需要分析者指定，指定的因子数量不同而结果也 不同。主成分分析重点在于解释个变量的总方差；因子分 析则把重点放在解释各变量之间的协方差。主成分分析法 是求出少数几个主成分，使它们尽可能多的保留原始变量 的信息；因子分析法是对原始变量进行分解，用最少个数 的不可测的所谓公共因子的线性函数与特殊因子之和来描 述原来观测的每一分量。
数学模型中的因子分析法
数学模型中的因子分析法因子分析是一种常用的数学模型，用于解释多个变量之间的关系和发现潜在的因素。
它是一种降维技术，旨在将众多变量转化为较少数量的无关因子。
因子分析在统计学、心理学和市场研究等领域广泛应用，可用于数据降维、消除多重共线性、提取潜在特征、构建模型等等。
在因子分析中，有两种主要类型：探索性因子分析（Exploratory Factor Analysis，EFA）和验证性因子分析（Confirmatory Factor Analysis，CFA）。
探索性因子分析用于发现数据中的潜在因素，而验证性因子分析则用于验证已经提出的因素模型是否符合实际数据。
探索性因子分析的步骤如下：1.提出假设：确定为什么要进行因子分析以及预期结果，用于指导后续的数据分析。
2.数据准备：收集和整理要进行因子分析的数据，确保数据的可用性和准确性。
3.因子提取：通过主成分分析或最大似然法等方法，提取出能够解释数据变异最大的因子。
4.因子旋转：因子旋转是为了使提取出的因子更易于解释和理解。
常用的旋转方法有正交旋转和斜交旋转等。
5.因子解释和命名：对于每个提取出的因子，需要根据变量的载荷矩阵和旋转后的载荷矩阵进行解释和命名。
载荷矩阵表示每个因子与每个变量之间的关系。
6.结果评估：对于提取出的因子，需要进行信度和效度的评估。
信度评估包括内部一致性和稳定性等指标；效度评估包括构造效度和相关效度等指标。
验证性因子分析通常用于验证已经提出的因子模型是否符合实际数据。
其步骤包括：1.提出假设：确定已存在的因子模型，并对其进行理论和实际的验证。
2.选择分析方法：确定适合验证性因子分析的模型拟合方法，如最大似然法或广义最小二乘法等。
3.构建模型：将因子模型转化为测量模型，并建立测量方程。
4.模型拟合：对构建的测量模型进行拟合，评估模型的拟合度，如χ²检验、准则拟合指数（CFI）等。
5.修正模型：根据拟合域冒去改进模型的拟合，如剔除不显著的路径、修正测量方程等。
《因子分析数学模型》课件
总结与展望
因子分析数学模型是一种强大的数据分析工具，可以揭示变量间的潜在结构和关系，帮助决策者做出准确和可靠的 决策。 未来，随着数据科学和人工智能的发展，因子分析将在更多领域得到应用，成为决策支持和问题解决的重要手段。
参考文献
• 附录1：相关数学知识 • 附录2：实例数据和代码 • 附录3：常见因子分析软件介绍
3
最似然法（MLE）
MLE基于概率统计理论，通过最大化观测数 据与模型之间的似然函数来估计因子载荷。
主因子法（PAF）
PAF基于向量之间的相关系数，寻找具有最 大因子载荷的主要因子，从中提取对观测变 量具有最大解释力的因子。
因子分析的实例分析
数据准备及预 处理
根据特定问题的需求， 选择合适的数据集，并 对数据进行清理、转换 和标准化，以满足因子 分析的假设。
因子数的确定 和选择
根据特征值、解释度方 差贡献率、Scree图等 指标，确定最合适的因 子数，以提取最重要的 信息。
因子旋转和解 释度分析
使用旋转方法（如 Varimax、Promax等）， 优化因子结构，同时通 过解释度判断模型的质 量和合理性。
结果分析和解读
对提取的因子模式进行 解释，结合领域知识和 实际情境，解读因子的 含义和影响，提出相关 建议和决策。
特征值和特征向量
特征值用于衡量因子的重要性， 而特征向量表示因子的方向和 权重。
旋转和解释度
旋转可以优化因子的解释度， 使其更易理解和解释，用以提 高模型的可解释性和可靠度。
因子分析的模型方法
1
主成分分析法（PCA）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
PCA通过线性变换将观测变量转化为无关变
量的线性组合，从中提取主要特征，以解释
因子分析的基本思想基本步骤数学模型及求解
因子分析的基本思想基本步骤数学模型及求解因子分析是一种多变量数据分析方法，旨在揭示多个变量之间的潜在结构和关系。
它的基本思想是将原始变量通过线性组合，得到一组潜在因子，从而可以简化数据分析过程。
基本思想：因子分析的基本思想是将原始变量（观测变量）表示为一组潜在因子（无法直接观测到）与测量误差的线性组合。
潜在因子代表了观测变量之间的关联性，而测量误差则表示潜在因子无法完全解释观测变量的方差。
通过因子分析，可以从大量原始变量中提取出少数几个潜在因子，从而实现数据降维和简化。
基本步骤：1.确定研究目的：明确研究目的，选择适当的分析方法。
2.数据准备：收集所需的原始数据，并进行适当的数据清洗和预处理。
3.因素提取：通过因子提取方法，从原始变量中提取出一组潜在因子。
a.主成分分析法：通过寻找能够解释最大方差的线性组合，提取因子。
b.最大似然估计法：通过最大化观测变量与预测变量之间的协方差，提取因子。
c.成分分析法：通过最大化观测变量的个别因子得分和因子负荷矩阵之间的协方差，提取因子。
4.因子旋转：为了更好地解释潜在因子，需要对其进行旋转，使得每个潜在因子更易于解释。
a.方差最大旋转法：使得每个潜在因子的方差最大。
b.斜交旋转法：允许潜在因子之间存在相关关系。
5.因子解释和命名：通过解释因子负荷矩阵，确定每个潜在因子代表的意义，并给予其合适的名称。
6.结果解释和应用：将因子分析的结果解释给研究者或决策者，并根据具体应用制定相应的决策或行动。
数学模型及求解：其中，X是原始观测变量的矩阵，L是因子负荷矩阵，F是潜在因子的矩阵，Ψ是测量误差的矩阵。
因子负荷矩阵表示观测变量与潜在因子之间的关系，测量误差表示潜在因子无法完全解释观测变量的方差。
对于因子分析模型的求解，常用的方法有主成分分析法和最大似然估计法。
主成分分析法通过寻找数据的主成分（即能够解释最大方差的线性组合），从而提取出因子。
最大似然估计法则通过最大化观测变量与预测变量之间的协方差，求解出最符合观测数据的因子。
因子分析
表达式中的 xi 已经 不是原始变量，而 是标准化变量
旋转后的因子载荷图
旋转后的因 子载荷系数 更加接近于 1( 如 果 旋 转 后的因子载 荷系数向 0— 1分化越明显， 说明旋转的 效果越好 ) ， 从而使因子 的意义更加 清楚了
因子得分函数
因子得分是各变量 的线性组合
因子分析的应用
(实例分析)
【例】根据我国 31 个省市自治区 2006 年的 6 项主 要经济指标数据，进行因子分析，对因子进行 命名和解释，并计算因子得分和排序
31个地区6项经济指标的因子分析
第 1步 将所
选择【Analyze】【Data Reduction-Factor】主对话框。
Bartlett球度检验
以变量的相关系数矩阵为基础，假设相关系数矩阵是 单位阵(对角线元素不为0，非对角线元素均为0)。如 果相关矩阵是单位阵，则各变量是独立的，无法进行 因子分析
KMO检验
用于检验变量间的偏相关性，KMO统计量的取值在 0～1之间
如果统计量取值越接近1，变量间的偏相关性越 强，因子分析的效果就越好
因变量和因子个数的不一致，使得不仅在数学模 型上，而且在实际求解过程中，因子分析和主成 分分析都有着一定的区别，计算上因子分析更为 复杂。 因子分析可能存在的一个优点是：在对主成分和 原始变量之间的关系进行描述时，如果主成分的 直观意义比较模糊不易解释，主成分分析没有更 好的改进方法；因子分析则额外提供了“因子旋 转(factor rotation)”这样一个步骤，可以使分析 结果尽可能达到易于解释且更为合理的目的。
因子分析
Factor analysis
因子分析
因子分析数学模型
因子分析数学模型因子分析是一种常用的多元统计分析方法，主要用于分析多个观测变量之间的相关关系。
它通过寻找潜在因子，将多个观测变量转化为较少的几个因子，从而减少变量间的复杂性，进而更好地解释观测数据。
因子分析的数学模型可以表示为：X=ΛF+Ψ其中，X是一个n×p的数据矩阵，表示n个观测对象对p个观测变量的测量结果。
Λ是一个n×m的因子载荷矩阵，表示每个观测变量与每个因子之间的线性关系。
F是一个m×p的因子矩阵，表示每个观测对象在每个因子上的得分。
Ψ是一个n×p的特殊因子载荷矩阵，表示每个观测变量与测量误差的关系。
在因子分析模型中，通过最小化测量误差来确定因子载荷矩阵Λ和特殊因子载荷矩阵Ψ。
最小化误差的方式通常使用最小二乘法，目标函数可以表达为：min(Ψ, Λ) = ∑[x_i - (λ_i1f_1i + λ_i2f_2i + ... +λ_imf_m_i)]^2其中，x_i是观测对象i的观测数据，λ_ij是观测变量j与因子i 的载荷系数，f_ij是观测对象i在因子j上的得分。
通过最小化目标函数，可以得到最优的因子载荷矩阵Λ和特殊因子载荷矩阵Ψ，从而揭示出观测变量之间的潜在因子结构。
在因子分析模型中，还存在一些特殊的情况，包括主成分分析和确认性因子分析。
主成分分析是因子分析的一种特殊情况，它假设所有的观测变量都与因子完全相关，即Ψ为零矩阵。
主成分分析通过计算特征值和特征向量来确定因子载荷矩阵Λ，并选择前几个最大的特征值对应的特征向量作为因子。
确认性因子分析则是在因子分析的基础上进行参数约束，通过设定因子载荷矩阵和特殊因子载荷矩阵的一些限制来验证和验证潜在因子结构的模型。
因子分析是一种灵活性较高的统计方法，可以应用于很多领域，如心理学、教育学、市场营销和金融等。
通过因子分析，我们可以更好地理解和解释观测数据之间的关系，并提取出具有实际意义的因子。
因子分析的原理与方法
因子分析的原理与方法因子分析是一种多变量分析方法，它用于揭示一组观测变量之间潜在的共同因素或维度。
在因子分析中，我们希望通过分析观测变量之间的相关性，找到更少的潜在因子来解释数据的结构。
本文将介绍因子分析的原理和方法。
一、因子分析的原理因子分析的核心原理是将一组观测变量解释为潜在因子的线性组合。
假设我们有n个观测变量和m个潜在因子，那么可以用下面的数学模型表示：X = AF + E其中，X是一个n×1的观测变量向量，A是n×m的因子载荷矩阵，F是一个m×1的因子向量，E是一个n×1的误差向量。
因子载荷矩阵A 表示了每个观测变量与每个因子之间的关系程度。
因子向量F表示每个样本在每个因子上的得分。
误差向量E表示了不能被因子解释的观测变量的部分。
基于以上数学模型，因子分析的目标是找到一个合适的因子载荷矩阵A和因子向量F，使得误差向量E最小。
换句话说，我们希望通过降低数据的维度，找到能够最大程度解释观测变量之间关系的因子。
这样一来，我们可以简化数据的分析和解释，并且更好地理解观测变量背后的潜在结构和因素。
二、因子分析的方法因子分析方法可以大致分为两种类型：探索性因子分析和确认性因子分析。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 探索性因子分析（Exploratory Factor Analysis，EFA）探索性因子分析是一种无先验假设的因子分析方法，它旨在通过自动化算法发现数据中存在的潜在因子结构。
具体步骤如下：（1）选择合适的因子提取方法，常用的包括主成分分析法和最大似然法。
（2）确定因子数目，可以依据一些统计指标（如特征值大于1、解释方差比例）或人的经验判断。
（3）估计因子载荷矩阵，可以使用方法如最小二乘法、主成分法或最大似然法。
（4）旋转因子载荷矩阵，常用的旋转方法包括方差最大旋转法和斜交旋转法。
（5）解释因子载荷矩阵，通过解释载荷矩阵的模式和大小，识别出观测变量与潜在因子的关系。
因子分析数学模型
因子分析数学模型因子分析是一种常用的多元统计方法，用于研究变量之间的关联关系和构建数学模型。
其基本思想是将原始变量通过主成分分析或最大似然估计等方法进行转化，得到一组新的综合变量，即因子。
因子分析数学模型描述了原始变量与因子之间的关系，可以用来提取变量的共同信息、简化数据分析过程、减少变量的维度等。
矩阵模型是因子分析的核心数学模型，其假设对于m个观测值和n个变量，存在一个矩阵F(m×k)表示k个共同因子，以及一个矩阵L(n×k)表示每个变量与因子的负荷载。
k是共同因子的个数。
此外，还有一个k×k的协方差矩阵Ψ描述了共同因子之间的关系，以及一个n×n的协方差矩阵Σ描述了变量之间的关联关系。
这个模型可以用数学公式表示为：X=FL^T+E其中，X是观测值矩阵，F是因子矩阵，L是负荷载矩阵，E是特殊因子矩阵，"+"表示矩阵的加法，T表示矩阵的转置。
观测模型是加强版的矩阵模型，它假设每个变量的观测值是由共同因子、特殊因子和测量误差组成。
观测模型中，负荷载矩阵L和特殊因子矩阵E被看作是模型的参数，测量误差项被看作是随机变量。
因此，观测模型可以用数学公式表示为：X=FL^T+E+ε其中，ε是测量误差项，其服从一个均值为零、协方差矩阵为Ψ的多元正态分布。
为了推断因子分析数学模型，需要使用各种统计方法来估计模型的参数。
最常用的方法是主成分分析和最大似然估计法。
主成分分析是一种无信息损失的线性变量转换方法，它将原始变量通过线性组合转换成一组互不相关的主成分。
主成分分析可以用于确定共同因子的个数和负荷载矩阵的估计值。
最大似然估计法是一种参数估计方法，它基于假设观测值服从多元正态分布，通过最大化似然函数来求解参数的估计值。
最大似然估计法可以用于估计负荷载矩阵和协方差矩阵的估计值。
总之，因子分析数学模型是一种实现多变量数据分析和建模的重要方法。
通过构建数学模型，可以提取共同因子、简化数据分析过程、减少变量的维度等。
第十章因子分析
E( AF)2 2E( AFE) E(E 2 )
1 ( AF)( AF) E(E 2 ) n
A( 1 FF ) A 1 EE
n
n
AD(F ) A D(E)
AA
▪ 但此公式并非唯一公式：
R AA AUU A AU(AU) A*( A*)
▪ 其中： UU I ▪ 两个变量xk*与xl*的相关系数和协方差等于因子载荷阵
10.1%
56%
共同度
0.16 0.36 0.49 0.89 0.72 0.74
56%
特殊因子方差
0.84 0.64 0.51 0.11 0.28 0.26
44%
因子变量的特点
1、因子变量的数量远少于原有指标变量的数量。 2、因子变量是对原始变量的重新组构，能够反映
原有众多指标的绝大部分信息。 3、因子变量之间没有线性相关关系，对因子变量
▪ 确定公共因子的个数有两种方法：一是根据具体 问题的专业理论来确定，二是利用主成分分析中 选取主成分个数的方法
第四节 方差最大正交旋转
因子旋转的目的： 使每个变量在尽可能少的因子上有比较高的载荷，
让某个变量在某个因子上的载荷趋于1，而在其他 因子上的载荷趋于0。
要求每一列上的载荷大部分为很小的值，每一 行中只有少量的最好只有一个较大的载荷值；每两 列中大载荷与小载荷的排列模式应该不同。
▪ xi=∑aijfj+ei
第二节 因子分析模型
一、因子分析模型 X*:标准化后的数据，F：公共因子，E：特殊因子 假设x*、F、E满足这样一些性质：
(1)E(x*)=0 Var(x*)=1 (2)E(F)=0, cov(F)=I (3)E(E)=0, cov(E)=∑，cov(ei,F)=0
因子分析数学模型
因子分析数学模型一、引言因子分析是一种强大的统计方法，用于从一组变量中提取出潜在的公共因子。
这种方法在许多领域都有广泛的应用，包括社会科学、心理学、经济学和生物学等。
它的主要目标是减少数据集的维度，同时保留原始数据中的重要信息。
这种方法有助于解释变量之间的关系，揭示隐藏在数据中的结构。
本文将详细介绍因子分析的数学模型及其实现过程。
二、因子分析数学模型1、公共因子模型因子分析的公共因子模型可以表示为：X = AF + ε其中，X是观测数据矩阵，A是因子载荷矩阵，F是公共因子矩阵，ε是特殊因子矩阵。
这个模型的意思是，观测数据X可以由公共因子F和特殊因子ε加权组合而成。
公共因子代表了所有观测变量之间的共性，而特殊因子则代表了每个观测变量的独特性。
2、因子载荷矩阵因子载荷矩阵A描述了每个观测变量与公共因子之间的关系。
矩阵中的每个元素aij表示第i个观测变量在第j个公共因子上的载荷。
通过求解因子载荷矩阵，我们可以找出公共因子对观测变量的影响程度。
3、旋转矩阵在因子分析中，旋转矩阵是一种重要的工具，用于优化公共因子的解释。
旋转矩阵可以使得公共因子的解释更加直观和有意义。
常见的旋转方法包括方差最大旋转（varimax）和正交旋转（quartimax）等。
三、实现过程1、确定公共因子的数量在开始因子分析之前，我们需要确定公共因子的数量。
常见的确定公共因子数量的方法有基于特征值的方法、基于解释方差的方法以及基于碎石图的方法等。
2、求解因子载荷矩阵在确定了公共因子的数量后，我们需要求解因子载荷矩阵。
常用的求解方法有基于主成分分析的方法、基于最大似然估计的方法以及基于最小二乘法的方法等。
3、旋转因子载荷矩阵通过旋转因子载荷矩阵，我们可以优化公共因子的解释。
常见的旋转方法包括方差最大旋转和正交旋转等。
旋转后的因子载荷矩阵可以帮助我们更好地理解公共因子与观测变量之间的关系。
4、解释公共因子我们需要对提取的公共因子进行解释。
因子分析-
什么 叫因 子分
析
定义解释
因子分析就是主成分分析得推广和发展, 她就是把具有复杂关系得多个变量(或样 品)综合为少数几个因子,并给出原始变量 与综合因子之间得相关关系得多元统计 分析方法
种类
R型因子分析(对变量进行因子分析) Q型因子分析(对样品进行因子分析)
应用意义
应用范围
表示得形式不同。
因子 分析 得统 计意
义
假定因子模型中,各个变量、 公共因子、特殊因子都已经进 行了标准化处理
因子载荷矩阵得统计意义
变量共同度得统计意义
公因子方差贡献得统计意义
因子 载荷 矩阵 得估 计方
法
方法一:主成分方法 方法二:根据定义进行
大家有疑问的, 可以询问和交流
应用类型
基本思想 数学模型
因子 分析 得模
型主成分分析就是一种数学变换 (正交变换)不能称为一种数学 模型;而因子分析需要构造数 学模型。
主成分得个数与原始数据个数 相等,就是把原始变量变换成 为相互独立得新得变量;而因 子个数一般要求小于原始数据 个数,目得在于得到一个结构 简单得因子模型。
常用得方法有:
正交旋转、斜交旋转等。最常用 得就是方差最大正交旋转。
方差 最大 正交 旋转
方差最大正交旋转:
就是使因子载荷矩阵中,各因子 载荷值得总方差达到最大作为
因子载荷矩阵结构简化得准则。 其中。总方差最大,而不就是某 个因子方差极大。即如果第个
变量在第个公共因子上得载荷 经过“方差极大”旋转后,其值 增大或减少,意味着这个变量在 另一些公共因子上得载荷要缩
可以互相讨论下, 但要小声点
因子 旋转
含义:
因子旋转就是根据因子载荷矩阵 得不唯一性,用一个正交矩阵右乘 因子载荷矩阵,实行旋转(由线性代 数,一次正交变换,对应坐标系得一 次旋转),使旋转后得因子载荷矩阵 结构简化,以便对公共因子进行合 理得解释。
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'
'
1
2
p
A a ij
称为因子载荷阵
pm
X AF
• 因子分析步骤： • 前四步骤不主成分步骤相同，在此略。 5.求初始因子载荷阵A。 6.若公因子的含义丌清楚，丌便于实际解释时，将 初始因子阵作旋转处理，直到达到要求。 7.根据因子载荷大小说明因子具体含义。 • 将因子表示成原指标变量线性组合，估计因子得 分。 • 用每个因子的贡献率作权数，给出多指标综合评 价值。
6
3
0 . 959439 X
5
0 . 0 . 055029 X
• • • • • • • • • • • • • • • • •
Obs
Prin1 Prin2 1 -0.38118 2 0.57795 3 0.69219 4 0.22635 5 -0.82981 6 -1.19410 7 -1.63568 8 0.95195 9 0.46501 10 -1.45693 11 -0.29401 12 0.08041 13 -2.11628 14 -0.94513 15 6.74015 16 -0.88090
• 主成分分析法：就是设法将原来的具有一定相关 性的变量戒者指标，重新组成一组新的相互无关 的少数几个综合变量戒指标，以此代替原来的变 量戒指标。简单的说就是降维。 • 应用：综合评价（系统评估）
例：对我国上市公司的经济效益进行综合评判。
上市公司 qinghua beida 资金利税率 x1 产值利税率 x2 百元销售成 本利润x3 百元销售收 入利税x4 流动资金周 转次数x5 主营利润增 长率x6
5.41 7.21
8.05 8.54
2.09 4.51
2.43 5.26
1.30 1.43
7.51 10.44
hualian
xinya yanzhong shuiyun cengxin
8.38
6.31 8.97 3.74 3.63
9.52
9.97 1.43 6.47 5.79
4.27
3.63 1.73 0.33 -1.09
13:30 Saturday, July 17, 1999 35
x1 x2 x3 x4 x5 x6
laigang -2.11628 2.17 5.70 -2.11 -2.57 1.34 3.21 cengxin -1.63568 3.63 5.79 -1.09 -1.29 1.17 4.71 xinbai -1.45693 4.27 5.35 -0.71 -0.83 1.38 5.68 shuiyun -1.19410 3.74 6.47 0.33 0.39 0.98 5.24 guangsha -0.94513 4.65 7.80 0.53 0.65 1.18 5.82 chanhong -0.88090 5.65 10.63 -0.92 -1.19 1.08 8.84 yanzhong -0.82981 8.97 1.43 1.73 1.18 1.10 5.22 Qinghua -0.38118 5.41 8.05 2.09 2.43 1.30 7.51 guoji -0.29401 8.07 8.69 0.73 0.89 10.75 10.16 zonghang 0.08041 9.66 6.27 6.69 2.63 3.05 1.64 xinya 0.22635 6.31 9.97 3.63 4.59 1.29 7.21 pudong 0.46501 8.18 8.20 3.41 4.01 1.75 12.13 beida 0.57795 7.21 8.54 4.51 5.26 1.43 10.44 hualian 0.69219 8.38 9.52 4.27 5.07 1.70 10.49 qingshan 0.95195 14.47 5.97 7.62 1.37 1.20 10.56 xiaxin 6.74015 25.95 33.52 6.96 15.38 1.51 36.89
0.06437 0.17414 0.05393 -0.06481 -0.35020 0.01063 -0.03769 0.25530 0.20883 -0.00922 0.03517 -0.26668 -0.03334 -0.03132 -0.11394 0.10482
用于系统评估的方法：关键问题是如何科 学的客观地将一个多指标问题转化为单指 标问题
• 因子载荷阵 的统计意义 • 模型中载荷矩阵 中的元素 称为因子载荷。因 a ij 子载荷 是 不 的协方差，也是 不 的相关 a ij xi xi 系数，它表示 F依赖 的程度。可将 F 看作第i a ij F xi 个变量在第j个公共因子上的权， 的绝对值越大， a ij 表明 不 的相依程度越大，戒称公共因子对于 F xi 的载荷量越大。为了得到因子分析结果的经济解 释，因子载荷矩阵A中有两个统计量十分重要， 即变量共同度和公共因子的方差贡献。
z 1 0 . 472272 0 . 47085 X
4
X
1
0 . 448652 X
5
X
2
0 . 361916 X
6
X
3
0 . 00075
0 . 467955
z 0 . 044568 X 1 0 . 039443 X 0 . 56514 X
4
2
0 . 106057 X
统计软件SAS(关于主成分分析）
• 数据的输入（介绍两种方法） data 数据名（haimen); input name$ x1 x2 x3 x4 x5 x6; card; qinghua 50122 run; 外部文件转化为SAS数据集： 已知c盘根目录下文件名test.dat为的数据文件 张三 男 82 95 64 78 data 数据名（chengji); infile ‘c:\test.dat’; input name$sex$ chinese maths english chemisty; run;
第二篇
因子模型
• 因子分析是统计中一种重要的分析方法，他的主 要特点在于能探索丌易观测戒丌能观察的潜在因 素。它在社会调查、气象、地质等方面有广泛应 用。
• 若有n个学生，每个学生考五门课，考试成绩反映 了学生的素质和能力，理解能力，逻辑能力，记 忆能力，对文字符号概念的反应速度，能否从学 生的学习成绩去寻找出反映这些能力的量。
X 1 r11 F 1 r12 F 2 r1 m F m X r F r F r F p1 1 p2 2 pm m p
因子模型为:
其中：
X
为原指标 ,
X
1
, X 2 , , X
p
'
m 称为 p 的公共因子戒潜因子, 为 的特殊因子 , , , 可将上式写成矩阵表示形式：
• • • •
•
• • •
Eigenvalues of the Correlation Matrix Eigenvalue Difference Proportion Cumulative 1 4.04767016 3.03734802 0.6746 0.6746 2 1.01032214 0.30248369 0.1684 0.8430 3 0.70783845 0.55300190 0.1180 0.9610 4 0.15483655 0.10037328 0.0258 0.9868 5 0.05446327 0.02959385 0.0091 0.9959 6 0.02486942 0.0041 1.0000
第一篇
主成分分析
• 在实际经济工作中，我们经常碰到多变量戒多指 标问题，例如，企业经济效益的评价，地区经济 发展情况比较。由于变量戒指标较多，且变量戒 指标之间存在一定的相关性，人们自然希望用较 少的变量戒指标代替原来较多的变量戒指标，而 且可尽量保存原有信息，利用这种降维的思想产 生了主成分分析方法
• 第一种方法：用第一主成分得分y=F1. 必须要求：所有系数均为正 第二种方法：将主成分F1,F2, Fm进行线性组合, 系数为方差贡献率
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
yi di yi zhu cheng fen pai xv
name Prin1
j j j j
• 变量共同度 因子载荷矩阵中第i行元素之平方和记为 ， 即 h i2 ，称为变量 的共同度。它是全部公共 h a xi 因子对 的方差所做出的贡献，反映了全部公共 xi 因子对变量 的影响。 越大表明 对于F x 的每一分量 的共同依赖程度大。i
m 2 2 i ij j 1
hi
2
xi
F1 F m
• 公共因子 的方差贡献 • 将因子载荷矩阵的第j列的各元素的平方和记 Fj 为 ，即 ，称为公共因子 对x的方差贡 献。 就表示第j个公共因子 对于的每一分量 2 g a Fj gj 所提供方差的总和，它是衡量公共因子相对重要 2 gj Fj 性的指标。 越大，表明公共因子 对x的贡献 x i 1, 2 , , p 越大,如果将因子载荷矩阵的所有 都计算出来， 使其按照大小排序，就可以依此提炼出最有影响 2 Fj g j 力的公共因子。
主成分分析
• Proc princomp n=6 out=out1; var x1-x6; run; proc print data=out1; var prin1-prin6; run;
数据预处理
• 一致性处理：越大越差、越大越好 • 归一化处理（去量纲）： (x-max(xi))/极差，x/max(xi), 标准化处理 （x-均值）/方差
Prin5 Prin6 0.30363 0.00430 0.55119 -0.18726 0.40041 -0.10461 0.63296 0.13851 -0.42964 -0.55401 0.14000 0.02221 -0.15189 0.01702 -0.92520 0.08394 0.16273 -0.30327 -0.17088 -0.10267 -0.02382 -0.06419 0.12718 0.45539 -0.16784 0.14422 0.09760 0.11375 -0.16618 0.04080 -0.38025 0.29589