锐角三角函数讲义全
锐角三角函数课件
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01
锐角三角函数 讲义
一、什么叫正切如图,在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边BC 与邻边AC 的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=的临边的对边A A ∠∠tanA 的值越大，梯子越陡。
例1、 如图甲乙两个扶梯，边长已经给出，求出他们的正切，并说明哪个比较陡？68513甲 乙一起来看几个练习吧：练习1、在Rt △ABC 中，︒=∠90C ， A ∠的对边是 ，A ∠的临边是 ，ABA ∠的正切tan A ∠= 。
BAC练习2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，求∠A 、∠B 的正切值。
练习3、正方形网格中，AOB ∠如图放置，tan AOB ∠则的值为（ ）Ａ．5Ｂ．5Ｃ．12Ｄ．2二、坡度与坡角h我们把_________与_________的比叫坡度i （•也叫坡比）•。
坡面与水平面的夹角叫做_________，用∂表示，坡度就是坡角的正切值，记作tan ∂=h l． ABO记不住吗？没关系，看几个例题理解下：例1、如图，一个小球由地面沿着坡度i=2：5的坡面向上滚动了29米，此时小球距离地面的高度为多少米？一定要练习哟：练习1、如图1，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m练习2、坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____．练习3、如图所示，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜边AB 的坡度为0.5，坝顶宽AD=3m ，坝高4m ，斜坡CD=5m 。
（1）比较斜坡AB 和CD 谁更陡？（2）求出坝底BC 的长？BACABCD E FA C B如图,在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的________与________的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA=________；∠A 的________与________的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=________。
《锐角三角函数》 讲义
《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。
以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。
那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。
需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。
二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。
30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。
45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。
60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。
三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。
比如，测量物体的高度。
如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。
假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。
再比如，测量河流的宽度。
我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。
四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。
2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。
初中数学锐角三角函数综合复习讲义
初中数学锐角三角函数综合复习讲义一、研究概念1、产生的背景：直角三角形的边与角之间的关系2、明确概念：正弦阐述概念：在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦，记作sinA 3、本质：特殊的实数 4、知识点产生的条件： [直角三角形] 直角三角形中任意两边和任意一锐角5、特征： 正弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 →[表示法] sinA=∠A 的对边斜边[特殊字母] sinA=a c sinB=bc(∠A+∠B=90°) 余弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦→[表示法] cosA=∠A 的邻边斜边[特殊字母] cosA=bccosB=a c (∠A+∠B=90°)sinA=ac = cosB= cos (90°—∠A) cosA=bc= sinB= sin (90°—∠A)定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切→[表示法] tanA=∠A 的对边邻边特殊字母] tanA=abtanB=b a (∠A+∠B=90°)余切 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切→[表示法] cotA=∠A 的邻边对边[特殊字母] cotA=b a cotB= ab(∠A+∠B=90°) tanA=ab= cotB= cot (90°—∠A) CBA c bacotA=ba= tanB= tan (90°—∠A) [文字] 一个角的正弦等于它余角的余弦 一个角的余弦等于它余角的正弦一个角的正切等于它余角的余切一个角的余切等于它余角的正切[勾股] sin 2 A+ cos 2A= 1 sin 2 B+ cos 2B= 1[运算] tanA ·cotA=1 tanB · cotB=1[正弦、余弦] tanA=sin A cosA cotA=cos AsinA tanB=cos A sinA cotB=sin AcosA[特殊值] sin30°=cos60°=12sin45°=cos45°=2若α、β是锐角，且α＞β，则sin60°=cos30°α＞sin β cos α＜cos βtan30°=cot60°α＞tan β cot α＜cot β tan45°=cot45°= 1tan60°=cot30°6、系统找下位含有特殊角的斜三角形∍内角是特殊角∍15°，30°，45°，60°，90° 外角是特殊角∍15°，30°，45°，60°，90°二、应用、例题讲解（一）直角三角形中，已知两边求锐角三角函数 1、在中，∠C 为直角，已知a=3，b=4，则cos B= （ ） (A 级)对象：cos B 角度：cos B=a c分析：a=3，b=4 [勾股] c=5 cos B=a c =35（二）直角三角形中，已知一锐角的三角函数求锐角的其它三角函数 2、∠A 为锐角，且sinA=135，则tanA 的值为 （ ） （A 级） A 、512 B 、1213 C 、1312 D 、125对象：tanA 角度 ： tanA=sin AcosA分析：sinA=135 [sin 2 A+ cos 2A= 1] cos 2A= 1－ sin 2A cosA=1312 [tanA=sin A cosA ] tanA= 1253、设x 为锐角，且满足 sin x=3cos x ，则sin x ·cos x 等于 (B 级)对象：sin x ·cos x 角度：sin 2x+ cos 2x= 1分 析：sin x=3cos x [sin 2x+ cos 2x= 1] (3cos x)2＋cos 2x= 1 cos 2x=101 sin x ·cos x= 3cos 2x=103 4、如果x= tanA+1,y=cotA+1(A 为锐角)，那么y 等于 (B 级) 对象： y 角度：tanA · cotA=1分析：x= tanA+1,y=cotA+1 [tanA · cotA=1] （x-1）(y-1)=1y=1-x x 5、如果A 为锐角，且 sinA=54，那么 （ ） (B 级) A 、0°〈 A ≤30° B 、30°〈A ≤45° C 、45°〈A 〈60° D 、60°〈A 〈90°对象：A 角度：sinA=54 分析：22〈54〈23 sin 45°〈sinA 〈sin60° ∵A 为锐角 ～ 0°〈 A 〈90° 此时 sinA 是增函数 ∴ 45°〈A 〈60°6、已知A 为锐角，且2cos sin 2cos 2sin 3=-+AA AA ，那么tanA 的值等于 (B 级)对象：tanA 角度：tanA=sin AcosA分析：2cos sin 2cos 2sin 3=-+A A A A 3 sinA+2cosA=4sinA -2cosA sinA=4cosA sin AcosA=4=tanA7、在 中，c 为斜边，a 、b 为直角边，则a 3 cosA+b 3cosB 等于 （B 级）对象：a 3 cosA+b 3cosB 角度 ：cosA=∠A 的邻边斜边勾股定理分析 ：a 3cosA+b 3cosB = a 3·b c + b 3·a c =cabc 2 = abc8、计算： （A 级）对象： 角度 ：特殊角的三角函数值分析：=213222∙+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231+ 9、计算：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°= （B 级）对象：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°角度：sinA= cos (90°—∠A) tanA= cot (90°—∠A)分析：sin48°=cos(90°－48°)=cos42° tan 44°=cot(90°－44°)=cot46°原式= cos 242°+ sin 242°－cot46°·tan46°·tan45°=1－1·1=010、如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点E 反射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11。
《锐角三角函数》课件
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
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锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
讲义：锐角三角函数
锐角三角函数一、基本题 ：【1】设△ABC 中，∠C = 90︒，AC = 5，BC = 12，则 (1) sin B = 。
(2) cos B = 。
【解答】(1)135 (2)1312【2】设θ为锐角且sec θ＝513，则sin θ＝ ，而tan θ＋cot θ＝ 。
[解答]：601691312， 【详解】：如上图：作一△ABC 使得∠C ＝90。
AC ＝5，AB ＝13，而∠BAC ＝θ由勾股定理可得BC ＝12，故由锐角三角函数定义知sin θ＝1312，tan θ＝512及cot θ＝125故可得tan θ＋cot θ＝60169125512＝＋【3】在直角△ABC 中，∠C = 90︒，∠A = 60︒，AC = 20，求长BC = 。
【解答】203【详解】如下图，tan60︒ =ACBC ，则13=20BC⇒ BC = 203【4】4cos 230︒ + 2sin 245︒ + cot 245︒ + tan 260︒ + csc 230︒ + sec 245︒ = 。
【解答】14 【详解】原式 = 4(23)2 + 2(22)2 + 12 + (3)2 + 22 + (2)2 = 3 + 1 + 1 + 3 + 4 + 2 = 14 【5】。
－＋－30tan 45cos 60cos 30sin 45tan 60tan 45sin 30cos 60sin 22222之值为 。
[解答]：12。
－＋－30tan 45cos 60cos 30sin 45tan 60tan 45sin 30cos 60sin 22222＝2222)33( )22(21 211)3( )22(23 232．－．＋．－．． ＝61411－＝12二、进阶题 ：【1】设四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，CD ＝1，且∠ABD ＝∠BCD ＝90。
，则sin A ＝ ，cos A ＝ 。
[解答]：sin A ＝145；cos A ＝143【详解】：如图：四边形ABCD 中， AB ＝3， BC ＝2， CD ＝1 且∠ABD ＝∠BCD ＝90。
锐角三角函数4.ppt
一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的
一边上任取一点Ｂ，作ＢＣ⊥ＡＣ于点Ｃ，则比
值 BC , AC , BC都是一个确定的值，与点B在角的边
AB AB AC
上的位置无关，因此，比值 BC , AC , BC都是锐角α
的三角函数。
AB AB AC B
A
C
这几个比值都是锐角∠A的函数，记
作sin A、cos A、tan A、cot A，
AB 5
AB 5
cosA = AC = 4 , AB 5
cosB = BC = 3 , AB 5
tanA = BC = 3 . AC 4
tanB = AC = 4 . BC 3
当∠A+∠B=90°时,
sinA=cosB, cosA=sinB, tanA·tanB=1
B
在直角三角形中，∠A+∠B=90
相等,则这两个锐角相等.
课外探 索：
1、在平面坐标系第一象限内是否存在点P，使得OP=4, sin∠POB＝0.5．求点P的坐标,并求出OP所在直线的解 析式.
思考：OP所在直线的解析式的比例系数K与∠POB有
什么关系呢?
y
6 5
4
3
2
1
B
0 12 34 5x
课外探索：
2、如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在墙上，当端点A离 地面的高度AC长为1m时，竹竿AB的倾斜角α的正切 tanα的值是多少？ 当端点A位于D，离地面的高度CD为2m时，倾斜角β 的正切tanβ的值是多少？
锐角的正切值最大？
A
α
B
5.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩
大100倍,sinA的值（ C ）
锐角的三角函数PPT
余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)， 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线，表示在直角三角形中，邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周 期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是 增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数， 即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1， 最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一 条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平 面直角坐标系中，正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线， 在y轴右侧的部分为单调 递增，在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角 形中的一个角（锐角）的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种，表示 在一个直角三 角形中，对边 （opposite） 的长度与邻边 （adjacent） 的长度之比。
最新锐角三角函数讲义
一、锐角三角函数【基础知识精讲】一、正弦与余弦，正切：1、 在ABC ∆中，C ∠为直角，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，⋅=∠=caA A 斜边的对边sin锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos .cbA A =∠=斜边的邻边cos锐角A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。
的邻边的对边A A A ∠∠=tan =ab2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<<A ，1cos 0<<A ，0tan >A 。
二、特殊角的三角函数值：三、增减性：当0900<<α时，sin α、tan α随角度α的增大而增大；cos α、cot α随角度α的增大而减小。
【例题巧解点拨】例1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5（1）求AB 的长。
（2）求sinA ，cosA 的值。
（3）求的值。
（4）比较sinA 与cosB 的大小。
（5）比较tanA 与AAcos sin 的大小。
例2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0） 和点B （0，－4）， 则cos ∠OAB 等于（ ）A.43B.－43C. 53D. 54例3. 已知a 为锐角，且aa aa a cos 2sin cos sin ,3tan +-=求的值.例4.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD ； (2)若sinC=54，BC=12.求AD 的长.例5、如图，在△ABC 中，∠C=90°，ED ⊥AB 于D 点，若tan ∠BED=34，cosA=1312，CE=1333，求DE 的长。
例6、如图，M 是正方形ABCD的边AD 的中点，BE=3AE 。
求sin ∠ECM 的值。
CDE【夯实基础】1.化简：+；2、△ABC 中，若cosB=23，tan A=，且 ∠A 、∠B 为锐角，则△ABC 是 三角形； 3、若αα，则锐角）110tan(3=︒+的度数为 ； 4、已知β是锐角，且cos β=23，则tan(90°-β)= ； 5.在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 。
(完整)锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值,并熟练准确的记住特殊角的三角函数值; 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系"及“锐角三角函数值随角度变化的规律".【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时,比值也随之变化． （2）sinA ，cosA,tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF"；另外,、、常写成、、．(3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°〈∠A〈90°间变化时,，，tanA ＞0．要点二、特殊角的三角函数值锐角Ca bc30°45°160°要点诠释:（1）通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值,它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．（2)仔细研究表中数值的规律会发现:、、的值依次为、、,而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小)而增大(或减小）；②余弦值随锐角度数的增大(或减小）而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°．(1）互余关系：，;(2)平方关系:; （3)倒数关系：或；（4）商数关系：．要点诠释:锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B，C都在格点上,则∠ABC的正切值是（）A ．2B ．C ．D ．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC 、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【答案】D ． 【解析】 解:如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2,BC=， ∴△ABC 为直角三角形, ∴tan ∠B==，故选：D ．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC 、AB 的长，再求正切函数． 举一反三:【变式】在Rt ΔABC 中,∠C =90°，若a =3，b =4，则c = ,sinA = , cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ,sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值:(1）（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；ACa bc(2）(2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)(2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：(1）原式==122-．(2）原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=63-；（3）原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322+．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中,∠C=90°，若∠A=45°,则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°,sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．(2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+｜sinB﹣｜=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求(1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值．【答案与解析】解：（1）∵｜1﹣tanA)2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°,∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC,∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB,∴ PC CD PA AB=． 又∵ CD ＝6,AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中,63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质,利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC,由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知,而已知CD ＝6，AB ＝10,可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①,在△ABC 中，AB ＝AC,顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题:(1）sad60°＝________．(2）对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．（3）如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1）1； （2)0＜sadA ＜2;(3）如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a,∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA 5BD AD ==． 【总结升华】（1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等,故sadA ＝1；（2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；（3）将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示,根据定义可求解．。
锐角三角函数总复习ppt课件.pptx
基础自主导学
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AB=2,则下列结论正确的 是( )
A.sin
A=
3 2
C.cos
B=
3 2
答案:D
B.tan A=12 D.tan B= 3
2.在正方形网格中,△ABC的位置如图,则cos B的值为( )
A.
1 2
C.
3 2
答案:B
B.
2 2
D.
┃ 知识归类
解直角三角形
1.三边关系：a2＋b2＝c2
2.三角关系：∠A＝90°－∠B
a
3.边角关系：sinA＝cosB＝ c
；
；
b
，cosA＝sinB＝c ，tanA
sinA
sinB
＝ cosA ，tanB＝ cosB
.
4.面积关系：sABC
1 2
ab
1 2
ch
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)， 就可以求出其余的3个未知元素．
[思路分析]设每层楼高为x m，由MC－CC′求出MC′的 长，进而表示出DC′与EC′的长，在直角三角形DC′A′中， 利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′， 由 C′B′－C′A′求出 AB 的长即可.
解：设每层楼高为 x m， 由题意，得 MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m). ∴DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1. 在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°， ∴C′A′＝tDanC6′0°＝ 33(5x＋1).
1 2
，sin45°＝
2 2
，sin60°＝
3 2
完整版)锐角三角函数超经典讲义
完整版)锐角三角函数超经典讲义锐角三角函数锐角三角函数是三角函数的一种，包括正弦、余弦和正切。
在一个锐角三角形中，锐角的对边、邻边和斜边之间的比例就是锐角三角函数。
具体来说，对于锐角A，其正弦、余弦和正切分别表示为sinA、cosA和XXX。
其中，XXX表示A的对边与斜边的比，cosA表示A的邻边与斜边的比，XXX表示A的对边与邻边的比。
这些符号都是完整的，单独的“sin”没有意义。
在用大写字母表示角度时，一般省略“∠”符号。
在求解锐角三角函数时，关键在于构造以此锐角所在的直角三角形。
例如，在一个直角三角形ABC中，如果已知∠C=90°，cosB=4/5，则AC：BC：AB=3：4：5.另外，需要注意的是，正弦、余弦和正切是实数，没有单位，它们的大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
例1：在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。
证明△ABE≌△DFA，并求sin∠EDF的值。
解：首先，连接AC，易得△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。
又因为AE=BC，所以△ABE和△ACD相似，即∠ABE=∠ACD，∠XXX∠ADC。
又因为∠ADC=90°，所以∠AEB=90°。
因此，△ABE和△DFA是全等三角形。
接下来，求sin∠EDF的值。
由于∠BAC=45°，所以∠AED=45°。
由于△ABE和△DFA全等，所以∠XXX∠BAE=45°。
因此，sin∠EDF=sin45°=1/√2.例2：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。
解：由于∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=75°。
根据三角函数的定义，可以得到：sin75°=cos15°=(sin60°cos45°+cos60°sin45°)/2=√6+√2/4cos75°=sin15°=(sin60°cos45°-cos60°sin45°)/2=√6-√2/4因此，△ABC面积为S=(1/2)AB·BC·sin75°=4(√6+√2)。
(完整word)锐角三角函数讲义
锐角三角函数第一课时：三角函数定义与特殊三角函数值知识点一：锐角三角函数的定义：一、 锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= , ∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数例1．如图所示，在Rt △ABC 中,∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______,斜边)(cos =B ＝______; ③的邻边A A ∠=)(tan ＝______, )(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,若a ＝9，b ＝12，则c ＝______,sin A ＝______,cos A ＝______，tan A ＝______, sin B ＝______,cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知:如图，Rt △TNM 中,∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求:sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．对应练习:1、 在Rt△ABC 中,a ＝5，c ＝13，求sinA ，cosA ，tanA ．2、 如图,△ABC 中，AB=25,BC=7，CA=24．求sinA 的值．25247C BA3、 已知α是锐角，且cos α=34,求sin α、tan α的值．4、在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =,4BC =，则tan A = ．5、在△ABC 中,∠C=90°，sinA=53,那么tanA 的值等于（ ）。
A ．35B 。
45C. 34D 。
436、 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA 3,c ＝4，则a ＝_______．7、如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3）， 则sinα=_______，cosα=_________,tanα=______ _．αyxP(2,3)OA知识点二：特殊角的三角函数值 当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值． （1）。
锐角三角函数培优讲义33113
讲义编号：组长签字：签字日期：（2）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。
3、锐角三角函数关系：（1）平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数：00 300450 600sin α2122 23 cos α 1 23 22 21 tan α33 1 （1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)； （2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)； （3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。
三、典型例题考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（ ）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cos α=35，sin α=_______，tan α=_______。
3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。
4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。
5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ）A 、ncosBB 、1ncosB C 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。
（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。
锐角三角函数讲义
锐角三角函数新知：⑴三个比值与B 点在α∠的边AM 上的位置无关；⑵三个比值随α∠的变化而变化，但α∠（00﹤α∠﹤900）确定时，三个比值随之确定；比值AB BC ，AB AC ，ACBC都是锐角α的函数 比值AB BC 叫做α∠ 的正弦(sine)， sin α=AB BC比值AB AC 叫做α∠的余弦(cosine)，cos α=AB AC比值ACBC 叫做α∠的正切(tang e nt )，tan α=ACBC（3）注意点：sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin ”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写。
强化读法，写法；分清各三角函数的自变量和应变量。
1、三角函数的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.则有 sinA ＝斜边的对边A ∠cosA斜边的邻边A ∠ t a n A A A ∠=∠的对边的邻边明确：锐角的三角函数值的范围：0＜sin α＜1，0＜cos α＜1.例1.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°，AB=5,BC=3, （1） 求∠A 的正弦、余弦和正切. （2）求∠B 的正弦、余弦和正切.（明确：sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA ·tanB=1）练一练：1、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sin α，cosα，tan α的值．2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，•根据勾股定理有公式a 2+b 2=c 2，根据三角函数的概念有sinA=a c ，cosA=b c ，sin 2A+cos 2A=2222222a b a b c c c++==1，sin cos A A =a c ÷b c =a b =tanA ，•其中sin 2A+cos 2A=1，sin cos A A =tanA 可作为公式来用．例如，△ABC 中，∠C=90°，sinA=45，求cosA ，tanA 的值．CBA解法一：∵sin2A+cos2A=1；∴cos2A=1－sin2A=1－（45）2=925．∴cosA=35，tanA=sincosAA=45÷35=43．解法二：∵∠C=90°，sinA=45．∴可设BC=4k，AB=5k．由勾股定理，得AC=3k．根据三角函数概念，得cosA=35，tanA=43．运用上述方法解答下列问题：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，求cosA，tanA的值；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，sinA，tanA的值；（3）Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=12，求sinA，cosA的值；（4）∠A是锐角，已知cosA=1517，求sin（90°－A）的值．3．已知tan2α－（tanα，求锐角α的度数．4．如图，已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．（1）试说明：S△ABC=12absinC；（2）若a=30cm，b=36cm，∠C=30°，求△ABC的面积．5．求下列各式的值：（1）2sin30°－3cos60°+tan45°； （2）cos 270°+cos45°·sin45°+sin 270°；（3）3tan30°－2tan45°+2cos30°； （4）2cos30°+5tan60°－2sin30°；22c o s 60(5)2t a n 60;1s i n 60︒+︒-︒ sin 301(6).1cos30tan 30︒++︒︒6．已知x 2－5xsin α+1=0的一个根，α为锐角，求tan α的值．7．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB •的值．Ba┌c有关三角函数的计算小结：Sin α，tan α随着锐角α的增大而增大； Cos α随着锐角α的增大而减小．1．如图，已知直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，它的解析式为y=－3x+3，角α的一边为OA ，另一边OP ⊥AB 于P ，求cos α的值．2．如图，AB 是直径，CD 是弦，AD ，BC 相交于E ，∠AEC=60°． （1）若CD=2，求AB 的长；（2）求△CDE 与△ABE 的面积比．解直角三角形：(如图)在⊿ABC 中，∠C=900，（1）.已知a,b.解直角三角形(即求：∠A ，∠B 及C 边) （2）. 已知∠A ，a.解直角三角形 （3）.已知∠A ，b. 解直角三角形 （4） 已知∠A ，c. 解直角三角形四 解直角三角形（△ABC 中，∠C ＝90°，每小题6分，共24分）：1．已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B 、a 、b ． 解：2．已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B 、b 、c . 解：. .3．已知：c ＝26-，a ＝3－1 ， 求∠A 、∠B 、 b . 解：4．已知：a ＝6，b ＝23，求 ∠A 、∠B 、c .解：五 在直角三角形ABC 中，锐角A 为30°，锐角B 的平分线BD 的长为8cm ，求这个三角形的三条边的长．解：三 计算题（每小题6分，共18分）： 1．tan 30°cot 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45°解：2．sin 266°－tan 54°tan 36°＋sin 224°； 解：；3．50cos 40sin 0cos 45cot 30cos 330sin 145tan 41222-+-+．解：久久教育教务处。
初三数学——锐角三角函数的讲义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
〈注〉解直角三角形，需把所有的边、角都求出来（不包括直角）．
2．解直角三角形的依据
在直角三角形中有6个元素（三边三角），它们具有如下关系：
（1）边之间的关系：（勾股定理）
（2）角之间的关系：（两锐角互余）
解：，
．
设，
则，，，
，
．
6．在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1， ∠A=60°，求AD、BC的长．
解：延长AD、BC相交于点E．
∠B=90°，∠A=60°，
，
；
同理，
，
；
；
．
方法3．如（方法2）图，，
，即．
．
如图，在中，于C，，，，
，，．作于E，
，
，
即．
．
【探究2】sin2α与sinα之间有什么关系？
解：易证∠BAC＝∠ADE＝a ，
在中，，
，
．
选B．
说明：可能有的同学会根据以前的知识，设，从而得出，最终算出，这样当然是很好的．但是，对于这种过去就比较熟悉的问题，应该尝试用新的观点去看待它、用新的方法去求解，逐渐形成使用锐角三角函数解题的意识．
（3）边、角之间的关系：
①；．
②；．
（4）其它：射影定理；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；三角形面积公式等．
3．直角三角形的可解条件和基本类型
已知条件 解法
一条边和一个锐角 斜边c和锐角A ，，，
直角边a和锐角A ，，，
两条边 两条直角边a和b ，由求，，
锐角三角函数讲义
锐角三角函数专题1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要)5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
6、正切、的增减性：A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
9、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
10、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
:i h l =hlα典型例题1、已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ）A ．43B ．45C ．54D ．342、104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--=______．3、 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A ．8米B．C米 D米 4、一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ ）A ．5sin 40°B ．5cos 40°C ．5tan 40°D ．5cos 40°5、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）A．4 m C．．8 m6、 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡比是BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ）A． 米 B ． 10米C ．15米 D． 7、如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ）A ．3B ．5C ．25D ．2258、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明D家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.1.4141.732）9、如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角为60°，热气球A 的高度为240米，求这栋大楼的高度.10、如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D 、B 、C 在同一水平面上．（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：141.12=，732.13=，449.26=，以上结果均保留到小数点后两位．）11、求值101|2|20093tan 303-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭°A BC名校真题1.(巴蜀半期) 如图，A 为某旅游景区的最佳观景点，游客可以在B 处乘坐缆车沿BD 方向先到达小观景平台DE 观景，然后再由E 处继续乘坐缆车沿EA 方向到达A 处，返程时从A 处乘坐升降电梯直接到C 处．已知AC BC ⊥于C ，//DE BC ，斜坡BD 的坡度4:3i =，210BC =米，48DE =米，100BD =米，64α=︒，则AC 的高度为（ ）米（结果精确到0.1米，参考数据：sin640.9︒≈，tan642.1︒≈）A ．214.2B ．235.2C ．294.2D ．315.2 2.（南开月考三）如图，市规划局准备修建一座高6AB m =的过街天桥，已知天桥的坡面AC 的坡度3:4i =，则坡面AC 的长度为（ ）A 、10mB 、8mC 、6mD、3.（南开月考二）如图，在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且 2.82AB =米，BCD ∆表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18，最大夹角β为66，根据以上数据，计算出遮阳蓬中CD 的长是（结果精确到0.1）（参考数据：sin180.31≈，tan180.32≈，sin 660.91≈，tan66 2.2≈）（ ） A 、1.2米 B 、1.5米 C 、1.9米 D 、2.5米4.（南开月考一）如图，小明在大楼30米高（即30PH =米）的窗口P 处进行观测，测得山坡顶A 处的俯角为15，山脚处B 的俯角为60，已知该山坡的坡度i =P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上，点HBC 在同一条直线上，且PH HC ⊥，则A 到BC 的距离为（ ）A．米 B ．15米C．米D ．30米5.（八中月考三）11、如图，某风景区在坡度2题图1题图为7：24的斜坡AB上有一座标志性建筑物BC，在点A处测得建筑物顶部C的仰角为31，斜坡AB=100米，则这座建筑物BC的高度约为（）。
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锐角三角函数第一课时:三角函数定义与特殊三角函数值知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______，斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．对应练习:1、 在Rt△ABC 中，a ＝5，c ＝13，求sinA ，cosA ，tanA ．2、 如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值．3、 已知α是锐角，且cos α=34，求sin α、tan α的值．4、在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A = ． 5、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=53，那么tanA 的值等于（ ）.A ．35B. 45C. 34D. 436、 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA＝4，c ＝4，则a ＝_______．7、如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3）， 则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _．知识点二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值． （1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2．（2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2.锐角 sin cos tan例2．求适合下列条件的锐角． (1)21cos =α(2)33tan =α（3）已知为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值例3. 三角函数的增减性1．已知∠A 为锐角，且sin A < 21，那么∠A 的取值范围是A. 0°< A < 30°B. 30°< A ＜60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型一 特殊三角函数值与计算 1、（1）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°（2）计算：030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+．（3）计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；(4)222sin =α (5)33)16cos(6=- α（）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠类型二：利用网格构造直角三角形1、 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）A ．12B ．55C ．1010 D ．255CBA2、如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3、如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为A.41 B. 31 C.21 D. 14、正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ） A ． 5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2类型三：直角三角形求值1、已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2、如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求AB 及OC 的长．3、已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4、已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值 类型四. 利用角度转化求值：1、已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2、 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC 的值为（ ） A ．12B 3．35D ．45D C B A Oy x第8题图3、如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．4、如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2．5、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23B ．32C ．34D ．436、如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECBF7、如图，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( )A．2 B．2 C．1 D．228、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316求∠B的度数及边BC、AB的长.类型五. 化斜三角形为直角三角形1、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．2、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC ＝5．求：sin∠ABC的值．3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）4、已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B．5、ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是A.23 cm2.43 cm2 C.63 cm2D.12 cm2第二课时：解直角三角形知识点三：解直角三角形1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， ①三边之间的等量关系：________________________________． ②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． (1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．例4．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．知识点四：三角函数应用类型一： 三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．DCBA5.如图，△ABC中，∠A=30°，tan B=，AC=AB的长.ACB第三课时，解直角三角形应用类型二：解直角三角形的实际应用一、仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B 在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离m2DE，求点B到地面的垂3直距离BC．3.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．6．如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ） A ． 10米 B ． 10米C ． 20米D ． 米7．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一A BCD E辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：si n75°≈0.9659，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）二、 坡度与坡角(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。