七年级数学整式的乘法教师讲义带复习资料
第2讲 整式乘法七年级数学下册同步精品讲义
第2讲 整式乘法1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.知识点01单项式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【知识拓展1】计算：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭；（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-．知识精讲目标导航【即学即练1】 计算： （1）()()121232n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭（2）322325(3)(6)()(4)a bb ab ab ab a -+----．知识点02单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【知识拓展1】 计算： （1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭；（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；【即学即练1】 224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．【即学即练2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．【知识拓展2】计算：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+-- （2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+【知识拓展3】化简求值： （1）已知()2352122=-+-，求代数式a b ab a a b a b 的值（2）已知33202()48+=+++-，求a b a ab a b b 的值.（3）已知210+-=m m ，求3222010++m m 的值.【知识拓展4】若20x y +=，求332()4x xy x y y +++的值．知识点03多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【知识拓展1】计算：（1）(32)(45)a b a b +-； （2）2(1)(1)(1)x x x -++；（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-； （4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．【知识拓展2】求方程(1)(21)(21)(2)x x x x -+=-+的解．【即学即练1】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解．【知识拓展3】若多项式21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 项，也不含x 项，求a 和b 的值．【即学即练1】在()()22231x ax b x x ++-- 的积中，3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6， 求a 、b ．1.已知(m - x )⋅ (-x ) + n (x + m ) = x 2 + 5x - 6 对于任意数 x 都成立， 求 m (n -1) + n (m +1) 的值．能力拓展2.已知a + 2b = 0 ，求a 3 + 2ab (a + b ) + 4b 3 - 8 的值．3.已知(x + ay )(x + by ) = x 2 - 4xy - 6y 2 ，求代数式3(a + b ) - 2ab 的值．4.(x + y + z )4的乘积展开式中，各项系数之和是．题组A 基础过关练一、单选题1．（2021·北京市第一六一中学分校七年级期中）化简8(21)x --的结果是（ ） A ．161x --B ．161x -+C ．168x -+D ．168x --2．（2021·上海黄浦·七年级期末）若x 2+px +q ＝（x ﹣3）（x +5），则p 的值为（ ） A ．﹣15B ．﹣2C ．2D ．83．（2021·安徽·淮南市田家庵区教育体育局教研室七年级期中）如图所示，一块“L ”型菜地，小新在求菜地面积的面积时，列出了下列4个式子，其中错误的是（ ）A ．()ab a c a +-B ．()ac a b a +-C ．ab ac +D ．()()bc c a b a ---4．（2021·湖南·邵阳市第六中学七年级阶段练习）如图，阴影部分的面积是（ ）A ．112xy B ．132xy C ．6xy D ．3xy分层提分5．（2021·北京市第三十五中学七年级期中）规定新运算“ω”的运算规则为：aωb=3a－2b，则(x+y)ω(x－y)等于（）A．x+y B．x+2yC．2x+2y D．x+5y6．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（）A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2二、填空题7．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）计算：23(66)32ab ab a b--+＝______．8．（2021·北京市三帆中学七年级期中）如图（图中长度单位：m）阴影部分的面积是_____m2（用含x的式子表示），面积表达式是_____次三项式．9．（2021·江苏·梅岭中学教育集团运河中学七年级期中）一套住房的平面图如图所示，其中卫生间、厨房的占地面积之和是______．（用含x、y的代数式表示）三、解答题10．（2021·山西省灵石县教育局教学研究室七年级期中）为庆祝六一儿童节，某书店为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图（1）），推出了一系列优惠活动，购买此书籍则赠送如图（2）所示的精致矩形包书纸.在图（2）的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸正好可以包好图（1）中的《世界经典童话》这本书，该书的长为24 cm ，宽为17 cm ，厚度为2 cm ．设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为a cm ．（1）该包书纸的长为_____________cm ，宽为___________cm （用含a 的代数式表示）； （2）当a =2时，求该包书纸的面积（含阴影部分）．11．（2021·广西·大新县养利学校七年级期中）填空：()()23a a ++= ；()()23a a +-= ； ()()35a a ++= ；()()35a a --= ；（1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果：()()x a x b ++= ； （2）运用上述结果，写出下列各题结果： ①()()20121000x x +-= ； ②()()20122000x x --=题组B 能力提升练一、填空题1．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）如图，我们知道（a+b ）n 展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第n +1行中的每一项，给出了“杨辉三角”的前7行，如第4行对应的等式为：4322344()464a b a a b a b ab b +=++++，照此规律，计算：65423262152202152621+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=__________；2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）若22(4)(3)x mx x x n ++-+展开后不含3x 和x 项，则m n +的值为___．3．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：211(4)(2)42x x x ++-=__． 二、解答题4．（2022·全国·七年级）计算（1）232232213(-)334()a b ab a b （2）223-53()-6a ab a （3）()()223x x -+5．（2021·全国·七年级专题练习）已知28x px ++与23x x q -+的乘积中不含3x 和2x 项，求,p q 的值．6．（2021·上海市西延安中学七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a +b ）n （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（a +b ）0＝1，它只有一项，系数为1；（a +b ）1＝a +b ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．（2）当a ＝2时，（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．7.（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）定义 ac bd =ad bc -，如 12 34=14232⨯-⨯=-．（1）若11x x +-11x x -+=4，求x 的值；（2）若1x m nx +-121x x -+的值与x 无关，求n m 值．8．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若123456789123456786x =⨯，123456788123456787y =⨯，试比较x ，y 的大小．解：设123456788a =，那么2(1)(2)2x a a a a =+-=--2(1)y a a a a =-=-22(2)()20x y a a a a -=----=-<x y ∴<看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！问题：若20072007200720112007200820072010x =⨯-⨯，20072008200720122007200920072011y =⨯-⨯，试比较x ，y 的大小．9．（2021·上海奉贤·七年级期中）图1是一个长方形窗户ABCD ，它是由上下两个长方形（长方形AEFD 和长方形EBCF ）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·浙江·七年级专题练习）已知在216()()x mx x a x b +-=++中，a 、b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 的值共有（ ）个A ．4B ．5C ．8D ．102．（2021·全国·七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了()(1,2,3,4,)n a b n +=的展开式的系数规律（按n 的次数由大到小的顺序）1 1 1()a b a b +=+1 2 1 222()2a b a ab b +=++1 3 3 1 +=+++33223()33a b a a b ab b1 4 6 4 1 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++… … 请依据上述规律，写出20212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2019x 项的系数是（ ）A ．-2021B ．2021C ．4042D ．-4042 3．（2021·浙江浙江·七年级期中）如图，长为(cm)y ，宽为(cm)x 的大长方形被分割为7小块，除阴影A ，B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm ，下列说法中正确的是（ ）①小长方形的较长边为15y -；②阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为5x y -+；③若x 为定值，则阴影A 和阴影B 的周长和为定值；④当15x =时，阴影A 和阴影B 的面积和为定值．A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①④二、填空题4．（2021·山东·青岛市城阳第六中学七年级期中）数学兴趣小组发现：（x －1）（x ＋1）＝x 2－1（x －1）（x 2＋x ＋1）＝x 3－1（x －1）（x 3＋x 2＋x ＋1）＝x 4－1利用你发现的规律：求：20212020201977771+++⋯++＝__________5．（2020·浙江杭州·模拟预测）若2()()6x a x b x mx ++=++，其中,,a b m 均为整数，则m 的值为_______．6．（2021·全国·七年级专题练习）若32211123325x ax x x x ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的积不含3x 项，则=a ___________． 7．（2021·浙江南浔·七年级期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a 的正方形EFGH 四周分别放置四个边长为b 的小正方形，构造了一个大正方形ABCD ，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作1S ，每一个边长为b 的小正方形面积记作2S ，若126S S =，则a b的值是______．三、解答题8．（2020·重庆文德中学校七年级期中）数学上，我们把a bc d 称作二阶行列式，规定它的运算法则为a bad bc c d=-，例23=2534245⨯-⨯=-，请根据阅读理解上述材料解答下列各题： （1）64132-=___________；（2）计算：12569798+++347899100（3）已知实数a b ，满足行列式2 15 1a a b a -=-+-，求代数式534222a b ab ab b --+-+的值．9．（2021·江苏锡山·七年级期中）（感悟数学方法）已知：2A ab a =-，2B ab a b =-++．（1）计算：52A B -；（2）若52A B -的值与字母b 的取值无关，求a 的值．（解决实际问题）请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m 元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求m 的值．10．（2020·河南·七年级期中）已知x y 、为有理数，现规定一种新运算#，满足3#2x y xy x =-． ()1求(2)#4-的值；()2求()1#3#2⎡⎤⎣⎦-的值；()30a ≠，探索#)(a b c +与##a b a c +两个式子是否相等，说明理由．11．（2021·贵州织金·七年级期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如图所示是该市自来水收费价格见价目表．（1）填空：若某户居民2月份用水34m ，则2月份应收水费______元；若该户居民3月份用水38m ，则3月份应收水费______元；（2）若该户居民4月份用水量3m a （a 在6至310m 之间），则应收水费包含两部分，一部分为用水量为36m ，水费12元；另外一部分用水量为______3m ，此部分应收水费______元；则4月份总共应收水费______元．（用a 的整式表示并化简）（3）若该户居民5月份用水3m (10)x x >，求该户居民5月份共交水费多少元？（用x 的整式表示并化简）12．（2021·全国·七年级单元测试）在长方形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b （a b >）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ，当42AD AB -=时求21S S -的值（用含a 、b 的代数式表示）．13．（2021·陕西·西安市中铁中学七年级阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；（2）猜想：（x﹣1）（x n+x n﹣1+……+x+1）＝（n为大于3的正整数），并证明你的结论；（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝．。
七年级数学讲义(整式乘法)
七年级数学讲义（第二讲 整式的乘法）思维导图重难点分析重点分析：1.单项式乘单项式结果还是单项式，相乘时把系数和相同字母分别相乘，即转化为数的运算和同底数幂的运算.2.单项式乘多项式、多项式乘多项式，实际上是运用了乘法的分配律，转化为单项式的乘法，其结果还是多项式，所以幂的运算法则是单项式相乘的基础，而单项式相乘的法则是整式乘法运算的基础. 难点分析：1.几个单项式相乘，积的符号由负因式的个数决定．2.单项式与多项式、多项式与多项式相乘时，根据乘法分配律不要漏乘．3.对于整式的混合运算，其运算顺序与数的运算顺序相同，即先乘方开方，再乘除，最后算加减．例题精析例1、下列运算中正确的有 ．①6x 2·3x=18x 3；②2a(-3a 2b)=-6a 3b ；③2x 2·3x 3·(-2xy)2=10x 7y 2； ④2ab ·6a ·3a -2=b ；⑤(-2m 3n 2)·(-m 2)·m -3=2m 2n 2． 思路点拨：根据单项式乘单项式的法则及幂的运算法则分别计算． 解题过程：方法归纳：本题考查了单项式与单项式相乘以及幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．易错误区：注意不要出现以下错误：（1）对幂的运算法则理解不透，混淆运算法则导致计算错误；（2）积的符号不要弄错，当算式中有负数或负因式出现时，积的符号由负数或负因式的个数决定；（3）运算顺序不要弄错，应先算幂的乘方再相乘；（4）只在一个单项式里出现的因式或字母，要连同它的指数一起写在积里，不要把它漏掉．例2、计算： （1）-5ab 2·(-107a 2bc-152ac 2)； （2）(21ab-b 2+43)·(-2a)2； （3）5x(x 2-2x+4)-x 2(5x-3)；（4）(2a 2-b)(a-4b)-(a+3b)(a-4b).思路点拨：根据运算法则运算，对于多项式乘多项式或混合运算，先根据法则去括号，再合并同类项. 解题过程：方法归纳：单项式与多项式、多项式与多项式相乘时，不要漏乘，混合运算注意符号. 易错误区：加减乘除混合运算时，要注意积是一个整体，要加括号，然后根据去括号法则去括号后再合并同类项.例3、长方形的长、宽分别为acm ，bcm ，如果长方形的长和宽各增加2cm ，那么： （1）新长方形面积比原长方形面积增加了多少平方厘米?(2)如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求(a-2)(b-2)的值. 思路点拨：（1）利用长方形的面积公式即可求解;(2)a,b 的值是无法求出的，但是把ab-2a-2b 看成一个整体，问题就迎刃而解了. 解题过程：方法归纳：本题考查了多项式乘法的应用，读懂题意，运用多项式乘法的法则计算即可． 易错误区：利用多项式的乘法求一些代数式的值时，往往会用到整体思想.例4、我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示.（1）请你写出图3所表示的一个等式： ； （2）试画出一个图形，使它的面积能表示（a+b ）（a+3b ）.图1 图2 图3思路点拨：（1）由题意得长方形的面积=长×宽，即可将长和宽的表达式代入，再进行多项式的乘法，即可得出等式；（2）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的长和宽的表达式，即可画出图形. 解题过程：方法归纳：本题考查了多项式的乘法的运用，是一道多项式的乘法与图形的面积相结合的创新题型.易错误区：图形中有正方形和长方形几种形状、大小不同的图形，每个图形的边长都有一定的关系，要理清楚.探究提升例、已知（2x-3）（x2+mx+n）的展开项不含x2和x项，求m+n的值.思路点拨：多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.本题可先利用多项式乘法法则把多项式展开，由于展开后不含x2和x项，则含x2和x项的系数为0，由此可以列出关于m，n的方程组，解方程组即可以求出m，n，从而得到m+n的值.解题过程：方法归纳：本题考查了多项式相乘法则以及多项式的展开项的定义，应用的数学方法是待定系数法.待定系数法的一般步骤：（1）设出待定系数（题中的m和n）；（2）根据恒等条件列出关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程（组）求出待定系数.本题注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0，这是本题列出方程组的依据.易错误区：本题含有字母系数（待定系数），展开后找同类项是易错点，要注意2mx2与-3x2，2nx与-3mx是同类项可以合并.一、选择题1.计算(2a－3b)(2a＋3b)的正确结果是( )A．4a2＋9b2B．4a2－9b2C．4a2＋12ab＋9b2D．4a2－12ab＋9b22.若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为( )A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a3.计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是( )A．(2x－3y)2B．(2x＋3y)2C．8x3－27y3D．8x3＋27y34.(x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，则( )A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．无法确定5.若0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是( )A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定6.计算(a2＋2)(a4－2a2＋4)＋(a2－2)(a4＋2a2＋4)的正确结果是( )A．2(a2＋2) B．2(a2－2) C．2a3D．2a67.方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是( )A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝408.若2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c应为( )A．a＝2，b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－1C．a＝2，b＝1，c＝－2 D．a＝2，b＝－1，c＝29.若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋d)，则ac＋bd等于( )A．36 B．15 C．19 D．2110.(x＋1)(x－1)与(x4＋x2＋1)的积是( )A．x6＋1 B．x6＋2x3＋1 C．x6－1 D．x6－2x3＋1二、填空题1.(3x－1)(4x＋5)＝_________．2.(－4x－y)(－5x＋2y)＝__________．3.(x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________．4.(y－1)(y－2)(y－3)＝__________．5.(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是__________．6.若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，则a＝__________，b＝__________．7.若a2＋a＋1＝2，则(5－a)(6＋a)＝__________．8.当k＝__________时，多项式x－1与2－kx的乘积不含一次项．9.若(x2＋ax＋8)(x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a＝_____，b＝_______．10.如果三角形的底边为(3a＋2b)，高为(9a2－6ab＋4b2)，则面积＝__________．三、解答题1、计算下列各式(1)(2x＋3y)(3x－2y) (2)(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)(3)(3x2＋2x＋1)(2x2＋3x－1) (4)(3x＋2y)(2x＋3y)－(x－3y)(3x＋4y)2、求(a＋b)2－(a－b)2－4ab的值，其中a＝2009，b＝2010．3、求值：2(2x－1)(2x＋1)－5x(－x＋3y)＋4x(－4x2－52y)，其中x＝－1，y＝2．四、探究创新乐园1、若(x2＋ax－b)(2x2－3x＋1)的积中，x3的系数为5，x2的系数为－6，求a，b．2、根据(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，直接计算下列题(1)(x－4)(x－9) (2)(xy－8a)(xy＋2a).五、数学生活实践一块长ac m，宽bc m的玻璃，长、宽各裁掉1 c m后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少?六、思考题：请你来计算：若1＋x＋x2＋x3＝0，求x＋x2＋x3＋…＋x2012的值．1.【贺州】下列运算中正确的是( ).A.(x2)3+(x3)2=2x6B.（x2）3·(x2)3=2x12C.x4·(2x)2=2x6D.(2x)3·(-x)2=-8x52.【台湾】若2x3-ax2-5x+5=（2x2+ax-1）（x-b）+3，其中a，b为整数，则a+b的值为( ).A.-4B.-2C.0D.43.【怀化】当x=1，y=51时，3x （2x+y ）-2x （x-y ）= . 4.【兴化】已知a+b=2，ab=-7，则（a-2）（b-2）= . 5.观察下列各式：（x-1）（x+1）=x 2-1；（x-1）（x 2+x+1）=x 3-1；（x-1）（x 3+x 2+x+1）=x 4-1； ……（1）根据以上规律，则（x-1）（x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1）= ;（2）你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（xn+x n-1+…+x+1）= ;（3）根据（2）求出1+2+22+…+234+235的结果．6.观察下列等式： 12×231＝132×21; 13×341＝143×31; 23×352＝253×32; 34×473＝374×43; 62×286＝682×26; ……以上每个等式中等号两边的数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： ①52× ＝ ×25； ② ×396＝693× ；(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且2≤a ＋b ≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a ，b)，并证明.7、知6x 2-7xy-3y 2+14x+y+a=（2x-3y+b ）（3x+y+c ），试确定a ，b ，c 的值.。
整式的乘法复习课件
04
整式乘法的常见错误与纠正
运算顺序的错误
总结词
详细描述
纠正方法
运算顺序错误是整式乘法中常见的问 题之一，主要表现在运算的先后顺序 不正确。
在进行整式乘法时，运算的顺序应该 是先乘方、再乘除、最后加减。如果 运算顺序不正确，会导致计算结果出 现偏差。例如，在进行(a+b)(a-b)的 计算时，应该先进行括号内的加减运 算，再进行乘法运算，得到的结果是 a^2 - b^2。如果先进行乘法运算， 得到的结果将是a^2 + ab - ab b^2，这是错误的。
整式的乘法复习ppt课 件
contents
目录
• 整式乘法的基本概念 • 整式乘法的运算技巧 • 整式乘法的应用实例 • 整式乘法的常见错误与纠正 • 整式乘法的练习题与解析
01
整式乘法的基本概念
整式的定义与表示
整式是由常数、变量、加法、减法、 乘法和乘方等运算构成的代数式。
整式中的字母表示变量，可以是实数 或复数。
在进行整式乘法时，要严格按照先乘 方、再乘除、最后加减的顺序进行运 算，避免因为运算顺序的错误导致结 果不正确。
符号处理的错误
总结词
符号处理错误是整式乘法中常见的问题之一，主要表现在对负号的处理不正确。
详细描述
在进行整式乘法时，负号的处理非常重要。如果对负号处理不当，会导致计算结果出现偏 差。例如，在进行(-a)(-b)的计算时，应该将两个负号相乘得到正号，得到的结果是ab。 如果对负号处理不当，得到的结果将是-ab，这是错误的。
纠正方法
在进行整式乘法时，要特别注意 同类项的合并，严格按照运算法 则进行计算，避免因为合并同类 项错误导致结果不正确。
05
整式乘法的练习题与解析
七年级数学下册2整式的乘法小结与复习教学课件新版湘教版
当x=1,y=3时，原式=6×27-6×9=108.
方法总结 整式的乘法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项
式及多项式乘以多项式，其中单项式乘以单项式是整式乘法的 基础，必须熟练掌握它们的运算法则.
转化
有理数的乘法和同底数幂的乘
法.
针对训练
7.计算：（4a-b）•（-2b）2．.
解： 原式=（4a-b）•4b2=16ab2-4b3．
整体思想
例5 若2a+5b-3=0，则4a·32b= 8 . 【解析】已知条件是2a+5b-3=0，无法求出a，b的值因此可以 逆用积的乘方先把4a·32b.化简为含有与已知条件相关的部分， 即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8.
=-1-（2 ×0.5）300 ×0.5 =-1-0.5 =-1.5. 3. 比较大小：420与1510.
解:∵420=（42）10=1610， 1610>1510, ∴420>1510.
考点二 整式的乘法
例2 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]×3x2y,其中x=1,y=3. 【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要 注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.
针对训练
1.下列计算不正确的是（ D ） A.2a3 ·a=2a4 C. a4 ·a3=a7
B. (-a3)2=a6 D. a2 ·a4=a8
2. 计算：0.252015 ×（-4）2015-8100 ×0.5301. 解:原式=[0.25 ×（-4）]2015-（23）100 ×0.5300 ×0.5
北师大版七年级数学下册《整式的乘法》整式的乘除PPT优质课件
已知 求 的值.
所以m、n的值分别是m=1，n=2.
解：
所以2m+2＝4且3m＋2n＋2=9.
故 m=1, n＝2
ZYT
例2 有一块长为xm，宽为ym的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长 xm，宽 ym的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
3a3 ·2a2=6a5
3x2 ·4x2=12x4
5y3·3y5=15y8
×
×
×
ZYT
计算：(1) 5x3·2x2y ； (2) －3ab·(－4b2) ；(3) 3ab·2a； (4) yz·2y2z2；
(1)5x3·2x2y＝(5×2)·(x3·x2)·y＝10x5y.(2)－3ab·(－4b2)＝[(－3)×(－4)]·a·(b·b2)＝12ab3.(3)3ab·2a＝(3×2)·(a·a)·b＝6a2b.(4)yz·2y2z2＝2·(y·y2)·(z·z2)＝2y3z3.
解：
ZYT
5.若长方形的宽是a2，长是宽的2倍，则长方形的面积为 _____.【解析】长方形的长是2a2，所以长方形的面积 为a2·2a2=2a4.
2a4
6.一个三角形的一边长为a，这条边上的高的长度是它的 那么这个三角形的面积是_____.【解析】因为三角形的高为 ，所以这个三角形的 面积是
＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2
＝－20a2＋9a.
原式＝－20×4－9×2＝－98.
方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．
ZYT
先化简再求值:
解：原式=x4-x3+x2-x4+x3-x2+5x
整式的乘法讲义(沈上楠)
（4） （5） （结果用科学记数法表示）
例2计算：（1） （2） （3）
例3卫星绕地球表面做圆周运动的速度 （即第一宇宙速度）约为 米/秒，则卫星运行 秒
所走的路程约是多少 ？（结果用科学记数法表示）
【 随堂检测】
1.选择题：（1）下列计算中，正确的是（）
A. B.
C. D.
（2）下列计算中，不正确的是（ ）
（3）去括号： ； .
（4）计算： =；
整式的加减实质上就是.
（5）乘法分配律: ；
2.问题：
（1）三家连锁店以相同的价格m（ 单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a、b、c．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？
方法1：方法2：
归纳:由上面做法你能得出一个结论:
A. B.
C. D.
【课堂小结】
1.单项式与单项式相乘的法则：；
2.单项式×单项式结果是
配套习题
1、下列计算中，正确的是（）
A． B．
C． D．
2．用科学记数法表示 的结果应为（）
A． B． C． D．
3．计算 的结果是（）
A． B． C． D．
4．下列计算中，正确的是（）
A． B．
C． D．
5．下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？
（2）如图，长方形的长为 ，宽为 ，请你用两种不同的方法
求出图中长方形的面积，你可以得出什么结论？
方法1：
方法2：
将 看成一个单项式， 看成一个多项式，则我们能得出一个运算法则.
归纳概括：单项式与多项式相乘的法则：
【课堂探究】
例1计算
（1） （2） （3） （4）
北师大版七年级下册数学《整式的乘法》整式的运算说课教学课件复习提高
例3 已知 xa＝2，xb＝3， 求xa+b的值.
解：∵ xa＝2，xb＝3
xa+b=xa·xb
∴ xa+b＝ xa·xb＝2×3 ＝ 6．
变式：已知 xa+b ＝6， xb＝3，求 xa 的值. 延伸：已知 xa＝2，xb＝3， 求x2a+3b的值.
解：∵ xa＝2，xb＝3 ∴ x2a+3b＝ x2a·x3b ＝(xa )2 ·(xb)3 ＝22×33 ＝ 108．
x2a+3b＝ x2a·x3b (xa )2 (xb)3
拓展：已知am ＝2，bm ＝5，求 ( a3b2)m的值．
解：∵ am ＝2，bm ＝5， ∴ (a3b2)m ＝a3m ·b2m ＝ (am)3 ·(bm)2 ＝23×52 ＝200
( a3b2)m =a3mb2m
a3m＝(am)3 b2m＝ (bm)2
学法指导
1. 在进行整式运算时，首先要正确把握运算 顺序．在每一步的运算中，要看清运算类 型，正确运用运算性质和法则．计算过程 中，要时刻注意符号;
2. 乘法公式是本节的重点和难点，是计算和 化简求值的重要工具，对公式及其之间的 关系要清晰理解;
3. 各种运算性质和法则要能从正反两方面来 理解，会灵活运用;
教学重难点
重点
准确熟练地运用整式的乘法运算法 则进行计算．
难点
准确熟练地运用整式的乘法运算法 则进行计算．
ac5 bc2的乘积是多少？
ac5 bc2
a bc5 c2
abc52 abc7
知识要点
单项式与单项式相乘，把他们 的系数、相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式。
北师版初一下第一章整式的乘除复习PPT课件
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5、单项式乘以单项式
法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、 相同字母的幂分别相乘，其余的字母则连同 它的指数不变，作为积的一个因式。
练习：计算下列各式。
(1)(5x3)(2x2y),(2)(3ab)2 (4b3)
(3)(am)2b(a3b2n),
A 3.20×10-5
B 3.2×10-6
C 3.2×10-7
D 3.20×10-6
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3、(am)3·an等于（ A）
A a3m+n
B am3+n
C a3(m+n)
D a3mn
4、计算下列各式，其结果是4y2-1的是（ ）
B A (2y-1)2
B (2y+1)(2y-1)
C (-2y+1)(-2y+1) D (-2y-1)(2y+1)
(4)(2a2bc3)(3c5)(1ab2c)
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6、单项式乘以多项式
法则：单项式乘以多项式，就是根据分配律用单 项式的去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
7、多项式乘以多项式
法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每 一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 相加。
练习： 1、计算下列各式。
A. 4
B.3
C.2
D.1
12、若a，b都是有理数且满足 2a2 -2ab+b 2 +4a+4=0 ，
则2ab的值等于（ B ）
A. -8
B. 8
C.32
D.2004
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北师大版七年级数学下册 第一章 整式的乘除(二) 讲义(无答案)
第一章整式的乘除（二）一、整式的乘法1. 单项式与单项式相乘：法则：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)= [(-5)×(-4)×(-1)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=-30a3b4c2.单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．用字母表示：a(b+c+d)= ab + ac + ad例：= (-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=3.多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．用字母表示：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd例：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb二、乘法公式1. 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
（a＋b）（a－b）＝a2－b2例：①(x-4)(x+4) = ( )2 - ( )2 =________；②(-m+n )( m+n ) = ( ) ( )=___________________；③=( ) ( )=___________；④(2a+b+3)(2a+b-3) =( )2-( )2=______________= ；⑤(2a—b+3)(2a+b-3)=（）（）=( )2-( )2⑥ ( m +n )( m -n )( m 2+n 2 ) =( )( m 2+n 2 ) = ( )2 -( )2 =_______； ⑦ (x +3y )( ) = 9y 2-x 22. 完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）们的 积的2倍。
七年级整式的乘法知识点与讲义
树人阁教育一对一个性化辅导教案整式的乘法一．教学衔接二．教学内容（一）复习上节课学习的知识点（二）新课知识点梳理1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即n m n m a a a +=⋅（n m ,都是正整数）。
2.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）。
3.积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即n n n b a ab =)(（n 是正整数）。
4.单项式乘以单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
5.单项式乘以多项式法则：根据乘法的分配律，即可得到单项式与多项式相乘的运算法则：mc mb ma c b a m ++=++)(（c b a m ,,,都是单项式）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
6.多项式与多项式相乘法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即bn bm an am n m b a +++=++))((7.ab x b a x b x a x +++=++)())((2（三）例题讲解例1.计算：（1）53a a a ⋅⋅；（2）532)()()(b b b ---；（3）n n b b 21)2()2(-⋅-+（n 是正整数）。
解：（1）953153a aa a a ==⋅⋅++； （2）101010532532)()()()()(b b b b b b =-=-=---=++； （3）13212121)2()2()2()2()2()2(+++++-=-=-⋅-=-⋅-n n n n n n n b b b b b b 。
解题规律：当幂的底数互为相反数是，常用以下变形：⎪⎩⎪⎨⎧-=-)()()(为奇数为偶数n a n a a n n n⎪⎩⎪⎨⎧---=-)()()()()(为奇数为偶数n a b n a b b a n n n例2.求值：（1）94a a a x =⋅，求x 的值；（2）131m m m x x =⋅+，求x 的值；（3）10x x x x b a =⋅⋅且5=-b a ，求ab 的值。
整式的乘法复习课件
典型例题解析
例题3
01
(3x 1)^2
• 分析
02
本题考查的是一元一次整式的平方运算。按照完全平方公式展
开即可。
• 解法
03
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1（利用完全平方公式）
03 二元一次整式乘法
二元一次整式概念
定义
含有两个未知数，且未知数的最高次 数为1的整式称为二元一次整式。
针对不同题型进行专项训练，提高解题能力
选择题和填空题
通过大量练习，提高对基础概念 和运算规则的掌握程度，培养快
速准确解题的能力。
计算题
针对不同类型的计算题，如单项 式与单项式相乘、单项式与多项 式相乘、多项式与多项式相乘等， 进行专项训练，提高运算速度和
准确性。
证明题
通过分析和证明乘法公式的过程， 培养逻辑推理能力和数学表达能
• 解法
(2x + 3)(x - 1) = 2x^2 - 2x + 3x - 3 = 2x^2 + x-3
典型例题解析
例题2
(x + 2)(x - 2)
• 分析
本题同样考查一元一次整式与多项式的乘法运算。注意到(x + 2)和 (x - 2)是平方差的形式，可以利用平方差公式进行简化。
• 解法
(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4（利用平方差公式）
06 整式乘法复习策略与建议
系统梳理知识点，形成知识网络图
整式乘法的基本法则
回顾并掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式 相乘的法则。
乘法公式
熟练掌握平方差公式和完全平方公式，理解其推导过程和应用场景。
2024-2025学年七年级数学下册同步讲义(北师大版)第一章 整式的乘除复习与巩固(教师版)
典例：1.下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．（2a）3＝6a3
【答案】D
C．（am）2＝a2+m D．a2+2a2＝3a2
【分析】A：应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案； B：应用积的乘方法则进行计算即可得出答案； C：应用完全平方公式进行计算即可得出答案；
第一章 整式的乘除 复习与巩固
1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除 以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
＝12022 ＝1， 故选：C． 【点拨】本题主要考查积的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．
典例：3.计算（1）
30
1 8
1 3 2
1 3
2
（2） 3a3 2 2a3 8a12 2a3
【答案】(1)-8 (2)14a9
【分析】（1）结合幂的混合运算进行计算即可．
（2）结合幂的乘方，乘法公式运算即可．
知识点一. 幂的运算 1.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
( m，n 为正整数).
2.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘；
( m，n 为正整数).
3.积的乘方：积的乘方 ，等于各因数乘方的积；
( n 为正整数).
4.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减；
m n ).
5.零指数幂： a0 1a 0. 即任何不等于零的数的零次方等于 1.
冀教版七年级下册数学《整式的乘法》PPT教学课件
①在直线c的两侧 ②在直线a,b的之间
内错角
c
1 2
a
34
65
b
78
3 5
典例精析 例1 如图，直线DE截直线AB ，AC，构成8个角，指出所有的
同位角,内错角,同旁内角.
解：两条直线是AB，AC，截线是DE，
所以8个角中， 同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1
D
21 34
B
A
58
67 E C
与∠8, ∠6和∠3；
第八章 整式的乘法
8.4 整式的乘法
学习目标
1.掌握单项式与单项式相乘的运算法则.（重点） 2.能够灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.（难点）
复习引入 1.幂的运算性质有哪几条？
同底数幂的乘法法则：am·an=am+n ( m、n都是正整数). 幂的乘方法则：(am)n=amn ( m、n都是正整数).
1 ab2
3a2bc
2
2 1 3 (a a a2 ) (b2 b) c
2
有积的乘方怎么
3a4b3c;
办？运算时应先
(2)(ab2 )2 (5ab)
算什么？
(1)2 a2b4 (5)ab
5(a2 a) (b4 b) 5a3b5.
注意 有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
归纳总结
单项式乘以单项式中的“一、二、三” 一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个单项 式里含有的字母，连同它的指数不变，作为积的因式. 二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂分别 相乘.
积的乘方法则：(ab)n=anbn ( m、n都是正整数).
2.计算：（1）x2 ·x3 ·x4= x9
; (2)(x3)6=x18
《整式的乘法复习》课件
学习建议与展望
深入理解概念
建议学生深入理解整式乘法的 概念和性质，掌握其本质，以
便更好地应用所学知识。
提高运算能力
强调学生应通过多做练习题提 高整式乘法的运算能力，掌握 常用的运算技巧。
拓展应用领域
建议学生将整式乘法的应用拓 展到其他学科领域，如物理、 化学等，以增强跨学科应用能 力。
展望未来发展
$(x+y)(x^2+y^2) = (x^2+y^2)(x+y)$，可用于交换多项式相乘的顺序。
整式乘法的综合练
04
习
基础练习题
总结词
掌握基本概念和规则
详细描述
包括单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与 多项式相乘等基础题型，旨在帮助学生掌握整式乘法的基本 概念和规则。
提高练习题
总结词
学习方法总结
主动参与
强调在学习整式乘法过程中，学 生应积极参与课堂讨论，主动思
考问题，提高自主学习能力。
实践应用
建议学生在课后多做练习题，通过 实践应用加深对整式乘法的理解， 提高运算能力和解决问题的能力。
归纳总结
鼓励学生对所学知识进行归纳总结 ，形成知识体系，以便更好地掌握 整式乘法的核心概念和运算规则。
小。
整式乘法的技巧与
03
注意事项
乘法公式的运用
01
02
03
平方差公式
$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$，可用于简化整式 乘法。
完全平方公式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，可用于展开整 式和简化整式乘法。
平方差公式
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可用于展开整式 和简化整式乘法。
著名机构七年级数学秋季班讲义整式的乘法(教师)
第3课时 整式的乘法课时目标1．探索并掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算法则，会进行整式相乘的运算.2. 能够灵活运用法则进行计算和化简.3. 在整式的乘法中，单项式的乘法是关键.所以重点还是要熟练运用幂的运算性质.知识精要一、单项式与单项式相乘1、法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.2、法则可简单的写成：单项式×单项式=（系数相乘）×（同底数幂相乘）×（单独字母的幂）3、三个或三个以上的单项式相乘，此法则仍适用.4、单项式与单项式相乘，积还是单项式二、单项式与多项式相乘1、法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.如：m ⋅（a +b +c ）= ma +mb +mc 或（a +b +c ）⋅m = am +bm +cm2、单项是与多项式相乘的结果是一个多项式，且项数与原多项式的项数相同.3、单项式与多项式相乘时，要注意以下几点：（1）不要漏乘项，尤其不要漏掉单项式与多项式中的常数项相乘. 如：232(2)(31)xy xy y x y -⋅-++= xy y x xy y x 262234322--+-（2）当单项式中含有“—”号时，不要出现符号错误.如：2222343213()(6)29632xy y x xy x y xy x y -+-⋅-=-+ （3）如果多项式中含有多重括号，先去小括号，再去中括号、大括号，从而避免漏乘和符号发生错误. 如：a a a a a a 62)]131(321[2223-=---三、多项式与多项式相乘1、法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 如：（a +b ）（m +n ）= am +an +bm +bn2、多项式与多项式相乘，其基本原理是运用乘法对加法的分配律转化为单项式与多项式相乘，继而转化为单项式与单项式相乘.3、多项式与多项式相乘的结果中，如果有同类项，要合并同类项.4、在计算时，要避免漏项，通常多项式与多项式相乘，在合并同类项前，积的项数等于两个多项式项数的积.比如：（a +b ）（c +d +e ），其结果在合并同类项前应为2×3=6项.热身练习1、计算：（1）)2(232ax x a -⋅解：原式=532x a -（2）231()()2xy xy ⋅ 解：原式4712x y =（3）2241(2)332xy xy y xy -+⋅ 解：原式232221233x y x y xy =-+2、计算：x x x x x 96)96(x 232--=--⋅.3、计算：=--+n n n x x x )1(1212n n n x x x +--.4、计算：24312128)32)(84(2343++-+=++-x x x x x x x .5、在))((2c bx x a x +++的展开式中，2x 项的系数是a b +，x 项的系数是c ab +.6、（a +b +c ）（d －e ）的积的项数是 6 项.7、计算：161x )41)(21)(21(42-=++-x x x . 8、画长方形，用长方形的面积分别表示下列各式及运算结果.(1) ()a b c d ++ （2）()()a b c m n +++精解名题1、计算：（1）321(8)4xy xy z -⋅ 解：原式=z y x 522-（2）231(12)(3)()14x y xy xy -⋅-⋅- 解：原式=54718y x -（3）322325(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a ⋅-+-⋅--⋅- 解：原式=337b a -2、计算：(1) )65)(52(2+-+x x x 解：原式=30135223+--x x x(2) )132)(52(223+--+-x x x x 解：原式=51587722345-+--+-x x x x x3、设1232137106)53)(6(234523-++-+=+++-x x x x x b x x x ax ，求a 与b 的值. 分析：只需比较最高次项系数和常数项，不必将多项式与多项式的乘积计算出来. 解：由题意，可得a ×3=6，6×b =－12所以a =2，b =－2(展开式为543235(ab 3)13(30)6ax ax x x b x b ++-++-+)4、求展开式)323)(2735(223223b ab a b ab b a a -+-+-中23b a 和32b a 的系数.分析：直接计算较繁琐，用竖式演算却简捷方便.用竖式演算时应注意：多项式的排列必须按某一字母的降幂排列，缺项应补零.解：原式=5432456251715b ab b a b a a +-++.∴23b a 的系数是0，32b a 的系数是17.5、已知a 、b 、m 均为正整数，且15))((2++=++mx x b x a x ，则m 可能取的值有多少个？解：ab x b a x b x a x +++=++)())((2，∴ab =15，m =a +b ，Θa 、b 是正整数，15=1×15=3×5，∴m =1+15=16，或m =3+5=8.故m 的可能取的值有2个.6、如果)3)(3(22b y y ay y +-++的展开式中不含2y 和3y 项，求a 和b 的值. 解：将整式展开后Θ不含2y 和3y 项，即系数为0∴a =3，b =67、计算)33)(35()325)(23(224242+++-+++x x x x x x解：原式642426442242156910461515339923x x x x x x x x x x x x =+++++------=-+-22432322432(3)(3)33393(3)(33)(9)3y ay y y b y y by ay ay aby y y by a y b a y ab y b++-+=-++-++-+=+-+-++-+备选例题1. 计算(1)()()a b c d c a d b -+----;解：原式=[()][()]c b d a c b d a --+---=22()c b d a ---=2222222c b d bc db cd a ++-+--(2))168()2()2(422422y y x x y x y x +++-解：原式=222222)4()4(y x y x +-=244)16(y x -=844825632y y x x +-2. 设x ，y ，z 为实数，且满足：222)()()(x z y x z y -+-+-=222)2()2()2(z y x y z x x z y -++-++-+ 求222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++的值. 解：等式左边=2x 2+2y 2+2z 2－2xy －2yz －2xz ，等式右边=6x 2+6y 2+6z 2－6xy －6yz －6xz ．∴2x 2+2y 2+2z 2－2xy －2yz －2xz =0， 即 (x －y )2+(x －z )2+(y －z )2=0. Θx ，y ，z 均为实数，∴x =y =z ．∴原式=222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x ++++++=1. 方法提炼1. 展开式中不含某一项，说明该项的系数为0.2. 整式的乘法会联合同类项出考题，所以要熟练掌握理解定义.3. 运用整式乘法的运算规律，可以简化运算.巩固练习一、填空题：1、=⋅-b a b a 32313 52a b - =⨯-200120002)21(2 2、=-15981b a 353)21(b a - =+-32])([y x 6()x y -+3、=-5252)(a a a 710a a - =---)()(b a b b a a 222b ab a +-4、若222)(b a A b ab a -=+++，则A=3ab -二、选择题：1、若多项式65))((2+-=++x x b x a x ，则a 、b 的值为（ C ）A. a =2，b =3B. a =2，b =－3C. a =－2，b =－3D. a =1，b =－62、下列各式正确的是（ B ）A. 222)(b a b a +=+B. 13333+=++n n n nC. 633a a a =+D. 22)(b b a a =三、计算题：1、522)()())((a a a a -+---2、3232)4()4()4()4(x x x x --+解：原式=0 解：原式 =03、)2)(3(2)1)(2(+--+-x x x x4、)(2)())((2y x x y x y x y x +--+-+解：原式 =210x x -++ 解：原式 = 4xy -5、325)()32)(43(x ab bx ax ----6、2)43()4323)(213(y y x y x ---- 解：原式 =632abx 解：原式 =229332216x xy y -+-四、解答题1、在长为3a +2，宽为2b +3的长方形铁片上，挖去长为b +1，宽为a －1的小长方形铁片，求剩余部分的面积.解：（3a +2）（2b +3）－（b +1）（a －1）=5857ab a b +++2、已知：多项式b ax x ++2与3x +1的积中含2x 项的系数为10，且积中不含x 项，求a 、b 的值.解：（b ax x ++2）（3x +1）=b x a b x a x +++++)3()13(32303,1013=+=+∴a b a1,3-==∴b a当堂总结1.掌握单项式与单项式相乘的法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算2.掌握单项式与多项式相乘的法则3.掌握多项式与多项式相乘法则自我测试一、选择题：1、下列说法中，不正确的是（ D ）A.单项式乘以单项式，其结果一定仍是单项式B.两个单项式相乘，积的系数是这两个单项式系数的积C.两个单项式相乘，每一个因式所含字母都在结果里出现D.单项式必须是同类项才能相乘2、下列计算正确的是（ D ）A.y x y x xy y x xy 3222)(-=-B.2)2(322+--=-+-x x x x xC.x x x x x x 2329)1323(23243+-=+- D.232283)12)(3241(b a b a ab b a a +-=--3、如果n mx x x x ++=+-2)3)(1(，那么m ，n 的值分别是（C ） A. 4,－3 B. 2,3 C. 2,－3 D. －3,24、下列各式计算结果为652--x x 的是（ B ）A. （x －1）(x +6)B.(x +1)(x －6)C.(x －2)(x －3)D.(x －2)(x +3)二、简答题：1、计算：224(3)(41)9a a a -⋅-+ 解：原式43241233a a a =-+-2、先化简，再求值：21,2),(2)2)(2(22-=-=--+-y x y x xy y x y x 其中解：原式=334x y - 当21,2-=-=y x 时，原式=217-3、求)74)(12(23-++-x x x x 中含3x 项的系数.解：原式=543228153117x x x x x +--+-∴3x 项的系数为－15补充练习：（根据需要自己选用）测试1 同底数幂的乘法23·2(___5___)＝256； 若2m ＝6，2n ＝5，则2m ＋n ＝___30___． 25×54－125×53． 0 (－2)2009＋(－2)2010． 20092(－a )n 与－a n 相等吗?(a －b )n 与(b －a )n 相等吗?根据以上结论计算①(m －2n )4·(2n －m )2；②(m －n )4·(n －m )3．测试2 幂的乘方若(a 3)x ·a ＝a 19，则x ＝____6___．已知a 3n ＝5，那么a 6n ＝____25__． 若16x ＝216，求x 的值； 4 若(9a )2＝38，求a 的值．2若10α＝2，10β＝3，求102α＋3β 的值； 108若2x ＋5y －3＝0，求4x ·32y 的值． 8比较大小：3555，4444，5333． 3555 ＞4444 ＞5333．测试3 积的乘方若2n ＝a ，3n ＝b ，则6n ＝___ab___．二、选择题52009×(－0.2)2010 = 51 .)21(6)31(675-⨯⨯-=-18 若4)31()9(832=⋅x ，求x 3的值． ±6比较216×310与210×314的大小． ＜若3x ＋1·2x －3x ·2x ＋1＝22·32，求x ． 2测试4 整式的乘法(一)已知x 3a ＝3，则x 6a ＋x 4a ·x 5a ＝___36___．下列各题中，计算正确的是( )．D(A)(－m 3)2(－n 2)3＝m 6n 6 (B)(－m 2n )3(－mn 2)3＝－m 9n 9(C)(－m 2n )2(－mn 2)3＝－m 9n 8 (D)［(－m 3)2(－n 2)3]3＝－m 18n 18若x ＝2m ＋1，y ＝3＋4m ；(1)请用含x 的代数式表示y ； y=422+-x x(2)如果x ＝4，求此时y 的值． 12测试5 整式的乘法(二)要使x (x ＋a )＋3x －2b ＝x 2＋5x ＋4成立，则a ，b 的值分别是( C )．(A)a ＝－2，b ＝－2 (B)a ＝2，b ＝2(C)a ＝2，b ＝－2 (D)a ＝－2，b ＝2通过对代数式进行适当变化求出代数式的值(1)若x ＋5y ＝6，求x 2＋5xy ＋30y ；36(2)若m 2＋m －1＝0，求m 3＋2m 2＋2009；2010(3)若2x ＋y ＝0，求4x 3＋2xy (x ＋y )＋y 3．测试6 整式的乘法(三)在(x 2＋ax ＋b )(2x 2－3x －1)的积中，x 3项的系数是－5，x 2项的系数是－6，求a 、b ．-1，-4已知(x 2＋px ＋8)(x 2－3x ＋q )的展开式中不含x 2和x 3项，求p 、q 的值． 3, 123．回答下列问题：(1)计算：①(x ＋2)(x ＋3)＝________；②(x ＋3)(x ＋7)＝______；③(a ＋7)(a －10)＝_______；④(x －5)(x －6)＝______．(2)由(1)的结果，直接写出下列计算的结果：①(x ＋1)(x ＋3)＝______； ②(x －2)(x －3)＝______；③(x ＋2)(x －5)＝______； ④)31)(21(+-m m ＝______． (3)总结公式：(x ＋a )(x ＋b )＝____________．(4)已知a ，b ，m 均为整数，且(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋mx ＋36，求m 的所有可能值． 10种可能24．计算：(x －1)(x ＋1)＝____12-x _____；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝____13-x ______；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝_____14-x _____；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝____15-x ______；……猜想：(x －1)(x n ＋x n －1＋x n －2＋…＋x 2＋x ＋1)＝_______11-+n x __．。
七年级数学拓展第三讲整式的乘法讲义
第三讲整式的乘法整式的乘法1.乘方知识回顾求多个相同因数的乘积的运算，叫做乘方。
一般地将乘方写做a n ，读作a 的n 次方，也读作a 的n 次幂，其中a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果叫做幂和数字的乘方运算类似，字母的乘方运算也遵循以下法则（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即m n m n a a a+⋅=（2）乘积的幂，等于各因数的幂的乘积，即()n n n a b a b⋅=⋅（3）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()n m mna a =（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即()m n m n a a am n -÷=>（5）任何不为0的数的0次幂都是“1”，即a 0=1一般的，我们不用特意强调字母a 、b 的取值范围，但是我们默认它们要使得整个式子有意义，例如上面的（4）、（5）中，都要求a ≠0在整式的乘法运算中，我们主要会用到上面的（1）、（2）、（3）2.单项式乘以单项式（1）系数相乘作为积的系数；（2）相同字母的因式相乘，应用同底数幂的运算法则底数不变，指数相加；（3）只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一项例如：()()()3232525(25)10x x y x x y x y⨯=⨯⨯⋅⨯=注意：单项式与单项式的乘积仍然是单项式3.单项式乘以多项式利用乘法分配律，用单项式分别去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式相乘的形式，再把得到的所有乘积相加例如：()()()2323253235232(5)610a a ab a a a ab a a b ⎡⎤⨯-=⋅+⋅-=-⎣⎦4.多项式乘以多项式先把其中一个多项式看作整体，用它去乘另一个多项式的每一项，利用分配律拆开括号。
此时括号由两个减少为一个。
再利用单项式乘以多项式的方法，将所有括号拆开，最后将所有项加起来例如：注意：把所有括号展开后，最后一定要记得合并同类项例1.计算：()()54232233232224(1)(2)3()3(3)(4)m n m n a a x xy z ⋅⨯⨯-⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()232222432322322(1)371(2)2(3)354(4)332ax a xy mn mnx a b a bc ac a b ab a b ⋅---⋅-⋅--⋅-⋅-例3.计算：()()()232222(1)(4)3211(2)8742(3)()25(4)7834xy x xy x x x x y xy a ab b b a b +-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+⎛⎫--++- ⎪⎝⎭()()()()22222222(1)(31)(2)(2)(2)35(3)2(32)(54)1(4)4(32)2(5)2326(6)(232)23x y a b a b x y x y m n n m n x y z x y z bc ab ac a b c ++--+-⎛⎫++ ⎪⎝⎭++-+++-+例5.计算：(1) (x+2)(y+2)(z+2)(2) (x+1)(y+1)(z+1)(3) (x+7)(y+2)(1-x+xy)(4) (3x+2)(6y+5)(2z+1)一元整式的乘法关于一元整式（只含有一个字母）的乘法，我们可以运用列竖式来运算。
七年级数学整式的乘法教师讲义带答案
第2章：整式的乘除与因式分解一、基础知识1.同底数幂的乘法：m n m n=,m,n都是正整数,即同底数幂相乘,底数不变,a a a+指数相加;2.幂的乘方：()m n mn=,m,n都是正整数,即幂的乘方,底数不变,指数相乘;a a3.积的乘方：()n n n=,n为正整数,即积的乘方,等于把积的每一个因式分别ab a b乘方,再把所得的幂相乘;4.整式的乘法：1单项式的乘法法则：一般地,单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式．2单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加．可用下式表示：ma+b+c=ma+mb+mca、b、c都表示单项式3多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加．5.乘法公式：1平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”,即用字母表示为：a+ba－b=a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积,并且这两个二项式中有一项是完全相同的,另一项则是互为相反数,右边是乘式中两项的平方差.2完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和或差的平方,等于第一数的平方加上或减去第一数与第二数乘积的2倍,加上第二数的平方”,即用字母表示为：a+b2=a2+2ab+b2；a－b2=a2－2ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项,首末两项是平方项,且符号相同,中间项是2ab,且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中,字母a、b都具有广泛意义,它们既可以分别取具体的数,也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如3x+y－22＝3x+y2－2×3x+y×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4,或者3x+y－22＝3x2+2×3x y－2+ y－22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a,2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a,y －2看成是b.3添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号,括到括号里的各项都变号;乘法公式的几种常见的恒等变形有：1．a 2+b 2＝a +b 2－2ab ＝a －b 2+2ab .2．ab ＝21a +b 2－a 2+b 2＝41a +b 2－a －b 2＝2222⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a . 3．a +b 2+a －b 2＝2a 2+2b 2.4．a +b +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca .利用上述的恒等变形,我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题,并且还会收到事半功倍的效果.6.整式的除法：m n m n a a a -÷=,0a ≠,m,n 都是正整数,并且m n >,即同底数幂相除,底数不变,指数相减;101(0)a a =≠,任何不等于0的数的0次幂都等于1.2单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;3多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加;7.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这就叫做把这个多项式因式分解,也可称为将这个多项式分解因式,它与整式乘法互为逆运算;8．常用的因式分解方法：1提公因式法：把ma mb mc ++,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法;i 多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式;ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂;2公式法：1常用公式 平 方 差： )b a )(b a (b a 22-+=-完全平方： 222)b a (b 2ab a ±=+±2常见的两个二项式幂的变号规律：①22()()n n a b b a -=-；②2121()()n n a b b a ---=--．n 为正整数 3十字相乘法ⅰ 二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中,如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积,并且b a +等于一次项系数中p ,那么它就可以分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ⅱ 二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中,如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积,把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积,并且1221c a c a +等于一次项系数b ,那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++;4分组分解法ⅰ 定义：分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如22a b a b -+-没有公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组;再提公因式,即可达到分解因式的目的;例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++,这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法;ⅱ 原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解;ⅲ 有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可;二、经典例题第一部分 整式的乘除例1例题下列运算正确的是A. a 5+a 5=a 10B. a 5 ·a 5 = a 10 C ．a 4·a 5=a 20 D ．a 45=a 9思路点拨选支A 是整式的加法运算,合并得2a 5；选支B 正确；选支C 为同底数幂运算应指数相加,而不是相乘,故为a 4·a 5=a 9 ；选支D 为幂的乘方运算,应底数不变,指数相乘,为a 45=a 20．解析本题应选Ｂ．规律总结同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础,一定要学好,学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象,有层次的进行概括抽象,归纳原理． 例2下列运算正确的是A.－x 2x 3 =x 6B. 325()()x x x -⋅-=C ．2222)2(4x x x =-D ．6328)2(x x =思路点拨选支A 错在把指数相乘,实际应相加－x 2∙x 3=x 2·x 3=x 5；选支B 错在符号不对,负的偶次幂为正,负的奇次幂为负,32()()x x -⋅-=32x x -⋅=5x -；选支C 中积的乘方运算出现漏乘项错误,224(2)x x -=22242x x -=22440x x -=；选支D 运算正确． 解析本题应选Ｄ．规律总结幂的乘方与积的乘方,是学习整式乘法的基础．导出幂的乘方的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质．同学们要真正理解幂的乘方法的性质,这样才不致混淆性质而运算出错．例3下列运算在正确的是A. 55102x x x +=B. 358()()x x x --⋅-=-C. 2333(2)424x y x x y --⋅=-D. 22111(3)(3)9224x y x y x y -⋅-+=- 答案 B错因透视对整式运算法则理解不深入才会出现错误,5552x x x +=,3(2)8-=-,2111(3)(3)(3)222x y x y x y -⋅-+=-- 例4计算：-2x 2y 2·-3xy思路点拨灵活运用幂的运算性质、乘法交换律等进行运算．解析原式=4x 4y 2·-3xy 据积的乘方=4×-3x 4·xy 2·y 据乘法交换律、结合律=-12x 5y 3据有理数的乘法、同底数幂的乘法规律总结因为单项式是数字与字母的积,所以,幂的运算性质,乘法交换律、结合律,可作为单项式乘法的依据．单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用,如：2a 2b ·- 3ab 2·5abc=2×-3×5·a 2·a ·a ·b ·b 2·b ·c =-30a 4b 4c例512xy 5xy 2+3xy -1 2a 2-2bc ·-2ab 2思路点拨1小题单项式为2xy ,多项式里含三项为：5xy 2、3xy 、-1,乘积仍为三项；2小题应先算-3ab2,再用乘法交换律后的计算方法是相同的．解析1原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·-1=10x2y3+6x2y2-2xy2原式=a2-2bc·4a2b2=4a2b2·a2+4a2b2·-2bc=4a4b2-8a2b3c规律总结在解答单项式与多项式相乘问题时,易犯如下错误：①出现漏乘,而导致缺项；②出现符号错误；③运算顺序出错,造成计算有错．例6计算：13x-2y2a+3b 2x-yx2+xy+y2思路点拨第1题,先用x分别与2a、3b相乘,再用-2y分别与2a、3b相乘,然后把所得的积相加；第2题,可先用二项式x-y中的x分别与三项式中的各项相乘,再用-y 分别与三项式中的各项相乘,然后把所得的积相加．解析1原式=3x·2a+3x·3b+-2y·2a+-2y·3b=6ax+9bx-4ay-6by2原式=x·x2+x·xy+x·y2+-y·x2+-y·xy+-y·y2=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3规律总结1利用多项式乘法法则时,既不要漏乘,又要注意确定各项的符号． 2乘积中有同类项,要合并同类项．例7计算13x2+2y2-3x2+2y3思路点拨仔细观察题目特点,凡两因式中相同项当作公式中的a,另一项必须是互为相反数当作公式中的b方可应用平方差公式,而有的,必须经过变形才能运用平方差公式．解析原式=2y32-3x22=4y6-9x4规律总结公式中的字母可表示具体的数,也可表示单项式或多项式,只要符合平方差公式的结构特征,就可运用．例8化简： 12a+3b2 2-x+2y2 3-m-2n2思路点拨此题可利用完全平方公式计算,第1题是两数和的平方,应选用“和”的完全平方公式,其中2a是公式中的a,3b是公式中的b；第2题-x+2y2=2y-x2=x-2y2所以应选用“差”的完全平方公式简捷；第3题-m-2n2=-m+2n2=m+2n2应选用“和”的完全平方公式简捷．解析12a+3b2=2a2+2．2a．3b+3b2=4a2+12ab+9b22-x+2y2=2y-x2=2y2-2·2y·x+x2=4y2-4xy+x23-m-2n2=-m+2n2=m+2n2=m2+4mn+4n2规律总结1这三题其实都可以用“和”的完全平方公式或“差”的完全平方公式计算,只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程,其中-x+2y 2转化为2y-x2或x-2y2是一个常用技巧．2完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2,展开式可记成“首a平方、尾b平方,首a尾b乘积的2倍加减在中央”．例9计算：1y10÷y3÷y4 2-ab5÷-ab3思路点拨先观察题目,确定运算顺序及可运用的公式,再进行计算．题目2中被除数与除数的底数相同,故可先进行同底数幂的除法,再运用积的乘方的公式将计算进行到最后．解析1y10÷y3÷y4=y10-3-4=y32-ab5÷-ab3=-ab2=a2b2规律总结像2这种题目,一定要计算到最后一步．例10计算：1x n+2÷x n-2 2 x43·x4÷x163用小数或分数表示：5.2×10-3思路点拨1在运用“同底数幂的除法”公式时,指数若是多项式,指数相减一定要打括号．2中先乘方运算再做乘除法；3先将负指数的幂化为小数,再进行乘法运算,得到最后结果．解析1x n+2÷x n-2=x n+2-n-2=x42 x43·x4÷x16=x12·x4÷x16=x12+4-16 =x0=135.2×10-3=5.2×3101=5.2×0.001=0.0052 规律总结这里要特别注意“a m ÷a n =a m -n a ≠0, m , n 均为正整数,并且m >n ”括号内的条件．例11计算：1a 2n +2b 3c ÷2a n b 2；23xy 22·2xy ÷6x 3y 3思路点拨1中被除式的系数是1,可按照单项式相除法则计算;2 是混合运算,先弄清运算顺序,再根据相应的法则进行计算．本题先进行乘方,再自左至右进行乘除法．解析解：1a 2n +2b 3c ÷2a n b 2=1÷2·a 2n +2÷a n ·b 3÷b 2·c =21a n +2bc 23xy 22·2xy ÷6x 3y 3=9x 2y 4·2xy ÷6x 3y 3=18x 3y 5÷6x 3y 3=3y 2规律总结单项式相除,首先分清两工的系数、相同字母、被除式独有的字母,再进行运算,结合演算重述法则,使法则熟悉,并会用它们熟练进行计算． 例12计算：16x 3y 4z -4x 2y 3z +2xy 3÷2xy 3；2x +y 2-x -y 2÷xy思路点拨对于混合运算,先算乘方,再算乘除,最后算加减．有括号的,先算括号里的．解析16x 3y 4z -4x 2y 3z +2xy 3÷2xy 3=6x 3y 4z ÷2xy 3-4x 2y 3z ÷2xy 3+2xy 3÷2xy 3=3x 2yz -2xz +1 这一项易漏2x +y 2-x -y 2÷xy=x 2+2xy +y 2-x 2-2xy +y 2÷xy=4xy ÷xy=4规律总结把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式,在这个转化过程中,要注意符号问题．第二部分：因式分解例1将下列各式分解因式：1332636a a a +-=_______；241_______a -=；322a b a b ---=_______；422421a b b -+-=_______;答案12(6)(3)a a a +-22(1)(1)(1)a a a ++-3()(1)a b a b +--4(21)(21)a b a b +--+错因透视因式分解是中考中的热点内容,有关因式分解的问题应防止出现一下常见错误：①公因式没有全部提出,如332636a a a +-=2(2636)(6)(26)a a a a a a +-=+-；②因式分解不彻底,如4221(1)(1)a a a -=+-；③丢项,如22a b a b ---=()()a b a b +-；④分组不合理,导致分解错误,如22421a b b -+-=22(41)(2)(21)(21)(2)a b b a a b b ---=+---,无法再分解下去; 例2连一连：a 2－1 a ＋1a －1a 2＋6a ＋93a ＋13a －1 a 2－4a ＋4aa －b 9a 2－1a ＋32 a 2－ab a －22思路点拨由于因式分解是整式乘法的逆运算,我们可以先运用整式乘法法则计算出第二列中各整式相乘的结果,看跟第一列中的哪个多项式相等,然后用线连接起来.解析a ＋1a －1＝a 2－1,3a ＋13a －1＝9a 2－1,aa －b ＝a 2－ab,a ＋32＝a 2＋6a ＋9,a －22＝a 2－4a ＋4.规律总结整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形,根据题目的需要,有时多项式要通过因式分解才能转化为几个整式积的形式,有时几个多项式的积要通过整式乘法化成多项式的形式.例3分解因式：15x －5y ＋5z 2239a ab - 3)(4)(22x y b y x a ---思路点拨观察上面的各个多项式,我们可以发现每个多项式的各项都含有公因式,我们可以运用提公因式的方法来做这道题目. 第3小题分解因式的关键是寻找公因式,本题的公因式可以看作2()a x y -,也可以看作2()a y x -解析1原式＝5x －y ＋z2原式＝3(3)a a b -3方法一：原式＝)(4)(22y x b y x a -+-＝]2)()[(2b y x a y x a +--=)2)((2b ay ax y x a +--方法二：原式＝)(4)(22x y b x y a ---＝]2)()[(2b x y a x y a ---＝)2)((2b ax ay x y a ---规律总结运用提公因式分解因式时,找对公因式是关键,提公因式后的各项中不能再含有其它公因式.有些表面没有公因式的多项式,利用其互为相反数的条件,转化为含有公因式的式子来完成因式分解．其一般原则：1首项一般不化成含负号的形式；2对同时含有奇次项和偶次项的多项式,一般将偶次项的底数化成它的相反数的形式,这样可使各项符号不变．例4把下列各式因式分解：122254n m +- 222)(121)(169b a b a --+思路点拨此题中两项都可以表示成平方的形式,多项式是二项式且前面的符号相反,应考虑用平方差公式来分解解析122254n m +-=])5()2[22n m --（=)52)(52n m n m -+-（222)(121)(169b a b a --+=22)](11[)]13[b a b a --+（ =)](11)13[b a b a -++（)](11)13[b a b a --+（=24a + 2b2a + 24b=412a + ba + 12b规律总结第2小题中的24a + 2b2a + 24b,将括号内提取公因式“2”后,应把两个2相乘,而不要当成提公因式,误写成212a + ba + 12b ．例5把下列各式分解因式：1229124b ab a ++ 222)2(8)216n n m n n m ++-+（ 思路点拨此题中多项式的各项没有公因式且都是三项式,应考虑用完全平方公式．解析1229124b ab a ++= 2233222）（）（b b a a +⨯⨯+= 232）（b a +222)2(8)216n n m n n m ++-+（ = 22)2(42)]24[n n m n n m ++⨯⨯-+（= 2])]24[n n m -+（= 8m + 3n 2规律总结第2小题中的2m ＋n 应看作一个整体,而不要利用整式乘法进行计算,否则分解比较困难,多项式各项没有公因式且是三项式,应考虑用完全平方公式．例6因式分解：12222216)4(y x y x -+ 24)1(4)1(222++-+a a思路点拨只要1把224y x +和xy 4,2)1(2+a 把看作整体就不难套用平方差公式和完全平方公式来分解这个多项式的第一步,但本题中的两小题都能继续因式分解,因此要特别注意分解要彻底．解析12222216)4(y x y x -+=2222)4()4(xy y x -+=2222)4()4(xy y x -+=)44)(44(2222xy y x xy y x -+++=2)2(y x +2)2(y x -24)1(4)1(222++-+a a=22)21(-+a=22)1(-a==22)1()1(-+a a规律总结因式分解是否分解结束的标志是看分解后的各因式时候还含有可继续因式分解的多项式;中考考点解读：整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面： 考点1、幂的有关运算例1．2014年湘西在下列运算中,计算正确的是A 326a a a ⋅=B 235()a a = C 824a a a ÷= D 2224()ab a b = 分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.幂的运算是整式乘除运算的基础,准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则.解：根据同底数幂的乘法运算法则知52323a aa a ==⋅+,所以A 错；根据幂的乘方运算法则知63232)(a a a ==⨯,所以B 错；根据同底数幂的除法法则知62828a a a a ==÷-,所以C 错；故选D.例2.2014年齐齐哈尔已知102m =,103n =,则3210m n +=____________．分析:本题主要考查幂的运算性质的灵活应用,可先逆用同底数幂的乘法法则m n m n a a a +⋅=,将指数相加化为幂相乘的形式, 再逆用幂的乘方的法则()m n mn a a =,将指数相乘转化为幂的乘方的形式,然后代入求值即可.解： 3210m n +=3232321010(10)102372m n m n ⨯=⨯=⨯=（）. 考点2、整式的乘法运算例3．2014年贺州计算：31(2)(1)4a a -⋅- = ． 分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算.计算时,按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.解：)141()2(3-⋅-a a ＝1)2(41)2(3⋅--⋅-a a a ＝a a 2214+-. 考点3、乘法公式例4. 2014年山西省计算：()()()2312x x x +---分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算,然后合并同类项.解： ()()()2312x x x +---=2269(22)x x x x x ++---+ =226922x x x x x ++-++-=97x +.例5. 2014年宁夏已知：32a b +=,1ab =,化简(2)(2)a b --的结果是 ． 分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形,使其出现a b +与ab ,以便求值.解：(2)(2)a b --=422+--b a ab =4)(2++-b a ab =242321=+⨯-. 考点4、利用整式运算求代数式的值 例6．2014年长沙先化简,再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-,其中133a b ==-，． 分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用.解：22()()()2a b a b a b a +-++-2222222a b a ab b a =-+++- 2ab =当3a =,13b =-时,12233ab ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2=-.考点5、整式的除法运算例7. 2014年厦门计算：2x －y 2x ＋y ＋yy －6x ÷2x分析:本题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算.解：2x －y 2x ＋y ＋yy －6x ÷2x＝4x 2－y 2＋y 2－6xy ÷2x＝4x 2－6xy ÷2x＝2x －3y .考点6、定义新运算例8.2014年定西在实数范围内定义运算“⊕”,其法则为：22a b a b ⊕=-,求方程4⊕3⊕24x =的解．分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则,观察已知的等式22a b a b ⊕=-可知,在本题中“⊕”定义的是平方差运算,即用“⊕”前边的数的平方减去 “⊕”后边的数的平方.解：∵ 22a b a b ⊕=- , ∴ 2222(43)(43)77x x x x ⊕⊕=-⊕=⊕=-． ∴ 22724x -=． ∴ 225x =．∴ 5x =±．考点7、乘法公式例312014年白银市 当31x y ==、时,代数式2()()x y x y y +-+的值是 ． 22014年十堰市 已知：a+b=3,ab=2,求a 2+b 2的值.解析：问题1主要是对乘法的平方差公式的考查.原式=x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.问题2考查了完全平方公式的变形应用,∵2222)(b ab a b a ++=+,∴52232)(2222=⨯-=-+=+ab b a b a .说明：乘法公式应用极为广泛,理解公式的本质,把握公式的特征,熟练灵活地使用乘法公式,可以使运算变得简单快捷,事半功倍.考点8、因式分解例412014年本溪市 分解因式：29xy x -= ．22014年锦州市 分解因式：a 2b-2ab 2+b 3=____________________.解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式,就先提公因式,然后观察剩下因式的特征,如果剩下的因式是二项式,则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式,则尝试运用完全平方公式继续分解.129xy x -= x y 2-9= (3)(3)x y y +-． 2a 2b-2ab 2+b 3= ba 2-2ab +b 2 =ba-b 2．说明：分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.。
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/ 14 【规律总结】公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合平方差公式的结构特征，就可运用． 【例8】化简： (1)(2a+3b)2 (2)(-x+2y)2 (3)(-m-2n)2 【思路点拨】此题可利用完全平方公式计算，第（1）题是两数和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中2a是公式中的a，3b是公式中的b；第(2)题(-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2所以应选用“差”的完全平方公式简捷；第(3)题(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2应选用“和”的完全平方公式简捷． 【解析】(1)(2a+3b)2=(2a)2+2．2a．3b+(3b)2 =4a2+12ab+9b2 (2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2·2y·x+x2 =4y2-4xy+x2 (3)(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2=m2+4mn+4n2 【规律总结】（1）这三题其实都可以用“和”的完全平方公式（或“差”的完全平方公式）计算，只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程，其中(-x+2y) 2转化为(2y-x)2或(x-2y)2是一个常用技巧． （2）完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，展开式可记成“首(a)平方、尾(b)平方，首(a)尾(b)乘积的2倍加减在中央”． 【例9】计算：(1)y10÷y3÷y4 (2)(-ab)5÷(-ab)3 【思路点拨】先观察题目，确定运算顺序及可运用的公式，再进行计算．题目（2）中被除数与除数的底数相同，故可先进行同底数幂的除法，再运用积的乘方的公式将计算进行到最后． 【解析】(1)y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3 (2)(-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2 【规律总结】像（2）这种题目，一定要计算到最后一步． 【例10】计算：(1)xn+2÷xn-2 (2) (x4)3·x4÷x16 （3）用小数或分数表示：5.2×10-3 【思路点拨】（1）在运用“同底数幂的除法”公式时，指数若是多项式，指数相减一定要打括号．(2)中先乘方运算再做乘除法；（3）先将负指数的幂化为小数，再进行乘法运算，得到最后结果．
/ 14 第2章：整式的乘除与因式分解 一、基础知识 1.同底数幂的乘法：mnmnaaag，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2.幂的乘方：()mnmnaa，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 3.积的乘方：()nnnabab，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 4.整式的乘法： （1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式) （3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 5.乘法公式： （1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差. （2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x (y－2)+ (y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.
/ 14 （3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。 乘法公式的几种常见的恒等变形有： （1）．a2+b2＝(a+b)2－2ab＝(a－b)2+2ab. （2）．ab＝21［(a+b)2－（a2+b2）］＝41［(a+b)2－(a－b)2］＝2222baba. （3）．(a+b)2+(a－b)2＝2a2+2b2. （4）．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca. 利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果. 6.整式的除法：mnmnaaa，（0a，m，n都是正整数，并且mn），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 （1）01(0)aa，任何不等于0的数的0次幂都等于1. （2）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 （3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 7.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 8．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式()abc是mambmc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。 i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： （1）常用公式 平 方 差： )ba)(ba(ba22 完全平方： 222)ba(b2aba （2）常见的两个二项式幂的变号规律： ①22()()nnabba；②2121()()nnabba．（n为正整数）
/ 14 （3）十字相乘法 ⅰ 二次项系数为1的二次三项式qpxx2中，如果能把常数项q分解成两பைடு நூலகம்因式ba,的积，并且ba等于一次项系数中p，那么它就可以分解成 bxaxabxbaxqpxx22 ⅱ 二次项系数不为1的二次三项式cbxax2中，如果能把二次项系数a分解成两个因数21,aa的积，把常数项c分解成两个因数21,cc的积，并且1221caca等于一次项系数b，那么它就可以分解成：2112212212ccxcacaxaacbxax221cxaaxa。 （4）分组分解法 ⅰ 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22abab没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如： 22abab=22()()()()()()(1)ababababababab， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ⅱ 原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 ⅲ 有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。 二、经典例题 第一部分 整式的乘除 【例1】例题下列运算正确的是（ ） A. a5+a5=a10 B. a5 ·a5 = a10 C．a4·a5=a20 D．（a4）5=a9 【思路点拨】选支A是整式的加法运算，合并得2a5；选支B正确；选支C为同底数幂运算应指数相加，而不是相乘，故为a4·a5=a9 ；选支D为幂的乘方运算，应底数不变，指数相乘，为（a4）5=a20． 【解析】本题应选Ｂ． 【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好，学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象，有层次的进行概括抽象，归纳原理． 【例2】下列运算正确的是（ ）