八年级数学上 等腰梯形的轴对称性

一. 教学内容：

等腰梯形的轴对称性

［目标］

探索等腰梯形的轴对称性及其相关性质。

二. 重、难点：

等腰梯形及其性质和四边形是等腰梯形的条件。

三. 知识要点：

1. 梯形

平面中，有一组对边平行且不相等的四边形是梯形。梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。

如：在梯形EBCD中，ED∥BC，EB、CD叫梯形的腰，ED、BC叫梯形的两底，∠EBC、∠DCB、∠BED、∠CDE叫梯形的底角。

☆边与角满足什么条件的四边形为梯形。

①只有一组对边平行的四边形为梯形

②只有一组邻角互补的四边形为梯形

2. 等腰梯形

（a）定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

（b）等腰梯形是轴对称图形，过两底的中点的直线是它的对称轴。

（c）等腰梯形的性质：

①等腰梯形的对角线相等；

②等腰梯形在同一底上的两个角相等。

③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。（判定定理）

【典型例题】

例1. 如图，有九个点在平面上形成3×3的方阵，以这些点为顶点的等腰梯形有（）（A）0个（B）2个（C）4个（D）8个

分析：只能以最长的对角线作为等腰梯形的底边。一共有2条这样长的对角线，而每条对角线可组成2个等腰梯形。所以共有4个。

答：C

例2. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC ，则梯形ABCD_________（填“是”或“不是”）等腰梯形。

分析：分别作AG ⊥BC 于G ，DH ⊥BC 于H ；

由已知易证△ABG ≌△DCH ，∴ AB ＝DC ，∴梯形ABCD 是等腰梯形。 答：是

例3. （1）等腰梯形上底的长与腰长相等，而一条对角线与一腰垂直，则梯形上底角的度数是____________。

（2）已知等腰梯形的一个底角等于60° ，它的两底分别为13cm 和37cm ，它的周长为___________。

（3）如图在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝ AD ，BD ＝ BC ，求∠C 的度数。

解：（1）设上底与对角线的夹角为x ，则 上底角＝

90+x ＝

180－2x

解得：x ＝

30

∴上底角的度数是

90+x ＝

120

（2）延长两腰BA 、CD 交于一点O ，

∵底角B ＝

60

∴△ADO 和△BCO 都为等边三角形

∴AO ＝上底AD ＝13cm ； BO ＝下底BC ＝37cm ；

∴腰AB ＝BO －AO ＝24 cm ，∴周长＝13+37+24+24＝98cm 。 （3）设∠C ＝x ，

∵BD ＝ BC ，∴∠C ＝∠BDC ＝x ，∴∠DBC ＝

180－2x ∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC

∵AB ＝ AD ，∴∠ADB ＝∠ABD ＝

180－2x ，∴∠A ＝

180－2（

180－2x ）

又∵∠A 与∠C 互补，∴

180－2（

180－2x ）＝

180－x

解得：x ＝ 72 即∠C ＝

72

例 4. 如图，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，延长CB 到E ，使AD BE =，若同时有

ACE E ∠=∠，则梯形ABCD 是等腰梯形吗?为什么?

解：∵ACE E ∠=∠， ∴ACE ∆为等腰三角形。 ∴AC AE =，又BC ∥AD ∴DAC ACE ∠=∠（内错角相等） ∴DAC E ∠=∠，又AD BE = ∴AEB ∆≌ACD ∆

∴CD AB =，∴梯形ABCD 是等腰梯形。

例 5. 如图，四边形ABCD 是等腰梯形，BC ∥AD ，DC AB =，cm AD BC 42==，

CD BD ⊥，AB AC ⊥，BC 边的中点为E 。

（1） 判断ADE ∆的形状（简述理由），并求其周长。

（2） 求AB 的长。

（3） DE AC 与是否互相垂直平分?说出你的理由。

解：（1）∵CD BD ⊥，E 为BC 边的中点,

∴在BCD Rt ∆中，DE 为斜边BC 上的中线

∴BC DE 21=

；同理可得BC AE 21= 又∵cm

BC AD 224

21===，

∴ADE ∆为等边三角形。周长cm C ADE 623=⨯=∆。 （2）易证o

DEC AED AEB 60=∠=∠=∠ 又∵

BE BC AE ==

21

∴ABE ∆为等边三角形， ∴cm AE AB 2==

（3）是互相垂直平分。∵DA CD EC AE ===且EC ∥DA

∴四边形AECD 是菱形，∴DE AC 、相互垂直平分（菱形对角线垂直且互相平分） 例6. 如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，AC ⊥BD ，CH 是高，MN 是中位线。

求证：MN ＝CH 。

证明：过点C 作CE ∥BD 交AB 延长线于E ，则四边形BDCE 是平行四边形。

∴BE ＝CD ，CE ＝BD

∵四边形ABCD 是等腰梯形 ∴AC ＝BD ，即AC ＝EC 又∵AC ⊥BD

∴AC ⊥CE ，△ACE 是等腰直角三角形。 ∴

)(21

21BE AB AE CH +==

，