初等数学研究 几何部分 第二章 几何量的计算(蝴蝶定理 斯特瓦尔特定理等)

推广 在圆内接四边形 ABCD的边长分别为 a,b,c, d ，
则 S ( p a)( p b)( p c)( p d)
其中 p a b c d . 2
证 如图2-1-5所示，连结 BD，记 BAD ，则
S 1 ad sin A 1 bc sin C 1 (ad bc)sin
即OP2 BQ DQ OQ2 AP CP
1，于是
OP2 OQ2
QF QE PE PF
1．
记 OE a ，OP x，OQ y ，
则有 x2 y2
a2 a2
y2 x2
1，即 x2a2
x2 y2
y2a2
x2 y2，
进而x2a2 y2a2，即 x2 y2 ，故 x y，即OP OQ ．
∴ S 2 ( p a)( p b)( p c)( p d )，即 S （p - d）( p a)( p b)( p c．)
§2.2 斯特瓦尔特定理及其应用
问题 已知 ABC中，角A, B,C所对的边依次为 a,b, c ，
如何计算该三角形相应的线段长度：
⑴ 高；⑵ 中线；⑶ 角平分线（内、外角）．
为
a 边上的高，则
SABC
1 2
aha
1 2
absin C
；
2．等底等高的两个三角形面积相等；
3．两等底三角形的面积比等于底边上对应高的比；
4．等高的两个三角形的面积比等于它们底边的比；
5．共顶点的两个三角形面积之比： SOAB
如图2-1-1所示，
SOCD
OA OB OC OD
6．共边三角形面积之比：
BC
BC
注 以上推导就 D 在线段 BC之内而言，其实 D可以为直线
BC 上任意一点，只是此时BD、DC 皆指有向线段的代数值
（带有正、负号的长）．
二、应用
1．中线公式
例1 已知 ABC 三边为 a,b, c,三边上的中线分别为
ma , mb , mc 计算 ma , mb , mc． 解 如图2-2-2所示，∵ ma2
CE BC BD. 显然 ABC 不是等腰三角形，但 B、C
处的外角平分线相等．
另一方面，∵ BE∥ DF且 BE DF ∴四边形 EBDF为平行四边形， ∴ BD EF，1 7，∴ ECF EFC， ∴ EC EF，即 EC BD，
与题设矛盾，故 AB AC．
3．外角平分线公式
例4 ABC 三边依次为 a,b, c ，三外角平分线分别为 ta,tb,tc ， 求 ta , tb , tc ．
2
2
2
即4S 2(ad bc)sin ①
又∵ BD2 a2 d 2 2ad cos c2 d 2 2cd cos，
∴ a2 d 2 b2 c2 2(ad bc) cos②
①2＋②2，即16S 2 (a2 d 2 b2 c2 )2 4(ad bc)2
16S 2 [2(ad bc) (a2 d 2 b2 c2 )][2(ad bc) (a2 d 2 b2 c2 )] [(a d )2 (b c)2 ][(a d )2 (b c)2 ] (a d b c)(a d b c)(b c a d)(b c a d) (2 p 2c)(2 p 2b)(2 p 2d)(2 p 2a)
∴ ta2tb2tc2 a2b2c2 ，即 tatbtc abc．
证法二 如图2-2-4所示，延长 AD 交外接圆ABC 于点 E，连结 EC，则 B E．
又∵BAD EAC，∴ BAD∽EAC， ∴ AB AD ，∴ AD AE AB AC．
AE AC
∵ AE AD DE，∴ AD2 AD DE AB A，C ∴ AD2 AB AC ，即 ta2 bc．下同证法一．
48
48
例3 ABC三边为 a,b, c ，三内角平分线分别为 ta ,tb ,tc， 求ta ,tb ,tc ．
解 如图2-2-6所示，∵ AD平分 BAC，
∴ BD AB c， DC AD b
∴
BD
ca ， bc
DC
ba bc
，
代入（＊）得ta2
c2b bc
b2c bc
a2bc (b c)2
bc
a2bc (b c)2
，
1
∴
ta
bc
bc[(b c)2 a2 ]
同理
tb
1 c1
a
ca(c a b)(c a b)
，
tc a b ab(a b c)(a b c) .
推论 若 ta tb，则 a b．
证 ∵ ta tb，
∴ 1 bc(b c a)(b c a) 1 ca(c a b)(c a b，)
(a b)[a(b c)2 b(c a)2 ] c[ab(b a) c2(a b)] (a b)[a(b c)2 b(c a)2 c(c2 ab)]
(a b)(b2a c2a a2b c2b c3 3abc)
∵ b2a c2a a2b c2b c3 3abc 0，∴ a b ，0 即 a ．b
三角形高公式
∵
S
1 2
aha，
∴
ha
2S a
2 a
p( p a)( p b)( p c) 同理可得
2
2
hb b p( p a)( p b)( p c)，hc c p( p a)(．p b)( p c)
一、意义和推导
定理1（斯特瓦尔特定理） ABC 中，自顶点 A 任引一直线
交BC于点D，则
例2 如图2-2-5所示，ABC 中，C 3A，BC 27，AB 48， 求 AC ．
解 记 DCA ，则 A 3A，即 A ，
∴ CD2 AD BD AC2 BD BC2 AD，
AB
AB
即 212 21 27 AC2 27 272 21 ，
∴ AC 35．
(c
bc b)2
(a
b
c)(a
c
b)
其中，除外，其他皆为正数，故不论、谁大，皆有
ta
|
b
1
c
|
bc(a b c)(a c b)
，
同理
tb
|
c
1
a
|
ca(b c a)(b a c)
；
1 tc | a b |
ab(c a b)(c b a) ．
史坦纳—莱默斯定理推广 三角形外角平分线相等，且第 三角为最大角或最小角，则此三角形为等腰三角形．
证法二（综合法）
作 A与 A 关于 l 轴对称，其中 l EF于O ， 则 OA OA，EOA FOA， AA∥ EF， ∴ 6 7，5 ，7 ∴ 5 ．6
又∵ B、D、A、A四点共圆， ∴ 4 6，∴ 4 5， ∴ O、Q、D、 A四 点共圆， ∴ 2 3， 又∵ 1 3， ∴ 1 2， ∵ OA OA，EOA FOA， ∴ POA QOA ，
c2
b2 2
a2 4
即
ma
1 2
2(c2 b2 ) a2
同理
mb
1 2
2(a2 c2 ) b2
mc
1 2
2(a2 b2 ) c2
推论 若 ma mb ，则 a b．
2．内角平分线公式
例2 已知中，ABC为的平分线，求证 ： AD2 AB AC BD DC． 证 如图2-2-3所示∵ BD AB，
AD2 AB2 DC AC2 BD BD DC ． （＊）
BC
BC
证 ∵ AB2 AD2 BD2 2AD BD cos， AC2 AD2 CD2 2AD CD cos，
∴ AB2 CD AC2 BD AD2 BC BD CD BC，
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即 AD2 AB2 DC AC2 BD BD DC．
DC AC ∴ DC AC ， BD AB ，代入（＊），
BC AB AC BC AB AC
得AD2 AB AC (AB AC) BD DC AB AC
AB AC BD DC
推论 ABC 三边长为 a,b, c ，三内角平分线分别为 ta ,tb ,tc ， 则 tatbtc abc． 证法一 ∵ ta2 c b BD DC bc，同理 tb2 c，a tc2 ab，
注 该推论可描述为“两内角平分线相等的三角形是等腰三
角形”，由莱默斯（Lehmus）于1840年提出，现被称为“史
坦纳—莱默斯定理”．
链接 用反证法证明史坦纳—莱默斯定理
已知 如图2-2-7所示，ABC 中，BD、CE分别为 ABC、 ACB 平分线，且 BD CE ． 求证 AB AC ．
证 假设，不妨设 AB AC ，则一方面C B ， ∴ 3 1， 4 2，∴ BE DC， 现平 BE 移至 DF ，则 DF CD，∴ 5 6 ．
注 若三角形外角平分线相等，则此三角形不一定为等腰
三角形．
反例 如图2-2-9所示，作ABC ，使 A 36o，B 12o ， C 132o，再分别作 B、C处的外角平 分线 BD、CE，则 BCD 180o 132o 48o， D 180o 84o 48o 48o，故 BD BC， 又因为 E 36o 24o 12o B，故
第2章 几何量的计算
主要内容： 1．蝴蝶定理； 2．斯特瓦尔特（Stewart）定理（包括有关三角形中高、中 线、角平分线长公式）； 3．三角形面积的海伦公式及其推广； 4．用直接计算法证明史坦纳—莱默斯（Stener-lehmus）定 理．
§2.1 面积计算
一、面积法
1．设在 ABC中，角 A, B,C 所对的边依次为 a,b, c，又 ha
分析 因交点在线段之外，注意有向线段的方向，可仿照内角
平分线的推导而求之．
解 假定 c b ，如图2-2-8所示，A 的外角平分线交 BC 的
延长线于 D，则有 BD c ， DC b
∴
BD BC
c
c
，
b
DC BC
b ． cb
故
ta2
c b2 cb
b c2 cb
bc (c b)2
a2
bc [a2 (c b)2 ] (c b)2
∴ OP OQ ．
二、海伦公式及其推广
公式（海伦公式） 在ABC中，角 A, B,C 所对的边依 次为 a,b, c，则
S p( p a)( p b)( p c) ， 其中 p a b c .
2 证 由S 1 ab sin C，得 4S 2absinC ① 由c2 a2 2b2 2ab cosC ，得 a2 b2 c2 2ab cosC ② 由①2＋②2，得 16S 2 (a2 b2 c2 )2 4a2b2， 化简得 S p( p a)( p b)( p c) ．
如图2-1-2所示，SABC AE SDBC ED .
例（蝴蝶定理） 如图2-1-3所示，设 O 为 EF弦的中点，
现过 O 任作二弦 AB、CD ，记 P、Q 为 EF 依次与 CA、 BD的交点，求证 OP OQ ．
证法一（面积法） 如图2-1-3， ∵ S1 S2 S3 S4 1， S2 S3 S4 S1 ∴ OB BQ OC OP DQ OD OP OA 1， OC CP OD OQ OA AP OB OQ
bc
ca
∴ (c a)2b(b c a) (b c)2 a(c a b，) [思路：析出因子 (a b])
0 (a b)[a(b c)2 b(c a)2 ] ca(b c)2 cb(c a)2
(a b)[a(b c)2 b(c a)2 ] c[a(b2 c2 2bc) b(a2 c2 2ac)]