第七章第二节
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一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
第二节
典 例 探 究 · 提 知 能
空间几何体的表面积与体积
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
(见学生用书第128页) 考纲传真 了解球、棱柱、棱锥、台体的表面 积和体积的计算公式(不要求记忆公式).
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
【解析】
由三棱柱的正视图可知此三棱柱为底面边长为2，侧
棱长为1的正三棱柱，∴S侧＝2×1×3＝6.
【答案】 D
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
2．求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体 法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方 法．
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
若将例题题设改为“一个容器的外形是一个棱长 为 2 的正方体， 其三视图如图 7－2－5 所示”， 则容器的容积为( )
典 例 探 究 · 提 知 能
母线长 l) 圆台(上、下底面半 径 r，母线长 l) 球(半径为 R)
π(r1＋r2)l
πr(l＋r)
课 时 知 能 训 练
π(r1＋r2)l＋π(r2＋r2) 1 2
4πR2
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
2.空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh. 1 (2)V 锥体＝ Sh. 3
【解析】 依题意棱锥 O—ABCD 的四条侧棱长相等且均为球 O 的半径，如图连结 AC，取 AC 中点 O′，连结 OO′. 易知 AC＝ AB2＋BC2＝4 3，则 AO′＝2 3， 在 Rt△OAO′中，OA＝4，从而 OO′＝ 42－12＝2. 1 所以 VO—ABCD＝ ×2×6×2 3＝8 3. 3 【答案】 8 3
自 主 落 实 · 固 基 础
1．本题常见的错误是求错侧面积，从而错选 C 或 D，或不能由 三视图分析出四棱锥的特征，盲目求解． 2．解这类问题应注意两点：(1)由三视图准确得到几何体的直观
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
图；(2)求空间几何体的表面积一般是求出各面的面积后相加．
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自 主 落 实 · 固 基 础
图 7－2－1 3．(2012· 淮北调研)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如 图 7－2－1 所示，则其侧面积等于( ．．． )
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
A. 3 C．2 3
B．2 D．6
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自 主 落 实 · 固 基 础
4．(2011· 湖南高考)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为( )
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
图 7－2－2 A．9π＋42 9 C. π＋12 2 B．36π＋18 9 D. π＋18 2
典 例 探 究 · 提 知 能
【答案】 D
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菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
2 2．母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的面积是 π，则该圆锥的体 3 积为( A. ) 2 2 π 81 8 4 5 B. π C. π 81 81 10 D. π 81
典 例 探 究 · 提 知 能
图 7－2－3 A．32 C．48
菜 单
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B．16＋16 2 D．16＋32 2
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
【思路点拨】
自 主 落 实 · 固 基 础 高 考 体 验 · 明 考 情
【尝试解答】 由三视图知，四棱锥是底面边长为 4，高为 2 的 正四棱锥 P—ABCD(如图)，
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
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菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
1．旋转体的表(侧)面积 名称 圆柱(底面半径 r， 母线长 l) 圆锥(底面半径 r， 侧面积 2πrl
πrl
表面积
2πr(l＋r)
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菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
1．(教材改编题)一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的
边长为a，则球的表面积为(
A．4πa2 B．3πa2
)
C．2πa2 D．πa2
高 考 体 验 · 明 考 情
a a2 【解析】 易知球的半径为 .∴S 表＝4π·( ) ＝πa2. 2 2
【尝试解答】 如图，设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r.
高 考 体 验 · 明 考 情
3 由题意得 πr ＝ ×4πR2. 16
2
典 例 探 究 · 提 知 能
3 2 ∴r ＝ R ， 4
2
根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心 O， 且两圆锥的顶 点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，且 AB⊥O1C. 1 ∴OO1＝ R2－r2＝ R， 2
【提示】
圆锥的侧面展开图是扇形，半径为圆锥的母线长，弧
长为圆锥底面圆的周长． 2．比较柱体、锥体、台体的体积公式，它们之间有何联系？
高 考 体 验 · 明 考 情
【提示】
典 例 探 究 · 提 知 能
1 1 S上 ＝0 V＝S·S上＝ S下 ,V＝ (S上 ＋ S上 ·下 ＋S下 )· h S h――→V＝ S· h. 3 3
高 考 体 验 · 明 考 情
【解析】 设圆锥的底面半径为 r，依题意得
典 例 探 究 · 提 知 能
2 2 πr· π，∴r＝ .∴圆锥的高 h＝ 1＝ 3 3 1 2 4 5 ∴圆锥的体积 V＝ πr h＝ π. 3 81 【答案】 C
2 5 1－ 2＝ . 3 3
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【答案】 C
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(2011· 陕西高考)某几何体的三视图如图 7－2－4 所示， 则它的体积是( )
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若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120° 、半径为 l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 ) D．5∶3
2π 【解析】 设圆锥的底面半径为 r，则 l＝2πr， 3 S表 πr2＋πrl πr2＋3πr2 4 ∴l＝3r，∴ ＝ ＝ ＝ . πrl 3πr2 3 S侧
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(2011· 课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥 的顶点和底面的圆周都在同一个球面上． 若圆锥底面面积是这个球面 3 面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比 16 值为________．
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
1 (3)V 台体＝ h(S＋ SS′＋S′)． 3 4 3 (4)V 球＝ πR (球半径是 R)． 3
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菜
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1．圆锥的侧面展开图是什么图形？与原几何体有何联系？
已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球 面上，且 AB＝6，BC＝2 3，则棱锥 O—ABCD 的体积为________．
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典 例 探 究 · 提 知 能
在△POE 中，PO＝2，OE＝2， ∴PE＝ PO2＋OE2＝2 2， 1 则 S 侧＝4S△ PBC＝4× ×4×2 2＝16 2，S 底＝16. 2 故四棱锥的表面积是 16 2＋16.
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【答案】 B
菜 单
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菜
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【解析】 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球 的直径为 3，长方体的底面是边长为 3 的正方形，高为 2.故所求组合 4 33 9 体的体积为 2×3 ＋ π( ) ＝18＋ π. 3 2 2
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
【思路点拨】 由球、圆锥的对称性知，两圆锥的顶点连线过球 心及圆锥底面的圆心，先求圆锥底面的半径，再求球心与圆锥底面的 圆心间的距离，问题可解．
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1．解答本题的关键是确定球心、圆锥底面圆心与两圆锥顶点之 间的关系，这需要根据球的对称性及几何体的形状来确定． 2．与球有关的组合体问题情
典 例 探 究 · 提 知 能
图 7－2－5 2π A. 3 B．2π C．8 2π D．8－ 3
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菜
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【解析】 由三视图知， 该容器的内部为在正方体内倒置的圆锥， 且半径为 1，高为 2， 1 2 2 ∴V 圆锥＝ πr · π， h＝ 3 3 2 则容器的容积为 π. 3 【答案】 A
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典 例 探 究 · 提 知 能
转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面 体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问 题化归为平面问题．
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菜
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菜
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1 R 因此体积较小的圆锥的高 AO1＝R－ R＝ ， 2 2 R 3 体积较大的圆锥的高 BO1＝R＋ ＝ R. 2 2 1 且这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为 . 3
1 【答案】 3
2
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【答案】 D
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菜
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(见学生用书第128页)
(2011· 北京高考)某四棱锥的三视图如图 7－2－3 所示， 该四棱锥的表面积是( )
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图 7－2－4 2π A．8－ 3 C．8－2π
菜 单
π B．8－ 3 D. 2π 3
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【思路点拨】
由三视图，抽象出几何体的直观图，确定直观图
的数量关系，求几何体的体积．
【尝试解答】 由三视图可知该几何体是一个边长为 2 的正方体 内部挖去一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥． 1 2 ∵V 正方体＝23＝8，V 圆锥＝ ×2×π×12＝ π， 3 3
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2 ∴所求几何体的体积 V＝V 正方体－V 圆锥＝8－ π. 3
【答案】 A
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1．本题求解的关键：(1)由三视图还原直观图，(2)由三视图中的 数据得到原几何体的相关数据．
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第二节
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空间几何体的表面积与体积
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(见学生用书第128页) 考纲传真 了解球、棱柱、棱锥、台体的表面 积和体积的计算公式(不要求记忆公式).
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【解析】
由三棱柱的正视图可知此三棱柱为底面边长为2，侧
棱长为1的正三棱柱，∴S侧＝2×1×3＝6.
【答案】 D
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2．求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体 法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方 法．
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若将例题题设改为“一个容器的外形是一个棱长 为 2 的正方体， 其三视图如图 7－2－5 所示”， 则容器的容积为( )
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母线长 l) 圆台(上、下底面半 径 r，母线长 l) 球(半径为 R)
π(r1＋r2)l
πr(l＋r)
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π(r1＋r2)l＋π(r2＋r2) 1 2
4πR2
菜
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2.空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh. 1 (2)V 锥体＝ Sh. 3
【解析】 依题意棱锥 O—ABCD 的四条侧棱长相等且均为球 O 的半径，如图连结 AC，取 AC 中点 O′，连结 OO′. 易知 AC＝ AB2＋BC2＝4 3，则 AO′＝2 3， 在 Rt△OAO′中，OA＝4，从而 OO′＝ 42－12＝2. 1 所以 VO—ABCD＝ ×2×6×2 3＝8 3. 3 【答案】 8 3
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1．本题常见的错误是求错侧面积，从而错选 C 或 D，或不能由 三视图分析出四棱锥的特征，盲目求解． 2．解这类问题应注意两点：(1)由三视图准确得到几何体的直观
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图；(2)求空间几何体的表面积一般是求出各面的面积后相加．
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图 7－2－1 3．(2012· 淮北调研)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如 图 7－2－1 所示，则其侧面积等于( ．．． )
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A. 3 C．2 3
B．2 D．6
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4．(2011· 湖南高考)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为( )
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图 7－2－2 A．9π＋42 9 C. π＋12 2 B．36π＋18 9 D. π＋18 2
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【答案】 D
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2 2．母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的面积是 π，则该圆锥的体 3 积为( A. ) 2 2 π 81 8 4 5 B. π C. π 81 81 10 D. π 81
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图 7－2－3 A．32 C．48
菜 单
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B．16＋16 2 D．16＋32 2
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【思路点拨】
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【尝试解答】 由三视图知，四棱锥是底面边长为 4，高为 2 的 正四棱锥 P—ABCD(如图)，
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1．旋转体的表(侧)面积 名称 圆柱(底面半径 r， 母线长 l) 圆锥(底面半径 r， 侧面积 2πrl
πrl
表面积
2πr(l＋r)
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1．(教材改编题)一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的
边长为a，则球的表面积为(
A．4πa2 B．3πa2
)
C．2πa2 D．πa2
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a a2 【解析】 易知球的半径为 .∴S 表＝4π·( ) ＝πa2. 2 2
【尝试解答】 如图，设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r.
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3 由题意得 πr ＝ ×4πR2. 16
2
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3 2 ∴r ＝ R ， 4
2
根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心 O， 且两圆锥的顶 点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，且 AB⊥O1C. 1 ∴OO1＝ R2－r2＝ R， 2
【提示】
圆锥的侧面展开图是扇形，半径为圆锥的母线长，弧
长为圆锥底面圆的周长． 2．比较柱体、锥体、台体的体积公式，它们之间有何联系？
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【提示】
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1 1 S上 ＝0 V＝S·S上＝ S下 ,V＝ (S上 ＋ S上 ·下 ＋S下 )· h S h――→V＝ S· h. 3 3
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【解析】 设圆锥的底面半径为 r，依题意得
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2 2 πr· π，∴r＝ .∴圆锥的高 h＝ 1＝ 3 3 1 2 4 5 ∴圆锥的体积 V＝ πr h＝ π. 3 81 【答案】 C
2 5 1－ 2＝ . 3 3
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【答案】 C
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(2011· 陕西高考)某几何体的三视图如图 7－2－4 所示， 则它的体积是( )
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若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120° 、半径为 l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 ) D．5∶3
2π 【解析】 设圆锥的底面半径为 r，则 l＝2πr， 3 S表 πr2＋πrl πr2＋3πr2 4 ∴l＝3r，∴ ＝ ＝ ＝ . πrl 3πr2 3 S侧
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(2011· 课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥 的顶点和底面的圆周都在同一个球面上． 若圆锥底面面积是这个球面 3 面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比 16 值为________．
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1 (3)V 台体＝ h(S＋ SS′＋S′)． 3 4 3 (4)V 球＝ πR (球半径是 R)． 3
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1．圆锥的侧面展开图是什么图形？与原几何体有何联系？
已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球 面上，且 AB＝6，BC＝2 3，则棱锥 O—ABCD 的体积为________．
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在△POE 中，PO＝2，OE＝2， ∴PE＝ PO2＋OE2＝2 2， 1 则 S 侧＝4S△ PBC＝4× ×4×2 2＝16 2，S 底＝16. 2 故四棱锥的表面积是 16 2＋16.
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【答案】 B
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【解析】 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球 的直径为 3，长方体的底面是边长为 3 的正方形，高为 2.故所求组合 4 33 9 体的体积为 2×3 ＋ π( ) ＝18＋ π. 3 2 2
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【思路点拨】 由球、圆锥的对称性知，两圆锥的顶点连线过球 心及圆锥底面的圆心，先求圆锥底面的半径，再求球心与圆锥底面的 圆心间的距离，问题可解．
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1．解答本题的关键是确定球心、圆锥底面圆心与两圆锥顶点之 间的关系，这需要根据球的对称性及几何体的形状来确定． 2．与球有关的组合体问题情
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图 7－2－5 2π A. 3 B．2π C．8 2π D．8－ 3
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菜
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【解析】 由三视图知， 该容器的内部为在正方体内倒置的圆锥， 且半径为 1，高为 2， 1 2 2 ∴V 圆锥＝ πr · π， h＝ 3 3 2 则容器的容积为 π. 3 【答案】 A
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典 例 探 究 · 提 知 能
转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面 体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问 题化归为平面问题．
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菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
1 R 因此体积较小的圆锥的高 AO1＝R－ R＝ ， 2 2 R 3 体积较大的圆锥的高 BO1＝R＋ ＝ R. 2 2 1 且这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为 . 3
1 【答案】 3
2
高 考 体 验 · 明 考 情
【答案】 D
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
(见学生用书第128页)
(2011· 北京高考)某四棱锥的三视图如图 7－2－3 所示， 该四棱锥的表面积是( )
高 考 体 验 · 明 考 情
图 7－2－4 2π A．8－ 3 C．8－2π
菜 单
π B．8－ 3 D. 2π 3
课 时 知 能 训 练
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自 主 落 实 · 固 基 础
【思路点拨】
由三视图，抽象出几何体的直观图，确定直观图
的数量关系，求几何体的体积．
【尝试解答】 由三视图可知该几何体是一个边长为 2 的正方体 内部挖去一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥． 1 2 ∵V 正方体＝23＝8，V 圆锥＝ ×2×π×12＝ π， 3 3
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
2 ∴所求几何体的体积 V＝V 正方体－V 圆锥＝8－ π. 3
【答案】 A
课 时 知 能 训 练
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
1．本题求解的关键：(1)由三视图还原直观图，(2)由三视图中的 数据得到原几何体的相关数据．