平面向量中的最值与范围问题

平面向量中的最值与范围问题

例1、若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，

则()AP PB PD ⋅+的取值范围是。

设A(0,0) B(1,0) C(1,1) D(0,1)

P(x,x) x ∈[0,1]

=(x,x)

=(1-x,-x)

=(-x,1-x) (+)=(x,x)(1-2x,1-2x)=2x(1-2x)=-(2x-

1/2)^2+1/4

当x=1/4时取得最大值，是1/4

当x=0时，值为0，当x=1时，值为-2，所以最小值为-2

所以取值范围是[-2,1/4]

例2、设点G 是ABC ∆的重心，若︒=∠120A ，

2AB AC ⋅=-

的最小值是_____ 。

例3、已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足

1β=，且α与βα-的夹角为120°，则α的取值范围是_________________。

C

例4（2013年重庆理）在平面上,12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12

OP <,则OA 的取值范围是 （ ）

A ．⎛

⎝⎦B ．⎝⎦C ．⎝D ．⎝

平面向量中的最值与范围问题 课堂练习 1、若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ ）

Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b

Ｄ． 22<+b a b

2、设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -∙-的最小值为 ( )

（A ）2- （B 2 （C ）1- (D)1

3、已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB +=,2AB =，

设向量2PC PA PB =+，则PC 的最小值是。

4、已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则（ ）

A.a ⊥e

B.e ⊥(a －e )

C.a ⊥(a －e )

D.(a ＋e )⊥(a －e )

作业巩固

1、已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围 是。

2、已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是 ( ) A.1 B.2 C.2 D.

22

3、已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为（ ）

(A) 4-+3-+ (C) 4-+3-+

4．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ;以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为

12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）

A ．0,0m M =>

B ．0,0m M <>

C ．0,0m M <=

D ．0,0m M <<