二维射影变换及其性质

二维射影变换及其性质
王 玮
数学科学学院06050203
摘 要
二维射影变换是射影几何的一个重要分支,重点研究的是点和直线在射影变换下的不变性.本文着重研究了二维射影变换下二重元素的分布状况及其特征性质,从理论上解决了二维射影变换二重元素的结构问题.另外本文对二维射影变换的对合性和变换式的求法进行了探索.二维射影变换式的求法在现行的教科书中涉及较少,本文通过具体例子来说明二维射影变换式的几种求法. 关键词：二维射影变换,对合对应,特征方程,特征根,交比,矩阵
引言
射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。

欧式直线再加上一个无穷点就是射影几何中的直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。

通过同一无穷远点的所有直线平行。

在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。

由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。

平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。

这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。

一、二维射影变换
定义1.1 设,'ππ为两个点场.若:'ϕππ→满足 （1）ϕ为双射；
（2）ϕ使得共线点变为共线点； （3）ϕ保持四点的交比不变，
则称ϕ为点场π到点场'π的一个二维射影对应。

定义 1.2 若两个平面间的一一对应满足下列条件：（1）保持点和线的结合性；（2）任何共线四点的交比等于对应四点的交比,则此一一对应叫做射影对应.
定义 1.3 设在点场π和'π上咯取定了齐次射影坐标系，则下式所决定的对应
()111112213322112222333
311322333'',0,0.
'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a x
ρρρρ=++⎧⎪
=++=≠≠*⎨⎪=++⎩
为点场π到'π的一个非奇异线性对应.其中()()123123,,,',','x x x x x x 为对应点的齐次坐标，A 称为这个非奇异线性对应的矩阵.如果'ππ=，且对应点的齐次坐标是关于平面上同一个取定的射影坐标系而论的，则()*为点场π上的一个非奇异线性变换.
定义1.4 两个同底的点场或线场之间的射影对应称为二维射影变换. 显然二维射影变换是特殊的二维射影对应，变换式相对于射影平面上的一个取定的射影坐标系进行的，()*表示了一个点与其像点的坐标之间的关系，二维射影变换具有二维射影对应的全部性质.同时，如果我们将()(12312,,,',',x x x x x
)3'x 看成同一个点在平面上不同的射影坐标系下的坐标，则()*式即为射影坐标变换式，于是，射影坐标变换也可以视为射影变换. 二、二维射影变换式的求法
二维射影变换式的求法在现行的射影几何教科书中涉及较少.本节通过具体例子说明二维射影变换式的求法.
定理 2.1在一平面内无三点共线的四点(1,2,3,4)i P i =与另一平面内无三点共线的四点'(1,2,3,4)i P i =唯一确定一个射影对应,使()'1,2,3,4i i P P i →= 定理 2.2设平面π上无三点共线()()()112321233123,,,,,,,,,P a a a P b b b P c c c
()4123,,P d d d 和另外无三点共线的四点()()11232123'',',','',',',P a a a P b b b
()()31234123'',',','',','P c c c P d d d 成射影对应,则存在而且只有一个射影对应ϕ,使
得
()()112233''1,2,3,4,','i i x x p p i x A x A x x ϕϕρδ⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
===
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭其中：112131122232132333''''''''''''''''''a b c a b c a b c λλλλλλλλλ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
1
11213111222324112233413
2333112233,,'(1,2,3),''''''',i i a b c a b c BC i p p p p p a b c p p p λλλλλλδλλλλλλλλλλλδ--⎛⎫
⎪===++= ⎪ ⎪
⎝⎭++由确定，为一定常数.
定理 2.3设共线四点的坐标为 ()()()112321233123,,,,,,,,,p a a a p b b b p c c c
()4123,,,p d d d 则其交比为()41231
11
1
2222
,.11112222
c a
d b c a d b p p p p c b d a c b d a =
定理2.4设射影标架{}123;A A A E =∑下（如图1）,任一点()123,,P x x x 在射影变换
ϕ下的像点为()1123'',',',P x x x 则有()()131********:,'',''':x x A A E P A A E P x ===
()()3232311231123',:,'',''':'x x x A A E P A A E P x x ===
图 1
A 1
A A 3
A'2
A'3
A'1
2
1. 举例（没有1哪来2 啊） 下面举例说明二维射影变换式的求法.
例 2.1 求射影变换,使点()()()()12341,0,1,0,1,1,1,1,1,0,0,1P P P P 分别变换点
()()()()1234'1,0,0,'0,1,0,'0,0,1,'1,1,1.P P P P
解法1：把射影变换式设出,利用点之间的对应关系求出(),1,2,3ij a i j =之间的关
系,进而求出射影变换式. 设所求的射影变换式为：
111112213322112222333
311322333'',
0,0.
'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a x
ρρρρ=++⎧⎪
=++=≠≠⎨⎪=++⎩
由()()()()()()()()1,0,11,0,0,0,1,10,1,0,1,1,10,0,1,0,0,11,1,1→→→→得
()()()()111131************
2123222232122234233133323333132334
330010;2;30;400a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
ρρρρρρ=+=+=++=⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪
=+=+=++=⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪=+=+=++=⎩⎩⎩⎩ 由（1）、（2）、（3）、（4）解得112213233341232213140;;.a a a a a a a a a ρρ=========- 故所求射影变换式为：
14243123
24143
21334142433123''','''x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
ρρρσρρρσρρρρσ=-+=-+⎧⎧⎪⎪=-+=-+⎨⎨⎪⎪=--+=--+⎩⎩即，011
10110111
--=≠--其中
解法2：利用矩阵方法求射影变换式
因为4123P P P P =+- ，即12311 1.λλλ===-，， 4123'''',P P P P =++ 即1'1λ=，23'1,' 1.λλ==
从而100101010;011,001111B C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则1011101111C --⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
所以1A BC δ-==011101111-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪--⎝⎭
,其中1δ=.
即所求的射影变换式为：
123
213
3
123'''x x x x x x x x x x ρρρ=-+⎧⎪
=-+⎨⎪=--+⎩，其中01110110111--=≠--其中. 解法3：利用交比求变换式
设射影变化将动点()123,,X x x x 变换为点()123'',','X x x x ,如图2所示
图 2
P 2P 3
P 1
直线13224,,PP P X P P 的线坐标分别为
()()()3211,0,1,,,1,0,0x x x --.
2P X
与
13
P P 的交点E ,坐标为
()11231,,x x x x x +-.2413P P PP 与的交点
F ,坐标为
（0,1,0）.
根据定理 3有 ()2
123131123
1
01
1
10,011110
x x x x PP EF x x x x +-=
+-.
23
123
x x x x x -+=
--+.
直线23141,,P P PP P X 的线坐标分别为()()()21320,1,1,0,1,0,,,x x x x ---+-123P X P P 与的交点H ,坐标为()12322,,x x x x x --+--.
()12313
231231232
101
012
1,110011
x x x x x x P P GH x x x x x x x ---+--+=
==---+--+- 由定理3.4得()()12132333
''
,;,''x x PP FE P P GH x x == 故所求射影变换式为
123
213
3
123'''x x x x x x x x x x ρρρ=-+⎧⎪
=-+⎨⎪=--+⎩，其中01110110111--=≠--其中.
三、二维射影变换的二重元素
定义3.1：二维射影变换的二重元素,就是指经过二维射影变换后不变的元素. 二维射影变换
()111112213322112222333
311322333'',0,0.
1'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a x
ρρρρ=++⎧⎪
=++=≠≠⎨⎪=++⎩
存在二重元素的条件是它的特征方程
()1112
13212223
31
32330
2a a a a a a a a a μμ
μ
--=-
存在.
将方程（2）的特征根代入二重点方程组
()()()()1111221332112222333113223330
030
a x a x a x a x a x a x a x a x a x μμμ-++=⎧⎪
+-+=⎨⎪
++-=⎩
可求的二重点的坐标或二重点列的方程. 将特征方程（2）的根代入二重直线方程组
()()()()1112123131212223231312323330040
a t u a u a u a u a t u a u a u a u a t u -++=⎧⎪
+-+=⎨⎪
++-=⎩
可求的二重直线的坐标或二重线束的方程. 二维射影变换的二重元素与特征根的关系
特征方程（2）是一个关于u 的三次方程,它的三个根的情况有三种可能：三个单根或一个单根与一个二重根或一个三重根,二重元素的个数与根的情况直接相关. 判断与某一特征根所对应的是二重根（二重直线）还是二重点列（二重线束）,只要将特征根代入特征方程（2）的系数矩阵D 来决定.
1112
13212223
31
3233(5)a a a D a a a a a a μμ
μ
-=
--
（1） 当系数矩阵的秩等于2,则可得一个二重点(二重直线). （2） 当系数矩阵的秩等于1,则可得一个二重点列(二重直线束). 3.1特征根为三个根的情况
当特征方程（2）有三个单根时,对于每个特征根,由方程组（3）可求出与之对应的一个二重点,则有三个不同的二重点,设为p 1, p 2, p 3;对偶地,由二重直线方程组
（4）可求的三条二重直线,设为l 1, l 2, l 3.这三个二重点与三条二重直线之间有如下关系：由p 1, p 2为二重点,则直线p 1 p 2 必是一条二重直线（过两点的直线惟一确定）,故经过射影变换后直线p 1 p 2的对应仍是直线p 1 p 2 . 同理： p 3 p 2 、 p 3 p 1也是二重直线.因此,把特征根代入二重直线方程（4）中求出的三条直线l 1, l 2, l 3就是直线p 1 p 2、 p 3 p 2、 p 3 p 1.这样,当求出三个二重点p 1, p 2, p 3后,除了可以通过二重直线方程组（4）求二重直线,还可以用两点坐标之向量外积p 1× p 2、 p 3× p 2、 p 1× p 3求二重直线的坐标. 例3.1 求射影变换
112
2123
123'4'63'x x x x x x x x x x
ρρρ=-⎧⎪
=-⎨⎪=--⎩的二重元素. 解：由特征方程
123410630,13 2.1
1
1μμμμμμ
----=-==----=0得特征根:，，
分别把特征根代入二重点方程
()()()()()()121212340
630001110165.10
x x x x x x x μμμ--=⎧⎪
-+=⎨⎪
--+=⎩,得二重点坐标分别为，
，，，，， 把特征根分别代入二重直线方程组
()()()[][][]12312334603011
0555610.10
u u u u u u u μμμ-++=⎧⎪
--+-=---⎨⎪
-+=⎩,得二重直线坐标分别为，，，，，， 这三条直线与三个二重点两两向量外积所得的直线相同
()()[]()()[]()()[]001110110110165555165001610⨯=-⨯=-⨯=-，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 3.2特征根为一个单根及一个二重根的情况
当特征方程（2）有一个单根及一个二重根时,对应于单根的必是一个二重点（二重直线）,但对于二重根却有两种情况：可能得到一个二重点（二重直线）或可能得到一个二重点列（二重线束）,这由系数矩阵（5）的秩来决定. 3.2.1系数矩阵的秩为2
如果对应于单根的一二重点p 1,对应于二重根（系数矩阵（5）的秩为2）得另一二重点p 2,这时点p 1, p 2的连线必是两条二重直线l 1, l 2中的一条,而另一条二重直线也比过这两二重点中的某一点.对偶地,两条二重直线l 1, l 2的交点一定是p 1, p 2中的某一点,而且另一点也必定在此二直线中的一条上.因此只要把特征根代入求二重点和二重直线的方程组（3）,（4）中,就可以得到二重点和二重直线. 例 3.2.1 求射影变换
11222
3
23'26'2'3x x x x x x x x
ρρρ=+⎧⎪
=⎨⎪=-+⎩的二重元素. 解：由特征方程
123260020
,320
13μμ
μμμμ
--===--=0得特征根:，（二重根）
对应于µ1=3的一个二重点p 1,把µ2=µ3=2代入系数矩阵（5）得秩等于2,也得一个二重点p 2.对偶地,对应于这两个根有两条二重直线. 把µ1=3和µ2=µ3=2代入二重点方程组
()()()()()1221223260
20
0,0,1,1,0,0.30
x x x p p x x μμμ-+=⎧⎪
-=⎨⎪
-+-=⎩,得二重点分别为 把µ1=3,µ2=µ3=2代入二重直线方程组
()()()[][]112312320620,0,1,1,0,1,0.30
l l μμμμμμμμ-=⎧⎪
+--=-⎨⎪
-=⎩得二重直线 由此看到,p 1, p 2连线就是l 2,而直线l 2经过p 2,即l 1, l 2相交于p 2,而p 1在直线l 2上. 3.2.2系数矩阵的秩为1
如果对应单根得一二重点p 1（二重直线l 1）,对应于二重根（系数矩阵的秩为1）得一二重点列l （二重线束o ）.这时二重直线l 1就是二重点列的底,而二重点就是二重线束束心o ,即l 1=l ,p 1=o ,因为二重点列上的点都是二重点,它们的底直线l 在射影变换中不会改变,从而成为二重直线.对偶地,二重线束束心o 在射影变换中不变,成为二重点.
由此可知,在这种情况下,只要把特征方程（2）的根代入方程组（3）,就可以求
出二重点与二重点列,则二重线束束心与二重直线也就得到了. 例3.2.2求射影变换
1122
3
223'''22x x x x x x x x
ρρρ=⎧⎪
=⎨⎪=--+⎩的二重元素. 解：由特征方程
123100010,2(11
2
2μμμμμμ
--===---=0得特征根单根），（二重根）
对应于单根µ1=2得一二重点,对于二重根µ2=µ3=1,代入系数矩阵（5）, 其秩等于1,故得以二重点列. 把µ1=2,µ2=µ3=1代入二重点方程组
()()()12112312310
10
(0,0,1)20.220
x x p x x x x x x μμμ-=⎧⎪
-=+-=⎨⎪
--+-=⎩,得二重点列二重点列方程 这时,在已知射影变换下,二重直线方程坐标是[1,2,-1],而二重直线方程的束心方程是：µ3=0
3.3特征根为三重根的情况
当特征方程（2）的根式三重根时,对应于这个三重根也有两种可能：可能得到一个二重点（二重直线）,也可能得到一个二重点列（二重线束）.此时仍可用系数矩阵（5）的秩来判定. 3.3.1系数矩阵的秩为1
如果把特征根代入系数矩阵（5）,得秩等于1,则对应于特征根有一个二重点列（二重线束）.这时二重线束的束心就在二重点列上.因此可通过二重点（二重直线）方程组得到二重点列（二重线束）. 例 3.3.1求射影变换
112322
3
3'2''x x x x x x x x
ρρρ=++⎧⎪
=⎨⎪=⎩的二重元素. 解：由特征方程
1120
010,1(0
01μμ
μμ
--=-=0得特征根三重根）
把µ1=1代入系数矩阵（5）得秩等1,把µ1=1代入二重点方程组
()()()1232233120
10
010
x x x x x x x μμμ-++=⎧⎪
-=+=⎨⎪
-=⎩,得二重点列2 将µ1=1代入二重直线方程组
()()()()11212313102100.1002010
u u u u x x u u μμμ-=⎧⎪
+-==+=⎨⎪
+-=⎩,得二重线束的束心方程其中束心，
，在点列上.3.3.2系数矩阵的秩为2
如果把特征根代入系数矩阵（5）的秩等于2,这时二维射影变换（1）只有一个二重点及一条二重直线,二重点与二重直线之间具有结合关系.此时可通过求二重点（二重直线）方程组得到二重点（二重直线）的坐标. 例 3.3.2求射影变换
1122233
3'''x x x x x x x x
ρρρ=+⎧⎪
=+⎨⎪=⎩的二重元素。

解：由特征方程
111
0111(0
01μμμμ
--=-=0,得特征根三重根）
把µ1=1代入系数矩阵（5）得秩等1,把µ1=1代入二重点方程组
()()()()1223310
10100.10
x x x x x μμμ-+=⎧⎪
-+=⎨⎪
-=⎩,得二重点坐标，
， 将µ1=1代入二重直线方程组
()()()[]112231010001.10
u u u u u μμμ-=⎧⎪
+-=⎨⎪
+-=⎩,得二重直线坐标为，
， 显然,点（1,0,0）在直线[0,0,1]上.
结论：（1）两不变点的连线是一条不变直线；对偶地,两不变直线的交点是一不
变点.
（2）不变直线上的点还变为其上的点；通过一不变点的直线还变为通过此
点的直线.
四、二维射影变换是对合的充要条件
换1122':1'x x a b S x c d x ρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设一维射影变换（）
(),,,,0,a b c d C ad bc T P ∈-≠其中则是射影直线到自身的一一映射.
112233':'(2)'x x S x A x x x ρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设二维射影变换
()233,,00ij ij A a a C A T P ρ⨯=∈≠≠其中且，），则是射影平面到自身的一一映射. 定义2.1 设S 为一维射影变换,且S ≠I ,有S 2=I ,其中I 为一维恒同变换,则称此射影变换S 为对合.
类似可以定义二维对合对应：
定义 2.2 设S 为二维射影变换,且S ≠I ,有S 2=I ,其中I 为二维恒同变换,则称此射影变换S 为对合.
熟知,一维射影变换（1）是对合时,有a+d=0,下面将从代数角度考虑二维射影变化的（2）是对合时,它的系数矩阵A 应满足的条件及二维对合表达式.
三、对合二维射影变换
定理 2.1 设S 为而为射影变换,记t=tr(A ),则S 为对合的充要条件是|A±tE |=0,且秩（A-tE ）=1.
证明：必要性
2
2222222331122231213123123.,,,(,,).(1,2,3),(1,2,3).,,,i i j j i i i i i S I A kE A T C T AT J J diag J kE k j k re j A AJA E S I θθθθθθθλλλλλλλλλλλλλλ⨯--==∈=============≠======由可证对于存在可逆矩阵使得其中由知，设则若则与矛盾。

因而在可交换的情况下，或
，2222222123123123123(),(,,),0,1()i i i i i i i tr A t J diag t t t A tE A tE tr A t θθθθθθθλλλλλλλλλλλλ====++===-±=-=====++==，当，时，有显然有且秩（），当，时，有，同理可得。

充分性
易证秩()2A tE +=,因而存在可逆矩阵T ,使得1T AT J -=,其中(),,J diag t t t =-,则2212A TJ T t E -==,即2S I =,显然S I ≠,故S 为对合.
易证：
推论2.1 设S 为二维射影变换,记()t tr A =,则S 为对合的充要条件是⊕3t -t C =V V 推论2.2 设S 为对合,记()t tr A =,则 322,A t A t E =-=.
对合的性质
1121311312122233332332.11)2,;,.(),(,,).ij S A tE A tE t t t t t t t t t T t T AT diag t t t t t ηηη-⨯-=+=⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
123设为二维对合对应，则由定理知秩（），易证秩(因而属于
-的线性的无关的特征向量有一个，设为属于的线性的无关的特征向
量有一个，设为令则有可见对
合对应是特殊的透视对应，23.ηηη⨯1透视中心为，透视轴为因而有
定理 2.2 设S 为对合对应,则直线23ηη⨯上任一点都是不动点,且直线23ηη⨯外一点1η也是不动点.
定理 2.3 满足线123(,,)a a a a 上的点都是不动点,且点123(,,)b b b b 为不动点（其中0a b ⋅≠）的对合对应为S 为：
11213111212223323313233312'1'(3)2'12a b a b a b a b x x x a b a b a b a b x x x a b a b a b a b ρ⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⋅ ⎪⎝⎭
112233331122331231112131112212223313233'',),,0.
'(),. 2.1)1,(,,)ij x x S x A x A a a C A x x t tr A t a a a A tE a a a a a t a a k a k a k A tE a a t a a a a t σ⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==∈≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
==++-=-⎛⎫ ⎪-=-= ⎪ ⎪-⎝⎭证明：设满足条件的对合对应为：其中（且令即由定理知秩（而线上的点都是不
动点，因而13212223313233111213212223313233,
2a k a k a k a k a k a k a k a t k a k a A k a k a t k a A tE k a k a k a t ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
+⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪+⎝⎭
则同理由定理2.1证明过程知秩（），
()1112
13212223313233112323 2.12(,,)0,
k a t k a k a A k a k a t k a A tE k a k a k a t b b b b b A tE b b +⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭则同理由定理证明过程知秩（），且点为不动点，可得 1111213
212223231323333
121231121111213212223313233220.
22220,,,122b k a t k a k a k a k a t k a b k a k a k a t b b t b t b t a b k k k a b a b a b
a b a b a b k a t k a k a t A k a k a t k a A a b k a k a k a t +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
⋅≠=-=-=-⋅⋅⋅-⋅+⎛⎫ ⎪=+=-⋅ ⎪⋅ ⎪+⎝⎭即因从而得代入得311222331323331212,2a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b t ρσ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⋅ ⎪ ⎪ ⎪-⋅ ⎪⎝⎭
⋅=-令则定理2.3成立.任给对合S 的飞不动点2r P ∈,S 限制1r η⨯上的映射记为1r S
η⨯,则有： 定理 2.4 S 为对合,点2r P ∈为S 的非不动点,则1r S η⨯为一维对合对应.
()()()()11112311,',','.',r x r x S x S x x S S x x S r S r S x r S ηηηηηηηη⨯∈⨯==⨯⨯⨯⨯∈⨯证明任给点设点关于的对应点为即由为对合知点为的一不动点，显然点为的另一不动点，因而线为的一不动线从而有点故为一维对合对应。

例2.1 判断二维射影变换112233'111:'202111'x x T x x x x ρ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭是否是对合对应？
解法1：设111202111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
,则24A E =,因而二维射影变换T 是对合对应.
解法2： 由()()2
1122332202,()2,A E tr A a a a A λλλλ-=-+-==±=++=-+得且由
()111111222200021111000E A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知秩,因而二维射影变换T 是对合对应. 例2.2 求线（1,2,-1）上的点都是不动点,且点（2,1,0）为不动点的对合对应S.
解：代入（3）式可得所求的对合对应S 为112233'142'111243'x x x x x x ρ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭.
综上,本节给出了待定系数法、矩阵法、交比法等二维射影变换式的方法.
致谢
感谢我的导师杨明升教授对我的毕业设计给予充分的帮助，教会了我如何查找资料、阅读文献以及撰写论文等等，也使我掌握了除毕业设计外更多的知识，在这里非常感谢！
参考文献：
【1】 朱德祥.高等几何[M].北京：北京教育出版社,1983
【2】 梅向明,刘增贤,王汇淳,等.高等几何[M].北京：高等教育出版社,2000.
【3】 毛淑芬,沈世明.身影几何[M].上海：上海科学技术文献出版社.1985.
【4】 钟集. 高等几何[M].北京：高等教育出版社.1983.
【5】姜树民.高等几何学[M].西安：陕西人民教育出版社.2000.
【6】孙克宽.求二维身影变换式矩阵算法[J].高等函授学报（自然科学版）.2000
【7】木耳扎别克.利用交比、简比求射影对应式和射影变换式[J].新疆：新疆教育学院学报（汉文综合版）.1998.
【8】熊朝辉,秦炳辉.高等几何一题多解[M].成都：成都科技大学出版社.1993.【9】李修睦.高等几何[M].武汉：华中师范大学出版社,1993.
【10】梅向明,刘增贤,林向岩,王智秋.高等几何习题集[M].北京：高等教育出版社.2004.
【11】朱维宗.关于二维对合的几点研究[J].云南：云南师范大学报.1999. 【12】周兴和.高等几何[M].北京：科学出版社.2003.
【13】方德植,陈奕培.射影几何.北京：高等教育出版社.1983.
【14】Frank Ayres,Jr.Schaum’s Outline of Theory and Problems of Projective Geometry.McGraw-Hill Book Company,1968.
【15】H.S.M Coxeter.Projective Geometry[M].1964.
plane projective transformation
wangwei
06050203，Mathematics and Applied Mathematics
School of Mathematics Sciences，Nanjing Normal University
Abstrct
Being an important branch of projective geometry, plane projective transformation mainly explores the invariance of point and straight line under the circumstance of projective transformation
This thesis focuses on the distribution and characteristics of twofold elements in plane projective transformation and settled the structure problem on the basis of theory. It is found that very few textbooks elaborate on the transform-based method. However, this thesis examplifies some solutions to calculate the projective transformation
Key words:
Plane projective transform, the same point, the same line, correspond, characteristic equation, Eigenvalue, cross-ratio, matrix
英文翻译：
原文
FINITE GROUPS IN TWO AND THE THREE
DIMENSIONS
2.1 ORTHOGONAL TRANSFORMATIONS IN TWO DIMENSIONS If 2()T ϑ∈ℜ, then T is completely determined b y its action on the basis
vectors 1(1,0)e =and 2(0,1)
e =.I
f 1(,)Te μν=,then 221μν+=and 2(,)Te νμ=±-,since T preserves
length and orthogonality. Choose ,02θθπ≤<, such that cos θμ= and sin θν=.
If 2(,)Te νμ=-, then T is represented by the matrix
cos sin sin cos A μνθθνμθθ--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, and it is clear that T is a counterclock wise rotation of the plane about the origin
through the angle θ (see Figure 2.1). Observe that
det 2222cos sin 1T μνθθ=+=+=.
If 2(,)Te νμ=-, then T is represented by the matrix
cos sin sin cos B μνθθνμθ
θ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
. In this case observe that det 22cos sin 1T θθ=--=-,
and that
22
22100010
B μνμν⎛⎫+⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭
⎝⎭,
so that 21T =. It is easy to verify (Exercise 2.1) that the vector 1(cos 2,sin 2)x θθ= is an eigenvector having Eigen value 1 for T , so that the line {}1:l x λλ=∈ℜ is left pointwise fixed by T . Similarly, the vector 2(sin 2,cos 2)x θθ=- is an eigenvector with Eigen value -1,and 21x x ⊥ [see Figure 2.2(a)]. With respect to the basis {12,x x } the transformation T is represented by the matrix
1001C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. If 1122x x x λλ=+, then 1122Tx x x λλ=-, and T sends x to its mirror image with respect to the line l [see Figure 2.2(b)]. The transformation T is called
the reflection through l or the 2reflection along x . Observe that
222(,)Tx x x x x =- For all 2x ∈ℜ
We have shown that every orthogonal transformation of 2ℜ is either a
rotation or a reflection.
2.2 FINITE GROUPS IN TWO DIMENSIONS
Suppose that dim=2 and that ℘ is a finite subgroup of ()V ϑ. The set of all rotations in ℘ constitutes a subgroup ℑ of ℘. As was shown in Section
2.1, each T ∈ℑ is a counterclockwise rotation of V though an angle ()T θθ= with 02θπ≤<. If 1ℑ≠, choose R ∈ℑ with 1R ≠, for which ()R θ is minimal. If T ∈ℑ, choose an integer m such that
()()(1)()m R T m R θθθ≤<+.
Then 0()()()T m R R θθθ≤-<. But
()()()m T m R R T θθθ--=,
since m R T - is a counterclockwise rotation through angle ()T θ followed by m clockwise rotations, each through angle ()R θ. Since ()R θ was chosen to be minimal, we must have ()m R T θ-=0; m R T -=1 or m T R =. In other words, R ℑ= is a cyclic group. It also follows that ()2R n θπ=, where n =ℑ. If ℘=ℑ, we have shown that ℘ is a cyclic group of order n , in which case ℘ will be denoted by 2℘(the subscript calls attention to the fact that dim V =2).
Suppose next that ℘≠ℑ. And choose a reflection S ∈℘. Since det ()det 1k SR S ==- for all integers k , the coset S ℑ contains n =ℑ, distinct reflections. If T ∈℘ is a reflection, then
det()(det )(det )(1)(1)1ST S T ==--=,
so ST ∈ℑ; hence T S ∈ℑ, since 1S S -=. thus ℑ is a subgroup of index 2 in ℘, and if R ℑ=, as above, then
11,{1,,,,,,,}n n R S R R S SR SR --℘==, and 2n ℘=. since RS is a reflection, we have 2()1RS =, or
11n RS RS RS --==, completely determining the multiplication in ℘. the group ℘ is called the dihedral group of order 2n , and it will be denoted by. 2n
ℑ We have proved.
Theorem 2.2.1
If dim V =2 and ℘ is afinite subgroup of ()V ϑ, then ℘ is either a
cyclic group 2n
℘ or a dihedral group 2n ℑ, n =1,2,3……
If we set T=RS in the dihedral group 2,n
S R ℑ=, then T is a reflection,
since det 1T =-. S ince 2TS RS R ==, it is clear that orthonormal basis {12,x x } of eigenvectors of S discussed in Section 2.1 coincides with the usual
basis {12,e e } in 2ℑ, then we may assume that S and R are represented by the matrices
1001A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
and cos 2sin 2sin 2cos 2n n B n n ππππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ respectively. Thus T is represented by the matrix
cos 2sin 2sin 2cos 2n n C BA n n ππππ⎛⎫== ⎪-⎝⎭
so T is areflection through a line l inclined at an angle of n π to the positive x-axis. Let us use these ideas to give a geometrical interpretation of the group 2n
ℑ.
Denote by F the open wedege-shaped region in the first quadrant bounded by the x-axis and the line l . The x-axis is a reflecting line for the transformation S . and l is areflecting line for the transformation T . The 2n congruent regions in the plane obtained by rotating the region F through successive multiples of n π can be labeled with the elements of 2n
ℑ as
follows. For each 2
n U ∈ℑ, designate by U t he region U(F) obtained by applying U to all points of the region F .
The procedure is illustrated in Figure 2.3 for the n =4. If two plane
mirrors are set facing one another along the reflecting lines for S and T , with their common edge perpendicular to the plane at the origin, then the other lines may be seen in the mirrors as edges of F . This illustrates the principle of the kaleidoscope and shows a connection between the kaleidoscope and the dihedral groups.
Observe that the region F is open, that no point of F is mapped to any other point of F by any nonidentity element U of 2
n ℑ, and that the union of the closures 2(),n UF U -∈ℑ, is all of 2
ℜ.
中文
2.1 二维正交变换
如果2()T ϑ∈ℜ（T 是平面上的一个变换），那么T 由基向量1(1,0)e = 和2(0,1)e =的作用完全决定.如果1(,)Te μν=,根据变换T 保持向量的长度和正交性的性质，可以得到：如果选取()02θθπ≤<,并且设cos θμ= , sin θν=，那么221μν+=且2(,)Te νμ=±-.
如果2(,)Te νμ=-,那么在基下T 所代表的矩阵是
cos sin sin cos A μνθθνμθθ--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 容易看出，T 是角θ在二维平面上的一个逆时针旋转（如图2.1）.从中
可以观察得到
det 2222cos sin 1T μνθθ=+=+=.
如果2(,)Te νμ=-,那么在基下T 所代表的矩阵为
cos sin sin cos B μνθθνμθθ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
, 在这种情况下，我们可以得到
det 22cos sin 1T θθ=--=-
以及
22
22100010B μνμν⎛⎫+⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭
⎝⎭.
图2.1
因此 21T =. 可以容易证明（练习2.1）：向量1(cos 2,sin 2)x θθ=是T 的一个特征值为1的特征向量,因此直线 {}1:l x λλ=∈ℜ上的点由T 决定.同样的, 向量2(sin 2,cos 2)x θθ=-是特征值为-1的特征向量,并且有21x x ⊥[如图2.2（a ）].基于单位向量组{12,x x }，变换T 所代表的矩阵为
1001C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. 如果1122x x x λλ=+,那么1122Tx x x λλ=-,并且变换T 把x 关于直线l 做了一个镜面反射[如图2.2(b)].我们称变换T 为关于l 的反射或关于向量x 的反射.同时可以得到,对所有向量2x ∈ℜ ,有
222(,)Tx x x x x =-
图2.2（a ） 图2.2（b ）
我们已经证明了平面上的每一个正交变换都可以表示为旋转或者反射.
2.2 二维空间上的有限群
假设℘是一个维数为2、()V ϑ上的一个有限子群.℘中所有的旋转变换
所组成的集合构成了℘的一个子群ℑ.在之前2.1节所提到的,对于每个T （T ∈ℑ），都可以表示成是V 上关于角()T θθ=(02θπ≤<)的是一个逆时针旋转得到的变换.如果1ℑ≠,选取R ∈ℑ且1R ≠,使得()R θ尽可能最小. 如果T ∈ℑ,取整数m 使得
()()(1)()m R T m R θθθ≤<+.
那么0()()()T m R R θθθ≤-<.但是
()()()m T m R R T θθθ--=,
是因为m R T -表示的是按逆时针方向旋转()T θ角度,同时有m 次按顺时针方向转动,每次旋转角度为()R θ. 由于要求()R θ选取为最小,我们必须令()m R T θ-=0； m R T -=1 或是m T R =. 换言之，R ℑ=是一个循环群. 同时可以知道：当n =ℑ时,有()2R n θπ=.
如果℘=ℑ,我们已经证明了℘是一个n 次循环群,在此条件下，℘可以表示成n
2℘（下标表示的是其维数为2）.
接着假设℘≠ℑ.选取一个反射S ∈℘. 既然对所有的整数k 有det ()det 1k SR S ==-,那么余集S ℑ包含了n =ℑ，显而易见也是反射. 如果T ∈℘为一个反射,那么有
det()(det )(det )(1)(1)1ST S T ==--=,
因此ST ∈ℑ；进而因为1S S -=，有T S ∈ℑ,. 所以ℑ是℘中一个特征为2的子群,而且如果R ℑ=,根据上文所述，有
11,{1,,,,,,,}n n R S R R S SR SR --℘==, 以及2n ℘=.因为RS 是一个完全由℘上乘法运算所决定的反射,我们可以得到2()1RS =, 或者 11n RS RS RS --==.群℘称为2n 阶的双面群,记作2n
ℑ.我们已经证明.
定理 2.2.1
如果V 是二维欧式空间， ℘是()V ϑ的一个有限子群,那么℘或是一个
循环群2n
℘或是一个双面群2n ℑ, 这里n =1,2,3…… 我们如果在二维群2,n
S R ℑ=中令T=RS ,由于det 1T =-,那么T 是
一个反射. 因为2TS RS R ==,我们可以清楚的知道，在2.1节中所讨论的S 的特征向量所对应的正交单位向量组{12,x x }与平面2ℜ上的单位向量组{12,e e }对应,那么我们可以设想S 和 R 可分别由矩阵
1001A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 和 cos 2sin 2sin 2cos 2n n B n n ππππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭
来表示. 因此T 可由以下矩阵表示
cos 2sin 2sin 2cos 2n n C BA n n ππππ⎛⎫== ⎪-⎝⎭
. 那么T 表示以和x 轴正方向成n π角的直线l 为镜面的反射.下面我们就运用这些思想来给出几何学上群2n
ℑ的解释.
令F 表示第一象限中x 轴与直线l 包含的开区域. x 轴是变换S 的一个反射线.l 是变换T 的一个反射线. 如下，那些通过区域F 以n π角度做连续的旋转所得到的2n 个相应的区域被称为2n
ℑ的元素.对于任何一个
2
n
U ∈ℑ,U 所对应的区域U(F)则表示区域F 上所有满足U 的点所组成的区域.
图2.3
图2.3 是当n =4时这一特例的解释步骤. 如果沿着S 和T 的反射线放置两个面对面的平面镜,使它们的共同边界垂直于原来所在平面,此时可以看出其它的直线就好像是区域F 的边界. 这一例子解释了万花筒的原理,同时揭示了万花筒和双面群之间的联系.
通过观察，F 是一个开区域,而且区域F 上没有一个点可以通过2
n ℑ上的任何非单位元素U 映射到F 上的另一个点，且对于2n
U ∈ℑ, 闭区域()UF -的全体都属
于2ℜ.对于那些主要的区域我们将在第3章中做进一步讨论.。