概率论与数理统计期末考试试题及解答

《概率论与数理统计》期末试题

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发

生的概率为__________. 答案：0.9

解：

3.0)(=+B A B A P

即

)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=

所以

1.0)(=AB P

9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .

2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.

答案：

161-e

解答：

λλ

λ

λλ---=

=+==+==≤e X P e e

X P X P X P 2

)2(,

)1()0()1(2

由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ

λλ---=+e e e 22

即 0122

=--λλ 解得

1=λ，故

16

1)3(-=

=e X P

3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2

X Y =在区间)4,0(内的概率

密度为=)(y f Y _________. 答案：

04,()()0,.

Y Y X y f y F y f <<'===⎩

其它

解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则

2

()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==-

因为~(0,2)X U

，所以(0X F =

，即()Y X F y F = 故

04,()()0,.

Y Y X y f y F y f <<'===⎩

其它

另解 在(0,2)上函数2

y x =

严格单调，反函数为()h y =所以

04,()0,.

Y X y f y f <<==⎩其它

4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2

)1(-=>e

X P ，则

=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.

答案：2λ=，-4

{min(,)1}1e P X Y ≤=-

解答：

2(1)1(1)P X P X e

e λ

-->=-≤==，故 2λ=

{min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->

1(1)(1)P X P Y =->> 4

1e -=-.

5． 设总体X 的概率密度为

⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,

0,

10,)1()(x x x f θ

θ 1->θ.

n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.

答案：

1

111ln n

i i x n θ==

-∑

解答： 似然函数为

111

(,

,;)(1)(1)(,,)n

n n i n i L x x x x x θθθθθ==+=+∏

1

ln ln(1)ln n

i

i L n x

θθ

==++∑

1

ln ln 01n

i i d L n

x d θθ==++

∑

解似然方程得θ的极大似然估计为

1

111

ln n

i i x n θ==

-∑.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.

（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ）

答案：（D ）.

解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.

事实上由图

可见A 与C 不独立.

2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.

（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ）

答案：（A ）

解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.

3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是

（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.

（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ）

答案：（B ）

解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=）

，（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.

4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为

(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1111

69183

X Y P αβ

若,X Y 独立，则,αβ的值为

（A ）21,99αβ==

. （A ）12

,99αβ==.

（C ） 11,66αβ== （D ）51

,1818

αβ=

=. （ ） 答案：（A ）

解答： 若,X Y 独立则有

(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======

1121

()()()3939

αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β= 故应选（A ）.

5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中

正确的是

（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）

答案：（A ） 解答：

1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.

三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率

为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，