二倍角公式公开课课件
合集下载
北师大版(2019)高中数学必修2第4章3.1二倍角公式 课件(共18张PPT).ppt
你能根据二倍角公式解答下面各题吗？看谁做得既快又准
① 2sin15 cos15
③ 1 2sin15
⑤
ππ 2 sin cos
88
①1
⑤2
2
②2
2
⑥3
3
② cos22.5 sin 22.5
④ 2cos30 1
⑥
2 1
t an75 t an75
③
3 2
④
1 2
例1.已知角a是第二象限角，cosα = 3 , 求 sin 2α, cos2α, tan2α 5
点评：直接运用公式将已知角转化为特殊角求值.
根据上题的启示怎样去思考这道题呢？
cos20 cos40 cos80
那这道题又该怎么去解呢？
sin10 sin 30 sin 50 sin 70
1.二倍角的正弦，余弦，正切公式
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos2α sin2α = 2 cos2α
2tan 22.5 (3) 1 tan2 22.5 ;
(4)1 2sin2 75 .
解： (1)原式 1 (2sin15 cos15 ) 1 sin 30 1
2
2
4
(2)原式 cos 2
42
(3)原式 tan 45 1
(4)原式 cos150 cos(180 30 ) cos30 3 2
S2α
cos 2α = cos2α sin2α
C2α
= 2 cos2α 1=1 2sin2α
tan2α = 2 tanα
1 t an2α
T 2α
公式的作用：
1.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来 表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单 角的三角函数之间的互化问题； 2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中， 取两角相等时推导出来的，记忆时可联想相应 角的公式.
第二次公开课二倍角公式---省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂升角公式
11/13
三、公式了解:
1且、“对 “”是二倍角二”倍定角义，了“解4：”是不“但“2 2”二”是倍“角，”“二3倍 角”是，3而
二倍角。 2
2
2、公式成立条件：1、S2 、C2在任何条件下均成立.
2、 T2 成立，则需 1 tan2 0且 tan
例2.（公式巩固性练习）求值
1、 2sin 22.50 cos 22.50 2
2
2、2 cos2 1 2
8
2
6/13
3、 2 tan150 1 tan2 150
3 3
4.
tan 12
1 tan 2
3 6
12
5. sin2 cos2 2
8
82
7/13
六、本节小结:
1.了解并掌握二倍角正弦、 余弦、正切公式。
二倍角公式
1/13
一、复习:和角公式 sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan
1 tan tan
提出问题 若“ ”，则
2/13
二、二倍角公式
sin( ) sin cos cos sin
cos 12
13
sin 2 2sin cos 2
5 (12) 120
13 13 169
cos 2 1 2sin2 1 2 ( 5 )2 119
13 169
tan 2 sin 2 (120)169 120 cos 2 169 119 119
13/13
cos( ) cos cos sin sin
二倍角公式课件
描述
通过二倍角公式，我们可以将一个角 度的三角函数值转化为两个较小角度 的三角函数值的组合，从而简化计算 过程。
二倍角公式的推导过程
推导
二倍角公式的推导主要基于三角函数的加法定理和倍角公式。通过将一个角度的三角函数值表示为两个较小角度的三 角函数值的和或差，再利用三角函数的加法定理进行化简，最终得到二倍角公式。
02
03
04
题目一
计算sin(45°)的值。
答案解析
通过二倍角公式，可以将45° 转换为2×22.5°，然后利用已 知的三角函数值进行计算。
题目二
求cos(135°)的值。
答案解析
利用二倍角公式，将135°转 换为2×67.5°，然后利用已知
的三角函数值进行计算。
THANKS
感谢观看
二倍角公式ppt课件
目录
• 二倍角公式的定义 • 二倍角公式的形式 • 二倍角公式的扩展 • 二倍角公式的应用 • 总结与回顾
01
二倍角公式的定义
Chapter
什么是二倍角公式
定义
二倍角公式是三角函数中一系列用于 计算二倍角度Leabharlann 正弦、余弦和正切的 公式。举例
二倍角公式中最常用的有正弦二倍角 公式、余弦二倍角公式和正切二倍角 公式。
二倍角公式的应用场景
应用领域
二倍角公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的 应用。例如，在求解振动问题、波动问题、电磁学 问题等过程中，常常需要用到二倍角公式来化简角 度或计算相关量。
举例说明
在求解振动问题时，常常需要用到正弦二倍角公式 来计算振幅、频率等参数；在求解波动问题时，需 要用到余弦二倍角公式来计算波速、波长等参数； 在求解电磁学问题时，需要用到正切二倍角公式来 计算电场强度、磁场强度等参数。
二倍角公式公开课课件
为 $cos A = 2cos^2frac{A}{2} - 1$。
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
感谢观看
THANKS
详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
感谢观看
THANKS
详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。
二倍角公式公开课课件
二倍角公式公开课课件
课程名称：二倍角公式公开课 本课程将带您深入了解二倍角公式的概念和应用，通过图像、实例和技巧的 讲解，助您轻松掌握二倍角公式。
引言
二倍角公式是什么？为什么学习它？在本节课中，我们将回答这些问题，为您介绍二倍角公式的基本概念和重 要性。
基本概念Biblioteka 角度学习角的定义和计量单位，为后续学习打下基础。
详细讲解二倍角公式的推导过程，帮助理解其原理。
5
解题技巧与注意事项
分享解题的技巧和注意事项，让学习更加高效。
应用举例
二倍角公式在三角形中 的应用
了解如何利用二倍角公式解 决三角形相关问题。
二倍角公式在电路中的 应用
探索二倍角公式在电路分析 中的应用场景。
二倍角公式在工程问题 中的应用
学习如何利用二倍角公式解 决实际工程中的角度计算问 题。
结
通过本次课程，您将全面了解二倍角公式的重要性，并获得掌握二倍角公式的有效方法。继续学习和实践，您 将能够灵活应用二倍角公式解决各种问题。
参考资料
以下是推荐的相关书籍、视频、网站等资源，供您进一步学习与深入研究。
弧度
了解弧度的概念及其与角度的转换关系。
正弦、余弦、正切
掌握三角函数的定义和常用性质。
三角函数 & 二倍角公式
1
三角函数的图像
通过图像展示正弦、余弦、正切函数的特点。
2
复习三角函数公式
回顾三角函数的基本公式，为学习二倍角公式打下基础。
3
什么是二倍角公式？
深入解释二倍角公式的概念和用途。
4
二倍角公式的推导过程
课程名称：二倍角公式公开课 本课程将带您深入了解二倍角公式的概念和应用，通过图像、实例和技巧的 讲解，助您轻松掌握二倍角公式。
引言
二倍角公式是什么？为什么学习它？在本节课中，我们将回答这些问题，为您介绍二倍角公式的基本概念和重 要性。
基本概念Biblioteka 角度学习角的定义和计量单位，为后续学习打下基础。
详细讲解二倍角公式的推导过程，帮助理解其原理。
5
解题技巧与注意事项
分享解题的技巧和注意事项，让学习更加高效。
应用举例
二倍角公式在三角形中 的应用
了解如何利用二倍角公式解 决三角形相关问题。
二倍角公式在电路中的 应用
探索二倍角公式在电路分析 中的应用场景。
二倍角公式在工程问题 中的应用
学习如何利用二倍角公式解 决实际工程中的角度计算问 题。
结
通过本次课程，您将全面了解二倍角公式的重要性，并获得掌握二倍角公式的有效方法。继续学习和实践，您 将能够灵活应用二倍角公式解决各种问题。
参考资料
以下是推荐的相关书籍、视频、网站等资源，供您进一步学习与深入研究。
弧度
了解弧度的概念及其与角度的转换关系。
正弦、余弦、正切
掌握三角函数的定义和常用性质。
三角函数 & 二倍角公式
1
三角函数的图像
通过图像展示正弦、余弦、正切函数的特点。
2
复习三角函数公式
回顾三角函数的基本公式，为学习二倍角公式打下基础。
3
什么是二倍角公式？
深入解释二倍角公式的概念和用途。
4
二倍角公式的推导过程
北师大版必修第二册4-3-1二倍角公式课件(45张)
∵54π<x<74π，∴－32π<π4－x<－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
[巧归纳] 先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系．尽
量出现条件中的角，以便能整体代入，减少运算量.
[练习 2] 1.已知 cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且 α，β∈0，π2，则 cos(α－β)的值等于
( D)
A.－12
1 B.2
C.－13
23 D.27
解析：∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)． ∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－79，
∴sin 2α＝ 1－cos22α＝492， 而 α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，
sin cos
α＋cos α－sin
αα＝2(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)．
因为 α∈0，π4，所以 sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2＝12，即 sin 2α＝12.由 α∈0，π4，得 2α∈0，π2，所以 2α＝π6，即 α
＝1π2.
[巧归纳] 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行： (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值； (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大 小. [练习 3] 已知 3sin2α＋2sin2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且 α，β 都是锐角，求 α＋2β 的值．
[解] (1)由 2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠π8＋k2π，k∈Z，所以 f(x)的定义域为 x∈Rx≠π8＋k2π，k∈Z .
二倍角的正弦、余弦、正切公式-PPT课件
sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
7
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是 否存在某种关系？
tan2
1 cos 2
1 cos 2
tan sin 2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
思考4：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的
三角函数关系？
6
探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα， cosα与cos2α的关系分别如何？
sin 4x
tanx 学科网
例4 已知 sin cos π)，求cos2α的值.
13，且α∈(0，
17 9
12
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α
的两倍,
4α是2α的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记
忆，需要时可直接推导.
13
作业：
P135练习：2，3，4，5.
14
cos 2
1 tan2 1 tan2
sin 2
二倍角的三角函数ppt名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
3.公式变形:
1+ cos 2a 2cos2 a
1- cos 2a 2sin2 a
对一种人来说，所期望旳不是别旳，而仅仅 是他能全力以赴和献身于一种美妙事业.
——爱因斯坦
二倍角公式
sin 2a 2sina cosa ; S2α
cos 2a cos2 a - sin2 a; C2α cos 2a 2cos2 a - 1;
cos 2a 1 - 2sin2 a;
tan 2a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 tan a 1 - tan2 a
.
T2α
公式旳特征与记忆：
1.左边角是右边角的二倍.
7. 5
1.措施上：学会怎样去发觉数学规律，并体会从一般化 归为特殊这一基本数学思想在探索中所起旳作用.
2.知识上：记住二倍角公式.
sin 2a 2sina cosa
cos 2a cos2 a - sin2 a 2 cos2 a -1 1- 2sin2 a
tan
2a
2 tana 1- tan2 a
2.左边是2a的三角函数的一次式，右边是a的
三角函数的二次式. 由左到右：升幂缩角；由右到左：降幂扩角. 3.二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式， 正切是分式.
练一练
填空：(1)sin 4a 2sin_2_a_ cos_2_a_;
(2)cos a
a
a
cos2 _4_- sin2 _4_;
2
(3) cos a
3
2
cos2 a
_______6__
- 1;
(4) tan 3a
2 tan_32a_ 1 - tan2 _32a_
.
提升总结：了解公式旳推导措施
中职数学课件6.2二倍角公式
,π
，故
sin
θ 2
=
1−cos²
θ 2
=
1−
1 3
2
=232 ．
想一想
求cos θ 的值还 有其他方法吗？
因此，
sinθ
=
2sin
θ 2
cos
θ 2
=2×232×
−
1 3
=-
42 9
，
cosθ
=2cos²2θ-1=2×
−
1 3
2
−1=−
7 9
．
6.2 二倍角公式
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4
证明：
tanθ=
1−cos2θ sin2θ
．
解
右边=
1−cos2θ sin2θ
=
1−(1−2sin²θ) 2sinθcosαθ
2sin²θ = 2sinθcosαθ
=tanθ=左边， 所以原等式成立．
6.2 二倍角公式
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
1.求下列各式的值． （1）2sin15°cos15° ； （2） 2cos²1π2 -1 ；
二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin2α=2sinαcosα
S2α
cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α C2α
tan2α=
2tanα 1−tan²α
T2α
上面三个公式统称二倍角公式．
6.2 二倍角公式
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
证明．
5 −35
=-43
，所以
tan2α=
《二倍角公式》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
．
余弦的二倍角公式还有哪些变形？
由cos 2α＝2cos2α－1 升幂变形得: 1＋cos 2α＝2cos2α
升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α 1－cos 2α＝2sin2α
观察一下二倍角余弦公式中项的次数，可以做怎样变形？
相应的，我们也可对其作降幂变形：
由cos 2α＝1－2sin2α 升幂变形得：1－cos 2α＝2sin2α
解：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ ；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝ ；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ ；
sin215°＋cos215°＝1，
故选 B .
பைடு நூலகம்
B
解： ．
故选 C．
若则．
C
解：
故选 D．
若，则值为（ ）
D
解： ，
．故答案为： ．
设 ，则 的值是________．
解：已知角α是第二象限角，所以sinα＞0．
由二倍角公式，有 ，
同理： ， ．
(寻找角与角之间关系)
(二倍角余弦公式)
(诱导公式)
认真观察题目，已知角和所求角有什么关系？
二倍角公式
第四章 三角恒等变换
相关著名历史人物
两角和的三角函数公式
比鲁尼 (973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．
已知 ，则sin2α的值为多少？
余弦的二倍角公式还有哪些变形？
由cos 2α＝2cos2α－1 升幂变形得: 1＋cos 2α＝2cos2α
升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α 1－cos 2α＝2sin2α
观察一下二倍角余弦公式中项的次数，可以做怎样变形？
相应的，我们也可对其作降幂变形：
由cos 2α＝1－2sin2α 升幂变形得：1－cos 2α＝2sin2α
解：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ ；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝ ；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ ；
sin215°＋cos215°＝1，
故选 B .
பைடு நூலகம்
B
解： ．
故选 C．
若则．
C
解：
故选 D．
若，则值为（ ）
D
解： ，
．故答案为： ．
设 ，则 的值是________．
解：已知角α是第二象限角，所以sinα＞0．
由二倍角公式，有 ，
同理： ， ．
(寻找角与角之间关系)
(二倍角余弦公式)
(诱导公式)
认真观察题目，已知角和所求角有什么关系？
二倍角公式
第四章 三角恒等变换
相关著名历史人物
两角和的三角函数公式
比鲁尼 (973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．
已知 ，则sin2α的值为多少？
二倍角公式的应用名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
sin 2x cos 2x 1
2 sin(2x ) 1
4
所以函数 f (x)旳最小正周期 T 2 .
(II)由(I)知,当 x k
2x 2k
4
2
2
,即
(k Z )时，f (x)取最大值
.
8
2 1.
应用公式处理问题时应注意旳几种问题：
1. 转化思想是实施三角变换旳主导思想,变换包 括:函数各称变换、角旳变换、常数旳变换、 和积变换、幂旳升降变换等等.
2
即 (cos sin )(cos sin ) 2 ,
2 (sin cos )
2
2 cos
sin
1
.
2
3.已知函数 f (x) sin 2x 2sin2 x.
．
(I)求函数 f (x) 旳最小正周期;
(II)求函数 f (x)旳最大值及 f (x)
取最大值时x旳集合.
解析(：I)因为 f (x) sin 2x (1 cos 2x)
正切：tan 2 2 tan 1 tan2
二倍角公式旳变形
降幂公式：sin2 1 cos2 , cos2 1 cos2 ,
2
2
tan2 1 cos2 .
1 cos2
升幂公式：1 cos2 2sin2 ,
1 cos2 2cos2.
(1 2sin cos ) (sin cos )2
1.已知 sin( x)sin( x) 1 , x ( , ), 求sin 4x.
4
4
62
2.已知
cos
sin(
2
)
2 ,求cos sin 旳值.
2
4
3.已知函数 f (x) sin 2x 2sin2 x.
《高二数学二倍角》课件
对后续学习的展望与建议
展望
在后续的学习中，我们将进一步学习三 角函数的和差公式、积化和差与和差化 积公式等，这些公式与二倍角公式有着 密切的联系。通过深入学习这些公式， 我们可以更好地理解和应用二倍角公式 ，提高解决复杂问题的能力。
VS
建议
为了更好地掌握和应用二倍角公式，建议 同学们多做练习题，通过实践来加深对公 式的理解和掌握。同时，也需要注重培养 自己的数学思维和解决问题的能力，以便 更好地应对各种复杂的数学问题。
题目一解析
利用诱导公式和二倍角公式，将sin(α - 2π/3)转化为cos[π/2 + (α - 2π/3)]，再利用已知条件计算结果为-1/3 。
题目二解析
利用同角三角函数基本关系式，将1/(2sin^2α + cos^2α)转化为(cos^2α)/(2sin^2α + cos^2α)，再利 用已知条件计算结果为3/5。
题目六
已知sin(π/4 - α) = 1/3，求cos(5π/4 + α)的值。
题目四解析
利用诱导公式和二倍角公式，将sin(α - 5π/6)转化为cos[π/2 + (α - 5π/6)]，再利用已知条件计算结果为-4/5 。
题目五解析
利用同角三角函数基本关系式，将1/(sin^2α - cos^2α) 转化为(cos^2α)/(sin^2α - cos^2α)，再利用已知条件 计算结果为-3/4。
题目九
已知sin(π/6 + α) = √5/5，求cos(7π/6 - α)的值。
题目七解析
利用诱导公式和二倍角公式，将sin(5π/6 + α)转化为cos[π/2 + (5π/6 + α)]，再利用已知条件计算结果为7/8。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
8
(1)2cos2 =
(2) sin
;
.
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
π
12
π
6
3
2
=1+cos =1+ .
2
(2)原式=1+sin 4=1+ 2 .
3
答案:(1)1+
2
2
(2)1+
2
第9页
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)sin 2θ=2sin θ.
3.1.3 二倍角正弦、余弦、正切公式
第1页
课
标 阐 释
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正
切公式.
2.能够灵活运用二倍角公式解决求
值、化简和证明等问题.
思
维 脉 络
二倍角公式
二倍角公式的推导
二倍角公式的变形
二倍角公式的应用
第2页
一
二
一、二倍角正弦、余弦和正切公式
【问题思索】
1.在两角和正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样结果?
形式?
提醒:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.依据二倍角余弦公式,sin α,cos α与cos 2α关系分别怎样?
提醒:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,
1-cos2
1+cos2
2
2
sin α=
,cos α=
1
2
3
6
(2)原式= tan 150°=- tan 30°=- .
(1)2cos2 =
(2) sin
;
.
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
π
12
π
6
3
2
=1+cos =1+ .
2
(2)原式=1+sin 4=1+ 2 .
3
答案:(1)1+
2
2
(2)1+
2
第9页
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)sin 2θ=2sin θ.
3.1.3 二倍角正弦、余弦、正切公式
第1页
课
标 阐 释
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正
切公式.
2.能够灵活运用二倍角公式解决求
值、化简和证明等问题.
思
维 脉 络
二倍角公式
二倍角公式的推导
二倍角公式的变形
二倍角公式的应用
第2页
一
二
一、二倍角正弦、余弦和正切公式
【问题思索】
1.在两角和正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样结果?
形式?
提醒:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.依据二倍角余弦公式,sin α,cos α与cos 2α关系分别怎样?
提醒:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,
1-cos2
1+cos2
2
2
sin α=
,cos α=
1
2
3
6
(2)原式= tan 150°=- tan 30°=- .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
24 7
10
三、例题教学(公式正用)
例1
已知 sin
4 5
,
2
,
,
求
sin
2
,
cos
2
,
tan
2的值.
思维小结：
(1) 本题求出 cosα 的值是关键,要注意象限定号；
（2）在求 tan2α 时，直接用切化弦 tan 2 sin 2 ， cos 2
也可先求出 tanα＝csoinsαα，再求 tan2α＝1－2tatannα2α的值.
利用公式 sin 2 cos 2 1变形为：cos2 2 cos2 1
cos2 1 2sin 2
sin sin cos cos sin 令 sin 2 2sin cos
tan tan tan 令
1 tan tan
tan
2
2 tan 1 tan 2
注意定义域:
例1
已知 sin
4 , 5
2
,
,
求
sin
2
,
cos
2 ,
tan
2的值.
解 已求出cos 3，sin 2 24
5
25
所以
2
cos 2
tan
2c os
sin
2 1
4
2
3 5
1
7 25
，再用二倍角的正切公式
cos 3
可求得tan2
=
1
2 tan
tan2
2
4 3
2
1
4 3
tan tan tan
1 tan tan
4
二、二倍角公式的推导
问题： 由一般的 ， 到特殊的两个角相等， 即： ， 你得到什么启示？有什么发现？
cos ？ sin ？
tan ？
5
二、二倍角公式的推导
cos cos cos sin sin 令 cos 2 cos 2 sin 2
⑶ tan 22.5
1 tan2 22.5
1 2
2 1
tan 22.5 tan2 22.5
1 tan 2 22.5 2
1 tan 45 2
1 2
利用公式
tan2α
1
2tanα tan 2α
15
四、例题教学(公式变形用)
例2 ⑴ sin 22.5cos 22.5; ⑵ 1 2sin275;
tan tan
2
1 3
,
解题方法： 应用正切的 二倍角公式
6tan 1 tan 2 ，
tan 2 6tan 1 0,
tan 6 62 4 1 (1)
21
3 10
19
五、练习深化
2、求值：sin
2
12
cos2
12
解
原式=-
cos2
12
sin
2
课题
1
教学目标:
1、了解二倍角公式的推导过程，能够正确运用 公式. 2、通过公式推导,培养学生的逻辑推理能力。 3、引导学生发现数学规律，激发学习兴趣，提 高综合分析、应用数学的能力。
2
教学重点与难点:
重点：二倍角正弦、余弦公式和应用。 难点：二倍角公式的综合应用。
3
一、复习两角和的三角公式
cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin
28
两位伟大的数学家启迪我们， 学习数学的重要性和方法：
数 学 是 知 识 的 工 具， 也 是 其 它 知 识 工 具 的 源 泉， 所 有 研 究
的 科 学 均 和 数 学 有 关。 — —笛 卡 儿
学 习 数 学 要 多 做 习 题， 边 做 边 思 考， 知 其 然， 知 其 所 以 然。
求函数f x的最小正周期。2012年广州文科
思路分析：先应用平方差公式，再用二倍角 公式把函数化简。
解：f (x) (cos x sin x)(cos x sin x)
cos2 x sin 2 x
cos 2x T
2
2
2
23
七、感悟小结
1、这节课你学到了什么知识？怎么获得这些知识？
2、你在推导和应用这些公式的过程中， 用到了哪些 基本的数学思想方法？
1、由一般的和角公式， 设问特殊的情况： 两个角相等 即 ， 探究推导出二倍角公式， 再综合运用公式。 2、 由一般化归到特殊的数学思想：( ) ( ) 把未知元素变为已知元素的转化思想：cos sin
如：２α是α的二倍角；α是 的2 二倍角。
7
二、二倍角公式的变形
sin cos 1 sin 2
2
sin2 1 cos 2 , cos2 1 cos 2 ;
2
2
1 cos 2 2sin2 ,1 cos 2 2 cos2 .
8
三、例题教学(公式正用)
例1
已知 sin
4 5
,
2
,
,求sin 2,cos 2, tan 2的值.
12
cos
6
3 2
解题方法
注意二倍角余 弦公式特点.
20
五、练习深化
3、化简 cos4 sin4
解 原式= cos2 sin2 cos2 sin2
cos 2
思路分析：先用平方差公式，再用 二倍角公式。
21
六、高考接触
（13江苏高考）
4.已知sin( - ) 3 , 求 cos 2的值
tan 22.5
⑶ 1 tan2 22.5 公式变形用技巧：
观察式子的结构特点，对公式有一个整体感知， 将公式进行等价变形。
16
四、例题教学(公式变形用)
例3.化简 1-cos 2 sin 2 1 cos 2 sin 2
解 1 cos 2 sin 2
1 cos 2 sin 2
二倍角余弦公式 应用技巧：
公式正用技巧从：条件出发，顺着问题的线索，
以展开公式的方法使用。
11
四、例题教学(公式变形用)
例2 求下列各式的值
⑴ sin 22.5 cos 22.5; ⑵ 1 2sin275;
⑶
tan 22.5 1 tan2 22.5
12
四、例题教学(公式变形用)
解1sin 22.5 cos 22.5
1 2sin 22.5 cos 22.5 2
2sin2 2 cos2
2sin 2sin
cos cos
2sin sin cos 2cos cos sin
二倍角余弦公式的变 形形式.
sin cos
tan
如，化简 1-cos80
17
五、练习深化
1、已知tan2
1 3
,求 tan 的值。
2、求值：
sin2 cos2
12
解：sin( ) sin( ) 5sin( ) sin 3 ,
5
cos2 1 2sin 2 1 2 ( 3 ) 2
5
解题方法：
用诱导公高考接触
5、已知函数f x=cos x sin xcos x sin x
解
因为sin
=
4 5
,
2
,
, 所以
想一想
2
cos
1 sin 2
1
4 5
求co53s
2、tan
2还有其他方法吗？
sin
2
2 sin
cos
2
4 5
3 5
24 25
,
2
cos 2 tan 2
1
2sin2
sin 2 cos 2
1 2
24 25
7
4 5
24 7
.
7 25
25
9
三、例题教学(公式正用)
2 k
2
即 k k Z
42
6
二、二倍角公式的推导
sin2 α 2sin cos
cos2α cos2α sin 2α 2cos2α 1 1 2sin 2α 二倍角的含义：
tan2
α
2tanα 1 tan 2α
“二倍角” 是一种相对的数量关系。
12
3、化简
cos4 sin4
4.已知sin( - ) 3 , 求 cos 2的值（13江苏高考）
5
5、已知函数f x=cos x sin xcos x sin x
求函数f x的最小正周期。2012年广州文科
18
五、练习深化
1、已知tan2
1 3
,求 tan 的值。
解:
tan2
1
2
24
八、回顾反思
1)、 二 倍 角 公 式 变 换 形 式 多 样， 技 巧 性 强， 有 一 定 难 度， 只 要 抓 住 关 键： 角 的 关 系， 才 能 灵 活 运 用。 2)、 三 角 函 数 的 应 用， 是 高 考 的 常 考 题， 只 要 勤 奋 好 学， 熟 能 生 巧， 就 能 提 高 运 用 数 学 的 能 力。
— —苏 步 青
25
九、课后作业
1、课本：第11页 第1题 2、学习指导书：A组1、3、5
B组第4题
思考: 已知等腰三角形一个底角的正弦值等于
0.8，求这个三角形顶角的正弦家通过 数学学习,变得更加 聪明,更有智慧!
1 sin45 2
解题点拨：对比公式
12 2 2
sin 2 2sin cos
2 4
13
四、例题教学(公式变形用)
3.
⑵ 1 2sin275;
cos150
cos 180 30
cos 30 3 2