相互独立事件同时发生的概率(1)
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（1） “掷一枚硬币，得到正面向上”与“掷一个骰
子，向上的面是2点”独；立
（2）在一次考试中， “张三的成绩及格”与“李四
的成绩不及格独”；立
（3）在一个口袋内装有3个白球和2个黑球，则“从中 任意取出1个球，得到白球”与“从中任意取出1个球，
得到黑球互”斥；
（4）在一个口袋内装有3个白球和2个黑球，则“从中 任意取出1个球，得到白球”与“在剩下的4个球中，
又∵在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结果有3×2 种。
∴从“两个坛子中分别摸出1个球，都是白球”(记为Leabharlann 事P(M ) 3 2
件M)的概率
54
（这是用以前学过的知识解的）
换一个角度分析：
这里有两个坛，从中分别取一球。可看做一次试验，需 要分两步完成（先从甲坛子中摸出1个球再从乙坛子中 摸出1个）。
与P（A）关系如何？ P(A)+P(Ā)=1
引例
甲坛子中有3个白球，2个黑球；乙坛子中有2
个白球，2个黑球；从这两个坛子中分别摸出1个球，假设
每一个球被摸出的可能性都相等。问：它们都是白球的概
率是多少？
解：∵从甲坛子中摸一球有5种等可能的结果，从乙坛
子中摸一球有4种等可能的结果。
∴从两个坛中分别取一球有5×4种等可能的结果。
1
由两此事可件见相两互事独件立相互独立两但事两件事互件斥不. 互斥.
又如：
若 P( A) 1 , P(B) 1 (如图)
2
2
则 P( A B) 0,
B
P( A)P(B) 1 ,
A
4
故 P( AB) P( A)P(B)
由此可见两事件互斥但不独立.
两事件互斥
两事件相互独立.
Ex．下列各对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独 立事件？为什么？
即 P( A1 • A2 •• An ) P( A1) • P( A2 ) •• P( An )
2º独立与互斥的关系 这是两个不同的概念.
两事件相互独立 P(A B) P(A)P(B)
两事件互斥
AB
二者之间没 有必然联系
例如
B
AB
1
若 P( A) 1 , P(B) 1 ,
2
2
A
则 P(A B) P(A)P(B).
【例1】甲、乙2人各进行一次射击，如果2人 击中目标的概率都是0.6，且相互之间没有影 响，计算： （1）2人都击中目标的概率； （2）2人都没有击中目标的概率；
(3)其中恰有1人击中目标的概率； (4)至少有1人击中目标的概率。
巩固练习:1 在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2
，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时 间内两地是否下雨相互之间没有影响， 计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
一般地，如果事件A与事件B相互独立，那么A与B ，
A与B，A与 B 也都是相互独立的。
1.互斥事件与相互独立事件有何区别？ 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相 互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概 率没有影响。
3 显然，从甲坛子中取出白球的概率P(A)= 5
从乙坛子中取出白球的概率P(B)= 2
由 3 2 3 2
4
54 5 4
我们把两个事件A、B同时发生记作A·B，则有
这就是说：
P(A·B)=P(A)·P(B)
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件 发生的概率的积。
一般地，如果事件A1, A2 ,, An互相独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积
P=0.2×0.3＝0.06 （2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有1各地方下雨的概率.
P=1-0.56=0.44
2，某种零件经过三道工序加工才是成品，第一 道工序的合格率是95%，第二道工序的合格率 是98%，第三道工序的合格率是99%，假定这 三道工序互不影响，那么成品的合格率是多少？ （结果精确到0.01）
从一个坛子中取出一球无论是白球还是黑球，对从另一 个坛子里摸出一个球是白球还是黑球没有任何影响。
记从“甲坛子中摸出1个，得到白球”为事件A，记从 “乙坛子中摸出1个，得到白球”为事件B，则事件A(或 B)是否发生对事件B(或A)的发生的概率没有影响，也就 是说事件A(或B)的发生是独立的。
定义：
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)的发生的概率没有影 响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
任意取出1个球，得到黑球”不。 互斥、不独立
练习：甲坛子中有3个白球，2个黑球；乙坛子中有2
个白球，2个黑球；从这两个坛子中分别摸出1个球，假 设每一个球被摸出的可能性都相等。
(1)它们都是黑球的概率是多少？ (2)甲坛子中取出白球,乙坛子中取出黑球的概率是多少？
想一想：如果A,B是互相独立事件，那么1－P(A)P(B)
表示什么？ C
A．事件A、B同时发生；B．事件A、B至少有一个发生； C．事件A、B至多有一个发生；D．事件A、B都不发生；
概率
P(A• B)
P(A• B)
P(A• B) P(A• B)
P(A• B A• B)
1 P(A• B)
1 P(A• B)
意义
AB同时发生 A不发生B发生 A发生B不发生 A不发生B不发生 AB恰有一个发生 AB中至少有一个发生 AB中至多有一个发生
相互独立事件同时发生的概率
复习回顾：①什么叫做互斥事件？ 什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥 事件；如果两个互斥事件在一次试验 中必然有一个发生，这样的两个互斥 事件叫对立事件
②两个互斥事件A、B有一个发生 的概率公式是什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
③若A与Ā为对立事件，则P（Ā）
“从甲袋中取得一个白球”记为事件A， 则事件 A 为“从甲袋中取出的球是黑球” “从乙袋中取得一个白球”记为事件B， 则事件 B 为“从乙袋中取出的球是黑球”
例2：在一段线路中并联着3个自动控 制的常开开关，只要其中有1个开关 能够闭合，线路就能正常工作.假定 在某段时间内每个开关闭合的概率都 是0.7,计算在这段时间内线路正常工 作的概率.
1 P(A• B •C)
1 0.027 0.973
【例3】甲袋中有8个白球和4个黑球，
乙袋中有6个白球和6个黑球，从每袋中任 取一个球，问取得同色球的概率是多少？
子，向上的面是2点”独；立
（2）在一次考试中， “张三的成绩及格”与“李四
的成绩不及格独”；立
（3）在一个口袋内装有3个白球和2个黑球，则“从中 任意取出1个球，得到白球”与“从中任意取出1个球，
得到黑球互”斥；
（4）在一个口袋内装有3个白球和2个黑球，则“从中 任意取出1个球，得到白球”与“在剩下的4个球中，
又∵在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结果有3×2 种。
∴从“两个坛子中分别摸出1个球，都是白球”(记为Leabharlann 事P(M ) 3 2
件M)的概率
54
（这是用以前学过的知识解的）
换一个角度分析：
这里有两个坛，从中分别取一球。可看做一次试验，需 要分两步完成（先从甲坛子中摸出1个球再从乙坛子中 摸出1个）。
与P（A）关系如何？ P(A)+P(Ā)=1
引例
甲坛子中有3个白球，2个黑球；乙坛子中有2
个白球，2个黑球；从这两个坛子中分别摸出1个球，假设
每一个球被摸出的可能性都相等。问：它们都是白球的概
率是多少？
解：∵从甲坛子中摸一球有5种等可能的结果，从乙坛
子中摸一球有4种等可能的结果。
∴从两个坛中分别取一球有5×4种等可能的结果。
1
由两此事可件见相两互事独件立相互独立两但事两件事互件斥不. 互斥.
又如：
若 P( A) 1 , P(B) 1 (如图)
2
2
则 P( A B) 0,
B
P( A)P(B) 1 ,
A
4
故 P( AB) P( A)P(B)
由此可见两事件互斥但不独立.
两事件互斥
两事件相互独立.
Ex．下列各对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独 立事件？为什么？
即 P( A1 • A2 •• An ) P( A1) • P( A2 ) •• P( An )
2º独立与互斥的关系 这是两个不同的概念.
两事件相互独立 P(A B) P(A)P(B)
两事件互斥
AB
二者之间没 有必然联系
例如
B
AB
1
若 P( A) 1 , P(B) 1 ,
2
2
A
则 P(A B) P(A)P(B).
【例1】甲、乙2人各进行一次射击，如果2人 击中目标的概率都是0.6，且相互之间没有影 响，计算： （1）2人都击中目标的概率； （2）2人都没有击中目标的概率；
(3)其中恰有1人击中目标的概率； (4)至少有1人击中目标的概率。
巩固练习:1 在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2
，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时 间内两地是否下雨相互之间没有影响， 计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
一般地，如果事件A与事件B相互独立，那么A与B ，
A与B，A与 B 也都是相互独立的。
1.互斥事件与相互独立事件有何区别？ 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相 互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概 率没有影响。
3 显然，从甲坛子中取出白球的概率P(A)= 5
从乙坛子中取出白球的概率P(B)= 2
由 3 2 3 2
4
54 5 4
我们把两个事件A、B同时发生记作A·B，则有
这就是说：
P(A·B)=P(A)·P(B)
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件 发生的概率的积。
一般地，如果事件A1, A2 ,, An互相独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积
P=0.2×0.3＝0.06 （2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有1各地方下雨的概率.
P=1-0.56=0.44
2，某种零件经过三道工序加工才是成品，第一 道工序的合格率是95%，第二道工序的合格率 是98%，第三道工序的合格率是99%，假定这 三道工序互不影响，那么成品的合格率是多少？ （结果精确到0.01）
从一个坛子中取出一球无论是白球还是黑球，对从另一 个坛子里摸出一个球是白球还是黑球没有任何影响。
记从“甲坛子中摸出1个，得到白球”为事件A，记从 “乙坛子中摸出1个，得到白球”为事件B，则事件A(或 B)是否发生对事件B(或A)的发生的概率没有影响，也就 是说事件A(或B)的发生是独立的。
定义：
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)的发生的概率没有影 响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
任意取出1个球，得到黑球”不。 互斥、不独立
练习：甲坛子中有3个白球，2个黑球；乙坛子中有2
个白球，2个黑球；从这两个坛子中分别摸出1个球，假 设每一个球被摸出的可能性都相等。
(1)它们都是黑球的概率是多少？ (2)甲坛子中取出白球,乙坛子中取出黑球的概率是多少？
想一想：如果A,B是互相独立事件，那么1－P(A)P(B)
表示什么？ C
A．事件A、B同时发生；B．事件A、B至少有一个发生； C．事件A、B至多有一个发生；D．事件A、B都不发生；
概率
P(A• B)
P(A• B)
P(A• B) P(A• B)
P(A• B A• B)
1 P(A• B)
1 P(A• B)
意义
AB同时发生 A不发生B发生 A发生B不发生 A不发生B不发生 AB恰有一个发生 AB中至少有一个发生 AB中至多有一个发生
相互独立事件同时发生的概率
复习回顾：①什么叫做互斥事件？ 什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥 事件；如果两个互斥事件在一次试验 中必然有一个发生，这样的两个互斥 事件叫对立事件
②两个互斥事件A、B有一个发生 的概率公式是什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
③若A与Ā为对立事件，则P（Ā）
“从甲袋中取得一个白球”记为事件A， 则事件 A 为“从甲袋中取出的球是黑球” “从乙袋中取得一个白球”记为事件B， 则事件 B 为“从乙袋中取出的球是黑球”
例2：在一段线路中并联着3个自动控 制的常开开关，只要其中有1个开关 能够闭合，线路就能正常工作.假定 在某段时间内每个开关闭合的概率都 是0.7,计算在这段时间内线路正常工 作的概率.
1 P(A• B •C)
1 0.027 0.973
【例3】甲袋中有8个白球和4个黑球，
乙袋中有6个白球和6个黑球，从每袋中任 取一个球，问取得同色球的概率是多少？