长方体正方体的切割组合问题
人教版数学五年级下册长方体正方体的切分拼接问题
长方体和正方体的切分、拼接问题教学内容：把长方体和正方体进行切分或拼接之后表面积和体积的变化教学目标：１、进一步发展学生的空间观念。
２、通过观察和操作理解立体图形在切分之后表面积增大了，而体积不变。
拼接之后表面积减少了，体积不变。
３、通过一题多解，充分发展学生的思维能力。
４、经历观察、操作和讨论等学习活动，体验数学学习的乐趣。
教学重点：通过观察和操作理解立体图形在切分、拼接之后表面积发生变化，而体积不变。
教学难点：理解立体图形在切分之后表面积增大了，拼接之后表面积减少了教具学具：多媒体课件、长方体、正方体教学过程：一、导入课题：师：老师要把一块（长方体形状）的蛋糕奖励给课上表现最好的两位同学，怎么办呢？[切开]师：那怎么切呢？请一位同学上台演示切分过程。
师：除了这种方法，还有不同的方法吗？[小组讨论，并用实物进行实验操作]学生汇报结果，[师同时出示多媒体课件的示意图]师：通过观察和实验你发现了什么？二、探究新知：１、学生总结长方体的切分规律：表面积变大，每切一次多２个面；体积不变。
２、基本练习：５厘米８厘米１０厘米如果把这个长方体平分成两个小长方体后，表面积会增加多少呢？最多会增加（）平方厘米，最少会增加（）平方厘米。
３、一块正方体的蛋糕，如果把它平分给3位同学，该怎么办呢？[让学生上讲台进行演示实验操作]提问：有没有其它切法？[因为正方体的所有面都是完全一样的正方形，所以不管怎样切，切面也是正方形]提问：切开后，原来正方体的表面积怎么变了？[多了4个面]出示习题：一个正方体，如果把它切成3个完全一样的长方体，表面积增加了20平方分米，则这个正方体的表面积是（）平方分米。
４、导入“拼结”环节：老师把切开的三块面包叠放着收起来，准备过会儿奖励给课上表现好的同学。
出示拼接长方体（模拟三块面包的叠放过程）的幻灯片，请同学们认真观察老师刚才收面包的这个过程，你发现了什么？学生汇报：把长方体或正方体拼在一起，表面积减小，每拼一次少2个面，体积不变。
立方体的切割与重组三维设计
立方体的切割与重组三维设计介绍立方体是一个具有六个面、八个顶点和十二条边的多面体，拥有如此多的元素使得我们可以进行各种切割和重组的设计。
通过合理的切割和重组，我们能够创造出各种有趣的三维结构和形状。
本文将深入探讨立方体的切割与重组设计，并给出具体的案例和步骤。
切割设计案例案例一：立方体正方形切割1.将立方体的一个面切割成一个正方形。
2.将正方形切割成四个小正方形。
3.将这四个小正方形分别与立方体的四个侧面粘合。
案例二：立方体长方体切割1.将立方体切割成两个相等的长方体。
2.将其中一个长方体切割成一个小正方体和一个长方体。
3.将小正方体与另一个长方体的一个侧面粘合。
案例三：立方体六面体切割1.将立方体的一个顶点与相对面上的三个顶点连接，形成一个六面体。
2.将这个六面体切割成两个四面体和两个三角形。
3.将两个四面体通过它们的长方体部分相互粘合。
重组设计案例案例一：立方体的堆叠1.将多个立方体按照一定的规则堆叠，形成一个大的立方体结构。
2.根据堆叠的方式和顺序，可以创造出各种有趣的形状和结构。
案例二：立方体的组合1.将两个或多个立方体通过粘合或连接的方式组合在一起，形成一个新的结构。
2.这种组合可以是简单的拼接，也可以是错位和旋转的组合，创造出丰富多样的形态。
案例三：立方体的剖面设计1.在立方体上切割出一条或多条曲线，形成一个或多个剖面。
2.这些剖面可以作为装饰性的设计元素，也可以在实际应用中起到功能性的作用。
案例四：立方体的变形设计1.对立方体进行切割和重组，使其形状发生变化。
2.可以通过扭曲、拉伸、旋转等方式对立方体进行变形，创造出独特的形态和结构。
设计步骤1.确定切割和重组的目标和要求。
2.根据目标和要求选择适合的案例，或自行设计切割和重组方案。
3.使用切割工具（如刀具、剪刀等）进行切割，确保切割线的准确性和平整度。
4.使用粘合剂或其他连接方式进行粘合或组合，注意连接的牢固性和平衡性。
5.对切割和重组后的结构进行调整和优化，确保其稳定性和美观度。
高考复习28-组合体的“切”“接”综合问题高考试题解读与变式
高考复习28 ：组合体的“切”“接”综合问题知识储备汇总1.知识储备汇总: 1.1球的性质球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R ，截面圆的半径r ，球心到截面圆的距离为d ，则222d r R +=.1.2长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 1.3几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则23R a =； ②正方体的内切球，则2R a =； ③球与正方体的各棱相切，则22R a =.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为,,a b c ，外接球的半径为R ，则2222R a b c =++. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图. 1.5.解决与球有关的切、接问题的方法：(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各素之间的关系．(2)若球面上四点,,,P A B C 中,,PA PB PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．1.6.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的．题型与相关高考题解读1.棱柱的外接球问题 1.1考题展示与解读例1 长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 ________．【命题意图探究】本题主要考查长方体的对角线性质、球的表面积公式,是容易题.【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球内接直棱柱问题，利用球心到棱柱底面所在的截面圆的距离就是棱柱高的一半，棱柱底面所在的截面圆的半径利用正弦定理计算，再利用球的截面性质即可求出球的半径，再利用球的表面积或体积公式计算球的表面积或体积.1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A. 163πB.193πC.1912πD.43π【变式2：改编结论】底面边长为1，侧棱长为263的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（)A. 32π3B. 4πC. 2πD.4π3【变式3：改编问法】已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（）A. 16B.C.D. 82.球与圆柱或圆锥的切接问题2.1考题展示与解读例2已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．A．πB．3π4C．π2D．π4【命题意图探究】本题主要考查球内接圆柱的体积问题，是基础题.【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球内接圆柱问题，利用球的截面性质沟通球的半径与圆柱底面半径高之间的关系.2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )A. πB. 34πC.2πD. 6π【变式2：改编结论】已知圆锥的底面半径为4，高为8，则该圆锥的外接球的表面积为（）A. 10πB. 64πC. 100πD. 500 3π【变式3：改编问法】某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是边长为23的正三角形，该几何体的外接球的表面积为（）A. 9πB. 16πC. 24πD. 36π3.棱锥的外接球问题3.1考题展示与解读例3已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【命题意图探究】本题主要考查球内接棱柱问题及球的表面积，是中档题.【解题能力要求】空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力【方法技巧归纳】球内接棱锥问题，若有同一顶点上三条垂直的棱，可将三棱锥补成球内接长方体，利用长方体的对角线的平方等于同于同一顶点三棱长的平方和、长方体的对角线等于球的直径沟通球与棱锥量之间的关系.3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是A. 27πB.π C. 9π D.π 【变式2：改编结论】在正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的直径为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【变式3：改编问法】已知四棱锥E-ABCD 的都在球心为，半径为的球面上，四边形ABC D 为矩形，，且，则四棱锥E-ABCD 的体积的最大值为（ ）A.324B. 372，C. 38D. 348 4.多面体内切球问题 4.1考题展示与解读例4在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【命题意图探究】本题主要考查直棱柱内的球的最大体积问题，是中档题. 【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】立体几何最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解． 4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_______．【变式2：改编结论】在正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC ∆内切圆的半径为263，则该正方体内切球的表面积为 ( )A. 2πB. 8πC. 12πD. 16π【变式3：改编问法】已知一个直三棱柱，其底面是正三角形，一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是A. 243B. 183C. 123D. 3典例高考试题演练1.若正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，设正四棱锥P ABCD -的高为1，则球O的体积为（ ） A.43π B. 23π C. 4π D. 22π 2.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．B ．27πC ．27πD ．3.网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程，某同学有一圆锥状的木块，想把它“车成珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12cm ，体积为96πcm 3，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是（ ） A ．36πcm 3 B ．12πcm 3C ．9πcm 3D ．72πcm 34.半径为2的球O 中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（ ） A ．16（）B ．16（） C ．8（2）D ．8（2）5.已知一个四棱锥三视图如图所示，若此四棱锥的五个顶点在某个球面上，则该球的表面积为( )A. 48πB. 52πC.1723π D. 1963π6.将半径为4的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A.83π B. 163π C. 43π D. 43 7.若一个正四面体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，则12S S ＝（ ）A.6π B. 2π C. 16πD. 63π8.已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为（ ） A.823π B. 833π C. 863π D. 1623π 9.某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.556π10.已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ） A.B.C.D .11.三棱锥A BCD -的一条长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为( ) A.53π B. 54π C. 56π D. 58π 12.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则的值是13.已知三棱锥的三条棱所在的直线两两垂直且长度分别为3，2，1，顶点都在球的表面上，则球的表面积为__________.14.已知四棱锥 P ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PA 与底面垂直，且PA=AB ，若该四棱锥的侧面积为16 __．15.已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为2，当球的体积最小时，正六棱柱底面边长为_________．。
长方体和正方体基本题型归纳(切拼……
长方体与正方体必须掌握的几种题型一算表面积1、一个长方体的无盖玻璃鱼缸，它的长是90厘米，宽是30厘米，高是60厘米，制作这个鱼缸至少需要多大面积的玻璃2、一节排气管道长1米，它的横截面是一个正方形，边长是2厘米，做一节这样的排气管至少需要多少平方米的铁皮·3、粉刷一间长5米、宽4米、高3米的房间，房间门窗面积是8平方米，这间房的粉刷面积是多少4、加工厂要加工洗衣机的机套（没有低面），每台洗衣机的长59.5厘米，宽42.5厘米，高80厘米，做1000个机套至少用布多少平方米，5、健身中心建一个游泳池，该游泳池的长50米，是宽的2倍，深2·5米，要在池的四周和低面都贴上瓷砖，共需要多少平方米的瓷砖（二算体积1.一个长方体的低面积是20厘米⒉，高是8厘米，长方体的体积是多少2.将一个长12 厘米，宽10厘米，高5厘米的长方体截成一个体积最大的正方体，这个正方体的体积是多少【3.一根2米长的长方体木块，平均截成两段后表面积增加了0·6平方米，求原来长方体木块的体积4.用水泵往一个长50米、宽30米的游泳池中注水，如果这个水泵每时能注水200平方米的水，多少时间才能使水深达2·4米@5、挖一个长10m、宽8m、深5m的长方体蓄水池。
（1）、这个蓄水池的占地面积是多少（2）、水池能蓄水多少立方米,（3）、如果要在水池的四壁和底部贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少《（4）、在水池内壁4米处画一条水位线，水位线全长多少米5、一个长方体木料的长是3m，宽是0·5m，厚是0·12m，它的体积是多少合多少立方分米[6、建筑工地要挖一个长50m、宽30m、深50cm的长方体土坑，挖出多少方的土7、家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是24平方分米，长是3米，这些木料共多少方…8、公园要修一道15厘米,厚24厘米,高3米的围墙.如果没立方米用砖525块,这道围墙一共用砖多少块9、小敏房间的地面是长方形。
(完整版)长方体和正方体知识点汇总
第二讲 长方体和正方体一、长方体和正方体的认识个、5个面是正方形！练习：（1）判断并改正：1、长方体的六个面一定是长方形； ( )2、正方体的六个面面积一定相等； ( )3、一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等； ( )4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。
( )7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。
( )8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。
( )9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。
（ ）11、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。
（ ）12、长方体和正方体最多可以看到3个面。
（ ）14、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。
（ ）15、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。
（ ）16、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。
（ ）（2）填空：1、一个长方体最多有（ ）个面是正方形，最多有（ ）条棱长度相等。
2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（ ）形。
3、 正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（ ），它的六个面都是相等的（ ）形。
4、 把长方体放在桌面上，最多可以看到（ ）个面。
最少可以看到（ ）个面。
【知识点2】棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长和÷4长方体棱长和=下面周长×2+高×4长方体棱长和=右面周长×2+长×4长方体棱长和=前面周长×2+宽×4正方体棱长和=棱长×12 棱长=棱长和÷12棱长和的变形：例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。
长方体和正方体(三)表面积与体积二
表面积和体积（二）【知识点1】：长方体正方体的切割与拼接例1：一个长方体底面是一个边长为20厘米的正方形，高为40厘米，如果把它的高增加5厘米，它的表面积会增加多少平方厘米？练习1：有一个长方体，如果把高增加3cm后，就变成一个正方体，表面积就会增加96cm2。
求这个长方体的体积。
练习2：把一个长方体和一个正方体拼成一个新的长方体，这个新长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了80平方厘米，求正方体的表面积。
练习3：把一个长方体截去一个高为8厘米的长方形后，剩下的部分是一个正方体。
正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米。
求原来长方体的体积。
例2：把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了多少平方厘米。
练习1:一个长方体正好可以切成5个同样大小的正方体，切成的５个正方体的表面积比原来长方体表面积多了２００平方厘米，求原来长方体的表面积？练习2：把一个正方体木块锯成3个大小一样的小长方体后，表面积增加了36平方厘米。
原来正方体的表面积是多少？练习3：用两个棱长是3厘米的正方体，拼成一个长方体，它的表面积比两个正方体的表面积少多少平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米。
例3：把棱长12厘米的正方体切割成棱长是3厘米的小正方体，可以切割成多少块？练习1：一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的小正方体，表面积增加了多少平方厘米？练习2：有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成相等的8个小正方体，表面积增加多少平方米？练习3：如下图，一个正方体被切成12个大大小小的长方体，这些长方体表面积的总和是350平方厘米，求原来正方体的表面积和体积。
例4：把一个长为10分米，宽为6分米，高为8分米的长方形，切割成相等的两个长方体，有几种切法，那种增加的表面积最多？哪种增加的表面积最少？练习1：把两个相同的长方体拼成一个大的长方体，已知小长方体的长是8cm，宽是6cm，高是3cm。
长方体和正方体的切割和拼接方法
长方体和正方体的切割和拼接方法长方体和正方体是几何学中常见的三维图形，它们在我们的日常生活和工作中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨长方体和正方体的切割和拼接方法。
一、长方体的切割方法1. 水平切割：我们可以将长方体水平切割成多个平行的圆柱体或盒子。
这种切割方法常见于制作蛋糕层或者木材加工中的板材切割。
2. 垂直切割：通过垂直切割，可以将长方体分成两个或多个更小的长方体。
这种切割方法常见于建筑领域中的材料加工，比如将木材切割成不同尺寸的板材。
3. 斜面切割：通过在长方体上切割一个斜面，可以获得一个倾斜的长方体或楔形。
这种切割方法常见于设计和建造斜坡或楼梯的场合。
二、正方体的切割方法1. 对角线切割：通过在正方体的对角线上进行切割，可以将正方体分割成八个相等的小正方体。
这种切割方法被广泛应用于教育领域中的几何学教学和拼图游戏中。
2. 平面切割：我们可以通过在正方体的一个面上进行平面切割，将正方体分割成两个或多个较小的三角形、梯形或矩形。
这种切割方法常见于建筑设计和模型制作。
三、长方体和正方体的拼接方法1. 水平拼接：将两个长方体的水平切面粘合在一起，可以形成一个更大的长方体。
这种拼接方法在建筑领域中的混凝土浇筑和木材加工中常见。
2. 垂直拼接：通过将两个长方体的垂直切面粘合在一起，可以形成一个更高的长方体。
这种拼接方法在建筑设计和家具制作中常见。
3. 端面拼接：将两个正方体的一个面或多个面粘合在一起，可以形成一个更大的正方体。
这种拼接方法在拼图游戏和立体模型制作中广泛使用。
四、切割和拼接方法的应用1. 切割和拼接方法为建筑设计师、木工和模型制作者提供了更多的设计可能性和创意空间。
2. 运用切割和拼接方法，可以制作出各种不同形状和尺寸的物体，满足不同场合的需求。
3. 这些方法也有助于我们理解几何学中的几何关系，培养我们对形状和空间的感知能力。
总结：长方体和正方体的切割和拼接方法在几何学和应用数学中发挥着重要的作用。
长方体和正方体应用题专项练习
25、制作一个长 6.5dm，宽 4.2dm，高 2.6dm 的长方体油箱，至少需要铁皮多少平方分米？
如果每升汽油重 0.73 千克，这个油箱最多能装汽油多少千克？（铁皮厚度不计，得数保留
整千克）
27、一块长方体铁皮，长 45cm，宽 30cm。像右图这样从四个角切掉边长为 0.5dm 的正方形，
然后做成一个无盖盒子。这个盒子的容积有多少毫升？
31、用一个棱长 3dm的正方体铁块和一个长 2.5dm，宽、高都是 7cm的长方体铁块可熔成一 具底面积是 35cm2，高多少厘米的长方体铁块？ 32、一根 3m长的方钢，把它横截成 2 段时，表面积增加了 80cm2，求原来方钢的体积？
33、一个长方体油箱， 从里面量长是 70cm，宽是 30cm，高是 85cm，如果每升汽油重约 0. 73
1、一个正方体的棱长是 5cm，这个正方体的棱长总和是多少厘米？
2、用 72cm长的铁丝焊接成一个正方体的框架，这个正方体的棱长是多少厘米？
3、用铁丝焊接成一个长 12cm，宽 10cm，高 5cm的长方体的框架， 至少需要铁丝多少厘米？
4、有一根长 52cm 的铁丝，恰好可以焊接成一个长 6cm，宽 4cm，高多少厘米的长方体？
如果每平分米玻璃 4 元钱，至少需要多少钱买玻璃？
63. 一个抽屉，长 50cm，宽 30cm，高 10cm，做 2 个这样的抽屉，至少需要木板多少平方厘
米？
64、一个长方体铁块，长 10dm，宽 5dm，高 4dm，每立方分米铁块重 7.8 千克，这个铁块重
多少千克？
65、一节长方体形状的铁皮通风管长 2m，横截面是边长为 10cm 的正方体，做这节通风管至
82. 至少要几个小正方体才能拼成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长是
人教部编版五年级数学下册长方体、正方体综合应用
小正方体四周的4个小正 方形面是新增加的面
规范解答： 4×4×6＋1×1×4＝100(cm2) 答：所得立体图形的表面积是100 cm2。
技巧 1 用“观察法”求组合图形的表面积
1．有一个形状如下图的零件，求它的表面积。 将正方体的上表面补到长方体的上表面，得物体的 总面积=长方体的表面积+正方体4个侧面的面积 (12×8＋12×6＋8×6)×2＋3×3×4＝ 468(cm2) 答：它的表面积是468 cm2。
大正方体的棱长是6×2＝12(cm)
6×2＝12(cm) 12×12＝144(cm) 答：这个大正方体的棱长总和是144 cm。
技巧 5 根据增加的面求增加的棱长和
6．把一个棱长为12 cm的正方体木块切割成3个相同的 长方体，切割成的3个长方体的棱长总和比原来正 方体的棱长总和增加多少厘米？
切割成3个相同的长方体，要切2次 增加4个正方形面
根据长减少2 cm，宽、高都不变，体积减少48 cm3
用减少的体积除以减少的长即 得左面或右面的面积
用同样的方法可以求出前面或 后面、上面或下面的面积
48÷2＝24(cm2) 99÷3＝33(cm2) 352÷4＝88(cm2)
(24＋33＋88)×2＝290(cm2) 答：原来长方体的表面积是290 cm2。
再运用“高＝棱长总和÷4－长－宽” 就可以求出长方体的高
规范解答：
8×12＝96(cm) 96÷4－10－7＝7(cm) 答：长方体框架的高是7 cm。
技巧 1 联系实际求棱长总和
1．笑笑家有一个长方体蚊帐(如图)，长2 m，宽1.5 m， 高1.8 m。蚊帐的顶和四周由钢管固定(地面的四周没 有钢管)。固定这样一个蚊帐至少需要多长的钢管？ 2×2＋1.5×2＋1.8×4＝14.2(m) 答：固定这样一个蚊帐至少需要 14.2 m长的钢管。
长方体和正方体(提高)—小学数学讲义
容积和体积【知识点1】容积与体积基本概念1、体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。
注意：当容器壁厚度忽略不计时，体积=容积；否则体积<容积。
比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。
（容器壁忽略不计）体积计算方法：长方体的体积=长×宽×高正方体的体积=棱长×棱长×棱长2、长方体和正方体的体积=底面积×高=右面面积×长=前面面积×宽1）体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等。
2）体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等。
3）体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。
【例题精讲】例1、一个长方体框架长8厘米，宽6厘米，高4厘米，做这个框架共要（）厘米铁丝，是求长方体（），在表面贴上塑料板，共要（）塑料板是求（），在里面能盛（）升水是求（），这个盒子有（）立方米是求（）．例2、有一块面积为36平方分米的铁皮，将其制作成可以容纳最多物体的形状，其棱长是多少？可以容纳多少立方分米的物体？【同步练习】1、一个正方体的棱长和是12分米，它的体积是（）立方分米．2、一个长方体的体积是30立方厘米，长是5厘米，高是3厘米，宽是（）厘米．3、表面积是54平方厘米的正方体，它的体积是（）立方厘米．4、长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是（）厘米，六个面中最大的面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米．5、一个正方体棱长2厘米，体积是（）立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大2倍，它的体积是（）立方厘米。
6、长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？【知识点2】容积和体积的差异相同点不同点容积计算公式相同V=s.hV=a.b.h从容器内部测量容积指容器内部体积计量单位通常为L、ml体积从容器外部测量体积指容器外部体积，或所容纳物体的体积计量单位通常为m、dm、cm、mm【同步练习】1、一个长方体鱼缸从外面量长宽高分别为5分米、2.5分米、3分米，，从里面量长宽高分别为4.9分米、2.4分米、2.9分米，这个鱼缸的容积是（），体积是（），如果鱼缸中装满水，水的体积是（）。
初中数学知识归纳立体几何体的切割与拼接
初中数学知识归纳立体几何体的切割与拼接初中数学知识归纳：立体几何体的切割与拼接在初中数学中，我们学习了许多有关几何的知识，其中立体几何是一个重要的部分。
在立体几何中，我们经常会遇到对立体体进行切割和拼接的问题。
本文将对初中数学中与立体几何体的切割与拼接相关的知识进行归纳和总结。
1. 立体几何体的切割立体几何体的切割是指将一个立体体分割成若干部分的过程。
常见的立体几何体包括长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
下面以长方体为例来介绍几种常见的切割方式。
1.1 横切割横切割是指将长方体沿着垂直于一条边的平面进行切割，从而分割成两个部分。
如下图所示，将一个长方体切割成上下两个部分。
```_________/ 上 //_________// // 下 //______/```1.2 垂直切割垂直切割是指将长方体沿着垂直于两个相对面的平面进行切割，将其分成两个部分。
如下图所示，将一个长方体切割成前后两个部分。
```_________/ // 后 //_________// // 前 //________/```1.3 平行切割平行切割是指将长方体沿着平行于某一条边的平面进行切割，将其分成两个部分。
如下图所示，将一个长方体切割成左右两个部分。
```___________/ // 右 //________// // 左 //________/```除了长方体，其他立体几何体也可以进行类似的切割操作。
通过在适当位置切割，我们可以得到不同形状和大小的切割部分。
2. 立体几何体的拼接在切割和拼接问题中，我们通常会涉及到将不同的切割部分进行拼接，使其组合成一个新的立体体的操作。
下面以长方体为例来介绍几种常见的拼接方式。
2.1 拼接两个立方体拼接两个立方体是指将两个相同形状的立方体通过一些相应的操作使其相连，从而形成一个新的立方体。
如下图所示，将两个相同大小的立方体沿着一个面拼接在一起。
```_________________/ | |/ | |/___|_____________|```2.2 拼接不同形状的立方体除了拼接相同形状的立方体，我们还可以拼接不同形状的立方体，通过调整它们的位置和方向来使它们相连。
长方体和正方体3
长方体与正方体知识点45、立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）长方体沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。
沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。
而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。
正方体无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。
例如：两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。
基础练习：（1）把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（）㎡。
（2）用两个长4厘米、宽4厘米、高1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（）平方厘米，最小是（）平方厘米。
（3）把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了（）平方厘米。
⏹从一个长方体中切出一个最大的正方体问题应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。
例如：在一个长是4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？剩余部分的表面积是多少？⏹立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题） 长方体将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。
将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。
而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。
正方体无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。
基础练习：（1）把三个棱长是1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（），比原来3个正方体表面积之和减少了（）。
长方体和正方体的立体形变换和组合
长方体和正方体的立体形变换和组合在几何学中，长方体和正方体是两种常见的立体图形。
它们具有不同的特征和性质，但也可以通过形变和组合来创造出新的图形。
本文将探讨长方体和正方体的形变和组合方法，以及在实际应用中的一些案例。
一、长方体的立体形变长方体是由六个矩形面构成的立体图形。
通过形变，可以改变长方体的长、宽、高的比例关系，从而创造出不同形状的长方体。
1. 长方体的拉伸将一个长方体的某一边向外拉伸，可以改变长方体的形状，使其变得更长或更短。
通过控制不同方向的拉伸，还可以创造出一些奇特的形状。
2. 长方体的压缩与拉伸相反，长方体的压缩是将长方体的某一边向内压缩，从而改变其形态。
通过控制不同方向的压缩，也可以创造出各种不同的形状。
3. 长方体的扭曲除了拉伸和压缩，长方体还可以通过扭曲来改变其形态。
通过对不同方向施加扭矩，可以使长方体在空间中发生旋转或弯曲，形成各种曲面。
二、正方体的立体形变正方体是一种具有六个相等正方形面的立体图形。
虽然正方体的所有边长相等，但通过形变，也可以改变正方体的形状。
1. 正方体的拉伸和压缩与长方体类似，正方体也可以进行拉伸和压缩。
通过改变边长的比例关系，可以创造出更高或更低的正方体。
2. 正方体的旋转除了拉伸和压缩，正方体还可以在空间中进行旋转。
通过对不同方向施加旋转力矩，可以使正方体在三维空间中发生旋转，从而改变其形状。
三、长方体和正方体的组合除了单独进行形变外，长方体和正方体还可以通过组合来形成新的立体图形。
1. 长方体和正方体的叠加将一个长方体和一个正方体叠加在一起，可以形成一个更复杂的立体图形。
通过调整两者的位置和方向，可以创造出不同形状的立体图形。
2. 长方体和正方体的切割与组合通过切割长方体和正方体并重新组合，也可以形成新的立体图形。
通过切割和重新组合的方式，可以创造出各种独特的组合体。
四、长方体和正方体的应用案例长方体和正方体在实际生活中有广泛的应用。
以下列举了几个典型的案例：1. 建筑设计长方体和正方体是建筑设计中常见的基本形体。
5升6思维拓展：长方体和正方体综合(试题)-小学数学六年级上册人教版含参考答案
5升6思维拓展：长方体和正方体综合（试题）-小学数学六年级上册人教版一、选择题1．一个长方体形的水池，它的长是15米，宽是10米，深是3米，水池的占地面积是（）平方米。
A．150 B．45 C．30 D．4402．把一个长方体切割成两个小正方体后，表面积，体积。
（）A．不变，比原来大了B．比原来大了，不变C．比原来小了，不变3．把一个长方体（如图）切割成一个最大的正方体，若a＞b＞h，则这个正方体的棱长总和是（）。
A．12h B．12b C．12aA．大于B．小于C．等于5．如图是测量一颗铁球体积的过程。
①将400mL的水倒进一个容量为600mL的杯子中；②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。
根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在（）。
A．50cm3～60cm3B．30cm3～40cm3C．40cm3～50cm3D．20cm3～30cm36．把600mL水倒入一个底面积是80cm2，高是8cm的长方体玻璃容器中，水深（）。
A．4.5cm B．6cm C．7.5cm二、填空题7．一块长方体木料的底面是边长为2分米的正方形，这块木料的体积是85.6立方分米。
这块木料的长是( )分米。
8．下图中大球的体积是( )立方厘米。
9．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与点1重合的点是( )。
10．小美用一些小棒和胶水搭建长方体框架。
下图是小美已经搭建好的部分，要搭建好这个长方体框架，需要总长( )厘米的小棒，再为框架每个面包裹上纸板，至少需要纸板( )平方厘米。
11．从一个长10dm、宽9dm、高6dm的长方体上截下一个最大的正方体，这个正方体的棱长总和是( )dm，体积是( )dm3。
12．用一根48cm长的铁丝正好可以做成一个正方体框架（接头处忽略不计），在这个框架外裱上一层纸成为一个正方体，这个正方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。
长方体正方体的切割,拼凑,知识点总结
长方体正方体的切割,拼凑,知识点总结长方体和正方体的切割、拼凑知识点总结整体感受说起长方体和正方体的切割与拼凑啊，刚开始觉得乱乱的，但是经过深入学习和整理后，发现这里面其实有着不少有趣而且很有条理的知识点呢。
具体收获切割方面回想起来才发现，长方体或正方体切割一刀会增加两个面。
比如说一个正方体，沿中间平行切一刀，就会从原来的6个面变成8个面，增加的这两个面的面积还和切割面的面积相等呢。
这就好比把一个完整的蛋糕切开，每切一刀就会多出两个新的切面包裹的面。
要计算切割后物体的表面积，就得考虑新增加的面的面积。
还有啊，如果按照不同的方向切，增加面的形状也不一样。
沿着棱平行切，增加的面就是长方形（正方体则是正方形），按照其他倾斜的方式切，那可就涉及到平行四边形之类的面了，情况就更复杂一些，这点得牢记。
拼凑方面在拼凑的时候，会发现两个或多个长方体（正方体）拼在一起，表面积就会减少。
原来有几个独立的面，拼合起来之后接触面就会被隐藏起来，不再计入表面积。
我记得有个例子，把两个棱长为2厘米的正方体拼成长方体，本来两个正方体的表面积之和是2×6×2×2 = 48平方厘米，可是拼起来之后，两个正方体接触的那两个面就消失了，长方体的表面积就是10个正方形的面积，也就是2×2×10 = 40平方厘米。
重要发现等等，还有个重要的点。
无论是切割还是拼凑，体积是始终不变的。
就像把一堆小积木搭建成一个大长方体然后再拆开，积木总体积不会改变。
这个发现对于解决很多关于长方体和正方体相关的体积、表面积的综合性题目非常关键。
反思之前做一些题目老是出错，现在想想就是因为没有把切割和拼凑过程中表面积和体积的变化规律搞清楚，理解的时候有点模棱两可。
而且有时候只记住公式，没有真正理解几何变化的实质，像有一次面临一个构思巧妙的切割题目，就乱了阵脚。
看来学习几何知识，不能死记硬背，一定要多画画图，直观地去感受这些变化的过程。
(完整版)长方体和正方体切拼练习题
长方体和正方体切拼练习题1.把一个长16厘米，宽6厘米，高8厘米的大长方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积的和最大是多少平方厘米，最小是多少？2.一个正方体的表面积是24平方分米，把它分成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是多少平方分米？3.把一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木块锯成两个小长方体，表面积最少增加多少平方厘米?最多增加多少平方厘米?4.把1立方米的正方体木料，全锯成1立方厘米的小木块（损耗不在计算之内），把这些小木块一个紧挨一个地排成一行，这一行总共有多少米？5.一个正方体木块，表面积是30平方分米，如果把它据成大小一样的8个小正方体木块，每个小木块的表面积是多少？6.把长5厘米、宽4厘米、高3厘米的两块相同的长方体拼成一个新长方体，有几种拼法，表面积分别是多少？7.把两块棱长5厘米的正方体的拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？（你能用几种方法解答）8.一个正方体的底面周长是16厘米，它的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米。
9.至少要几个小正方体才能拼成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长是5厘米，那么大正方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米。
10.一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体。
这时表面积比原来减少了96平方厘米。
原来长方体的体积是多少立方厘米？11.一个长2米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加2.4平方分米，这根钢材原来的体积是多少立方分米。
12.一个长方体，如果长减少2厘米，就成为一个正方体，这时，正方体的表面积是96平方厘米，原来长方体的体积是多少。
13.将三个棱长是4厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是多少立方厘米，表面积是多少平方厘米。
14.一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体。
这时表面积比原来减少了96平方厘米。
原来长方体的体积是多少立方厘米。
15.一个棱长是3厘米的正方体木块，各面中心凿穿一孔面边长是1厘米的正方形柱孔，它余下的体积是多少立方厘米？2.8立方分米=()立方厘米0.8升=()毫升720立方分米=()立方米51000毫升= ( )升32立方厘米=()立方分米2.7立方米=()升1200毫升=()立方厘米4.25立方米=()立方分米=()升1.24立方米=()升=()毫升3.06升=（）升（）毫升1.一个长方体，长4米，宽3米，高2.4米，它的占地面积最大是多少平方米?表面积是多少平方米？体积是多少立方米？2.有一块棱长是80厘米的正方体的铁块，现在要把它溶铸成一个横截面积是20平方厘米的长方体，这个长方体的长是多少厘米？3.一块正方体的石头，棱长是5分米，每立方米的石头大约重2.7千克，这块石头重有多少千克？4.学校要砌一道长20米，宽2.4分米、高2米的墙，每立方米需要砖525块，学校需要买多少块砖？5.一个长方体的药水箱里装了60升的药水，已知药水箱里面长5分米，宽3分米，它的深是多少分米？6.一个长方体油箱，长6分米，宽5分米，高4分米。
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1. 两个棱长4厘米的正方体木块，拼成一个长方体，这个长方体棱长和是（）厘米，表面积是（）平方厘米。
2. 把三块棱长5厘米的正方体的拼成一个长方体，这个长方体的棱长是（），棱长和是（），表面积是( )平方厘米。
3. 用3个长5厘米，宽4厘米，高1厘米的长方体木块，拼成一个表面积最大的长方体，这个长方体的棱长是（），表面积是（）。
4. 一个正方体的棱长是4分米，如果把它切成两个相同的长方体，每个长方体的棱长和是（），表面积是（）。
5. 把三个棱长是3厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（），比原来3个正方体表面积之和减少了（）。
6. 将一个底面是正方形的长方体分成两个完全一样的正方体，表面积会增加50平方厘米。
原来长方体的表面积是（）平方厘米，体积是（）平方厘米。
7. 用2个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长和是（），表面积是（）。
8. 用27个体积是1立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的棱长是（），棱长和是（），表面积是（）。
9. 把一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木块锯成两个小长方体，表面积最少增加( )平方厘米，最多增加( )平方厘米。
10. 一个正方体一个面面积是25平方厘米，刚好可以分成两个相同的长方体，一个长方体的棱长和是（），表面积是（）平方厘米。
11. 一个正方体的棱长和是60平方厘米，分成两个相同的小长方体，一个小长方体的棱长和是（），表面积是（）平方厘米。
12. 一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、5厘米、2厘米，如果高增加2厘米，表面积增加( )平方厘米。
13. 把一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木块沿着长切成两个小长方体，棱长和增加（），表面积增加（），每个小长方体的表面积是（）16. 把一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木块沿着高切成两个小长方体，棱长和增加（），表面积增加（），每个小长方体的表面积是（）17. 一个正方体切成两个小长方体后，表面积增加18平方厘米，则这个正方体的棱长是
（），表面积是（），一个小长方体棱长是（），
棱长和是（），表面积是（），两个小长方体的表面积是（），比原来的正方体的表面积增加了（）。