工程弹塑性力学-第八章-2015 [Compatibility Mode]

1
−σ2)
=
1 2
(σ x
−σ y )2
+
4τ
2 xy
= σs 2
(σ x
−σ y )2
+
4τ
2 xy
=σ2 s
k
=
σ s
2
(σ x
−σ y )2
+
4τ
2 xy
=
4k 2
(8.10)
可见在塑性平面应变问题中，两种屈服条件的形式是 相同的，只是σs前面的系数不同。
4
平面应力状态的莫尔圆
σy
n
α
σx
τ xy
2. 两种常用屈服条件的形式完全一致：
在一般情况下，Mises(米赛斯)屈服条件为：
(σ x
−σ
y
)2
+
(σ
y
−σ z
)2
+
(σ z
−σ x )2
+
6(τ
2 xy
+τ
2 yz
+
τ
2 zx
)
=
2σ
2 s
平面状态下的Mises屈服条件：
σ z
=
1 2
(σ
x
+ σ y ),τ zx
=τ zy
=
0
(σ x
−σ y )2
6
滑移线法的原理及应用
4. 用平均应力σ与最大剪应力和x轴夹角θ表示应力状态：
根据单元法线方向的平衡条件：
σ x
= σ1
cos2 ϕ
+σ2
sin2 ϕ
= σ1 1+
cos 2ϕ 2
+σ2
1−
cos 2ϕ 2
σ
ϕ
1
=
1 2
(σ1
+σ2)
+
1 2
(σ 1
−σ 2 ) cos 2ϕ
=
σ
+τ
cos 2ϕ
由垂直于法线方向上力的平衡条件得：
u = u(x, y) v = v(x, y) w = 0 (8.1)
应变分量为:
ε x
=
∂u , ∂x
ε y
=
∂v , ∂y
ε z
=0
(σ x
−σ )2
+
τ
2 ϕ
=κ2
同样可得
(σ y
−σ )2
+
τ
2 ϕ
=κ2
滑移线法的原理及应用
4. 用平均应力σ与最大剪应力和x轴夹角θ表示应力状态：
如令角θ为最大剪应力方向与x轴所成的夹角
ϕ = π +θ
τn
4
σ x
=
σ
−κ
sin
2θ
σ y = σ + κ sin 2θ (8.19)
τ xy
=κ
积分
沿α线: 沿β 线:
dy dx dy dx
= tgθ , = −ctgθ ,
σ 2κ σ 2κ
−θ +θ
=
η
=
const
⎫ ⎪⎪
⎬
=
ξ
=
const
⎪ ⎪⎭
(8.23)
写成改变量形式
沿α线: Δσ = 2κΔθ ⎫
沿β 线:
Δσ
=
−2κΔθ
⎬ ⎭
(8.24)
12
8.1 平面应变问题的基本方程
物体的各点位移发生在xoy平面内：
在塑性区由5个方程求5个未知量 σ x ,σ y ,τ xy , vx , vy
两个平衡方程(8.8)，屈服条件(8.10)，位移速度表示的本构方程(8.11)(8.12)
滑移线法的原理及应用
二. 滑移线场和汉基应力方程：
2. 滑移线场：
在滑移线场理论中，假设材料是理想刚塑性体，即在变形过程中 不考虑材料的弹性变形。在材料进入塑性状态后，不管其变形程 度有多大，每点的最大剪应力的数值都等于常数，即τ=τmax=k， 而且在最大剪应力作用面上的正应力等于该点的平均应力。
σ
如果介质中某点的三个主应力 的大小为已知，便可以在σ-τ 平面内绘出相应的应力圆。
滑移线法的原理及应用
3. 不同应力状态下莫尔圆的圆心坐标不同：
τ
σ0
=σ z
=σ
k σ
o
σ
k
3
σ 1
大圆的直径为2k，圆心的横坐标为σ。由图中可见，最大切 应力平面上正应力等于平均压力σ，即在塑性平面应变情况 下，应力由σ和k确定。由于k对于理想塑性材料是常数，因 此只要找到平均应力σ，一点的应力状态便可以确定。
1. 求解塑性平面应变问题的基本方程（不考虑体积力）
以应变速度分量和位移速度分量表示的几何关系为：
⎡ ⎢ ⎢
∂vx ∂x
1 ( ∂vx + ∂vy ) 2 ∂y ∂x
⎤ 0⎥
⎥
ε&ij
=
⎢ ⎢ ⎢
1 2
(
∂vx ∂y
+
∂vy ∂x
)
∂vy ∂y
⎥ 0⎥
⎥
⎢0
0
0⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
由塑性增量理论的Levy—Mises关系得：
=
κ
cos 2θ
(8.19)
代入
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
=
0
⎫ ⎪⎪
∂τ xy ∂x
+
∂σ y ∂y
⎬ = 0⎪⎪⎭
∂σ ∂x
−
2κ (cos 2θ
∂θ ∂x
+
sin 2θ
∂θ ∂y
)
=
0⎪⎪⎫
∂σ
−
2κ (sin 2θ
∂θ
− cos 2θ
∂θ
)
=
⎬ 0⎪
(8.20) 双曲线方程
∂y
∂x
∂y ⎪⎭
2α 02
2α
( ) Dx σ x ,τ xy
2α 01
σα
C
Ax σ max
( ) Dy σ yx ,τ yx
σx +σy
σx −σ y
2
2
1 2
(σ
x
+
σ
y
)
+
⎛ ⎜
σ
x
⎝
−σ y 2
⎞2 ⎟
+
τ
2 xy
⎠
= σ max
5
应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形） :
τ
O
O2
O1
O3
σ3 σ2 σ1
由(8.5)式和(8.6)式可得：
∂vx − ∂vy ∂x ∂y ∂vx + ∂vy
σ −σ
=x
y
2τ xy
∂y ∂x
由材料的体积不可压缩性可得：∂vx + ∂vy = 0 ∂x ∂y
(8.12) (8.11)
从形式上看问题是可解的。但是 由于屈服条件是非线性的，所以 将它和平衡方程直接联立求解会 在数学上遇到很大困难。因此考 虑采用滑移线法求解，可以避开 这些困难，是有意义的。
滑移线法的原理及应用
二. 滑移线场和汉基应力方程：
y
α 族:
dy = tgθ dx
⎫ ⎪⎪ ⎬
β 族:
dy dx
=
−ctgθ
⎪ ⎪⎭
(8.23)
α
β
P
θ
θ'
x
11
滑移线法的原理及应用
二. 滑移线场和汉基应力方程：
3. 汉基应力方程：
σ x
=
σ
−κ
sin
2θ
σ y = σ + κ sin 2θ
τ xy
ε&x = λ&(σ x − σ ), ε&y = λ&(σ y − σ ), γ&xy = 2λ&τ xy
ε&ij
=
λ&ε ij
(8.6)
只有ε&x ,ε&y ,γ&xy三 个分量不为零
(8.5)
9
滑移线法的原理及应用
二. 滑移线场和汉基应力方程：
1. 求解塑性平面应变问题的基本方程（不考虑体积力）
cos 2θ
O
图 8.2 摩尔图
β
σ2 σy
σx 2ϕ
σ1
σn
σ 1
=
σ
+
κ
α
σ σ κ X方向是主应力方向
=−
2
(8.17)
σ =σ z
8
滑移线法的原理及应用
二. 滑移线场和汉基应力方程：
1. 求解塑性平面应变问题的基本方程（不考虑体积力）
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
=
⎫ 0⎪⎪
平面问题的平衡方程：
滑移线法的原理及应用
1. 塑性平面问题的基本方程：
最大剪应力：
τ
=
1 2
(σ
max
− σ min )
结合(8.7)式
σ max = σ +τ σ min = σ −τ σ =σ
z
任意一点的应力状态都可以用平均应力σ和最大剪应力 τ来表示，最大剪应力所作用的面与应力主平面成45°角。
3
滑移线法的原理及应用
(3)应力分量和应变分量只与坐标x、y有关，与坐标z无关
(4)与变形平面相平行的各层之间没有相对错动,即τ xz = τ yz = 0