工程弹塑性力学-第八章-2015 [Compatibility Mode]

+
4τ
2 xy
=
4σ 2 3s
k
=
σ s
3
(σ x
−σ y )2
+
4τ
2 xy
=
4k 2
使用Tresa(特雷斯卡)屈服条件时，主应力表达式为：
σ1
=
σ x
+σ y
±
1
σ2
2
2
(σ
x
−σ
y
)2
+
4τ
2 xy
滑移线法的原理及应用
2. 两种常用屈服条件的形式完全一致：
最大剪应力：
τ
=τ max
=
1 2
(σ
=
2 3
[σ
z
−
1 2
(σ
x
+ σ y )]
=
0
平均应力:
σ 0
=
1 (σ 3
x
+σ
y
+σ z
)
=
1 [(σ 3x
+σ
)
y
+
1 2
(σ x
+σ
)]
y
=
1 2
(σ
x
+σ
y
)
σ z
=σ0
=
1 2
(σ
x
+σy)
=
1 2
(σ
max
+ σ min )
=σ
(8.7)
中间主应力
因此，在平面塑性应变条件下，垂直 于变形平面的法向应力等于平均应力。
u = u(x, y) v = v(x, y) w = 0 (8.1)
应变分量为:
ε x
=
∂u , ∂x
ε y
=
∂v , ∂y
ε z
=0
1. 求解塑性平面应变问题的基本方程（不考虑体积力）
以应变速度分量和位移速度分量表示的几何关系为：
⎡ ⎢ ⎢
∂vx ∂x
1 ( ∂vx + ∂vy ) 2 ∂y ∂x
⎤ 0⎥
⎥
ε&ij
=
⎢ ⎢ ⎢
1 2
(
∂vx ∂y
+
∂vy ∂x
)
∂vy ∂y
⎥ 0⎥
⎥
⎢0
0
0⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
由塑性增量理论的Levy—Mises关系得：
σ
如果介质中某点的三个主应力 的大小为已知，便可以在σ-τ 平面内绘出相应的应力圆。
滑移线法的原理及应用
3. 不同应力状态下莫尔圆的圆心坐标不同：
τ
σ0
=σ z
=σ
k σ
o
σ
k
3
σ 1
大圆的直径为2k，圆心的横坐标为σ。由图中可见，最大切 应力平面上正应力等于平均压力σ，即在塑性平面应变情况 下，应力由σ和k确定。由于k对于理想塑性材料是常数，因 此只要找到平均应力σ，一点的应力状态便可以确定。
工程弹塑性力学
第八章 理想刚塑性的平面应变问题
浙江大学 建筑工程学院
第八章 理想刚塑性的平面应变问题
8.1 平面应变问题的基本方程 8.2 特征线和滑移线 8.3 滑移线的性质 8.4 塑性区的边界条件 8.5 典型的滑移线场 8.6 滑移线场的数值求解 8.7 楔体的单边受压 8.8 刚性压模的冲压问题 8.9 圆形切口板条的极限拉力 8.10 板条的抽拉拉----定常塑性流动问题
解决塑性加工工艺中的挤压、拉拔、锻造、冲压和轧制等问 题提供了有用的参考数据并为模具设计、最佳工件尺寸计算 等课题的研究提供了有利的条件。
滑移线法的原理及应用
一. 塑性平面问题的基本方程：
1. 以平均正应力和最大剪应力表示应力状态
塑性平面问题的几个特点：
(1)应变是平面的，即 ε z = 0 (2)应力是空间的，即有 σ x ,σ y ,τ xy ,σ z
滑移线的特点：
(1)滑移线是变形体进入塑性状态后的最大剪应力迹线，它是两族 正交的曲线，即过一点只能有两条滑移线。 (2)滑移线与主应力迹线相交成45°角。
(3)若应力场不同，则滑移线场亦不同。滑移线场分布于整个变形 体中，而且可以一直延伸到变形体的边界。
(4)在滑移线场中，任意点的最大剪应力都等于相同的值，即τ＝k， 但是各点的平均正应力σ则不同。利用滑移线场求解问题时，需 要求出平均正应力σ和α族滑移线上切线与x轴夹角θ之间的关系。
滑移线法的原理及应用
如坐标轴x，y与滑移线的切线重合:
∂ ∂x
(σ
−
2κθ
)
=
0⎪⎪⎫
∂
(σ
+
2κθ )
=
⎬ 0⎪
(8.22)
∂y
⎪⎭
式(8.23)为汉基应力方程，它是满足屈服条 件的平衡方程。在塑性区内，常数的量纲为 应力的量纲，其数值可以根据边界条件确定。 若常数已知，并根据边界条件绘制出滑移线 场，则可根据各点的θ值求出σ值，进而可确 定各点的应力值。
τϕ
= σ1 cosϕ sinϕ
−σ 2
cosϕ sinϕ
=
1 2
(σ1
−σ 2
) sin
2ϕ
=
τ
sin
2ϕ
上述两式平方相加得：
σ x
τϕ ϕ
σ 2
(σ x
−σ )2
+
τ
2 ϕ
=τ
2
百度文库
同样可得
(σ y
−σ )2
+
τ
2 ϕ
=τ
2
7
滑移线法的原理及应用
4. 用平均应力σ与最大剪应力和x轴夹角θ表示应力状态：
在塑性区由5个方程求5个未知量 σ x ,σ y ,τ xy , vx , vy
两个平衡方程(8.8)，屈服条件(8.10)，位移速度表示的本构方程(8.11)(8.12)
滑移线法的原理及应用
二. 滑移线场和汉基应力方程：
2. 滑移线场：
在滑移线场理论中，假设材料是理想刚塑性体，即在变形过程中 不考虑材料的弹性变形。在材料进入塑性状态后，不管其变形程 度有多大，每点的最大剪应力的数值都等于常数，即τ=τmax=k， 而且在最大剪应力作用面上的正应力等于该点的平均应力。
=
κ
cos 2θ
(8.19)
代入
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
=
0
⎫ ⎪⎪
∂τ xy ∂x
+
∂σ y ∂y
⎬ = 0⎪⎪⎭
∂σ ∂x
−
2κ (cos 2θ
∂θ ∂x
+
sin 2θ
∂θ ∂y
)
=
0⎪⎪⎫
∂σ
−
2κ (sin 2θ
∂θ
− cos 2θ
∂θ
)
=
⎬ 0⎪
(8.20) 双曲线方程
∂y
∂x
∂y ⎪⎭
(3)应力分量和应变分量只与坐标x、y有关，与坐标z无关
(4)与变形平面相平行的各层之间没有相对错动,即τ xz = τ yz = 0
物体的各点位移发生在xoy平面内：
u = u(x, y) v = v(x, y) w = 0 (8.1)
由(8.1)得应变分量:
ε x
=
∂u , ∂x
ε y
=
∂v , ∂y
1
−σ2)
=
1 2
(σ x
−σ y )2
+
4τ
2 xy
= σs 2
(σ x
−σ y )2
+
4τ
2 xy
=σ2 s
k
=
σ s
2
(σ x
−σ y )2
+
4τ
2 xy
=
4k 2
(8.10)
可见在塑性平面应变问题中，两种屈服条件的形式是 相同的，只是σs前面的系数不同。
4
平面应力状态的莫尔圆
σy
n
α
σx
τ xy
e
σα
τ xy
α
σx
τα
a
f
σ y τ yx
n
⎛⎜σα ⎝
−σx
+σy 2
⎞2 ⎟ ⎠
+τα2
=⎛⎜σx ⎝
−σy 2
⎞2 ⎟ ⎠
+τx2y
T
平面应力状态的莫尔圆
⎛⎜σα ⎝
−σx
+σy 2
⎞2 ⎟ ⎠
+τα2
=⎛⎜σx ⎝
−σy 2
⎞2 ⎟ ⎠
+τx2y
τ m′ ax
O
τα
Ay
σ min
Dα (σα ,τα )
滑移线法的原理及应用
二. 滑移线场和汉基应力方程：
y
α 族:
dy = tgθ dx
⎫ ⎪⎪ ⎬
β 族:
dy dx
=
−ctgθ
⎪ ⎪⎭
(8.23)
α
β
P
θ
θ'
x
11
滑移线法的原理及应用
二. 滑移线场和汉基应力方程：
3. 汉基应力方程：
σ x
=
σ
−κ
sin
2θ
σ y = σ + κ sin 2θ
τ xy
由(8.5)式和(8.6)式可得：
∂vx − ∂vy ∂x ∂y ∂vx + ∂vy
σ −σ
=x
y
2τ xy
∂y ∂x
由材料的体积不可压缩性可得：∂vx + ∂vy = 0 ∂x ∂y
(8.12) (8.11)
从形式上看问题是可解的。但是 由于屈服条件是非线性的，所以 将它和平衡方程直接联立求解会 在数学上遇到很大困难。因此考 虑采用滑移线法求解，可以避开 这些困难，是有意义的。
ε z
=
0
(8.2)
γ xy
=
∂v ∂x
+
∂u , ∂y
γ yz
=γ zx
=0
2
滑移线法的原理及应用
1. 塑性平面问题的基本方程：
由于塑性应变中体积不可压缩假定，平均应变
ε 0
=0
ε z
=
ez
由塑性应力-应变关系可得： dε z = dez = dλsz = 0
sz
=σ z
−
1 3
(σ
x
+σ y
+σz)
(σ x
−σ )2
+
τ
2 ϕ
=κ2
同样可得
(σ y
−σ )2
+
τ
2 ϕ
=κ2
滑移线法的原理及应用
4. 用平均应力σ与最大剪应力和x轴夹角θ表示应力状态：
如令角θ为最大剪应力方向与x轴所成的夹角
ϕ = π +θ
τn
4
σ x
=
σ
−κ
sin
2θ
σ y = σ + κ sin 2θ (8.19)
τ xy
=κ
2α 02
2α
( ) Dx σ x ,τ xy
2α 01
σα
C
Ax σ max
( ) Dy σ yx ,τ yx
σx +σy
σx −σ y
2
2
1 2
(σ
x
+
σ
y
)
+
⎛ ⎜
σ
x
⎝
−σ y 2
⎞2 ⎟
+
τ
2 xy
⎠
= σ max
5
应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形） :
τ
O
O2
O1
O3
σ3 σ2 σ1
ε&x = λ&(σ x − σ ), ε&y = λ&(σ y − σ ), γ&xy = 2λ&τ xy
ε&ij
=
λ&ε ij
(8.6)
只有ε&x ,ε&y ,γ&xy三 个分量不为零
(8.5)
9
滑移线法的原理及应用
二. 滑移线场和汉基应力方程：
1. 求解塑性平面应变问题的基本方程（不考虑体积力）
积分
沿α线: 沿β 线:
dy dx dy dx
= tgθ , = −ctgθ ,
σ 2κ σ 2κ
−θ +θ
=
η
=
const
⎫ ⎪⎪
⎬
=
ξ
=
const
⎪ ⎪⎭
(8.23)
写成改变量形式
沿α线: Δσ = 2κΔθ ⎫
沿β 线:
Δσ
=
−2κΔθ
⎬ ⎭
(8.24)
12
8.1 平面应变问题的基本方程
物体的各点位移发生在xoy平面内：
1
滑移线法的原理及应用
金属材料在塑性变形时所产生的滑移将沿着最大剪应力的方向， 所谓滑移线就是塑性变形过程中最大剪应力的迹线。如果将塑 性变形过程中变形体内各点最大剪应力的方向连接起来，便可 得到两族正交的沿移线，将其中一族称为α线，另—族称为β线。
在本世纪二十年代初，德国力学家汉基(H.Hencky)避开了直接 利用非线性的塑性本构关系求解问题，而是在研究了平面应变 状态下塑性变形的一些特点后，将问题转为建立滑移线场，并 研究了滑移线的某些性质，建立了滑移线与塑性变形规律之间 的联系，从而为求解工程实际问题提供了必要的依据。
在产生塑性平面变形时，任意点的两个最大剪应力相等且互相垂直。 将塑性区内各点最大剪应力的方向连接起来并绘成连续的曲线，则可 以得到两族正交的曲线，这两族正交的曲线称为滑移线。根据剪应力 方向不同，一族曲线称为α族滑移线，另一族曲线称为β族滑移线。
α线
β线
顺时针
逆时针
10
滑移线法的原理及应用
二. 滑移线场和汉基应力方程：
2. 两种常用屈服条件的形式完全一致：
在一般情况下，Mises(米赛斯)屈服条件为：
(σ x
−σ
y
)2
+
(σ
y
−σ z
)2
+
(σ z
−σ x )2
+
6(τ
2 xy
+τ
2 yz
+
τ
2 zx
)
=
2σ
2 s
平面状态下的Mises屈服条件：
σ z
=
1 2
(σ
x
+ σ y ),τ zx
=τ zy
=
0
(σ x
−σ y )2
cos 2θ
O
图 8.2 摩尔图
β
σ2 σy
σx 2ϕ
σ1
σn
σ 1
=
σ
+
κ
α
σ σ κ X方向是主应力方向
=−
2
(8.17)
σ =σ z
8
滑移线法的原理及应用
二. 滑移线场和汉基应力方程：
1. 求解塑性平面应变问题的基本方程（不考虑体积力）
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
=
⎫ 0⎪⎪
平面问题的平衡方程：
σ n
⇒
σ x,σ
y
τ n
⇒τϕ
(σ n
−σ )2
+τ 2 n
=τ
2
图 8.2 摩尔图
τn
β
若平均正应力σ
=
σ 1
+σ 2
,最大切应力κ = σ1
−σ 2
2
2
σ x
=σ
+κ
cos 2ϕ
O σ2 σy
σ y = σ − κ cos 2ϕ (8.16)
σx 2ϕ
σ1
σn
τ xy
=
κ
sin 2ϕ
α
上述两式平方相加得：
滑移线法的原理及应用
1. 塑性平面问题的基本方程：
最大剪应力：
τ
=
1 2
(σ
max
− σ min )
结合(8.7)式
σ max = σ +τ σ min = σ −τ σ =σ
z
任意一点的应力状态都可以用平均应力σ和最大剪应力 τ来表示，最大剪应力所作用的面与应力主平面成45°角。
3
滑移线法的原理及应用
6
滑移线法的原理及应用
4. 用平均应力σ与最大剪应力和x轴夹角θ表示应力状态：
根据单元法线方向的平衡条件：
σ x
= σ1
cos2 ϕ
+σ2
sin2 ϕ
= σ1 1+
cos 2ϕ 2
+σ2
1−
cos 2ϕ 2
σ
ϕ
1
=
1 2
(σ1
+σ2)
+
1 2
(σ 1
−σ 2 ) cos 2ϕ
=
σ
+τ
cos 2ϕ
由垂直于法线方向上力的平衡条件得：
∂τ xy ∂x
∂σ +y
∂y
⎬ = 0⎭⎪⎪
(8.8)
位移分量： u = u(x, y) v = v(x, y) w = 0 (8.1)
几何分量：
ε x
=
∂u , ∂x
ε y
=
∂v , ∂y
ε z
=0
(8.2)
γ xy
=
∂v ∂x
+
∂u ∂y
,
γ yz
=γ zx
=
0
滑移线法的原理及应用
二. 滑移线场和汉基应力方程：