第十九章-几何证明知识整理
几何证明知识点总结
几何证明知识点总结几何证明是数学学科中的一个重要部分，它要求通过逻辑推理和几何知识来解决一系列的问题。
在几何证明中，我们需要运用一些基本的几何定理和方法，以求得证明的正确性。
以下是几个常见的几何证明知识点的总结。
1.等腰三角形的性质等腰三角形的定义是指具有两条边相等的三角形。
我们可以通过以下几种方式来证明一个三角形是等腰三角形：（1）通过两边相等的条件，如两条边的长度相等或两条边的角度相等。
（2）通过等腰三角形的性质，如等腰三角形的底角相等。
在进行这类证明时，我们可以使用一些常见的几何画法，如辅助线、垂线、平移等，来辅助推理。
2.直角三角形的性质直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形有许多重要的性质，如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
在证明直角三角形的性质时，我们可以运用这些定理进行推导，或者使用勾股定理来求解已知直角三角形的边长。
3.平行线与三角形的关系平行线与三角形之间有很多重要的关系。
在证明平行线与三角形的性质时，我们可以使用平行线的基本性质，如对应角相等、同位角相等等。
同时，我们还可以应用平行线与三角形内角、外角之间的关系，来推导出一些三角形的性质。
4.相似三角形的证明相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在证明相似三角形时，我们可以运用一些相似三角形的基本性质，如对应角相等、对应边比例相等等。
同时，我们还可以使用比例关系和三角形边长之间的关系，来求解未知的边长或角度。
5.圆的性质的证明圆是几何中的重要概念，我们常常需要证明其性质。
在证明圆的性质时，我们可以运用圆的基本定义和性质，如圆心角、弧长、切线等。
同时，我们还可以使用圆的切线与半径之间的关系，来推导出一些圆的性质。
6.多边形的性质的证明多边形是指由多条边和多个内角构成的图形。
在证明多边形的性质时，我们需要运用多边形的基本定义和性质，如内角和、外角和、对角线的性质等。
同时，我们还可以使用多边形的各个边长和角度之间的关系，来求解未知的边或角。
几何证明知识点
几何证明知识点几何证明是数学学科中的一项重要内容，通过逻辑推理和几何定理的运用，来论证几何问题的正确性。
在几何证明中，需要掌握一些基本的知识点和方法。
本文将介绍一些常见的几何证明知识点。
一、垂直线段的性质在几何证明中，常常需要证明某两条线段或者线段与直线垂直。
垂直线段的性质有以下几点：1. 垂直线段的定义：当两条线段的乘积为0时，它们互相垂直。
2. 垂直线段的性质：如果两条线段的斜率乘积为-1，那么这两条线段互相垂直。
3. 两直线垂直的条件：两条直线的斜率乘积为-1时，这两条直线垂直。
二、角的性质与证明角是几何中非常重要的概念，角的性质与证明方法是几何证明的重点之一。
下面介绍一些常见的角的性质和证明方法：1. 交角的性质：交角的两个邻补角相等。
2. 顶角的性质：在一个三角形中，顶角的和等于180度。
3. 同位角的性质：同位角互相相等。
4. 反向角的性质：反向角互相相等。
三、相似三角形的性质与证明相似三角形是几何证明中常常涉及的一个概念，下面介绍一些相似三角形的性质与证明方法：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
2. AA判定相似：如果两个三角形的两个角对应相等，那么它们是相似的。
3. SAS判定相似：如果两个三角形的一个角相等，两个边的比值相等，那么它们是相似的。
4. SSS判定相似：如果两个三角形的三条边的比值相等，那么它们是相似的。
四、平行线与证明平行线是几何证明中常需要研究的一个概念，下面介绍一些平行线的性质与证明方法：1. 平行线的定义：如果两条直线上的任意两个点的连线与另一条直线垂直，那么这两条直线是平行线。
2. 平行线的性质：如果两条直线被一条平行线截断，那么对应的对内角相等，对外角互为补角。
3. 相交线的性质：如果两条直线被一条平行线截断，那么对应的同位角互相相等。
五、圆的性质与证明圆是几何证明中常见的图形，下面介绍一些圆的性质与证明方法：1. 圆的定义：圆是平面上所有到中心距离相等的点的集合。
初二上勾股定理(经典题型)
初二上勾股定理(经典题型)数学秋季班教案第十九章几何证明——勾股定理及两点之间的距离公式知识回顾】勾股定理是指对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a²+b²=c²（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。
勾股定理的逆定理是指如果三角形的三边长a、b、c有关系，a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
常见的勾股数有(3n,4n,5n)、(5n,12n,13n)、(8n,15n,17n)、(7n,24n,25n)、(9n,40n,41n)等。
勾股定理的证明图如下：两点之间的距离公式是AB = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。
例题讲解】例题1：已知a₁=1，a₂=5，a₃=13，a₄=25，a₅=41，a₆=61.aₙ=aₙ₋₂+aₙ₋₃，求a₇。
解析：根据题意，a₇=a₅+a₄=66.例题2：如图所示，已知△ABC的三边AB=15，BC=20，AC=25，求△ABC最长边上的高。
解析：根据海伦公式，可得△ABC的面积为150，再根据最长边上的高公式，可得最长边上的高为12.例题4：已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF²=BE²+FC²．解析：根据勾股定理，可得BE²=AB²-AE²，FC²=AC²-AF²，代入EF²=BE²+FC²中得证。
例题6：一只2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是多少？解析：根据勾股定理，可得梯子顶端到地面的距离为√(2.5²-0.7²-0.4²)=2.31m，因此梯脚移动的距离为2.31-0.7=1.61m。
沪教版(上海)八年级第一学期 第十九章 第1讲 几何证明
例
逆命题：如果一个角是钝角，那么这个角是两个钝角的和.
4
逆命题：直角三角形其中一边上中线等于这边的一半.
逆命题：如果两个三角形关于某点成中心对称，那么这两个三角形全等. 逆命题：如果两个三角形全等，那么其中两边及第三边上的高对应相等.
逆命题：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.
例 5
例
逆命题：如果三角形两腰上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形.
第一讲
几何证明
命题 可以判断正误的陈述句
滚出去！ 站起来.
命题的组成
如果两条直线互相平行， 那么这两条直线被第三条直线所截得的内错角相等.
如果一个人骑着白马，那么他一定是唐僧。
对顶角相等.
逆命题
原命题： 如果两条直线互相平行， 那么这两条直线被第三条直线所截得的内错角相等.
逆命题： 如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等， 那么这两条直线互相平行.
l
例 6
例 6
例 6
例 7
例 7
例 8
练 习 1
练 习 2
练 习 3练 习 4练 习 5练 习 6
对顶角相等.
相等的角是对顶角.
如果一个人骑着白马，那么他一定是唐僧。
如果一个人是唐僧，那么他骑着白马。
例 1
例 1
例 2
例 2
如果一个四边形有三个角是直角，那么这个四边形是矩形.
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
如果两个数都是无理数，那么他们的积是无理数.
例 3
例 3
例 4
5
逆命题：两直线平行，内错角相等. 逆命题：等角对等边.
逆命题：如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线平行. 逆命题：如果 a+b 为奇数，那么a，b两数一奇一偶.
沪教版(五四制)八年级数学上册 第十九章几何证明提高讲义【无答案】
几何证明提高学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长【本讲内容】通过“倍长中线”、“截长补短”、“图形旋转”等添加辅助线的方法，构造全等三角形，实现边与角的转化及转移，最终得到证明结果。
【重点难点】添加合适的辅助线，解决证明问题知识梳理1.倍长中线法几何是初中数学的重要组成部分，在中考中占有相当的比例，在证明举例中，主要学习了以下几种题型：题型一：证明两条线段相等；（等腰三角形，三角形全等） 题型二：证明两线平行；（利用两条直线平行的判定定理） 题型三：证明两线垂直（证明角90度）；题型四：证明两角相等（等腰三角形，三角形全等）； 题型五：证明线段或角的和差倍；有一部分题目，只要应用我们的一些定理公理即可证明，但有部分题需要做出辅助线才能完成。
有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。
为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。
倍长中线法：1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。
2.若点C 是线段AB 的中点，则：① 从线段来看：12AC BC AB ==；② 从点与点的相对位置来看：点C 在点A B 、之间，且点A B 、关于点C 对称。
3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。
① 一个三角形有三条中线； ② 每条中线平分三角形的面积；③ 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段；④ 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。
如何延长三角形的中线 1.延长1倍的中线：如图，线段AD 是ABC ∆的中线，延长线段AD 至E ，使DE AD =（即延长1倍的中线），再连接BE CE 、。
①总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD 和两对（中心选转型）全等三角形ABD ECD ∆≅∆、ACD EBD ∆≅∆，且每对全等三角形都关于点D 中心对称；②详细地说，就是可以转移角：BAD CED ∠=∠，CAD BED ∠=∠，ABD ECD ∠=∠，ACD EBD ∠=∠，ADB ECD ∠=∠，ADC EDB ∠=∠；可以移边：AB EC =，AC EB =；可以构造平行线：AB ∥EC ，AC ∥EB ；可以构造边长与AB 、AC 、AD 有关的三角形：ABE ∆、ACE ∆。
几何证明(4个概念2个性质3个判定2个定理2个应用2种思想方法1个轨迹)八年级数学上册沪教版
2 个性质3个判定
考点05 线段的垂直平分线
7.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
(D )
8.已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
(2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其
他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真
命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．
考点04 互逆定理
6. [2022·江苏无锡宜兴市二模]下列命题的逆命题成立的是
①同旁内角互补，两直线平行
①④ .
②等边三角形是锐角三角形
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析
中后一种添加辅
助线的方法，写
出它的证明过程
吗？
考点06 角 平 分 线
AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
15.如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，
AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明.
A
解：AB//CD，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°
B
F
∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC，
初中数学几何证明的关键知识点汇总
初中数学几何证明的关键知识点汇总初中阶段的数学学习中，几何证明是一个关键的部分。
通过几何证明，可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
本文将汇总初中数学几何证明的关键知识点，以帮助学生更好地理解与掌握这一重要内容。
知识点一：二次线段的性质在几何证明中，二次线段是常见的要素。
二次线段是指同一直线上分出的两个线段。
在几何证明中，常常需要证明两个线段相等或成比例。
关键知识点：1. 二次线段的定义：给定直线上的点A、B、C，如果C在AB之间，则AC与CB就是一个二次线段。
2. 二次线段的性质：如果AC与CB相等，则称AC与CB是等长的；如果AC与CB成比例，则称AC与CB成比例。
知识点二：平行线的证明平行线是数学几何中的一个重要概念，平行线的存在与否需要通过证明来确定。
在几何证明中，常常需要证明两条线段平行。
关键知识点：1. 平行线的定义：给定两个不重合的直线l和m，如果l与m上的点之间没有公共点，则称l与m是平行线。
2. 平行线的性质：平行线上的对应角相等，平行线上的内错角互补，平行线上的同位角相等。
知识点三：全等三角形的证明全等三角形是指具有相同边长和相同角度的三角形。
在几何证明中，经常需要证明两个三角形全等。
关键知识点：1. 全等三角形的定义：给定两个三角形ABC和DEF，如果AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，则称三角形ABC与三角形DEF是全等的。
2. 全等三角形的性质：全等三角形具有相同的边长和角度，对应的角和边相等。
知识点四：相似三角形的证明相似三角形是指具有相似比例关系的三角形。
在几何证明中，常常需要证明两个三角形相似。
关键知识点：1. 相似三角形的定义：给定两个三角形ABC和DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，则称三角形ABC与三角形DEF是相似的。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
知识点五：垂直线的证明垂直线是指两条直线相互交于直角的情况。
在几何证明中，常常需要证明两条线段垂直。
沪教版八年级上册 几何证明的总结与练习资料
精品文档几何证明知识整理第十九章一、知识梳理：、有关概念：1命题、公理、定理命题：判断一件事情的句子叫做命题。
(1) 结论)。
命题的形式：如果…(题设)，那么…( 命题中，结论正确的是真命题，结论错误的是假命题。
(2)公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理。
(3)定理：用推理的方法证明为真命题，且可作为判断其他命题真假的依据的真命题叫做定理。
(4)逆命题和逆定理在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做它的逆命题。
如果两个定理是互逆命题，那称它们为互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。
M2、重要定理：P★线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
B A AB垂直平分线段∵MN如图：NPA=PB∴逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
PA=PB∵如图：A 的垂直平分线上在线段AB ∴点P ★角平分线D 定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
P OBPE⊥AOB PD⊥OA，如图：∵OP平分∠OPD=PE ∴B E逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
OB ⊥，⊥OAPE如图：∵PD=PE PDAOB平分∠∴OP ★直角三角形的全等判定直角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。
）（H.L这SSSSAS、⊿，才能应用本判定定理；以前所学的ASA、AAS、RT（注意：必须先证明两个三角形都是）四条判定定理对于直角三角形全等的判定仍然适用。
A ★直角三角形的性质及判定 A 1：直角三角形的两个锐角互余。
定理°A+∠B=90C=90如图：∵∠°∴∠定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
DB C（直角、中点→想一半） AB的中点DACB=90如图：∵∠°，且点是A1BABCD?C∴2°，那么它所对的直角边等：在直角三角形中，如果一个锐角等于301推论于斜边的一半。
沪教版初中数学第十九章-几何证明
反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设：先假设命题的结论不成立。
（2）归谬：从这个假设出发，运用正确的推理方法，得出定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果。
（3)结论：由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
【典型例题】
【例1】 证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
【分析】 已知等腰三角形两底角的平分线,如何证明两底角的平分线相等。利用两三角形全等的方法进行证明。证明过程中每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由，可写在每一步后的括号里。
【解答】（2)、（4)不是命题;（1）、（3）是命题,其中（1）为假命题,（3）为真命题.
【注】真假命题的判别,主要是根据真假命题的定义,如实反映事物情况的命题是真命题，没有如实反映事物情况的命题是假命题。
【例2】 指出下列命题的题设与结论,并改写成如果 ，那么 ”的形式
（1）全等三角形的对应边相等;
【解答】 延长 至 ,使 ，连接 。
(全等三角形对应角相等）
图3
（等角对等边）
（等量代换）
【例4】如图4，在四边形 中, 试证明线段 能构成直角三角形。
【分析】本题的关键是要将 三条线段放到一个三角形中，然后才能判断其形状,其中的60°角又是构造等边三角形的必不可少的条件，因此,通过旋转60°，既保证了图形的不变性，又构造了等边三角形.
图1
即
在 和 中
【例2】 如图2，已知在 中， 是中线， 交 于点 , .
求证： .
【分析】本例通过添加辅助线，把要证明的两条线段“移”到同一个三角形内,构造等腰三角形证得.
【解答】 延长 到点 ,使 ，连接 .
在 和 中
（已知）
（对顶角相等)
第19章 专题01几何证明重难点专练(教师版
专题01几何证明重难点专练（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．全等三角形的面积相等；B．等腰三角形两个底角相等；C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D．在角的平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等.【答案】A【分析】先确定每个命题的逆命题，再对每个选项依次判定即可解答.【详解】A.逆命题为：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意；B.逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；C.逆命题为：一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；D.在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，是真命题，不符合题意.故选：A.【点睛】此题考查命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，正确确定每个命题的逆命题是解此题的关键.2．设D为等腰ABC底边BC上一点，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（）A．2AB B．2AB+BC C．2BC D．AB+BC【答案】A【分析】先证明四边形AFDE是平行四边形，得到DE=AF，AE=DF，再证明BF=DF=AE,问题得解．【详解】解：∵DE∵AB，DF∵AC，∵四边形AFDE是平行四边形，∵DE=AF，AE=DF，∵DF∵AC，∵∵C=∵FDB，∵AB=AC，∵∵B=∵C∵∵FDB=∵Ｂ，∵BF=DF，∵BF=DF=AE,∵四边形AFDE的周长等于AE+DE+DF+AF=BF+AF+BF+AF=2AB．故选：A【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟知相关定理是解题关键．3．下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是（）A．4、8、B．4、8、C．7、24、25D．7、14、15【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、∵42+（2=64=82,∵能够成直角三角形,故本选项可构成直角三形；B、∵42+82=80=（2,∵能够成直角三角形,故本选项错误；C、∵72+242=625=252,∵能够成直角三角形,故本选项错误；D、∵72+142=245≠152,∵不能够成直角三角形,故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查的是如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形．4．如图，ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，ADC 的周长为9cm，则ABC的周长是（）A．12cm B．15cm C．21cm D．18cm【答案】B【分析】由DE是∵ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由∵ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得∵ABC的周长．【详解】解：由DE是边AB的垂直平分线，∵AD=BD，AE=BE，由∵ADC的周长为9cm，∵AC+BC=9，∵AE=3，∵AB=6，∵∵ABC的周长是15cm，故选：B．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意等量代换与整体思想的应用．5．下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等B．同角的余角相等C．面积相等的两个三角形全等D．平行于同一条直线的两直线平行【答案】C【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据余角的性质对B进行判断；根据三角形全等的判断对C进行判断；根据平行线的传递性对D进行判断．【详解】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；B、同角的余角相等，所以B选项为真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，所以C选项为假命题；D、平行于同一条直线的两条直线平行，所以D选项为真命题．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．6．下列命题中，是真命题的是（）A．对顶角相等B．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等C．等腰直角三角形都全等D．如果a b>，那么22>a b【答案】A【分析】分别利用对顶角的性质、平行线的性质及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A.对顶角相等，正确，是真命题；B.两直线被第三条直线所截，内错角相等，错误，是假命题；C.等腰直角三角形不一定都全等，是假命题；D.如果0＞a＞b，那么a2＜b2，是假命题．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质及不等式的性质，难度不大．7．下列命题是真命题的是（）A．相等的两个角是对顶角B．好好学习，天天向上C．周长和面积相等的两个三角形全等D．两点之间线段最短【答案】D【分析】根据命题的定义以及几何知识逐一判断即可．【详解】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；B、好好学习，天天向上，不是命题；C、周长和面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；D、两点之间线段最短，是真命题；故选：D．【点睛】本题考查命题，掌握命题的定义以及对顶角的性质、全等三角形的判定、两点之间线段最短的基本事实是解题的关键．8．下列各命题中，假命题是（）A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等【答案】B【分析】根据全等三角形的判定定理进行证明并依次判断．【详解】解：A、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；B、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；C、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；D、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；故选：B．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，灵活判定命题真假，熟记定理并灵活应用解决问题是解题的关键．9．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在边BC、CD上，EF=时，AEF的面积是（）．∠=︒．当845EAFA．8B．16C．24D．32【答案】D【分析】如图：∵ADF绕点A顺时针旋转90°，得到∵ABH，可得AH=AF，∵BAH=∵DAF，进一步求出∵EAH=∵EAF=45°，再利用"边角边"证明∵AEF和∵AEH全等，再根据全等三角形的面积相等，即可解答.【详解】解：如图，将∵ADF绕点A顺时针旋转90°，得到∵ABH，根据旋转的性质可得：AH=AF，∵BAH=∵DAF，∵∵EAF=45°，∵BAD=90°∵∵EAH=∵EAF=45°在∵AEF和∵AEH中AF=Aн∵EAH=∵EAF=45°，AE=AE∵∵AEF∵∵AEH（SAS），∵EH=EF=8，∵SAFE=S∵AEH=-12×8×8=32.故选：D.【点睛】本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.二、填空题10．将命题关于某直线对称的两个三角形全等”，改写成“如果…，那么…”的形式：如果___________________________，那么________________________．【答案】两个三角形关于某直线对称；这两个三角形全等．【分析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．【详解】解：关于某直线对称的两个三角形全等，改写成“如果…，那么…”的形式：如果两个三角形关于某直线对称，那么这两个三角形全等故答案为：两个三角形关于某直线对称；这两个三角形全等【点睛】本题考查了命题与定理，命题是有题设和结论构成．命题都能写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．11．将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为__________．【答案】如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等【分析】根据命题的形式解答即可.【详解】将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等.【点睛】此题考查命题的形式，可写成用关联词“如果．．．那么．．．”连接的形式，准确确定命题中的题设和结论是解题的关键.12．在Rt ABC中，若∥C=90°，D是BC边上一点，且AD=2CD，则∥ADB=_____°【答案】120【分析】如图，延长DC到E，使EC=CD，连接AE，先证明AC为线段DE的垂直平分线，进而证明∵ADE是等边三角形，得到∵ADE=60°，问题得解．【详解】解：如图，延长DC到E，使EC=CD，连接AE，∵∵ACD=90°，∵AC∵DE，∵AC为线段DE的垂直平分线，∵AD=AE，又∵AD=2CD，CD=CE，∵AD=DE，∵AD=DE=AE，∵∵ADE是等边三角形，∵∵ADE=60°，∵∵ADB=180°-∵ADC=120°．故答案为：120°【点睛】本题考查了线段垂直平分线，等边三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线，构造等边三角形是解题关键．13．在Rt ABC中,∥C=90°,∥A的平分线交BC于点D,且BC=8,BD=5,那么点D到AB 的距离是_____【答案】3【分析】作DE∵AB于E点,根据角平分线的性质,即可证得DE=CD,即可求解．【详解】解：如图,作DE∵AB于E点．∵∵A的平分线交BC于点D, ∵C=90°, DE∵AB,∵DE=CD=3．即点D 到AB 的距离等于3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理,正确证得DE=CD 以及找到点D 到AB 的距离是关键．14．等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AH HG ⊥，BG HG ⊥，12HG =，4AH =，则BG =________．【答案】8【分析】先根据等腰直角三角形的定义可得BC CA =，再根据直角三角形的性质可得CBG ACH ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得4,CG AH BG CH ===，最后根据线段的和差即可得．【详解】 ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，BC CA ∴=，90BCG ACH ∠+∠=︒，,A BG HG H HG ⊥⊥，90G H ∴∠=∠=︒，90BCG CBG ∠∴∠+=︒，CBG ACH ∴∠=∠，在BCG 和CAH 中，G H CBG ACH BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCG CAH AAS ∴≅，,CG AH BG CH ∴==，12,4H HG A ==，1248BG CH HG CG HG AH ∴==-=-=-=，故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．15．把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写成“如果…那么…”的形式是________，这个命题是__________（填“真”或“假”）命题【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角真【分析】找出命题中的题设与结论即可得，根据直角三角形的性质即可得判断真假．【详解】命题“直角三角形的两个锐角互为余角”中的题设是三角形是直角三角形，结论是它的两个锐角互为余角，则改写成：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角，由直角三角形的性质得：这个命题是真命题，故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角；真．【点睛】本题考查了命题、直角三角形的性质，掌握理解命题的概念是解题关键．16．已知“若a>b，则ac>bc”是假命题，请写出一个满足条件的c 的值是_______________．【答案】0(答案不唯一)【分析】举出一个能使得ac=bc或ac＜bc的一个c的值即可．【详解】若a＞b，当c=0时ac=bc=0，故答案为：0(答案不唯一)．【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．17．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．【详解】解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．三、解答题18．已知：如图，AB=DE，BC=DF，AF=CE．求证：BC∥DF．【答案】见解析【分析】由AF=CE，得到AC=EF，然后得到∵ABC∵∵DEF，则∵ACB=∵EFD，然后即可证明结论成立．【详解】证明：∵AF=CE，∵AC=EF，在∵ABC和∵DEF中AC=EF，AB=DE，BC=DF，∵∵ABC∵∵DEF∵∵ACB=∵EFD，∵∵BCF=∵DFC，∵BC∵DF；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．19．已知：如图，在ABC中，AB=AC，AE是外角 CAD的平分线．求证：AE∥BC．【答案】见解析【分析】首先根据角平分线的性质可得∵DAC＝2∵DAE，再由AB＝AC可得∵B＝∵ACB，然后根据内角与外角的关系可得∵DAC＝∵B＋∵ACB＝2∵B，进而可证明∵DAE＝∵B，再根据同位角相等，两直线平行可得AE∵BC．【详解】证明：∵AE是∵CAD的平分线，∵∵DAC＝2∵DAE，∵AB＝AC，∵∵B＝∵ACB，又∵∵DAC＝∵B＋∵ACB＝2∵B，∵∵DAE＝∵B，∵AE∵BC．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．20．已知：如图，AC=BD，∠1=∠2．求证：AD∥BC．【答案】见解析【分析】根据等角对等边求出OB=OC,再利用已知条件求得AO=OD,进一步利用等腰三角形性质得：∵OAD=∵ODA,再利用内角和定理可得:∠1=∵ODA,即可得到平行.【详解】证明:因为∠1=∠2．所以OB=OC．因为AC=BD．所以OA=OD．所以∵OAD=∵ODA．因为∠1+∠2+∵BOC=180°．∵OAD+∵ODA+∵AOD=180°．∵BOC=∵AOD．所以∠1+∠2=∵OAD+∵ODA．所以2∠1=2∵ODA．即∠1=∵ODA．所以AD∵BC．【点睛】本题利用等腰三角形的性质与判定得到边与角的关系,本题关键找到角与角的关系．21．已知：如图，在∥ABC中，∥A∥∥ABC∥∥ACB=3∥4∥5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∥BHC的度数．【答案】135°【分析】先设∵A=3x，∵ABC=4x，∵ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∵A，∵ABC，∵ACB，在∵ABD中，利用三角形内角和定理，可求∵ABD，再利用三角形外角性质，可求出∵BHC．【详解】解：∵在∵ABC中，∵A：∵ABC：∵ACB=3：4：5，故设∵A=3x，∵ABC=4x，∵ACB=5x．∵在∵ABC中，∵A+∵ABC+∵ACB=180°，∵3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∵∵A=3x=45°．∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，∵∵ADB=90°，∵BEC=90°，∵在∵ABD中，∵ABD=180°-∵ADB-∵A=180°-90°-45°=45°，∵∵BHC=∵ABD+∵BEC=45°+90°=135°．【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．22．已知：如图所示ABC，BE，CD相交于O，AB=AC，AD=AE（1）求证：OD=OE（2）联结DE，求证：DE//BC．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】≅，再由全等三角形对应边、对应角相等解题即可；（1）根据SAS证明ADC AEB≅,（2）先根据AB=AC，整理出BD、EC的数量关系，再由AAS证明BDO CEO最后根据全等三角形对应边相等的性质解题即可．【详解】（1）证明：在ADC和AEB△中AB=AC；∵A=∵A；AD=AE，所以ADC AEB ≅所以∵ABE=∵ACD ，又因为AD=AE ，所以BD=CE ，在BDO △和CEO 中BD=EC∵ABE=∵ACD∵DOB=∵EOC所以BDO CEO ≅所以OD=OE（2）证明：AD AE AB AC ==，AD AE AB AC∴= A A ∠=∠ADE ABC ∴ADE ABC ∴∠=∠//DE BC ∴【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．23．已知：如图，AB=DE ，∠A=∠D ，AC=DF ．求证：AC∥DF ．【答案】见解析【分析】由边角边证得∵ABC∵∵DEF ，得到∵ACB=∵DFE ，由同位角相等两直线平行即可得证.【详解】证明：在∵ABC 和∵DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以∵ABC∵∵DEF （SAS ），所以∵ACB=∵DFE ，所以AC∵DF.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，要牢固掌握并灵活运用这些知识．24．如图：已知 ∠BAC=30°，AT 平分∠BAC ，TE∥AC ．（1）求证：AET △是等腰三角形；（2）若TD AC ⊥，垂足为点D ，AE=4cm ，求TD 的长．【答案】（1）见解析；（2）2cm【分析】（1）根据角平分线可得∵EAT=∵TAD,利用平行可得∵TAD=∵ETA,再利用等量代换即可得到∵EAT=∵ETA,进而证得AET △是等腰三角形．（2）AT 平分∠BAC,依据角平分线定理可得DT=TF 在RT∵TFE 中,ET=4cm,∵FET=30°,则TF=2cm,则TD=2cm ．【详解】解：（1）∵AT 平分∠BAC ．∵∵EAT=∵TAD．∵TE∵AC．∵∵TAD=∵ETA．∵∵EAT=∵ETA．∵AET△是等腰三角形．（2）过点T作TF⊥AB，垂足点F,⊥．∵AT平分∠BAC，TF⊥AB，TD AC∵据角平分线定理可得DT=TF．∵在RT∵TFE中，ET=4cm，∵FET=30°，则TF=2cm,∵TD=2cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,如何利用角平分线性质作出辅助线是解决此问题的关键．25．如图所示，已知点C、P、D在一直线上，∥BAP与∥APD互补，∥1=∥2，试说明∥E=∥F的理由.【答案】∵E与∵F相等，理由见解析.【分析】根据已知可得出AB∵CD，进而由∵1=∵2可证得∵P AE=∵APF，故能得出AE∵FP，即能推出要证的结论成立．【详解】∵E与∵F相等.理由如下:因为∵BAP和∵APD互补,所以AB∵CD(同旁内角互补,两直线平行),所以∵BAP=∵CPA(两直线平行,内错角相等).因为∵1=∵2,所以∵PAE=∵APF,所以AE∵PF(内错角相等,两直线平行),所以∵E=∵F(两直线平行,内错角相等).【点睛】考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.26．已知：如图，AC∥BC ，垂足为C ，∥BCD 是∥B 的余角求证：∥ACD=∥B证明：∥AC∥BC （已知）∥∥ACB=90°（ ）∥∥BCD 是∥DCA 的余角∥∥BCD 是∥B 的余角（已知）∥∥ACD=∥B （ ）【答案】垂直的意义；同角的余角相等．【分析】先根据垂直的意义可得90ACB ∠=︒，从而可得BCD ∠是DCA ∠的余角，再根据同角的余角相等即可得证．【详解】证明：∵AC BC ⊥（已知），∵90ACB ∠=︒（垂直的意义），∵BCD ∠是DCA ∠的余角，∵BCD ∠是B 的余角（已知），∵ACD B ∠=∠（同角的余角相等），故答案为：垂直的意义；同角的余角相等．【点睛】本题考查了垂直的意义、同角的余角相等，掌握理解同角的余角相等是解题关键． 27．如图， AB=AC ， E 是AD 上的一点，∥BAE=∥CAE ．求证：∥EBD=∥ECD ．【答案】见解析【分析】先证明∵ABD∵∵ACD ，得到∵ADB=∵ADC ，BD=CD ，再证明∵BDE∵∵CDE ，问题得证．【详解】证明：在∵ABD 和∵ACD 中AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABD∵∵ACD ，∵∵ADB=∵ADC ，BD=CD ，在∵BDE 和∵CDE 中DE DE EDB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BDE∵∵CDE ，∵∵EBD=∵ECD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并根据题意灵活选择方法是解题关键．28．如图，在ABC △中，AB AC =，点E ，F 、G 分别在边AB 、BC 、AC 上，CG BF =，BE CF =，O 是EG 的中点，求证：FO GE ⊥．【答案】证明见解析【分析】连结EF 、FG ，根据等腰三角形得到B C ∠=∠，利用SAS 证明∵BEF 与∵CFG 全等，最后利用等腰三角形”三线合一”的性质证明即可.【详解】证明：连接EF 、FG∵AB AC =∵B C ∠=∠．在BEF 与CFG △中，BE CF B C BF CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵BEF ∵CFG △（SAS ）．∵EF FG =．∵O 是EG 的中点，∵FO GE ⊥．【点睛】本题考查的是全等三角形和等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定方法是解答本题的关键.29．如图，在已知ABC △中，AB AC =，点D 在BC 上，过D 点的直线分别交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ，且BE CF =．求证：DE DF =．【答案】证明见解析【分析】过点E 作EG AC ∥交BC 于G ，根据平行的性质可得ACB BGE ∠=∠，F DEG ∠=∠，再根据等边对等角可得B ACB ∠=∠，进而得到B BGE ∠=∠，再根据等角对等边可得BE=GE ，从而得到GE=CF ，利用AAS 证得CDF ∵GDE △，根据全等三角形的性质可得DE=DF.【详解】证明：过点E 作EG AC ∥交BC 于G∵ACB BGE ∠=∠，F DEG ∠=∠∵AB AC =∵B ACB ∠=∠∵B BGE ∠=∠∵BE GE =．又∵BE CF =∵GE CF =．∵在CDF 和GDE △中F DEG CDF GDE GE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵CDF ∵GDE △（AAS ）．∵DE DF =．【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形的判定与性质，构造出全等三角形是解答本题的关键.30．如图，在ABC △中，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，且AB AC CD =+．求证：2C B ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】在AB 上截取AE AC =，易证∵ACD∵∵AED ，则CD=DE ，∵C=∵AED ，可得DE=BE ，由等边对等角可得：∵EDB=∵EBD ，由三角形外角定理即可得到结论.【详解】证明：在AB 上截取AE AC =，∵AB AC CD =+．∵BE CD =．在ACD 和AED 中AC AE CAD BAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵ACD ∵AED ．∵CD DE =，C AED ∠=∠．∵DE BE =D ．∵EDB EBD ∠=∠．∵2EBD B ∠=∠．∵2C B ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理，构造全等三角形、运用等腰三角形的知识是解答本题的关键.31．如图，在ABC △中，已知CA CB =，AD 平分CAB ∠，且AB AC CD =+，求证：AC BC ⊥．【答案】证明见解析【分析】在AB 上截取AE AC =，连结DE ，可得BE=CD ，由角平分线的定义可得∵CAD=∵EAD ，推出∵ACD∵∵ADE ，易得DE=CD 、∵C=∵AED ，即DE=BE ，由等腰三角形的性质可得∵B=∵BDE ，∵CAB=∵B ，进而得到∵C=∵DEB=∵DEA ，即可得到结论.【详解】证明：在AB 上截取AE AC =，连接DE ，∵AB AC CD =+，∵BE CD =．∵AD 平分CAB ∠，∵CAD EAD ∠=∠．在ACD 与ADE 中，AC AE CAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵ACD ∵ADE ．∵DE CD =，C AED ∠=∠．∵DE BE =．∵B BDE ∠=∠．∵AC BC =，∵CAB B ∠=∠．∵C DEB DEA ∠=∠=∠．∵18090DEA ∠=︒=︒．∵90C ∠=︒．∵AC BC ⊥．【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.32．已知AE AB ⊥，DA AC ⊥，AE AB =，AD AC =．直线MN 过点A ，交DE 、BC 于点M 、N ．（1）若AM 是EAD 中线，求证：AN BC ⊥；（2）若AN BC ⊥，求证：EM DM =．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）延长AM 至F ，使MF AM =，易证EMF △∵DMA △，可得DAM F ∠=∠，EF AD =，再根据AD AC =可得EF AC =，再利用∵BAC 、∵BAE 、∵EAD 和∵DAC 四个角和为360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠，利用∵AEF 的内角和可得180AEF DAE ∠=︒-，可得BAC AEF ∠=∠，即可证明ABC △∵EAF △，最后利用等角的余角相等的等量代换以及∵ABN 的内角和为180°可得出结论.（2）过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，根据DA AC ⊥，可得90DAM CAN ∠+∠=︒；AN BC ⊥，可得90CAN C ∠+∠=︒，等量代换得出F DAM C ∠=∠=∠．根据周角等于360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠；根据三角形内角和可得180∠=︒-∠AEF DAE ，可得BAC AEF ∠=∠，则可证明ABC △∵EAF △（AAS ），得到EF AC =；易证EFM △∵DAM △，即可得到EM DM =． 【详解】解：（1）如图，延长AM 至F ，使MF AM =，∵AM 是EAD 中线，∵EM DM =．在EMF △和DMA △中，EM DM EMF AMD MF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵EMF △∵DMA △（SAS ）．∵DAM F ∠=∠，EF AD =．∵AD AC =，∵EF AC =．∵AE AB ⊥，DA AC ⊥，∵360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ∵180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-， ∵BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，EF AC BAC AEF AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵ABC △∵EAF △（SAS ）．∵EAF B ∠=∠．∵AE AB ⊥，∵90EAF BAN ∠+∠=︒．∵90B BAN ∠+∠=︒．在ABN 中，()1801809090ANB B BAN ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∵AN BC ⊥． （2）如图，过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，∵DA AC ⊥，∵90DAM CAN ∠+∠=︒．∵AN BC ⊥，∵90CAN C ∠+∠=︒．∵F DAM C ∠=∠=∠．∵AE AB ⊥，DA AC ⊥，∵360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ∵180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠， ∵BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，BAC AEF F C AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵ABC △∵EAF △（AAS ）．∵EF AC =．∵AD AC =，∵EF AD =．在EFM △和DAM △中，F DAM EMF DMA EF AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵EFM △∵DAM △（AAS ）．∵EM DM =．【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.33．如图，在ABC △中，已知D 是BC 的中点，ED DF ⊥，求证：BE CF EF +>．【答案】证明见解析【分析】延长FD 到M 使MD=DF ，连接BM ，EM.构造出两三角形全等，可得MD=DF ，三角形EFM 中，ED∵MF ，MD=FD ，那么ED 就是MF 的垂直平分线，可得EM=EF ，最后根据三角形三边的关系即可证明.【详解】证明：延长FD 到M 使MD=DF ，连接BM ，EM.∵D 是BC 的中点，∵BD CD =．在MDB △与FDC △中，BD DC MDB CDF FD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵MDB △∵FDC △（SAS ）∵MD DF =．在FMC 中，CF CM MF +>．又∵ED DF ⊥，ED DM =，∵EF FM =．∵CF CM EF +>，即CF BE EF +>．【点睛】本题考查了全等三角形和三角形三边关系；做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.34．如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是AC 上一点，AE BD ⊥，垂足为E ，BE 交AC 于D ，又12AE BD =．求证：BD 是ABC ∠的平分线．【答案】见解析【解析】【分析】延长AE 、BC 交于点F ，通过证全等得AF=BD ，结合已知条件得E 是AF 的中点，可得BE 是AF 的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一即可得.【详解】证明：如图，延长AE 、BC 交于点FAE BE ⊥90BEF ∴∠=︒，又90ACF ACB ∠=∠=︒90DBC AFC FAC AFC ∴∠+∠=∠+∠=︒DBC FAC ∴∠=∠又AC BC =()ASA ACF BCD ≌∴∆∆AF BD ∴=又2BD AE =2AF AE ∴=AE EF ∴=AB BF ∴=BD ∴是ABC ∠的平分线【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的综合及等腰三角形的性质，构造全等，即辅助线的引入是解答此题的关键.35．如图1，已知∥ABC 中，AB ＝BC ＝1，∥ABC ＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转.（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N，证明:DM＝DN；（2）在这一旋转过程中，直角三角板DEF与∥ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（3）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）详情见解析；（2）四边形DMBN面积不发生变化，面积为14；（3）仍然成立，证明见解析.【分析】（1）连接BD，求出BD=DC，∵MDB=∵CDN，∵C=∵ABD，根据ASA证明∵MBD∵∵NCD，进而求证即可；（2）根据全等得出∵MBD与∵NCD面积相等，求出四边形DMBN的面积等于∵BDC的面积，进而求解即可；（3）连接BD，求出BD=DC，∵MDB=∵CDN，∵C=∵ABD，根据ASA证明∵MBD∵∵NCD，进而求证即可.【详解】（1）如图1，连接BD.∵在Rt∵ABC中，AB=BC，AD=DC，∵BD=DC=AD，∵BDC=90°，∵∵ABD=∵C=45°，∵∵MDB+∵BDN=90°，∵CDN+∵BDN=90°∵∵MDB=∵NDC，在∵MBD与∵NCD中，∵∵MDB=∵NDC，BD=DC，∵MBD=∵C，∵∵MBD∵∵NCD，∵DM=DN.（2）四边形DMBN面积不发生变化.由（1）得∵MBD∵∵NCD ，∵S ∵MBD =S ∵NCD ，∵四边形DMBN 面积=S ∵DMB +S ∵BDN = S ∵CND + S ∵BDN =12S ∵ABC =14. （3）DM=DN 仍然成立.如图2，连接BD ，∵在Rt∵ABC 中，AB=BC ，AD=DC ，∵DB=DC,∵BDC=90°，∵∵DCB=∵DBC=45°，∵∵DBM=∵DCN=135°，∵∵NDC+∵CDM=90°，∵BDM+∵CDM=90°，∵∵CDN=∵BDM ，在∵CDN 与∵BDM 中，∵∵CDN=∵BDM ，DC=DB ，∵DCN=∵DBM ，∵∵CDN∵∵BDM ，∵DM=DN.【点睛】本题主要考查了三角形旋转问题与全等三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.36．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC CD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，12MAN BAD ∠=∠．（1）如图（1），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图（2），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图（3），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的反向延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）详见解析；（2）MN BM DN =-，证明见解析；（3）MN DN BM =-.【分析】（1）延长MB 到G ，使BG DN =，连接AG ，易证ABG ∵ADN △，可得AG AN =，BG DN =，∠=∠NAD BAG ，再根据12MAN BAD ∠=∠，可得∠=∠MAG MAN ，易证AMG ∵AMN ，等量代换可得MN BM DN =+.（2）在BM 上截取BG ，使BG DN =，连接AG ，易证ADN △∵ABG ，可得AN AG =，NAD GAB ∠=∠，所以12MAN NAD BAM DAB ∠=∠+∠=∠，可得MAN MAG ∠=∠，易证MAN △∵MAG △，等量代换即可得出MN BM DN =-. （3）在DC 上截取DF=BM ，易证∵ABM∵∵ANF ，可得AFAM =，∠=∠DAF MAB ，根据12∠=∠+∠=∠MAN NAB BAM DAB ，等量代换可得12∠+∠=∠NAB DAF DAB ，可得∠=∠FAN MAN ，即可证明∵FAN∵∵MAN ， 得到=FN MN ，等量代换可得MN BM DN =-．【详解】（1）如图（1），延长MB 到G ，使BG DN =，连接AG ．∵90ABG ABC ADC ∠=∠=∠=︒，AB AD =，在∵ABG 与∵AND 中，BG DN NDA GBA AG AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵ABG ∵ADN △（SAS ）．。
沪教版(五四制)八年级数学上册 第十九章 几何证明讲义(无答案)
命题与证明（概念）演绎证明①推理的依据，可以是已知条件和已证事项（简称为已知和已证），也可以是已有的概念、性质等。
②演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法，演绎证明也简称为证明。
③整个证明由一段一段的因果关系连接而成。
④通常证明是由若干个推理组成，即有多层因果关系，从整体上看，前一段中果为后一段提供了因，一连串这样连贯、有序的因果关系组成完整的证明。
命题，证明，定理一、定义： 能说明一个名词的含义，能界定某一个对象含义的句子叫做定义。
二、命题：①判断一件事情的句子叫做命题。
②其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题。
③数学命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
这样的命题可以写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
三、公理：①人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其它命题真假的原始依据。
②严格意义的几何公理，其正确性不需证明，也不能证明。
③初中9大公理：1.过两点有且只有一条直线.第六讲 几何证明2.两点之间,线段最短.3.垂线段最短.4.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.5.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(平行公理)6.同位角相等,两直线平行.7.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS)8.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA)9.三边对应相等的两个三角形全等.(SSS)【例题1】⑴推理的依据，可以是_______和_______（简称为_______和_______），也可以是已有的_______、_______等。
⑵演绎推理是数学证明的一种_______的、_______的方法，演绎证明也简称为_______。
⑶整个证明由一段一段的_______连接而成。
⑷通常证明是由若干个推理组成，即有多层因果关系，从整体上看，前一段中_______为后一段提供了_______，一连串这样连贯、有序的_______组成完整的证明。
_几何证明知识整理.docx
知识整理一、知识梳理:1、有关概念：命题及逆命题___________________________________________________ 定理及逆定理_____________________________________________________ 2、重要定理：★线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
如图：・・・MN垂宜平分线段AB・・・PA=PB逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
如图：・.・PA=PB・•・点P在线段AB的垂直平分线上★角平分线泄理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
如图：/MB逆定理: 如图：VOP 平分ZAOBPD丄OA, PE±OB・•・PD=PEAAR在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
J PD=PEPD10A, PE丄OB・・・0P平分ZAOB★直角三角形的全等判定肓角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。
（H.L）（注意：必须先证明两个三和形都是RTZ,才能应用本判定定理；以前所学的ASA、A AS. SAS、SSS这四条判定定理对于直角三角形全等的判定仍然适用。
）★直角三角形的性质及判定定理1：直角三角形的两个锐角互余。
如图：VZC=90°・,.ZA+ZB=90°定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（直角、中点一想一半）如图：V ZACB=90° ,且点D是AB的屮点:.CD = -AB2推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。
，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如图：V ZC=90° , ZA二30°B ，.心和推论2：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半一，那么这条直角边所对的角 等于30°。
几何证明与解析几何例题和知识点总结
几何证明与解析几何例题和知识点总结在数学的广袤领域中，几何证明与解析几何犹如两颗璀璨的明珠，闪耀着智慧的光芒。
它们既是数学学习中的重点，也是难点。
接下来，让我们一同深入探索这两个重要的数学分支，通过例题来加深对知识点的理解和掌握。
一、几何证明几何证明是通过逻辑推理和几何定理来证明几何图形的性质和关系。
（一）基本定理和公理1、两点确定一条直线。
2、两点之间线段最短。
3、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
（二）三角形的相关定理1、三角形内角和为 180 度。
2、三角形的任意两边之和大于第三边。
（三）全等三角形的判定1、 SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
例：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，所以三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
2、 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
例如：已知三角形 ABC 和三角形 DEF，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，可证明两个三角形全等。
3、 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
4、 AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
5、 RHS（直角、斜边、边）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（四）相似三角形的判定1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2、三边对应成比例的两个三角形相似。
3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
4、两角对应相等的两个三角形相似。
（五）例题分析例 1：已知在三角形 ABC 中，AB ＝ AC，∠A ＝ 36°，BD 是角平分线。
求证：AD²＝ CD × AC证明：因为 AB ＝ AC，∠A ＝ 36°，所以∠ABC ＝∠C ＝ 72°。
因为 BD 是角平分线，所以∠ABD ＝∠DBC ＝ 36°。
沪教版(上海)八年级数学第一学期-第十九章 几何证明 复习课件-
知识梳理： 定义
概念
几 何 证 明
命题 真命题 假命题 基本事实 定理 互逆命题
几何证明
证明步骤
平行线 三角形内角和 全等三角形 等腰三角形 等边三角形 角平分线 垂直平分线 直角三角形
知识回顾
定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义。 命题：判断一件事情的句子，叫做命题。
轴对称图形，有三条对称轴
知识梳理： 等边三角形的判定：
名称
图形
判定
等
边
三条边都相等的三角形
三
角
A
三个角都等于60°的三角形
形
B
C 有一个角等于60°的等腰
三角形
知识梳理： 角平分线
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。 逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等
的点，在这个角的平分线上。 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这
精讲点拨
例 已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边
AC上一点，延长BC到D，连接DE。
D 2
求证：∠1>∠2。 C
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知），
∴∠1>∠3（
）。
E5
3
∵∠3是△CDE的一个外角，
4
∴∠3>∠2（
）。 A
1 BF
∴∠1>∠2（
）。
把你所悟到的证明真命题的方法，步骤，书写格
）。
），
）， ）。
谢谢
一点到三边的距离相等（这个交点叫做三角形的内 心）。 三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线 交于一点，这个的点到三边所在直线的距离相等。 这样点有三个。
高中数学中的几何证明全面总结与应用
高中数学中的几何证明全面总结与应用几何证明是高中数学中重要的一部分，通过几何证明可以加深理解，巩固知识，并培养逻辑思维和严谨的推理能力。
本文将全面总结高中数学中的几何证明，并介绍应用实例。
一、基础几何证明1. 点到线段的垂直性证明首先，假设AB是一条线段，P是该线段上的一个点，要证明AP⊥BP。
我们可以采用反证法，假设AP⊥BP不成立，即存在另一条线段CD与AB相交于点O，且AO⊥BO。
由于AP⊥BP，所以AP与BP的斜率的乘积为-1，即(k1 ×k2 = -1)。
而AO⊥BO，所以AO与BO的斜率的乘积也为-1。
但是，由于点P在线段AB上，点O在线段CD上，所以AP与AO的斜率相等，BP与BO的斜率相等，即(k1 = k3, k2 = k4)。
将上述等式带入AP与BP的斜率的乘积式子中可以得到k3 × k4 = -1，与假设AO⊥BO不符，所以AP⊥BP成立。
2. 三角形内角和为180度的证明设ABC为一个三角形，要证明∠A + ∠B + ∠C = 180°。
我们可以通过以下步骤证明：首先，以BC为底边，在BC的一边构造一个边DE。
然后，分别连接AE和BD，延长它们相交于点F。
由于AE与BC平行，所以∠A =∠EBC；同理，∠B = ∠DBE。
又因为∠DBF = ∠DAB，∠EBF = ∠EBA，并且∠DBF + ∠EBF = 180°（直角），所以∠DAB + ∠EBA = 180°。
由于∠A + ∠B + ∠C = ∠DAB + ∠EBA + ∠C，可以得出∠A +∠B + ∠C = 180°。
二、几何证明的应用1. 平行线之间的性质应用平行线之间的性质是几何证明中常见且重要的一部分。
其中，平行线与三角形的关系尤为重要。
下面以三角形内部角和为180度为例说明平行线的应用。
设AB与CD为两组平行线，AC与BD为两组相交直线。
在AD上取一点E，在BC上取一点F。
沪教版(五四学制)八年级上册第十九章几何证明：1证明举例(第2课时)课件
A
E
B
D
C
3、已知：如图，AB=AD，BE=DE，C是 AE延长线上一点. 求证：∠BCA=∠DCA.
A
E
B
D
C
课堂小结：
谈谈你在这节课上学到了哪些 证明线段或角相等的常用方法？
例1变式：已知：如图，AC与BD相交于点O， AB=DC ，∠ABC=∠DCB. 求证： OA=OD.
A
O
D
B
C
例2、 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
例2变式（1）：图形变换成如图，能否证明？ 例2变式（1）： 已知：如图，AB=AC，DB=DC.
求证：∠B=∠C.
等边三角形的三条边都相等，三个内角都等于60 °。
例1、已知：如图，AC与BD相交于点O，
OA=OD，∠OBC=∠OCB.
求证：AB=DC.
A
标出已 知条件
O
D
两个三角形，能否
B
C
推理这两个三角形全
等来证明线段相等。
学会发掘图形中的隐含条 件，如：对顶角相等、公 共边、公共角等.
复习：
1、三角形的边、角的有关性质： 三角形的边的性质：三角形任意两边之和大
于第三边；任意两边之差小于第三边。 三角形的角的性质： 内角和性质：三角形的内角和为180度。 外角性质：1）三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和。 2) 三角形的一个外角大于任何一个与它不相
邻的内角。
复习： 2、全等三角形判定方法：
（S、S、S）；（S、A、S）；（A、S、A）；（A、A、S）；
全等三角形的性质： 全等三角形对应边相等； 全等三角形对应角相等。
第十九章_几何证明知识点
第十九章 几何证明知识整理一、知识梳理：1、有关概念： 命题及逆命题 如原命题：互余的角不相等；逆命题：不相等的角互余。
这里原命题与逆命题都是假命题。
如原命题：平行四边形的两组对边分别相等；逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
这里原命题、逆命题都是真命题。
如原命题：凡直角必相等；逆命题：凡相等的角必为直角。
这里原命题是真命题，逆命题是假命题 定理及逆定理如原定理：等边三角形三个内角都相等；逆定理：三个内角相等的三角形是等边三角形。
如原定理：同圆的半径相等；逆命题：半径相等的圆是同圆。
这里，原定理的逆命题是假命题，如等圆，所以原定理没有逆定理。
2、重要定理：★线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
如图： ∵MN 垂直平分线段AB ∴PA=PB 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
如图： ∵PA=PB∴点P 在线段AB 的垂直平分线上★角平分线定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
如图： ∵OP 平分∠AOBP D ⊥OA ，P E ⊥OB∴PD=PE逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
如图： ∵PD=PEP D ⊥OA ，P E ⊥OB∴OP 平分∠AOB★直角三角形的全等判定 直角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。
（H.L ）（注意：必须先证明两个三角形都是R T ⊿，才能应用本判定定理；以前所学的ASA 、AAS 、SAS 、SSS 这四条判定定理对于直角三角形全等的判定仍然适用。
） ★直角三角形的性质及判定定理1：直角三角形的两个锐角互余。
如图： ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°M NBA P AB ODEP B定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（直角、中点→想一半）如图： ∵∠ACB=90°，且点D 是AB 的中点∴AB CD 21=推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何证明的核心知识点剖析与总结
几何证明的核心知识点剖析与总结几何证明作为数学领域中的重要内容，是判断和推理几何现象的有效工具。
本文将对几何证明的核心知识点进行剖析与总结，帮助读者更好地理解和掌握几何证明的重要技巧。
一、点、线、面及其关系的证明在几何证明中，点、线、面及其关系是基础中的基础。
通过证明点、线、面之间的关系，可以推导出更复杂的几何结论。
在进行这类证明时，需要熟悉点与线的性质、线与面的性质以及点、线、面的投影关系等核心知识点。
例如，在证明两条直线平行时，可以利用平行线的定义和性质来推导结论。
首先，需证明两条直线具有同斜率或互相垂直；其次，利用同斜率或互相垂直关系推导出两条直线平行。
二、全等三角形的证明全等三角形的证明是几何证明中的重要内容。
全等三角形的证明通常通过证明三组对应的边和角互相相等来完成。
在进行这类证明时，需要掌握各类全等三角形的判定条件，如SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）等。
在证明全等三角形时，可以运用辅助线、平移、旋转等几何变换的方法，以更好地展示证明的思路和过程。
同时，应注意清晰准确地标记对应的边和角，并遵循证明的逻辑顺序进行推理。
三、相似三角形的证明相似三角形的证明是另一个重要的核心知识点。
相似三角形的证明需要通过证明三个角相等或两组对应的角相等来完成。
在进行这类证明时，应熟悉相似三角形的判定条件，如AAA（角-角-角）、AA（角-角）等。
在证明相似三角形时，同样可以运用辅助线、平移、旋转等几何变换的方法，以更好地展示证明的思路和过程。
对于涉及比例的证明，还需要熟悉相似三角形的边长比关系，并运用比例等基本数学知识进行推理。
四、共线与垂直关系的证明共线与垂直关系的证明在几何证明中较为常见。
常用的证明方法包括利用相交线段的垂直性、利用垂直平分线的性质、利用等腰三角形的性质等。
在进行共线与垂直关系的证明时，需要注意标记各个点、线、角，并利用图形的对称性及各个角的性质进行推导。
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第十九章 几何证明知识整理
一、知识梳理：
1、有关概念： 命题及逆命题 如原命题：互余的角不相等；逆命题：不相等的角互余。
这里原命题与逆命题都是假命题。
如原命题：平行四边形的两组对边分别相等；逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
这里原命题、逆命题都是真命题。
如原命题：凡直角必相等；逆命题：凡相等的角必为直角。
这里原命题是真命题，逆命题是假命题 定理及逆定理
如原定理：等边三角形三个内角都相等；逆定理：三个内角相等的三角形是等边三角形。
如原定理：同圆的半径相等；逆命题：半径相等的圆是同圆。
这里，原定理的逆命题是假命题，如等圆，所以原定理没有逆定理。
2、重要定理：
★线段的垂直平分线
定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
如图： ∵MN 垂直平分线段AB ∴PA=PB 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
如图： ∵PA=PB
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上
★角平分线
定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
如图： ∵OP 平分∠AOB
P D ⊥OA ，P E ⊥OB
∴PD=PE
逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
如图： ∵PD=PE
P D ⊥OA ，P E ⊥OB
∴OP 平分∠AOB
★直角三角形的全等判定 直角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。
（H.L ）
（注意：必须先证明两个三角形都是R T ⊿，才能应用本判定定理；以前所学的ASA 、AAS 、SAS 、SSS 这四条判定定理对于直角三角形全等的判定仍然适用。
） ★直角三角形的性质及判定
定理1：直角三角形的两个锐角互余。
如图： ∵∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
M N
B
A P A
B O
D
E
P B
定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（直角、中点→想一半）
如图： ∵∠ACB=90°，
且点D 是AB 的中点
∴AB CD 2
1=
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如图： ∵∠C=90°，∠A=30°
∴AB BC 2
1
=
推论2：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半一，那么这条直角边所对的角等于30°。
如图： ∵∠C=90°，AB BC 2
1
=
∴∠A=30°
★勾股定理及逆定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。
如图： ∵∠C=90°，
∴2
2
2
AB BC AC =+
（2
2
2
c b a =+）
勾股定理逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
如图： ∵2
2
2
AB BC AC =+，
∴⊿ABC 是RT ⊿，且∠C=90°
★基本轨迹
轨迹1：和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。
轨迹2：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。
轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆。
二、基本方法：
1、几何证明的分析思路：
从结论出发，即：根据所要证明的结论，去寻找条件。
例如：要证线段相等，则必先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论。
要证角相等，则必先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相
B
B
等，然后利用等边对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论。
要证垂直，则必先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：在同一个三角形中）
要证三角形全等，则
必先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找！
从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→→直接可得的结论。
例如：已知线段的垂直平分线→→线段相等。
已知角平分线→→到角的两边距离相等或角相等。
已知直线平行→→角相等。
已知边相等→→角相等（前提：在同一三角形中）。
2、几何图形：
必须先观察图形，找出其明显的特征（一般来说：很多结论在图形中是完全能够看到的！）
八年级数学第二学期 第十九章复习题
班级 姓名
一、基础训练
轨迹
1、到定点A 的距离为4cm 的点的轨迹是 。
2、经过点P 、Q 的圆的圆心轨迹是 。
3、到∠AOB 的两边距离相等的点的轨迹是 。
线段的垂直平分线 1、已知，在⊿ABC 中，AB=AC ，DE 是AC 边的垂直平分线，AB=8cn ，BC=6cm ，则⊿BCD 的周长是 。
2、已知，在⊿ABC 中，AB=AC ，DE 是AC 边的垂直平分线，AB=16cm ，且⊿BCD 的周长是30cm ， BC= 。
3、已知，在⊿ABC 中，AB=AC ，DE 是AC 边的垂直平分线，∠A=30°，
则∠BCD= 度。
角平分线
1、如图，在R T ⊿ABC 中，∠B=90°，AD 平分∠BAC ，若AC=8，BD=3，则⊿ADC 的面积为 。
直角三角形有关内容
1、在R T ⊿ABC 中，∠A=90°，∠B=35°，则∠C= 度。
2、直角三角形中斜边上的中线和高分别为8cm 、5cm ，则面积为 。
3、直角三角形中，如果斜边和斜边上的中线的和为24cm ，则斜边长为 。
4、在R T ⊿ABC 中，∠A=90°，BC=8，AC=4，则∠C= 度。
5、直角三角形中两直角边的长分别为5、12，那么斜边上的中线为 。
6、在R T ⊿ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∠ACD=30°，若AD=4cm ，则AB= cm 。
7、如果等腰三角形底边上的中线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角为 度，底角为 度。
8、如果等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角为 度，底角为 度。
9、已知两点)1,1(,)3,2(--B A ，则AB= 。
10、已知，在R T ⊿ABC 中，∠C=90°，CD 是边AB 上的中线，CD=5cm ，∠A=30°，那么边BC= cm 。
C
D
二、解答题
1、在直角坐标平面内，点A 坐标为)3,1(，点B 坐标为)2,2(-，点C 坐标为)4,0(-， 1）判断⊿ABC 的形状，并说明理由； 2）求BC 边上中线的长。
2、在直角坐标平面内，已知点P 坐标为),(m m ，且点P 到点)3,2(-A 、)2,1(--B 的距离相等，求m 的值。
3、已知A 、B 两点的坐标分别为)1,4(,)2,1(，在x 轴上找一点C ，使得∠ACB=90°，求点C 的坐标。
4、如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°AB=3，BC=4,AD=13，DC=12 ； 求四边形ABCD 的面积。
B
C
A
D
6、如图，已知⊿ABC 中，∠C=90°，D 是BC 上一点，AB=17，AD=10，BD=9，求AC 的长。
7、已知：如图，在⊿ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且BD=CD ，D E ⊥AB ，D F ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，
求证：EB=FC
8、已知：如图，CD 垂直平分线段AB ，AB 平分∠CAD ， 求证：A D ∥BC
A C
C
9、已知：如图，AD=BC ，B E ⊥AC 于点E ，D F ⊥AC 于点F ，且BE=DE 求证：A B ∥CD
10、如图，已知AD ⊥BD ，AC ⊥BC ，E 为AB 的中点，试判断DE 与CE 是否相等，并说明理由。
11、如图，已知AG ⊥BD ，AC ⊥BG ，E 是AB 的中点，F 是CD 的中点，则EF ⊥CD ，请说明理由。
C
A E
B C D A B D C G E F。