《系统动力学导论》
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STEP 阶跃函数 DINV 期望库存
图
简单的库存控制系统流图
方程式: L INV.K=INV.J+DT*(OR.KL-SR.KL) N INV=DINV R OR.KL=CONST*DISC.K C CONST=0.5 A DISC.K=DINV-INV.K C DINV=200 R SR.K=STEP(20,4) 如P108 如5.29所示。
系统的方程式如下: L LEV.K=LEV.J+DT*(RT2.JK-RT1.JK) R RT1.KL=CONST*DISC.K A DISC.K=GL-LEV.K C GL=100 R RT2=CRT C CRT=8
NTRT——纯速率(单位/时间) R NTRT.KL=RT1.JK+RT2.JK X = CONST*DISC.K+ CRT X = CONST*(GL-LEV.K) + CRT 根据RT1.KL 、RT2.KL和NTRT.KL,可绘 制系统的速率—状态曲线图:P107
综上所述,负反馈系统的补偿功能,当 系统在附加输入或输出速率的情况下,可 自动建立起新的平衡,新的平衡值与原期 望的目标值不同。其差值与与系统的时间 常数及外生速率有关。 例如:库存控制系统的负反馈补偿特性。 P108
OR 订货率
INV 库存 SR 销售率
CONST 每周订货比率 DISC 偏差
指数增长和指数崩溃的特点是,一开始增 长和崩溃的很慢,然后在短时间内猛增和 猛减。
3.2.1 正反馈的一般结构
LEV 状态 RT 速率
CONST 常数 图3。1 正反馈一阶系统流图
L LEV.K-LEV.J+DT*RT.JK N LEV=1 R RT.KL=CONST*LEV.K C CONST=0.2 C DT=1 计算步骤如P95
求新的目标值NGL: 方法1: 200×20%=40 GL=DINV=200 NGL=200-40=160 方法2: NGL=GL+T*SR=200-1/0.5*20=20040=160
3.5 S形增长的反馈结构
如P 110 图5.30所示。 S增长的反馈结构,包含指数和渐进两种 增长过程。过渡区是由两种明显不同的增 长方式组成:先是指数增长,继之渐进增 长。前者是正反馈起主导作用,后者是负 反馈起主导作用。
LEV
模式2
GL
模式1
时间
3.5 负反馈系统的补偿特性
负反馈系统具有当其状态变量受外生 输入(或输出)速率作用时仍力图使状态 变量趋于目标值的特性,称为补偿特性。
RT2 速率2
LEV 状态 RT1 速率1
CRT 常数 DISC 偏差
CONST 比例系数
GL 目标 图 带有不变的外生输入速率的负反馈系统
例如2:
INV 库存 PR 产量 SR 销售量
PROD 生产率
SR 发货率 WF 劳动力
图 产量PR的形成结构流图
方程式: R PR.KL=WF.K*PROD 式中: PR——产值(件/月); WF——雇员(人); PROD——生产率(件/人*月)。 检验量纲的一致性: PR=人*(件/人*月)=件/月
(4)LEVEL.K*AUX.K与 LEVEL.K/AUX.K 方程式: R RATE.KL=LEVEL.K*AUX.K R RATE.KL=LEVEL.K/AUX.K 式中: AUX——辅助变量。 例如1:
INV 库存 PR 产量 SR 销售量
PROD 生产率
SR 发货率 WF 劳动力
(3)倍增时间Td 倍增时间定义为变量由初始值增至二倍的 初始值所需要的时间。 Td=0.6*T 倍增时间约等于70%的时间常数T。即每经 过一段时间Td,LEV的值将较前增加一倍。 P92的图5.2表示了倍增时间常数与时间常 数的关系。
一阶负反馈系统的重要参数
(1)方程式的基本形式
其中,AQR(平均离退率,即为额定 雇佣率)相当于标准公式中的额定速率 NORM,企业就是按AQR雇佣新雇员以代 替正常的离退人员,以保持雇员的总数。 (WFS.K-WF.K)/WFAT相当于标准公式中 的某些因素的影响作用EFFECT。
例如2:
BAT 订单积 压调整时间
B 订单积压 DB 期望订单积压
4.2 速率方程 速率变量的功能是把影响系统状态的诸因 素转换成改变系统状态的行动。 速率方程没有同一的标准格式。 (1)LEV.K*CONST R RATE.KL=LEV.K*CONST
例如1:
IPR 利息
BAL 银行结存
FAIR 年利率 图 银行付息结构流图
方程式: R IPR.KL=BAL.K*FAIR 式中: IPR——利息(元/年); BAL——银行结存(元); FAIR——年利率(1/年)。 方程中的量纲要保持一致: IPR=元*(1/年)=元/年
DI 期望库存 IAT 库存调整时间
图 产量PR的形成结构流图
方程式: R PR.KL=WF.K*PROD.K
例如2:
POL 污染 POLA 污染净化率
POLAT 污 染净化 时间
方程式: R POLA.KL=POL.K/POLAT.K
(5)EFFECT.K+NORM.K 方程式: R RATE.KL=NORM.K+ EFFECT.K 式中: RATE——速率; NORM——额定速率; EFFECT——某些因素的影响作用。 例如1:
3.2。2 正反馈过程的特征 (1)指数增长的特点 P97 t≥15Td之后,状态变量的值猛然暴涨。 (2)超指数增长 P98 (3)指数增长与崩溃特性
变量 变量
变量
0
时间 指数增长和指数崩溃曲线
3.4 负反馈系统
室温 期望室温 冷却器 加热器 温度继电器
库存
发货
货物到达
3.4.3
寻的负反馈系统的行为的三种 模式
(1)GL> 0,LEV≥0,(LEV(0)-GL)< 0; (2)GL> 0,LEV≥0,(LEV(0)-GL)> 0; (3)GL=0,LEV> 0。 模式3如教材P105 图5.25所示 模式3称为零目标结构。目标值GL为“0”, 状态值由LEV(0)指数衰减至“0”。
WF 劳动力 HFR 纯雇佣率
WFS 期 望劳动 力
WFAT 劳动 力调节时间
方程式: L WF.K=WF.J+DT*HFR.JK R HFR.KL=(WFS.K-WF.K)/WFAT 纯速率,是指输入速率和输出速率的代数 和,其值可正或负或零。 纯速率能使劳动力人数增或减,取决于WF 与WFS值的相对大小。
LEV 状态 RT 速率 CONST 常数 DISC 偏差 GL 目标值
图3. 1 一阶负反馈系统的典型流图
方程式: L LEV.K=LEV.J+DT*RT.JK R RT.KL=CONST*DISC.K A DISC.K=GL-LEV.K LEV(t)=GL-[GL-LEV(0)]e-CONST*t
3.4.2 负反馈系统的特性
LEV 态 状 过渡区 稳定区
时间
状态随时间变化曲线包括两个区段:瞬 态(过渡区)和稳态(稳定区)两个部分。 在过渡区段,LEV值与目标值GL不相 等。此时LEV具有寻的与瞬变的特点;在 稳定区,LEV值接近或近似地达到目标值, 稳定不变。RT也最终近似地达到“0”。 负反馈系统中LEV作为时间的函数的解 析表达式: LEV(t)=GL+[LEV(0)-GL]e-constT*t
订货
期望库存 生产
负反馈系统是负反馈回路起主导作用的系统。它 具有跟随目标(寻的)的特性。
3.4.1 负反馈结构的因果与相互关系图、流 图与方程式
+ 系统状 态和水平 期望状态或目标
行动或 速率 +
-
+
差别
负反馈结构的因果关系图包含四个基本单 元——期望状态(目标)、偏差、校正量 (速率)、系统状态(水平)。
RT 速率
LEV 状态
CONST 比例常数
GL 目标值 DISC 偏差
方程式: L LEV.K=LEV.J+DT*RT.JK N LEV=0 R RT.KL=CONST*DISC.K C CONST=0.1 A DISC.K=GL-LEV.K C GL=100 式中: LEV——状态(单位) RT——速率(单位/时间) CONST——常数(1/时间) DISC——偏差(单位) GL——目标值(单位)
(2)R RATE.KL=LEVEL.K/LIFE 式中: LIFE——使用年限或寿命 例如1:
BCKLOG 订货积压
SR 发货率
DD 交货延迟
R SR.KL=BCKLOG.K/DD 式中: SR——发货率(件/周); BCKLOG——订货积压(件); DD——交货延迟(周)。 交货延迟:从订货开始到交货为止所需要 的平均时间。
例如2:
DR 产卵率
EGGS 卵
HR 孵化率
LAPV 幼虫
PUP 蛹 PR 成蛹率
ADLTS 成虫 DR 死亡率 MR 成熟率
DES 孵化期
DLS 幼虫期
Leabharlann Baidu
DPS 蛹期
TMD 衰老期
例如3: 矿区人口模型 (3)(GOAL-LEVEL.K)/ADJTM 方程式: R RATE.KL=(GOAL.K-LEVEL.L)/ADJTM 式中: ADJTM——调整时间。 例如:
WFS 期 望雇 员
WFAT 雇员调整时间
WP 雇员 HR 雇佣率 QR 离退率
AQR 平均 离退率
TAQR 离退率平滑时间
雇佣率的方程式: R HR.KL=AQR.K+(WFS.K-WF.K)/WFAT 式中: HR——雇佣率(人/月)。 AQR——平均离退率(人/月); WF——雇员(人); WFAT——雇员调整时间(月)。
4.1.2 状态变量的确定原则 (1)是否把一个量定义为状态变量,取决于是 否能把这个量看作为某种对时间的积累过程。 例如:人口、企业雇员数、库存、生产能力、血 清胆固醇、银行结存、文化传统、人的习惯、人 的感受等。 当设想把时间暂停的时候,这些量也不会消失。 (2)是否把一个量定义为状态变量,要看它的 变化速度与模型的时间坐标比较是快还是慢而定: 变化速度慢的量可定义为常数,变化速度快的量 可定义为辅助变量,一般情况则视为状态变量。 (3)量纲无助于判断是否是状态变量。
下面求新的目标值: 假定NTRT=0,则可得: CRT=-CONST(GL-LEV) =-CONST*GL+LEV*CONST LEV=CRT/CONST+GL LEV=NGL=CRT/CONST+GL NGL=T*CRT+GL=1/0.1*8+100=180 由此可见,系统新的平衡值较期望的目标 值GL增加了T*CRT,即为时间常数T与不 变的输入速率CRT(或RT2)的乘积。
(2)时间常数T P93 (3)减半时间常数(或半衰期)Th Th=0.69T
3.3 正反馈系统
+ 工资
+ 工资要求 + 物价所受压力
物价
+
工资-物价增长系统的应关系图
+
A 感到来 自B国的 威胁 + A国的武器
B国的武器 +
B国感到来自 A国的威胁
+
军备增长系统因果关系图
正反馈可以形成良性和恶性两种循环。
3.5.1 S形增长的系统内部结构
LEV 状态 RT 速率
RTV 速 率值
图
S形增长机制的流图
方程式: P111
第四章 模型与方程的建立
建立方程是把模型“翻译”成数学方程式的 过程,把非正规的、概念的构思转换成正式的定 量的数学表达式——规范的方程。 4.1 状态方程 状态变量,是随时间而变化的积累量,是物质、 能量与信息的储存环节。 4.1.1 状态方程的标准格式 状态方程的标准格式: L LEV.K=LEV.J+DT*(INFLOW.JKOUTFLOW.JK)