单自由度的振动分析

2 令 D 1
方程的通解为
v0 y0
y (t ) e t (c1 sin D t c2 cos D t )
D
)2
tan D y0 D /( v0 y0 )
小阻尼情况
(0) v0 y ( 0) y 0 , y c1 (v0 y0 ) / D , c2 y0 y (t ) Ae t sin( D t D )
A
2 y0 (
1 (c 2m )
2 1 令 D
方程的通解为
v0 y0
y (t ) e t (c1 sin D t c2 cos D t ) tan D y0 D /( v0 y0 )
临界阻尼情况
D
)2
1
y
1(c 2m )
y (t ) e t [( v0 y0 )t y0 ]
超阻尼情况
1
t
1
1(c 2m ) 2 t v0 y0 1 y (t ) e ( sh c t y0 ch c t ) c c
1
cr 2m -----临界阻尼系数
c c -----阻尼比 cr 2 m
大量结构实测结果表明，对于钢筋混凝土和砌体结构 0.02 ~ 0.。各种坝体的 03 0.03 ~ 0.2 0.04 ~ 0.05，钢结构 0.05 ~ 0.1 ，土 ，拱坝 0.03 ~ 0.05 ，重力坝（大头坝） 0.1 ~ 0.2 坝、堆石坝 。
D 1 2 2 TD D
D
阻尼测量
2 Ai 2 ln TD D Ai 1

A 1 ln i 2 Ai 1

Ai 1 ln 2n Ai n
例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 解: 1.阻尼比 丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 1 2 ln 0.0276 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅 2 4 1 降为1cm.求 1.阻尼比 2.刚度系数 2.刚度系数 2cm 3.无阻尼周期 3 16 . 4 10 16.4kN 4.重量 k11 8.2 105 ( N / m) 0.02 5.阻尼系数 6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少
2 12.57(1 / s) T 2 m k11 / 5190(kg ) W mg 50.86( kN )
例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 解: 1.阻尼比 丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 1 2 ln 0.0276 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅 2 4 1 降为1cm.求 1.阻尼比 2.刚度系数 2.刚度系数 2cm 3.无阻尼周期 3 16 . 4 10 16.4kN 4.重量 k11 8.2 105 ( N / m) 0.02 5.阻尼系数 6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少
3.无阻尼周期
5.阻尼系数
2
TD 2 / 4 0.5(s)
T TD 1 0.4998(s)
4.重量
c 2m 3601( N s/m )
6.若质量增加800kg,周期和阻尼比
5 8 . 2 10 2 136.89(1 / s 2 ) 5190 800 11.70(1 / s) T 2 / 0.537 (s) c / 2m 0.0257
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l
Tmax U max
5k 9m
3.利用振动规律
y (t ) A sin( t )
(t ) A 2 sin( t ) y (t ) mA 2 sin( t ) I (t ) m y
位移与惯性力同频同步. 例3.质点重W,求体系的频率. 解:
运动方程及其解
运动方程
(t ) m y
cy k11 y 0 m y
m
y(t )
(t ) cy
令
c / 2 m
k11 y(t )
2y 2 y 0 y 设 y (t ) Aet 2 2 2 0 特征方程
3
l
2.利用机械能守恒
T (t ) U (t ) 常数 1 2 1 (t ) mA2 2 cos 2 (t ) T (t ) my 2 2 1 1 2 U (t ) k11 y (t ) k11 A2 sin 2 (t ) 2 2 Tmax U max
v0
y (t ) y0 cos t
令

sin t
y0 A sin , v0 / A cos
y (t ) A sin( t )
其中
A y
2 0
y
tan
y0
v0
2 v0 2
A
t
A T
1 2 自振频率 T
T
2
自振周期
与外界无关,体系本身固有的特性
由初始条件
2 i 1 根为
小阻尼情况
(0) v0 y ( 0) y 0 , y c1 (v0 y0 ) / D , c2 y0 y (t ) Ae t sin( D t D )
A
2 y0 (
1 (c 2m )
(t ) m y y(t )
y (t ) A sin( t )
k
m
(t ) 2 y (t ) 0 y
二阶线性齐次常微分方程 运动方程的通解
y (t ) c1 cos t c2 sin t
设初始条件为
运动方程的特解
(0) v0 y ( 0) y 0 , y
mA 2 kA 3EI A 3 l
EI
k
l
m A 2
A
m A 2
3EI A 3 l
kA
m W / g
3EI k 3 l g W

在最高点用达朗伯原理
二. 阻尼体系 阻尼:使振动衰减的作用. 阻尼产生原因：材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外 摩擦及介质阻力等. 阻尼力： 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。 粘滞阻尼理论假定阻尼力大小与速度成正比,方向与速度相反。
自振频率和周期的计算 1.利用计算公式
k11 1 2 T m m 11 例1.求图示体系的自振周期.
2
解:
l3 11 3EI
1 3EI m11 ml 3
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
=1
11
ml T 2 3EI
2
例2.求图示体系的自振频率和周期. 解: Tmax m(2l ) 2 m(l ) 2
1 2 1 2
m
l
EI
k
m
(t ) l
m
k
1 9 m(2l ) 2 ml 2 2 2 2 2 1 1 5 U max k (l ) 2 k (2l ) 2 kl 2 2 2 2 2
第二章单自由度体系的振动分析
§2.1 自由振动
一. 无阻尼体系 运动方程
l
m
EI
(t ) m y y(t )
(t )] y (t ) 11[m y
令
(t ) k11 y (t ) m y
k
2
k11 1 m m 11
m
(t ) 2 y (t ) 0 y
小阻尼情况
y (t ) Ae t sin( D t D ) y(t )
A y (
2 0
Ai ti
TD
Ai 1 ti 1
v0 y0
D
)2
t
tan D y0 D /( v0 y0 )
振动是衰减的
Ai Ae ti TD e Ai 1 Ae ( ti TD ) Ai ln TD 对数衰减率 Ai 1 周期延长 2 2 计算频率和周期可不计阻尼
(t ) R (t ) cy
运动方程及其解 m
y(t )
(t ) cy
c-----阻尼系数 (damping coefficient ） 运动方程
cy k11 y 0 m y
(t ) m y
令
c / 2 m
k11 y(t )
2y 2 y 0 y 设 y (t ) Aet 2 2 2 0 特征方程
二阶线性齐次常微分方程 运动方程的通解
y (t ) c1 cos t c2 sin t
设初始条件为
运动方程的特解
(0) v0 y ( 0) y 0 , y
v0
y (t ) y0 cos t
令

sin t
l
m
EI
y0 A sin , v0 / A cos