最值问题(训练篇A)-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

专题03最值问题训练篇A
1．直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是(
)
A ．[2,6]
B ．[4,8]
C ．[2，32]
D ．[22，32]
解选A
设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为
d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为
|2＋2|2
＝22，
可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝2.
由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为1
2|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最
小值为1
2
|AB |·d min ＝2.
综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．
2．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为(
)
A ．2
B.455
C.4105
D.8105
解选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，
2＋4y 2＝4，
＝x ＋t
消去y ，得5x 2
＋8tx ＋4(t 2
－1)＝0，则x 1＋x 2＝－8
5
t ，x 1x 2＝
4t 2－15
.
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝2·
＝
42
5
·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝
410
5
.3．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．
解由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1，所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋|PF |的最小值为
|1＋5|12＋
－1
2
＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.
4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为(
)
A.2
B.3
C ．2
D ．3
解选C
设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则有x 20＋y 2
0＝
1，且切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令y ＝0，x ＝0得
则|AB |＝1x 0y 0≥1x 20＋y 20
2
＝2，
当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．5．已知点P 是椭圆
x 216＋y 2
8
＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→
|的取值范围是(
)
A ．[0,3)
B ．(0,22)
C ．[22，3)
D ．(0,4]
解选B
如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G .
∵F
1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→.
又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点．
∵O 为F 1F 2中点，∴OM =1
2
F 2
G .
∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||，∴|OM ―→|＝1
2|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.
∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22，∴|OM ―→
|∈(0,22)．
6.已知1F ，2F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原
点.
（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；
（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且△12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.
解（1）连接1PF ，由2POF ∆为等边三角形可知在△12F PF 中，
1290F PF ∠=︒，2||PF c =，1||PF =，于是122||||1)a PF PF c =+=，
故曲线C 的离心率1c
e a
==.
（2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在当且仅当：1
||2162
y c = ，
1y y
x c x c
=-+-，22221x y a b +=，
即||16c y =，①
222x y c +=，②22
22
1x y a b +=，③由②③及2
2
2
a b c =+得42
2b y c =，又由①知22
216y c
=，故4b =，
由②③得22
22
2()a x c b c
=-，所以22c b ，从而2222232a b c b =+=
，故a ，
当4b =
，a 时，存在满足条件的点P .
7．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx
与椭圆交于A ，B 两点．
(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k ＝
2
4
，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值；(3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线PA 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．
解(1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16.所以椭圆的标准方程为x 225＋y 2
16
＝1.
(2)＋y 2
b 2＝1，＝
24
x ，
得2＋1
8a
2－a 2b 2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2
b 2
＋18a
2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，
易知，AF 2⊥BF 2，
因为F 2A ―→＝(x 1－3，y 1)，F 2B ―→
＝(x 2－3，y 2)，
所以F 2A ―→·F 2B ―→
＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y
2
1x 2＋9＝0.
即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a 2
＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12，
所以离心率e ＝
32
.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为
x 212＋y 2
3
＝1，由题可知A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2＝y 20－y 2
1
x 20－x 2
1
，
又y 20－y 21x 20－x 21＝01
＝－1
4，即k 2＝－1
4k 1，
由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜1
4
.即直线PB 的斜率k 2
8.已知椭圆22
2:1x C y a +=()1a >
的离心率是2
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B
两点，直线11,F A F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k 的取值范围．
解（1）由题意2
222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，，解得22a =.
所
以
椭
圆
C
的方程为
2
2 1.2
x y +=…………4分
（2）由已知直线l 的斜率不为0.
设直线l 方程为()1y k x =-.直线l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y .
由()22112
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222214220k x k x k +-+-=.
由已知，判别式0∆>恒成立，且22121222422
,.2121
k k x x x x k k -+==++①
直线1F A 的方程为()1111
y y x x =
++，令0x =，则11(0,1y
M x +.
同理可得2
2(0,
1
y N x +.所以()()()()()()
21212
11121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+
=+
++++uuu u r uuu r
()()()()2
2
2
212
1
2
121212121212111111
1
k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++-++⎡⎤⎣⎦=+
=
++++++.
将①代入并化简，得211271
81
k F M F N k -⋅=-uuu u r uuu r .
依题意，1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅> ，即211271081k F M F N k -⋅=>-uuu u r uuu r .解得2
17
k >
或21
8
k <
.综上，直线l 斜率的取值范围是7227(,(,0)(0,(,)7447
-∞-
-+∞U U U .9.如图，
已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上.
(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
(2)若P 是半椭圆2
2
1(0)4
y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积
的取值范围.
分析第（1）要设出A ，B ，P 的坐标，确定PA ，PB 其中点坐
标，把中点坐标代入抛物线方程，然后利用“点差法”或韦达定理证明P ，M 中点纵坐标相同；第（2）题要求三角形面积，可视|PB |为底，A B y y -为高，把底和高表示为P x 或P y 的函数，确定函数定义域，再求其最值.
（1）解1设112200(,)(,)(,)A x y B x y P x y ，，，AB 中点1212,22x x y y M ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，PA 中点1010,22x x y y Q ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，PB 中点2020,2
2x x y y R ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，由Q R 、在抛物线2
4y x =上得，
210102
2020=422=422y y x x y y x x ⎧++⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎨++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
，两式相减并化简得22
121212012+2()2224
y y y y y y y x x +--⋅=-=⋅（），即120
2y y y +=，所以PM 垂直于y 轴.
解2设22
121200(,)(,)(,)44y y A y B y P x y ，，，则PA 中点为20110+,282x y y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，PA
中
点在抛物线2
4y x =上，得2
21001=4+
228y y x y ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，化简得2210100280
y y y x y -+-=同理可得22
20200280y y y x y -+-=，因为12y y ≠，所以12y y ，是方程
22000280y y y x y -+-=的两个解，从而1202y y y +=，12
02
M P y y y y y +=
==，即PM 垂直于y 轴.
（2）因为00(,)P x y 在半椭圆2
2
1(0)4
y x x +=<上，由题意知010x -≤<.
由（1）解2得1202y y y +=，2
12008y y x y =-，
所以12y y -==，
222
121212004||=88
M P y y y y y y PM x x x x ++-=-=--（）2
00=3(1)x x --，于是
121
=2S PM y y =
-1212
M P x x y y --200x x --，
t ，则2t ⎡∈⎢⎣⎦，所以3
4S ⎡∈⎢⎣⎦
.
10.设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+ ,向量(,1)b x y =-
,a b ⊥ ,
动点(,)M x y 的轨迹为E.
（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；（2）已知4
1
=
m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知4
1=
m ,设直线l 与圆C:222
x y R +=(12R <<)相切于A 1,且l 与轨迹E 只有一个公共点B 1,当R 为何值时,|A 1B 1|取得最大值?并求最大值.
解（1）因为a b ⊥ ,(,1)a mx y =+ ,(,1)b x y =-
,所以22
10a b mx y ⋅=+-= ,
即2
2
1mx y +=.
当m=0时,方程表示两直线,方程为1±=y ;
当1m =时,方程表示的是圆；
当0>m 且1≠m 时,方程表示的是椭圆；当0<m 时,方程表示的是双曲线.
(2).当41=m 时,轨迹E 的方程为2
214x y +=,设圆心在原点的圆的一条切线为y kx t =+,
解方程组22
14
y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩,得224()4x kx t ++=,即222
(14)8440k x ktx t +++-=,要使切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,则其
△=22
2
2
2
2
6416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+>,(*)
即22410k t -+>,即22
41t k <+,且1222
12
281444
14kt x x k t x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
．2
2
12121212()()()y y kx t kx t k x x kt x x t =++=+++22
2
414t k k
-=+．因OA OB ⊥ ,故12120x x y y +=,解得22544t k =+且2241t k <+,即22
44205
k k +<+恒成立.又因为直线y kx t =+为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为r =
22
222
4
(1)
45115
k t r k k +===++,所求的圆为2245x y +=.当切线的斜率不存在时,切线为552±=x ,与2
214x y +=交于点)552,552(±或55
2
,552(±-
也满足OA OB ⊥.综上,存在圆心在原点的圆2
2
4
5
x y +=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥ .
(3)设直线l 的方程为y kx t =+,因为直线l 与圆C:222
x y R +=(1<R<2)相切于A 1,由（2
）知R =
,即
222(1)
t R k =+①,
因为l 与轨迹E 只有一个公共点B 1,由（*）知2
2
410k t -+=,
②
由①②得222
2
22
3414R t R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩-．当l 与轨迹E 只有一个公共点B 1时，A,B 重合为B 1(x 1,y 1)，
21x x =,所以,222
1
1222
441616
143t R x x x k R --===
+．因(x 1,y 1)点在椭圆上,所以22
21
12
14143R y x R
-=-=,所以222
11124||5OB x y R =+=-,在直角三角形OA 1B 1中,因
2222211112244||||||55()A B OB OA R R R R =-=-
-=-+因为2
244R R
+≥当且仅
当(1,2)R =时取等号,所以211||541A B ≤-=,
即当(1,2)R =时|A 1B 1|取得最大值,
最大值为
1.。