量子阱能级与波函数的MATLAB实现
掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响
毕业设计（论文）题目：掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响学院：系部：专业：班级：学生姓名：导师姓名：职称：起止时间：毕业设计（论文）诚信声明书本人声明：本人所提交的毕业论文《掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响》是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，论文中所引用他人的文献、数据、图件、资料均已明确标注；对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明并表示感谢。
本人完全清楚本声明的法律后果，申请学位论文和资料若有不实之处，本人愿承担相应的法律责任。
论文作者签名：时间：年月日指导教师签名：时间：年月日目录摘要 (I)Abstract (II)1引言 (1)2砷化镓半导体量子阱 (2)2.1半导体材料简述 (2)2.2砷化镓半导体 (2)2.3低维半导体 (3)2.4费米能级 (3)2.5量子阱 (4)2.6砷化镓半导体的应用 (6)3量子阱相关的基本理论 (7)3.1量子力学与波函数 (7)3.2薛定谔方程 (8)3.2.1薛定谔波动方程的应用 (10)3.3有限差分法 (11)3.4求解本征能级能量 (12)3.5求解费米能级 (14)4掺杂浓度对费米能级的影响 (16)4.1量子阱结构 (16)4.2软件计算 (16)4.3数值结果 (17)4.4数值分析 (19)5结论 (20)致谢 (21)参考文献 (22)附录 (23)摘要单量子阱可以按照自己的意愿对半导体化合物分组和生长厚度进行控制，在不同的量子阱中电子的运动也会发生变化，电子的运动状态会影响到量子阱的能级能量。
费米能级存在于两相邻能级之间，它的位置可以决定载流子分布状态。
载流子的浓度会影响半导体的物理性能，从而可以制作出各种各样的半导体器件。
然而，费米能级的位置不是一个固定不变的值，它会随着外界施主杂质掺杂浓度和温度的变化而变化。
首先，本文会介绍半导体物理的知识，系统的介绍量子阱方面的内容，然后再引出砷化镓半导体。
matlab 量子力学
matlab 量子力学【实用版】目录1.MATLAB 简介2.量子力学简介3.MATLAB 在量子力学中的应用4.MATLAB 量子力学工具箱5.MATLAB 量子力学应用实例正文【1.MATLAB 简介】MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数学软件，主要用于科学计算、可视化以及算法开发。
它基于矩阵计算，支持各种数学运算，同时提供了丰富的工具箱，涵盖了各个领域的知识。
【2.量子力学简介】量子力学是研究微观世界的物理学理论，它的基本概念包括波粒二象性、不确定性原理、波函数等。
量子力学在原子物理、分子物理、凝聚态物理等领域有着广泛的应用。
【3.MATLAB 在量子力学中的应用】MATLAB 在量子力学中有着广泛的应用，例如在量子力学的理论研究、数值模拟以及图像可视化等方面。
利用 MATLAB 可以方便地进行矩阵运算、线性代数运算以及各种数学函数的计算，这对于量子力学的理论研究非常重要。
【4.MATLAB 量子力学工具箱】MATLAB 提供了专门的量子力学工具箱（Quantum Mechanics Toolbox），这个工具箱包含了大量的量子力学相关的函数和应用程序接口（API），用户可以利用这些工具进行量子力学的理论研究和数值模拟。
【5.MATLAB 量子力学应用实例】例如，我们可以利用 MATLAB 量子力学工具箱进行氢原子的数值模拟。
氢原子是一个由一个质子和一个电子组成的系统，它的量子力学描述涉及到薛定谔方程的求解。
利用 MATLAB 可以方便地实现这个过程，包括对薛定谔方程的数值求解、波函数的绘制以及能量本征值的计算等。
量子阱能级与波函数的MATLAB实现
哈尔滨师范大学学年论文题目量子阱能级和波函数的MATLAB实现学生王勇指导教师孙文军教授年级2010级专业物理学（通用技术）系别物理系学院物理与电子工程学院哈尔滨师范大学2013年5月量子阱能级与波函数的MATLAB 实现王勇摘 要：在量子力学中，通过对求解一维多量子阱束缚态能级满足的超越方程，我们可以求出量子阱的能级表达式。
另外，通过薛定谔方程求出对氢原子波函数满足的方程，在MATLAB 中通过程序的编辑，可以方便地绘制量子阱能级和波函数的空间分布图，指出MATLAB 软件是解决量子力学可视化的有效工具。
关键词：MATLAB ；量子阱能级；波函数量子力学作为物理类学生必修的一门专业课. 一直以来以教师难教、学生难学而著称，量子力学主要研究微观尺度下粒子的行为与相互作用/，例如量子力学中的许多概念如角动量理论，波函数等抽象难懂. 一些量子力学现象如隧道效应、势垒反射等与宏观现实不相符. 同时这些理论和现象无法直接用肉眼观察，使得这些理论和现象更加晦涩难懂. 因此，在量子力学教学中引入多媒体教学.，增加动态直观的演示，是进行教学改革、也是将晦涩难懂的抽象理论化为形象生动的图像理论。
而选择一种操作简单、功能强大的多媒体制作软件是进行教育改革的前提，针对量子力学计算复杂、物理量具有矩阵形式等特点. 我们最终选择了具有强大计算能力同时又有极强图像处理能力的数学软件——MATLAB 。
一、MATLAB 软件介绍MATLAB 是美国MATH WORK 公司从1982年开始推出的一套高性能的数值计算和可视化软件， 它集数值分析、矩阵运算和图形显示于一体. 构成了一个方便的、界面友好的用户环境，MATLAB 程序设计语言结构完整. 且具有良好的移植性,易学易用.此外. 它还提供了解决各类问题的工具箱，MATLAB 已成为应用学科、计算机辅助分析、设计、仿真和教学不可缺少的软件.MATLAB 具有强大的图形绘制能力. 为科学研究提供了极大的方便，MATLAB 可以绘制二维、三维乃至四维图形.而且能对图形进行线型、立体、色彩、光线、视角等控制,用户只须指定绘图方式. 并提供充足的绘图数据. 用很少的程序指令就可得到直观、形象的图形结果.借助于MATLAB 的数值计算和图形处理技术.我们可以方便地绘制氢原子波函数的空间分布图. 直观感受微观状态下电子行为,加深对理论、概念的理解。
写出一份matlab对氢原子波函数仿真模型的报告
写出一份matlab对氢原子波函数仿真模型的报告氢原子波函数仿真模型报告1. 引言在量子物理领域中，研究氢原子波函数是非常重要的。
波函数用于描述氢原子的能级和态的特性，对理解氢原子的电子结构和行为具有重要意义。
本报告旨在介绍使用MATLAB编写的氢原子波函数仿真模型。
2. 模型原理氢原子波函数基本理论氢原子的波函数可以使用Schrodinger方程进行描述，波函数的形式可通过求解Schrodinger方程得出。
在模型中，我们使用量子数n 和l来描述氢原子的态，其中n表示主量子数，l表示角量子数。
模型工具和算法本模型使用MATLAB进行编写和实现。
主要使用的算法包括数值解法和绘图函数。
具体而言，我们使用数值方法求解氢原子的Schrodinger方程，并利用MATLAB的绘图函数可视化波函数的形状。
3. 模型实现数据处理首先，我们需要定义氢原子的参数，包括质量、电荷、Planck常数等。
然后，使用数值方法求解氢原子的Schrodinger方程，得到波函数的数值解。
绘图根据数值解得到的结果，我们使用MATLAB的绘图函数绘制波函数在三维空间中的形状。
可以根据不同的量子数n和l，绘制不同的波函数图像。
4. 模型应用与结果分析模型应用本模型可以应用于研究氢原子的能级和态的特性。
可以通过对不同量子数的波函数进行分析，得到氢原子的电子分布和结构。
结果分析通过对氢原子波函数的仿真，我们可以观察到不同量子数对应的波函数形状和能级分布。
这些结果与已知的氢原子理论相吻合，验证了模型的正确性和可靠性。
5. 总结与展望本报告介绍了一种基于MATLAB编写的氢原子波函数仿真模型。
通过数值求解Schrodinger方程和绘图函数，实现了对氢原子波函数的模拟。
模型在氢原子波函数的研究中具有重要应用价值。
未来可以进一步优化模型的求解算法，提高模型的计算效率和精度。
参考文献[1] Griffiths, D. J. (2005). Introduction to quantum mechanics. Pearson Education.[2] Matlab Documentation. (2021). Retrieved from。
势阱中粒子运动的能级和波函数毕业论文
晋中学院本科毕业论文(设计)题目势阱中粒子运动的能级和波函数院系物理与电子工程学院专业物理学一维势垒——一维散射中的几率密度摘 要: 利用数值计算方法研究了粒子在一维“方形”势垒中运动时的粒子的几率分布,并给出了几率密度图.从这些图我们可以清楚的看出不同能量的粒子在“方形”势垒散射时的几率分布情况, 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系.关键词:几率密度; 势垒 几率密度; 阶梯势; 势垒; 几率密度阶梯势; 势垒;几率密度; 阶梯势; 势垒One-dimensional square potentials— One-dimensional square potentialsAuthor ’s Name : JianPing Gong Tutor:JianPing Gong ABSTRACT: In this paper, we outline the quantitative calculationof the stationary states of the particle. We limit ourselves to one-dimensional models. We shall give the results of this calculation for a certain number of simple cases, and discuss their physical implications. We study the motion of a particle in a “square potential ”who se rapid spatial variation for certain values of x introduce purely quantum effects. We consider the quantum mechanics of a particle which encounters the potential step with 0E U > and 00E U <<. We next study more complicated potential form, the rectangular potential barrier. We draw 2ψ as a function of x by numerical calculation. From this figure, we can see clearly an important difference between classical mechanics and quantum mechanics.barriers;引言11势垒模型与量子力学方程12 阶梯势垒散射4 2.1 模型与方程4 2.2 0E U >的情况5 2.3 0E U <的情况8 2.40U →∞的情况9 3 方形势垒散射10 3.1模型与方程10 3.20E U >情况11 3.30E U <情况14 3.40E U →情况15 总结16 致16注释16参考文献16附录17图1.1所示的一维势垒可以作为一维势垒最简单的例子. 纵轴上标出势能()U x , 它是粒子的坐标x 的函数. 在0x 点上势能具有极大值0U . 整个空间x -∞<<∞在这一点上分为两个区域:0x x <和0x x >, 在这两个区域m U U <. 如果我们根据经典力学来考察粒子在场中的运动, 我们马上可以说明“势垒”的意义. 粒子的总能量E 等于2()2p E U x μ=+(1.1)式中p 为粒子的动量,μ为它的质量. 从(1.1)解出动量. 我们得到()p x =上式中的符号±应该根据粒子的运动方向来选择. 如果粒子的能量E 大于势垒m U 的“高度”, 则当粒子的初始动量0p >时, 粒子可以毫无阻碍地从左边向右边通过势垒; 而当粒子的初始动量0p <时,粒子通过势垒的方向正好相反.假设粒子是从左向右运动的, 其总能量E 小于m U . 于是在某一点1x , 势能1()U x E =,1()0P x =, 粒子将停止下来. 它的全部动能转化为势能, 因而运动将向相反的方向进行:1x 是反转点. 因此, 当m E U <时,从左边来的粒子不能穿过势能极大值的区域0()x x =, 因而便不能进入第二个区域0x x >去. 相似地, 如果粒子是从右向左运动的,而且m E U <, 则它便不能进入第二个反转点2x 后面的区域去, 因为在2x 点上2()U x E = (参阅图 1.1). 因此对于所有能量小于m U 的粒子来说,势垒都是一个m U >m U =mU <x0图1.1 一维势垒12在横坐标为l ε-+和()x ε-+的两个点之间, 粒子受到一个力F 的作用, 此力的指向与Ox 轴的单位矢量x e 相反2m x Uε=-F e在这个区域之外, 势能()m U x U =或()0U x =为一常数, 而力等于零.如果我们谈的是微观粒子在微观场中的运动, 也就是在谈到不能略去量子效应的运动时. 在势垒附近发生的现象就完全不同了.在这种情况下, 与经典力学的结论相反, 能量E 大于势垒高度m U 的粒子有一部分为势垒反射,而能量小于m U 的粒子也有一部分会穿过势垒.在量子力学里, 必须知道波函数ψ, 因此必须要解薛定谔方程222()2i U x t x ψψψμ∂∂=-+∂∂(1.4)一维散射问题是一个非束缚态问题(()U x 与时间无关, 而E 是正的).因此令(,)()Ei tx t x eψψ-=(1.5)由此得到x222()2d U x E dx ψψψμ-+=(1.6) 按照势能()U x 的形式, 方程(1.6)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式2220d k dxψψ+=(1.7) 2222112222,()[()]k E k k n x E U x μμ===-(1.8)为了确定波函数要满足的边界条件, 我们把()U x 和()n x 看作是x 的缓变函数, 在图1.2中为方便取0l =, 于是,在0x =点附近对方程(1.7)求积分, 我们得到2220d dx k dx dx εεεεψψ++--+=⎰⎰ 即22212()0d dx k n x dx dx εεεεψψ++--+=⎰⎰ 由此得221()()()kn x dx εεψεψεψ+-''+--=⎰(1.9)当取极限0ε→时, 我们得到一个边界条件(0)(0)ψψ''+=-(1.10)其次, 根据波函数的连续性的普遍要求,我们有第二个边界条件:(0)(0)ψψ+=-(1.11)因为在0x =点并没有任何特殊之处, 所以条件(1.10)和(1.11)在任一点都能得到满足. 实际上上述边界条件在任何势能函数跃变的地方均可以满足.2 阶梯势垒散射2.1 模型与方程本章中,我们将讨论体系势能在无限远处为有限的情况,这时粒子可以在无限远处出现,波函数在无限远处不为零,由于没有无限远处波函数为零的约束,体系能量可以取任意值,即能级组成连续谱.这类问题属于粒子被势函数散射的问题,粒子从无限远处来,被势场散射后又到无限远处去.在这类问题中,粒子的能量是预先给定的.考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域()0x <<∞等于常量()000>U U ,而在0x -∞<<区域等于零,即()()0,00,U x U x U x x =<<∞=-∞<< (2.1)我们称这种势为阶梯势垒图2.1. 具有一定能量E 的粒子由势垒左方()0<x 向右方运动.在经典力学中,只有能量E 大于0U 的粒子才能越过势垒运动到0x >的区域;能量E 小于0U 的粒子运动到势垒左方边缘(0=x 处)时被反射回去,不能透过势垒.在量子力学中,情况却不是这样.能量E 大于0U 的粒子有可能越过势垒,但也有可能被反射回来;而能量E 小于0U 的粒子有可能被势垒反射回来,但也有可能贯穿势垒而运动到势垒右边0x >的区域中去.粒子的波函数ψ所满足的定态薛定谔方程是()222,02d E x dx ψψμ-=<(2.2)和()2202,02d U E x dxψψψμ-+=>(2.3)或改写成()22220,0d E x dx ψμψ+=<(2.4)和()()202220,0d E U x dx ψμψ+-=>(2.5)下面我们分两种情况分别进行讨论.2.20E U >的情况现在令()221202222,k E k E U μμ==-(2.6) 则得()22120,0d k x dxψψ+=<(2.7)和()U x 0U x图2.1 一维阶梯势垒()22220,0d k x dxψψ+=>(2.8)容易得出方程(2.7)和(2.8)的解为111,(0)ik x ik x Ae A e x ψ-'=+<(2.9)222,(0)ik x ik x Be B e x ψ-'=+>(2.10)由(1.5)式可知,当(2.9)和(2.10)式中的波函数1ψ、2ψ乘上时间因子E i te-后,1ψ、2ψ中的第一项和第二项分别描述的是由左向右传播的平面波和由右向左传播的平面波. 由于在0x =处的边界条件并不足以确定(2.9)和(2.10)中的4个未知常数, 为确定这些常数我们假设粒子自左向右运动.当x 为很大的正值时, 波函数应该描述越过“壁顶”并沿x 轴的正方向运动的一个粒子, 它的渐近形式必然是22,(0)ik x Be x ψ=>(2.11)即取0b '=. 由0x =处的边界条件:()()0201===x x ψψ, (2.12)201==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x dx d dx d ψψ(2.13) 我们有,(0)A A B x '+==(2.14) 112,(0)k A k A k B x '-==(2.15)(2.14)和(2.15)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系如下:1212k k A A k k '-=+(2.16) 1122k B A k k =+(2.17) 由这两式可以求出透射波和反射波的几率密度与入射波几率密度之比.将入射波1ik x Ae 、透射波1ik x Be 和反射波1ik x A e -'依次代换下式()**2i J ψψψψμ=∇-∇ 中的ψ,得入射波的几率流密度为()()1111212ik x ik x ik x ik x **i d d k J Ae A e A e Ae A dx dx μμ--⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ 透射波的几率流密度为22D k J B μ=反射波的几率流密度为21R k J A μ'=-透射波的几率流密度与入射波的几率流密度之比称为透射系数,以D 表示.这个比值也就是贯穿到0x >区域的粒子在单位时间流过垂直于x 方向的单位面积的数目,与入射粒子(在0<x 区域)单位时间流过垂直于x 方向的单位面积的数目之比.由上面的结果,有()221221124D J k B k k D J k A k k ===+(2.18) 反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,以R 表示.由上面结果,有()2122212411R A J k k R D J k k A '===-=-+(2.19) 由上两式可见,D 和R 都小于1,D 和R 之和等于 1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒0x >区域,另一部分被势垒反射回去.为画出粒子分布的几率密度图,我们令入射波的振幅1A =,得到1112112,(0)ik x ik xk k e e x k k ψ--=+<+(2.20)212122,(0)ik xk e x k k ψ=>+(2.21)粒子的几率密度分布如图2.2所示.要注意当12k k =, 即00U =时,势垒消失,因此反射为零,透射系数1D =.此时只有入射波而没有反射波,在0x <、0x >的区域粒子分布的几率密度一样,如图2.3所示.2.30E U 的情况此时我们只要令22k i ρ=,()20222k E U i μρ=-=()2022U E μρ=-(2.22)则我们得到:111,(0)ik x ik x Ae A e x ψ-'=+<(2.23)222,(0)x x Be B e x ρρψ-'=+>(2.24)由于当x →∞时,波函数应该保持有限,所以应取(2.24)中的0B '=.因此有1212k i A A k i ρρ'-=+(2.25) 1122k B A k i ρ=+(2.26) 此时反射系数为:22122121R A J k i R J k i A ρρ'-====+(2.27)透射系数为:2210D B JD R J A===-=(2.27)与经典力学不同的是,虽然透射系数为零,但在0x >区域找到粒子的几率并不为零.如果我们取1A =,则可将波函数写作:1112112,(0)ik x ik xk i e e x k i ρψρ--=+<+(2.28)图2.3 设12k =,22k =, 粒子几率密度图.图2.2 设12k =,21k =, 粒子几率密度图. 对于两个图并排情况,注意两图要对齐,说明文字也要对齐,图的版式采用上下型.212122,(0)x k e x k i ρψρ-=>+(2.29)从(2.28)可以看出虽然入射波与反射波的振幅一样,反射系数为1,但由于/A A '为一复数,所以反射波相对于入射波有一相移因子.这与经典力学无共同之处,但与光在金属表面反射时的情况类似.造成这种原因是因为粒子进入了0x >区域延误所致.由(2.28)和(2.29)式我们可以画出在0x <和0x >区域中找到粒子的几率密度曲线.从图中可以明显的看出,在0x >找到粒子的几率随着x 的增加而指数衰减,在21/x ρ>的区域,找到粒子的几率几乎可以忽略不计.值得注意的是由于反射波的振幅与入射波的振幅一样,所以入射波与反射波在0x <的区域中发生干涉,使得一些点20ψ=,这是干涉相消的结果.这与0E U >时的情况不同,因为在0E U >时入射波的强度大于反射波的强度,干涉相消的结果只使0x <的区域中的一些点的几率密度取极小值,另一点取极大值,但不会完全为零.当然当20k →时,反射波的振幅接近入射波的振幅,因而那些取极小值的点将趋于零.2.4 0U →∞的情况当势垒高度趋于无穷大时,即0U →∞时的解,可以由0E U <的情况中令2ρ→∞得到:21212lim 1k i A A k i ρρρ→∞'-==-+(2.30) 21122lim 0k BA k i ρρ→∞==+(2.31) 此时反射系数为:图2.4设12k =,21ρ=, 粒子几率密度图.图2.5设12k =,20.5ρ=, 粒子几率密度图.221212lim1R J k i R J k i ρρρ→∞-===+(2.32)透射系数为:2lim10DJ D R Jρ→∞==-=(2.33) 如果我们令1A =,则可将波函数写成如下形式:111,(0)ik x ik x e e x ψ-=-<(2.34) 20,(0)x ψ=>(2.35)值得注意的是,由(2.34)和(2.35)式给出的波函数1ψ和2ψ,在0x =点处波函数连续,但波函数的导数并不连续.这是因为在0U →∞时,在(1.9)式中221()()()kn x dx εεψεψεψ+-''+--=⎰右端的积分在0ε→时,由于()n x →∞并不等于零.所以在这种情况下,波函数仍然保持连续但波函数的导数却不在连续.我们可以由方程(2.34)和(2.35)给出的波函数1ψ和2ψ,绘出在0x <和0x >区域找到粒子的几率曲线图2.6.由于此时入射波与反射波的振幅相等,相位相差π,显然在0x <区域中入射波与反射波干涉相消会使得一些点的几率密度为零.实际上0U →∞时所给出的粒子几率分布曲线图2.6,是在0E U <时2ρ→∞的极限情况.为了说明这一点,我们利用方程(2.28)和(2.29)分别取2ρ为2、10和1000画出图2.7、图2.8和图2.9.从图中可以看出当210ρ=时与图2.6已经很接近,而当2ρ取1000时图2.9与图2.6已经无法区别.从这里可以理解实际上所谓0U →∞的情况实际上是势垒比粒子能量高的多时的一种理想近似.3 方形势垒散射3.1 模型与方程考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域()0x a <<等于常量()000>U U ,而在这个区域外等于零,即()U x 0U 图2.6当0U →∞,取12k =,2ρ→∞ 时的粒子几率密度图.图2.7当0E U <,取12k =,22ρ= 时的粒子几率密度图.图2.8当0U →∞,取12k =,210ρ=时的粒子的几率密度图. 图2.9当0E U <,取12k =,21000ρ= 时的粒子几率密度图.()()ax ,x x U a x ,U x U ><=<<=0000 (3.1)我们称这种势为方势垒图3.1.具有一定能量E 的粒子由势垒左方()0<x 向右方运动.粒子的波函数ψ所满足的定态薛定谔方程是()a x ,x ,E dx d ><=+002222ψμψ(3.2) 和()()202220,0d E U x a dx ψμψ+-=<<(3.3) 同第二章一样我们分两种情况分别进行讨论.3.2 0E U >情况与(2.6)式一样我们定义1k 和2k 将方程(3.2)和(3.3)改写为()a x ,x ,k dx d ><=+002122ψψ(3.4) 和()22220,0d k x a dxψψ+=<<(3.5) 此处21k ,k 都是大于零的实数.在0<x 区域,波函数x ik x ik e A Ae 111-'+=ψ(3.6)是方程(3.4)的解.在a x <<0区域,方程(3.5)的解是x ik x ik e B Be 222-'+=ψ, (3.7)在a x >区域,方程(3.4)的解是x ik x ik e C Ce 113-'+=ψ(3.8)按照公式(1.5)()(),iEtx t x eψψ-=定态波函数是321ψψψ,,再分别乘上一个含时间因子Et ie-. 由此看出(3.6)—(3.8)三式右边第一项是由左向右传播的平面波,第二项是由右向左传播的平面波.在ax >区域,没有由右向左运动的粒子,因而只应有向右传播的透射波,不应有向左传播的波,所以在(3.8)式中必须令0='C (3.9)在0=x 和a x =均可以用波函数和波函数导数的连续条件(1.8)和(1.9)来确定函数中的其它系数.由()()0201===x x ψψ,我们有B B A A '+='+由0201==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x dx d dx d ψψ有B k B k A k A k '-='-2211由()()a x a x ===32ψψ,有a ik a ik a ik Ce e B Be 122='+-由032==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x a x dx d dx d ψψ有 a ik a ik a ik Ce k e B k Be k 122122='--解这一组方程组,可以得出A ,C '和A 的关系是()()A ek k ek k e k k C aik aik aik 221221221214--+=--(3.10)()()()22221222212122sin ik aik ai k k ak A A k k ek k e--'=--+(3.11)(3.10)和(3.11)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系.由这两式可以求出透射系数为:()222122222222122124sin 4D C J k k D J A k k ak k k ===-+(3.12) 反射系数为:()()22222122222222212212sin 1sin 4Rk k ak A J R D J A k k ak k k -'====--+(3.13)由上两式可见,D 和R 都小于1,D 和R 之和等于 1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒a x >区域,另一部分被势垒反射回去..特别要注意当2ak n π=,0,1,2,n =时,反射为零,透射系数1D =,产生所谓共振透射.此时只有透射波而没有反射波.从系数方程解得:2221122221212211222212122()()()2()()()i ak i ak i ak k k k B Ae k k k k e k k k B Ae k k k k +=---++'=--+令1,A =我们得到波函数的形式为:()()()11222212212212122sin ik xik x ik a ik ai k k ak ee k k e k k e ψ---=+--+(3.14)2222221121122222222121212122()2()()()()()i ak ik x ik xi ak i ak k k k e k k k e e e k k k k e k k k k ψ-+-=-+--+--+(3.15) ()()11221232212124ik aik x ik a ik ak k e e k k e k k e ψ--=+--(3.16)设122,1k k ==,势垒宽度a 分别为1、2、3和π分别画出粒子分布的几率密度图3.2、图3.3、图3.4和图3.5.其中图3.5对应共振散射的情形.图3.2 取122,1,1k a k ===时粒子几率密度分布. 图 3.3 取122,1,2k a k ===时的粒子几率密度分布.图3.4 取122,1,3k a k ===时的粒子几率密度分布. 图 3.5 取122,1,k a k π===时的粒子几率密度分布.如果我取 1.5a =、12k =而分别令2k 为1和0.1我们得到图3.6、图3.7.从两图中可以看出当,当2k 减小,对应势垒增高.相应的粒子穿过势垒的几率变小,反射几率增大,反射波的强度与入射波的强度接近.所以在0x <的区域入射波与反射波干涉相消使得一些点波函数的密谋接近零.3.3 0E U <情况这时2k 是虚数,令22k i ρ=则2ρ是实数:()120222U E μρ⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦(3.17) 把2k 换成2i ρ,前面的计算仍然成立.经过简单计算后(3.10)式可改写为()1122221221222sh 2ch ik aik e C A ka ik aρρρρρ-=-+(3.18)透射系数D 的公式可改写为()2212222222122124sh 4k D ka k ρρρρ=++(3.19)在(3.14)、(3.15)和(3.16)式样中分别令120.5,2,0.2a k ρ===和122,2,1a k ρ===可画出在0E U <时粒子分布的几率图3.8和图3.9.由图可以看出当势垒变高变宽透射过势垒粒子的几率迅速减小.从而同样使反射的几率增加.与0E U >的情况类似,这时反射波的强度和入射波的强度接近从而使在0x <的区域中入射波和反射波的干涉出现相消而使得一些点上找到粒子的几率接近于零.图3.6取122,1, 1.5k a k ===时的粒子几率密度分布.图3..7取122,0.1, 1.5k a k ===时的粒子几率密度分布.3.4 0E U →情况对于0E U →情况,我们选择较“不透明的势垒”,即满足220/8U a μ=,此时有1112220122022U E E k U μμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111222002220221E U U E k U μμ⎡-⎤⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦由(3.19)式可以给出2/D C A=和0/E U 的关系图 3.10,当0E U →时,120212mU a D -⎛⎫→+ ⎪⎝⎭,当所选参数满足220/8U a μ=时,0.2D →,在图 3.10中当0/1E U =时,0.2D →.图3.10 透射系数D 与0/E U 关系曲线图图3.8 取122,0.2,k ρ==0.5a =时的粒子几率密度分布.图 3.9 取122,1,2a k ρ===时的粒子几率密度分布.总 结我们在本文中对粒子在一维阶梯势垒和方形势垒的散射中的可能存在的各种情况作了较详细的讨论.并根据所给出的波函数用数值计算的方法画了粒子的几率密度曲线.在存在阶梯势垒的情况,如果0E U >,在0x <的区域由于入射波与反射波的干涉效应,几率密度呈现出随x 的变化而波动,而在0x >的区域由于只有透射波存在,所以几率密度曲线为一直线(几率密度为一常量);如果0E U <,透射系数为零,在0x <的区域由于入射波与反射波振幅一样,干涉相消使得一些x 点几率密度为零,而在0x >的区域由于透射波随着x 的增加而呈指数衰减,几率密度曲线很快单调下降至零.在方形势垒情况,如果0U a 有限,则透射波不为零.与阶梯势垒的情况类似,由于在0x >的区域只存在透射波,所以几率密度曲线为一直线(几率密度为一常量);而在0x <的区域由于存在入射波和反射波的干涉效应,使得粒子的几率密度随x 不同而波,特别是发注 释:[1] 文中长度单位取()1/220/U μ为单位长度.)1/22为单位波矢 参考文献:[1] 量子力学教程[M]. : [2] 科学. 1981. 165～166 参考文献四字顶格黑体[4]E.H. Wichmann. [美] 复旦大学物理译. 量子物理学[M]. : 科学. 1978. 347～348[5]Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë. Quantum Mechanics[M]. Paris: Hermann. 1977.67～68[1]王传昌．高分子化工的研究对象[J]．大学学报，1997，53（3）：1~7附录:为了加强我院本科生毕业论文（设计）的管理与指导，切实提高毕业论文（设计）的水平与质量，根据《中华人民国学位条例暂行实施办法》特制定本《工作规定》。
基于LabVIEW无限深势箱中粒子能级与波函数可视化程序设计
基于LabVIEW无限深势箱中粒子能级与波函数可视化程序设
计
吴其俊;龙卓;石顺超;张凤军
【期刊名称】《化学教育》
【年(卷),期】2015(036)014
【摘要】编程实现了基于LabVIEW的一维和二维无限深势箱中粒子能级与波函数的可视化程序,该程序能完成粒子量子效应图形化、实时绘制波函数、概率密度波函数及波函数概率区间的精确求解.应用表明:该基于LabVIEW的可视化程序根据势箱中粒子Schr(o)dinger方程及其通解,将书本复杂的理论知识联系实际编程实现波函数图形化和自动完成精确计算任务,该程序改进和优化了教学方法,加强了理论学习效果,提高了教学质量;同时基于LabVIEW开发的可视化程序具有编程直观高效、界面友好、功能易扩展等优点.
【总页数】3页(P67-69)
【作者】吴其俊;龙卓;石顺超;张凤军
【作者单位】贵州理工学院化学工程学院贵州贵阳 550003;贵州工程应用技术学院贵州毕节 551700;华中科技大学电气与电子工程学院湖北武汉 430074;贵州工程应用技术学院贵州毕节 551700;贵州工程应用技术学院贵州毕节 551700【正文语种】中文
【相关文献】
1.线性变分法研究一维无限深势阱中粒子的能级和波函数 [J], 马二俊
2.一维无限深梯形势阱中微观粒子波函数和能级的半解析解 [J], 罗强;姜玉梅;韩玖荣;苏垣昌
3.一维无限深梯形势阱中微观粒子波函数和能级的数值解和变分解 [J], 罗强;姜玉梅;苏垣昌;韩玖荣
4.受δ(x)势微扰的一维无限深方势阱中粒子的能级与波函数 [J], 吴学勇
5.基于LabVIEW的一维有限深方形阱中粒子能级与波函数可视化程序设计 [J], 吴其俊;龚勋
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半抛物量子阱中二阶非线性光学性质的研究
半抛物量子阱中二阶非线性光学性质的研究李俊生;张志海;孙东升;杨亮亮【摘要】Studies aimed at understanding the nonlinear optical properties of GaAs/AlGaAs semiparabolic quantum well under applied electric have focused on optical rectification and second harmonic generation.These studies have taken two complimentary approaches:(1) the compact-density-matrix approach and iterative method have been used to obtain the expressions of optical rectification and second harmonic generation;(2) the finite difference techniques have been used to obtain the energy eigenvalues and their corresponding oeigenfunctions of the semiparabolic quantum well under applied electric field.The energy eigenvalues,the shape of the confined potential,optical rectification and second harmonic generation are modulated by the confined potential frequencies and electric field.So the results of a number of numerical experiments indicate that the nonlinear optical rectification and second harmonic generation strongly depends on the confined potential frequencies and applied electric field.This gives a new degree of freedom in various device applications based on the intersubband transitions of electrons.%本文对外加电场作用下GaAs/AlGaAs半抛物量子阱非线性光整流和二次谐波极化率进行了研究.首先,本文运用密度矩阵和迭代的方法获得外加电场作用半抛物量子阱系统光整流和二次谐波极化率的表达式.同时,采用有限差分法求得多外加电场作用下该系统的能级和波函数,避免了精确求解过程中的多重不恰当近似.结果表明:1)有限差分法计算结果相当精确;2)外加电场和受限势频率与系统能级、受限势形状、以及光整流和二次谐波极化率有着密切的关系,同时,可以通过外加电场和受限势频率实现对该系统光整流和二次谐波极化率的有效调控.将为基于子带跃迁的光电子器件的制备提供理论基础.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(054)006【总页数】6页(P1263-1268)【关键词】量子阱;有限差分法;光整流;二次谐波;非线性光学【作者】李俊生;张志海;孙东升;杨亮亮【作者单位】盐城师范学院新能源与电子工程学院,盐城 224002;盐城师范学院新能源与电子工程学院,盐城 224002;盐城师范学院新能源与电子工程学院,盐城224002;盐城师范学院新能源与电子工程学院,盐城 224002【正文语种】中文【中图分类】O437在过去的几年里，半导体量子阱光学性质已得到深入研究.这是因为非线性效应在量子阱上可以得到显著地增强.对于块体材料，因为晶体结构的对称性，非线性效应不是非常强.同样，对于具有对称结构纳米半导体材料，偶数阶非线性光学效应通常在理论上消失.因此，对称量子阱非线性光学系数一般为零.但随着对称性的破缺，量子阱非线性光学系数将不再为零.为了在量子阱中获得更强的二阶非线性光学系数，可通过外部施加的电场移除对称性的途径实现[1].近年来，电场作用下二阶非线性光学特性得到了广泛关注.在2003年，Li Zhang和Xie Hong-Jing[2-3]讨论了电场下半抛物量子阱的非线性光学特性.2005年郑允宝对电场下非对称量子阱中的非线性光学性质进行了研究.另外，Ibrahim Karabulut和Haluk S-afak[4]在2005年还对电场下半抛物量子阱光整流效应进行了详尽地讨论.2014～2016年，Yuan Jian-Hui[5-10]讨论了电场下对称与非对称高斯(半抛物)量子阱的非线性光学特性.但是为了能够精确求得到系统的能级和波函数，采用了一系列的近似.本文对有限差分法应用于量子力学求解量子阱能级和波函数可行性的分析，我们将通过有限差分的方法对电场下半抛物量子阱的光学性质进行深入地研究.在有效质量近似条件中，系统的哈密顿可以写为：H=-(++)+V(z)+qηFz利用有限差分法，方程(1)可以离散化-+Viφi+qFziφi=Eφi,i=1,2,…N[H][φ]=E[φ]利用有限差分法，可以得到系统的能级和对应的波函数.下一步，我们将使用紧凑密度矩阵法和迭代过程来推导半抛物子阱的SHG系数，在外电磁场F(t)=E0cosωt激发下，定义ρ作为单电子密度矩阵.可以得到密度矩阵的运动方程为：p(n)=Tr(ρ(n)qz)在有限差分方法在对电场诱导半抛物量子阱二经过计算，抛物与半抛物量子阱几个低能激发态能级如表1和图1所示，从表中可以看出有限差分结果和精确求解结果符合非常好.对于半抛物量子阱情况，有限差分结果与精确解对比，相对误差小于0.4%.因此，利用有限差分方法进行求解是合理的.有限差分法、量子力学中的本征值问题和Matlab计算工具有机地结合起来,将量子力学求解本征值和波函数就转化为求解矩阵的本征值和本征矢,在一定精度要求范围内，可以反映出实际系统的能级和波函数.从表1与图1中可以看出，随着电场强度的增加，半抛物量子阱的几个最低能级都是在增加的.主要原因在于电场的存在，使得受限量子阱有效半径减小，从而引起能级增加，电场越大，有效半径越小，因此各能级随电场增加是增大的.图2(a)为η=+1时，在三个不同场强F=0,2×107,5×107 V/m下SHG极化率与光子能量ћω的关系,(b)与(c)分别为电场F下的能级差ΔE(eV)与矩阵元素M12M23M31.从图2(a)可以知道：(1)随着电场强度的增加，峰值所对应的光子能量随之增加，也就是说电场能够诱导光谱蓝移；(2)随着电场强度的增加，光谱发生劈裂，并且谱线宽度也在增加；(3)随着电场强度的增加，二次谐波极化率峰值逐渐减小.为了解释上述现象，我们分别讨论了能级差ΔE(eV) (图2(b))与矩阵元素M12M23M31((图2(c))随电场强度的变化情况.从图2(b)中，我们可以看出，随着电场强度的增加，E21和E31/2能级都在增加，并且两者之间的能级差值不断的增大.由方程(10)我们可以知道峰值对应的光子能量约在E21或者E31/2附近，因此很容易解释电场诱导的光谱蓝移.在图(a)中F=0和2时，我们可以看到一个峰值的波峰，主要原因在于E21和E31/2能级相近，满足近似双光子共振条件.随着电场的增加(如F=5)，E21和E21-E31/2两者之间的差值不断增大，从而导致近似的双光子共振条件不能得到满足，这时单峰将会劈裂成为两个不同的双峰，由此便可解释随着电场强度增加，光谱发生劈裂的原因.当双光子共振条件不能满足时，此时两个最大峰值主要源自两个单光子共振，随着电场的增加，两个共振能量也随之增大，并且两者之间的差值也在变大，因此可以解释谱线宽度随着电场的增加而增大.图2(a)和(b)可以看出谱线最大峰值所对应的光子共振能在E31/2附近，因此最大峰值约为|M12M23M31|/(E21-E31/2).由图2(c)可知，几何因子|M12M23M31|随着电场强度的增加而减小，而由图2(b)可以看出E21-E31/2两者之间的差值不断增大，因此随着电场强度的增加，二次谐波极化率峰值不断减小. 图3(a)为η=-1时，在三个不同场强F=0,2×107,5×107 V/m下SHG极化率与光子能量ћω的关系,(b)与(c)分别为电场F下的能级差ΔE(eV)与矩阵元素M12M23M31.从图3(a)可以知道：(1)随着电场强度的增加，峰值所对应的光子能量在减小，也就是说电场能够诱导光谱红移；(2)随着电场强度增加，光谱发生劈裂，并且谱线宽度也在增加；(3)随着电场强度的增加，二次谐波极化率峰值逐渐减小.为了解释上述现象，我们分别讨论了能级差ΔE(eV) (图3(b))与矩阵元素M12M23M31((图3(c))随电场强度的变化情况.从图3(b)中，可以看出，随着电场强度的增加，E21和E31/2能级都在减小，并且随着电场的增加，两者之间的能级差值不断的增大，因此很容易解释电场诱导的光谱红移.和图2(a)中相同，随着电场强度的增加，近似的双光子共振条件向着单光子共振条件转变，这个时候单峰将会劈裂成为两个不同的双峰，光谱发生劈裂，同时，由于两个单光子光子共振能之间的差值随着电场强度增加而增大，从而谱线宽度逐渐增大.由图2(a)和(b)可知谱线最大峰值所对应的光子共振能在E21附近，因此最大峰值约为|M12M23M31|/(E31/2-E21).图2(c)中可以看出几何因子|M12M23M31|随着电场强度的增加而增大，从图(b)可知E21与E31/2间的差值也在不断增大，但E31/2-E21随电场的变化较|M12M23M31|大，因此，随着电场强度的增加，二次谐波极化率峰值随之不断减小.图4(a)为η=+1时，在三个不同场强F=0,2×107,5×107 V/m下光整流系数与光子能量ћω的关系,从图4(a)中可以看出：(1)随着电场强度的增加，峰值谱线发生蓝移，主要原因在于随着电场强度的增加，E21能级在增加(见图4(b));(2)随着电场强度的增加，谱线峰值在减小.从方程(10)可以知道，谱线峰值约在E21附近,换句话说，当光子能量满足条件EP≡E21时，单光子共振条件得到满足，此时光整流系数将会出现一个峰值.由方程(10)可以知道，谱线峰值正比于几何因子δ,从图(c)中可以看到几何因子δ随着电场强度的增加而减小，由此可以解释谱线峰值随着电场强度的增加而减小.图5(a)为η=-1时，在三个不同场强F=0,2×107,5×107 V/m下的光整流系数与光子能量ћω的关系，和图4(a)不同的是：(1)随着电场强度的增加，谱线发生红移，原因在于随着电场强度的增加，E21能级逐渐减小(见图5(b)).(2)随着电场强度的增加，谱线峰值也随之增加，原因在于几何因子δ随着电场强度的增加而增大.文中主要研究了外加恒定电场对半抛物量子阱中二次谐波和光整流产生的影响.所运用的研究方法主要是用有限差分的方法，研究在非对称抛物量子阱中的二阶光学非线性，并通过Matlab画出波形图.研究结果表明，电场对半抛物量子阱中二次谐波和光整流产生的影响是比较明显的.数值结果表明，当电场的方向是沿量子阱的生长方向时，二次谐波极化率和非线性光整流总是随着电场强度增强而减弱.然而，当电场方向与量子阱的生长方向相反时，随着电场强度增强，二谐波极化率仍被削弱，而非线性光整流得到加强.沿着或逆着量子阱生长方向施加电场增强时能够引起二次谐波和光整流谱线发生蓝移或红移效应，可以通过量子阱能级结构进行合理的解释.【相关文献】[1] Zhang Z H,Zou L L,Guo K X,et al.The effect of hydrostatic pressure,temperature and magnetic field on the nonlinear optical properties of asymmetrical Gaussian potential quantum wells [J].Phys E,2016,77:90.[2] Zhang L,Xie H J.Electric field effect on the second-order nonlinear optical properties of parabolic and semiparabolic quantum wells [J].Phys Rev B,2003,68:235315.[3] Zhang L,Xie H J.Electro-optic effect in a semi-parabolic quantum well with an applied electric field [J].Mod Phys Lett B,2003,9:347.[4] Ibrahim K,Haluk S.Nonlinear optical rectification in semiparabolic quantum wells withan applied electric field [J].Phys B,2005,368:82.[5] Yuan J H,Chen N,Mo H,et al.The second harmonic generation in symmetrical and asymmetrical Gaussian potential quantum wells with applied electric field [J].Supperlatt Microstruct,2015,88:389.[6] Yuan J H,Zhang Z ment on “linear and nonlinear optical absorption coefficients and refractive index changes in asymmetrical Gaussian potential quantum wells with applied electric field” [J].Supperlatt Microstruct,2015,88:1.[7] Yuan J H,Zhang Y,Mo H,et al.The second-harmonic generation susceptibility in semiparabolic quantum wells with applied electric field [J].Opt Commun,2015,356:405. [8] Yuan J H,Chen N,Zhang Z H,et al.Energy spectra and the third-order nonlinear optical properties in GaAs/AlGaAs core/shell quantum dots with a hydrogenic impurity[J].Supperlatt Microstruct,2016,100:957.[9] Yuan J H,Chen N,Zhang Y,et al.Electric field effect on the second-order nonlinear optical properties in semiparabolic quantum wells [J].Phys E,2016,77:102.[10] Zhang Z H,Zou L L,Guo K X,et al.The nonlinear optical rectification in asymmetrical and symmetrical Gaussian potential quantum wells with applied electric field [J].Opt Commun,2016,359:316.。
一维无限深梯形势阱中微观粒子波函数和能级的数值解和变分解_罗强_姜玉梅_苏垣昌_
槡
2 sin ( nπx / a) ， 其在端点 x = 0 处的一 a
nπ 2 ． 在 Numerov 算法中待求 阶导数为 y' n（ 0） = a a 本征函数 y（ x +h） 在 x 处的泰勒展开式为
槡
y（ x + h） =
Σ n
2 2
（ 4）
式递推公式， 因此为了启动 Numerov 算法， 两个初始 条件 y0 和 y1 是必需的． 通常 y0 可以由边界条件来 y1 的选取往往是随意的， 确定， 而为了克服这种随 意性， 我们将介绍一种所谓的正弦规则 ． 在将边值问题转化为初值问题的过程中， 自然 “减少 ” 一个条件． 为了补偿这一条件， 通 而然地会 常都会直接或间接地引入在初值处的一阶导数 ． 我 们 知 道， 一维无限深方势阱中粒子的本征函数 为 y n（ x ） =
2 /3 ［7 ］
其中 h 为差分步长． 可见， 式（ 6 ） 是一个典型的 3 点
2 2 1 /3 3π 2 /3 F － 0 n ． 2466 ， ( ) m 2槡 2 = En 2 2 2 π （ n －n c ） F 2 2 + － + 0 9 ． 8644 （ n n ） ． 4158 ( ) c m 2 ma2
运用最小二乘法对表 1 和表 2 中的数据分别进 0 ． 490 4 则 有 n c = 9 ． 590 2 F 和 nc 行 幂 函 数 拟 合， = 0 ． 325 7 a1． 469 1 ， 其 中 相 关 系 数 分 别 为 0 ． 999 97 和 0 ． 999 96 ， 可见采用幂函数拟合的合理性和精确 性． 由此我们得到了 n c 关于 a 和 F 的关系式为 n c = [ 0 ． 325 7 F0． 490 4 a1． 469 1 ] （ 10 ） 其中 [ ……] 表示高斯取整函数． 特别地， 由式 （ 10 ） 可得当 F = 1 、 a = 10 时 n c = 9 ， 这与之前的论述
《双势垒抛物量子阱结构中的电子隧穿》范文
《双势垒抛物量子阱结构中的电子隧穿》篇一一、引言量子阱结构在物理、电子和半导体材料领域内一直受到广泛的关注，因为其独特能级和性质被认为对现代微电子器件有着巨大的潜在应用价值。
在众多量子阱结构中，双势垒抛物量子阱（Double Barrier Parabolic Quantum Well，DBPQW）以其特有的电子运动轨迹和量子隧道效应吸引了大量研究者的目光。
本篇论文旨在研究DBPQW结构中电子的隧穿现象，为深入理解量子隧穿机理以及推动量子技术发展提供理论支持。
二、双势垒抛物量子阱结构双势垒抛物量子阱结构由两个高势能垒和中间的势阱组成，形成一个类似“三明治”的结构。
这种结构在材料上可以通过超导材料、半导体材料等实现。
在抛物量子阱中，电子的运动轨迹受势能场的影响，形成特定的能级分布。
三、电子隧穿现象在DBPQW结构中，由于两个高势能垒的存在，电子的运动会受到一定的限制。
然而，在一定的条件下，电子可以穿越这两个势垒，形成所谓的隧穿现象。
这一现象在微观世界中普遍存在，其关键在于对波函数的正确理解：即波函数能够在两个势垒之间延伸，而无需立刻终止于两个势垒的位置。
这就意味着即使在电子看起来不能到达的“隧道”里，其可能性也是存在的。
四、影响电子隧穿的因素1. 势垒高度：当势垒高度增加时，电子穿越的难度也会相应增加。
这是因为电子需要克服更高的能量障碍才能穿过势垒。
2. 势阱宽度：势阱的宽度会影响到电子在阱内的运动状态，进而影响其隧穿行为。
一般来说，势阱越宽，电子有更多的机会与势垒发生相互作用，从而增加隧穿的可能性。
3. 温度：温度对电子的隧穿也有影响。
高温下，电子的热运动加剧，使得其更容易克服势垒的阻挡，从而增加隧穿的可能性。
五、研究方法与结果本研究采用量子力学理论模型和数值模拟方法对DBPQW结构中的电子隧穿现象进行了研究。
通过计算不同条件下的电子波函数和能级分布，我们得到了以下结果：1. 电子在DBPQW结构中的隧穿几率随着势垒高度的增加而减小；2. 势阱宽度的增加会提高电子的隧穿几率；3. 温度的升高也会提高电子的隧穿几率。
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数一维无限深势阱是量子力学中常用的模型之一，它能够帮助我们理解粒子在一维空间中的运动以及对应的能级和波函数。
首先，我们来看一下什么是一维无限深势阱。
这是一个理想化的模型，由两堵非常高的无限高势垒所夹，其中粒子的运动只能在这一段距离内进行，并且在势垒外是无法找到粒子的。
这种模型可以用来描述电子在原子中的运动，或者光子在光导纤维中的传播。
在量子力学中，波函数是描述粒子性质的数学函数。
对于一维无限深势阱模型，波函数可以通过解薛定谔方程获得。
薛定谔方程可以用来描述波函数随时间的演化，它是量子力学的基本方程之一。
对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以简化为亥姆霍兹方程的形式。
亥姆霍兹方程是一个常微分方程，它的解由定态波函数给出。
定态波函数允许我们计算粒子在一维无限深势阱中的能量和波函数。
解一维无限深势阱的亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能量的解，这些能量称为能级，用n来表示。
每个能级都对应着一个定态波函数，这些波函数描述了粒子在势阱内的运动方式。
对于一维无限深势阱，能级的表达式为En = (n^2 *h^2)/(8*m*L^2)，其中n为能级的序数，h为普朗克常数，m为粒子的质量，L为势阱的宽度。
对应于每个能级，还有一个对应的波函数。
波函数用Ψ(x)来表示，描述了在不同位置概率密度的分布。
在一维无限深势阱中，波函数能够取到零点以外的任意位置。
波函数的形式为Ψn(x) = sqrt(2/L) * sin(n * π * x / L)，其中x为位置，L为势阱的宽度，n为能级的序数。
通过求解亥姆霍兹方程，我们可以得到多个能级和对应的波函数，它们描述了粒子在一维无限深势阱中的运动和性质。
这些能级和波函数不仅在理论计算中起到了重要作用，而且在实验中也得到了验证。
总之，一维无限深势阱模型是量子力学中研究粒子运动和性质的重要工具。
通过解亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能级和对应的波函数，这些能级和波函数描述了粒子在势阱中的行为。
一维势阱与二维势阱的Matlab模拟仿真
图 4. n 10 时概率密度图像
n 50 时：
图 5. n 50 时概率密度图像
n 100 时：
n 500 时：
图 7. n 500 时概率密度图像 从结果来看，当 n 500 时，粒子在势阱里的分布已经接近各处都相同了，可以想象随 着 n 的继续增大，相邻峰值之间的距离将缩得无限小，这就非常接近于经典力学中，粒子在 势阱中各处概率相同的情况了。
2 ( x, y , z ) 2 ( x, y , z ) 2 ( x, y , z ) 8 2 m 2 E ( x, y , z ) 0 x 2 x 2 x 2 h
(7)
三、一维势阱问题
现就公式(6)给出的薛定谔方程，应用到一个简单的一维势阱模型中。设想一个例子处 在势能为 EP 的力场中，沿 x 轴作一维运动，其势能 EP 满足下列边界条件： (一) 当粒子在 0 x L 的范围内时， EP 0 . (二) 当 x 0 及 x L 时， E p .
在非相对论范围内，自由粒子的动量与动能的关系为 p 2 2mEk ，于是由(3)可得
2 h i 2 t 8 m x 2 h2
2
(4)
这就是一个做一维运动的自由粒子的含时薛定谔方程。 而有些情况下， 微观粒子的能量 仅仅是坐标的函数，与时间无关。于是，可以将(4)式用分离变量法分为坐标函数与时间函 数的乘积，即
五、结论
这次课程设计，我们从薛定谔方程入手，推导出了粒子在简单的一维、二维势阱中满足 的概率密度的函数，为标准的一维、二维边值函数问题。通过用 Matlab 仿真，做出了波函 数与概率密度的波形图象。 很直观地得出了能量是的量子化与在势阱中粒子的分布概率为非 均匀的结论。同时，通过增大量子数，能够看出当能量达到一定范围时，粒子在势阱中的分 布几乎为均匀的了。 对该问题的讨论，加深我们对能量量子化与薛定谔方程意义的理解。同时，在实验后， 让我们更灵活的能用软件解决复杂的物理问题，使之更为形象。可以说，这次实验的收获很 大。以后有机会，我们仍将合作做出更好的成果。
matlab 量子力学
matlab 量子力学
摘要：
1.引言
2.Matlab 简介
3.量子力学基本概念
4.量子力学中的Matlab 应用
5.总结
正文：
1.引言
Matlab 是一种广泛应用于科学计算和工程设计的编程语言，特别是在量子力学领域，Matlab 提供了丰富的工具箱和函数，使得量子力学问题的求解变得更加方便和高效。
本文将介绍Matlab 在量子力学中的应用。
2.Matlab 简介
Matlab 是一种强大的数学软件，具有丰富的图形功能和强大的计算能力，可以处理各种数学问题，包括线性代数、微积分、概率论等。
Matlab 还有一个重要的特点就是可以使用各种工具箱，这些工具箱为特定领域的计算提供了便利。
3.量子力学基本概念
量子力学是研究微观粒子运动规律的科学，它的基本原理包括波函数、不确定性原理、波粒二象性等。
在量子力学中，需要解决的问题包括能量本征值问题、薛定谔方程等。
4.量子力学中的Matlab 应用
Matlab 在量子力学中的应用非常广泛，包括解决薛定谔方程、计算能量本征值、绘制量子态概率分布等。
例如，使用Matlab 的ODE45 函数可以求解薛定谔方程，使用Matlab 的eig 函数可以计算能量本征值，使用Matlab 的plot 函数可以绘制量子态概率分布。
5.总结
总的来说，Matlab 在量子力学中的应用非常广泛，可以帮助我们更好地理解和研究量子力学现象。
一维半壁无限高势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数
一维半壁无限高势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数在量子力学中，一维半壁无限高势阱是一个经典的模型系统。
本文将讨论在这个势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数。
一维半壁无限高势阱是一个具有无限高度的势阱，只在一侧存在。
势阱的长度为L。
根据量子力学的基本原理，粒子的能级和波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
薛定谔方程是描述量子力学粒子行为的基本方程。
在一维情况下，薛定谔方程可以写成：$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$其中，$\hbar$是约化普朗克常数，m是粒子的质量，$\psi(x)$是粒子的波函数，E是粒子的能量。
我们假设势阱在0<x<L区间内，势能为无穷大，在其他区间内势能为0。
为了求解薛定谔方程，需要考虑势阱内和势阱外的两种情况。
首先，考虑势阱内的情况，即0<x<L区间范围。
在0<x<L区间内，势能为无限大，因此波函数必须为0。
解得波函数为：$\psi(x) = 0$ (0<x<L)接下来，考虑势阱外的情况，即x<0和x>L的区间范围。
在势阱外，势能为0，可以得到波函数满足薛定谔方程。
解得波函数为：$\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = -\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)$ (x<0和x>L)解上述微分方程得到的波函数为：$\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$ (x<0)$\psi(x) = Ce^{ikx} + De^{-ikx}$ (x>L)其中，k是波矢，A、B、C、D是待定系数。
根据波函数的归一化条件，我们可以得到归一化常数的关系。
$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1$由于势阱外波函数为平面波，归一化条件可以写成：$\int_{-\infty}^{0} |Ae^{ikx} + Be^{-ikx}|^2 dx + \int_{L}^{\infty} |Ce^{ikx} + De^{-ikx}|^2 dx = 1$化简上述积分表达式，并考虑到平面波的性质，可得：$|A|^2 + |B|^2 + |C|^2 + |D|^2 = \frac{1}{L}$以上是在一维半壁无限高势阱中束缚态粒子的能级和归一化波函数的讨论。
一维谐振子能级和波函数的代数解法
即为一维谐振子的能量本征值及波函数表达式。
等, 有
b
(
H
-h Ξ
+
1 2
)
=
(
H
-h Ξ
-
1 2
)
b
即:
bH
-h Ξ
+
1 2
b
-
H -h
b
Ξ
+
1 2
b
=
0
得到:
b=
H -h
b
Ξ
-
bH
-h Ξ
=
1 -h Ξ
(H
b
-
bH )
= -h1Ξ[H , b ]
(15)
取其矩阵元, 并且注意到 H 为对角矩阵, 得矩阵
方程
〈H
′b
H
″〉(H
″- H -h Ξ
′ +
1) =
0
(16)
所以, 当且仅当 H ′= H ″+ -h Ξ 时, 矩阵元
〈H ′b H ″〉才恒不为零。
又取 bb+ 式对角元
3 因式分解法
由 (1) 式, H
=
p2 2m
+
1 2
m
Ξ2x
2,
基本对易关系为: [ x , p ] = x p - p x = i-h
[ 2 ] L. Pau ling, E. B. W ilson, J r, In troduction to quan tum m echan ics [M ], M cGraw - H ill, N ew Yo rk, 1935.
[3 ] 喀兴林. 高等量子力学 (讲义) (下) [M ]. 北京师范 大学物理系, 1984. 264, 273.
基于MATLAB的能级、波函数及几率密度图形的绘制
基于MATLAB的能级、波函数及几率密度图形的绘制
张树林
【期刊名称】《大学物理实验》
【年(卷),期】2008(021)003
【摘要】本文着重介绍运用Matlab编程语言完成一维无限深势阱和线性谐振子的能级、波函数及几率密度图形的绘制问题.
【总页数】4页(P102-105)
【作者】张树林
【作者单位】西北师范大学,兰州,730070
【正文语种】中文
【中图分类】O4-34
【相关文献】
1.基于VC++和MATLAB混合编程绘制三维图形 [J], 张慧;杨峰
2.基于MATLAB的二组分溶液沸点-组成图的绘制实验的数据处理与图形绘制研究[J], 李旭;魏得良
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量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数
当量子数n = 1时，中间出现粒子的概 率密度最大；当量子数n = 2时，有两 个地方出现粒子的概率密度最大。
这些结果与经典力学根本 不同，按照经典力学的观 点，粒子在势阱内各处出 现的概率应该相等。
能级个 数不妨 取4。
一维无限深势阱中粒子的波函数是正弦函数。 在两壁处，波函数恒为零。
量子数n也是波腹的个数， 波腹之间有n - 1个波节。
粒子的波函数的模方就是概 率密度，其高度表示能级。
在两壁处，概率密度恒为零， 表示此处不会出现粒子。
由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。ψ(x) = Asinkx
∞
由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，
所以定态波函数ψ(x) = 0 (x > a，x < 0)。
粒子在阱内定戊波函 数的薛定谔方程为
h2 2m
d2
dx2
E
0(0
≤
x
≤
a)
设 k
2mE / h
方程可 简化为
d2dx2ຫໍສະໝຸດ k 20O
x a
其通解为ψ(x) = Asinkx + Bcoskx， 波函数为ψ(x) = Asinkx。
或者说能量是量子化的，En称为能量的本征值。
n能=量1最状低态的称状为态基，态最，低也能就量是为粒子E1
2h 2 2ma2
h2 8ma2
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哈尔滨师范大学毕业论文题目量子阱能级和波函数的MATLAB实现学生王勇指导教师孙文军教授年级2010级专业物理学（通用技术）系别物理系学院物理与电子工程学院哈尔滨师范大学2013年5月量子阱能级与波函数的MATLAB 实现王勇摘 要：在量子力学中，通过对求解一维多量子阱束缚态能级满足的超越方程，我们可以求出量子阱的能级表达式。
另外，通过薛定谔方程求出对氢原子波函数满足的方程，在MATLAB 中通过程序的编辑，可以方便地绘制量子阱能级和波函数的空间分布图，指出MATLAB 软件是解决量子力学可视化的有效工具。
关键词：MATLAB ；量子阱能级；波函数量子力学作为物理类学生必修的一门专业课. 一直以来以教师难教、学生难学而著称，量子力学主要研究微观尺度下粒子的行为与相互作用/，例如量子力学中的许多概念如角动量理论，波函数等抽象难懂. 一些量子力学现象如隧道效应、势垒反射等与宏观现实不相符. 同时这些理论和现象无法直接用肉眼观察，使得这些理论和现象更加晦涩难懂. 因此，在量子力学教学中引入多媒体教学.，增加动态直观的演示，是进行教学改革、也是将晦涩难懂的抽象理论化为形象生动的图像理论。
而选择一种操作简单、功能强大的多媒体制作软件是进行教育改革的前提，针对量子力学计算复杂、物理量具有矩阵形式等特点. 我们最终选择了具有强大计算能力同时又有极强图像处理能力的数学软件——MATLAB 。
一、MATLAB 软件介绍MATLAB 是美国MATH WORK 公司从1982年开始推出的一套高性能的数值计算和可视化软件， 它集数值分析、矩阵运算和图形显示于一体. 构成了一个方便的、界面友好的用户环境，MATLAB 程序设计语言结构完整. 且具有良好的移植性,易学易用.此外. 它还提供了解决各类问题的工具箱，MATLAB 已成为应用学科、计算机辅助分析、设计、仿真和教学不可缺少的软件.MATLAB 具有强大的图形绘制能力. 为科学研究提供了极大的方便，MATLAB 可以绘制二维、三维乃至四维图形.而且能对图形进行线型、立体、色彩、光线、视角等控制,用户只须指定绘图方式. 并提供充足的绘图数据. 用很少的程序指令就可得到直观、形象的图形结果.借助于MATLAB 的数值计算和图形处理技术.我们可以方便地绘制氢原子波函数的空间分布图. 直观感受微观状态下电子行为,加深对理论、概念的理解。
二、一维多量子阱能级和氢原子波函数模型的建立（一）一维多量子阱能级由量子理论知，一维多量子阱满足的薛定谔方程为n n n E V dx d m h ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222一维多量子阱共有n 个常数位势，其高度分别用n V ,V ,,V ,V ,V 1-n 321 来标志，选21V V 和阶跃点的坐标为零（0x 1=），1j ,V +j V 阶跃点的坐标为j x ，第j 个位势的宽度为1=-=j j j x x a 。
通常将Vn V 1与称之为外区位势，两个外区位势的小者记为max V ，而j V 称为内区位势，内区位势的最小者为j V 。
设电子处于一维多量子阱中，当电子的能量满足max min V V <<E 时，可能存在束缚态的解，否则只有非束缚态解.当个区域的波函数有限性要求的时，可以直接写出满足n V E V max min <<()x ik A x 1e 1,21-=ψ （1）()x ik x ik e A e A x 222.22,12-+=ψ （2）()333.23.13ikxx ik e A e A x -+=ψ （3）··· ··· ···()x ik n xikn n m e A e A x 222,22,12n ------+=ψ （4）()x ik xikn n n n e A e A x 111n 21,11------+=，ψ (5)()x ik nn ne A x ,1=ψ (6) 试中)E (2k J j j V m -=(j=1,2,3, ,n) (7)其中，j k 是实数还是虚数应视E 与j V 的数值而定，一般情况下将j k 作为复数处理。
首先，由波函数在x=1x -n 处的连接条件)x ()x (111---=n n n n ψψ （8） 可知 11111,11,21,1-----=+---n n n n n n x ik n x ik n x ik n e A e A eA （9）再利用波函数一阶导数的连接条件 nn nn n nm m x )x ()(1111----'='ψψ （10）得到11111,1111,21-n 1A ---------=-n n n n n n x ik n nn n n x ik n x ik e A m k m k e A e ， （11）为简捷计，令 nn n n m k m k B 111-n --=（12）将式（9）加上式（11）与减去式（11）， 分别得到 111n ,11n 1,1)1(21-----+=n n n n x ik x ik n e A B eA （13） 111n ,111n ,2)1(21-------=n n n n x ik n x ik e A B eA (14) 其次，由波函数在2-=n x x 处的连接条件()()2122----=n n n n x x ψψ （15） 可知212122221,21,12n 22n 1--------------+=+n n n n n n n n x ik n x ik n x ik x ik e A e A e A eA ，，（16） 再利用波函数一阶导数的连接条件()()121222------'='n n nn n nm x m x ψψ （17）得到()212122221,21n 122,221A ----------------=-n n n n n n n n x ik n x ik n x ik n x ik n e A e A B e A e ，，（18） 将式（16）加上式（18）与减去式（18），分别得到()()2121222,221,12n 2,1121B 121-------------++=n n n n n n x ik n n x ik n x ik n e A B e A e A（19）()()2221221,221,122,2121121-------------++-=n n n n n n x ik n n x ik n n x ik n e A B e A B e A（20） 然后，用类似的方法做下去，可以得到x=j x 处的结果，即()()j j j j jj x ik j j ik j x ik j A A eA 11eB 121e B 1211,2x !,1j ,1++-++-++=(21)()()j j j j jj ik j j ik j j x ik j A B A B eA x 1,2x 1,1,211e 121e 121++-++-++-=(22)上述两式具有明显的递推形式。
当j=2时，由于，2122x x a a =+=，故()()232322e 121e 121e32231221a ik a ik a ik A B A B A --++=，，， （23）()()2323a 3,223,122,2121121ik a ik xik e A B e A B eA jj --++-=（24） 若依次将3,1A ,3,2A ,4,1A ,4,2A , ,1,1-n A ,1,2-n A 代入上述两式，则2,1A 与2.2A 是能量E 的函数，当然，它们还与各区的位势大小，宽度及电子的有效质量有关，此外，皆与n 1，A 成正比。
式（24）与式（23）之比为()()()()222323232323,221,322,321,321,22,2e 1e A B 1e A 1e A B -1A A a k i aik a ik a ik a ik e A B B ---++++=（25）最后，再利用在x=0处波函数及其一阶导数连续的条件，容易得到2,22,11,2A A +=A (26) 2,22,11,21221A A k -=-A m k m （27） 由上述两式可以解出2,111,212212,1)A B 1-(121)A k (121=-=m k m A (28)2,111,212212,2)A B 1(121)A k (121+=+=m k m A (29) 上述两式之比为1B 11111A A 11111,22,2-+=-+=B B B （30）若取1V ＝3V ＝V ，2V ＝０，m m m ===321m ，a a 22=，则()ia E V m i V E m k k =-=-==22）（ （31）k mEk ==22 显然，在上述条件下，一维多量子阱已经简化为高度为Ｖ宽度为２ａ的非对称的方势阱。
由式可知()()()()21214i 1111B B B B e ka--++=（32）由于kiak k B ia k k k B ====232121; （33） 将上式可以改写为 22222222)2sin()2cos(ak kai a k a k ia k ia k ka i ka ekai +±+-±=-+±=+= 进而可知⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=E V n 2E)-E(V 2arctan 2121ka π （34） 利用反三角函数的关系⎪⎭⎫⎝⎛-=212arctan arctan 2x x x （35） 式（36）可以改写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=E V E n E m a arctan 21222π （36） 此即有限深非对称方势阱能量本征值满足的超越方程，与上节给出的完全一致。
Matlab 仿真图形：Matlab 程序如下：syms y x; a=10; m=9.1*10; h=6.6*10; n=2;ezplot('sqrt(2*9.1*10*100*4*pi*pi/(6.6*10*6.6*10))*sqrt(y)=1/2*2*pi-atan(sqrt(y./(x-y)))') title('sqrt(2*m*a*a*4*π*π/(h*h))*sqrt(E)=1/2*n*π-arctan(sqrt(E/(V-E))'); AXIS([-1 1 0 0.18])（二）氢原子波函数模型的建立由量子理论可知，氢原子体系满足薛定谔方程())2,1(2,1)22(1222222112r r E r r re r r ψψμμ=-∇-∇-其中r1(111,,z y x ),r2(222,,z y x ),21,μμ分别为电子与核的坐标和质量。