数值分析3(插值方法)

x x0 x1 0(x) 1 0 0 ( x) 0 0 1(x) 0 1 1( x) 0 0
x x0 x1 0(x) 0 0 0( x) 1 0 1(x) 0 0 1( x) 0 1
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0 ( x) C( x x0 )( x x1 )2
0(
x)
(
x
x0
)(
-4.9491 -4.5482 -3.7787 -2.7032 -1.4087 0.0000 1.4087
2.7032 3.7787 4.5482 4.9491
11(x)=(x – x0)(x – x1)(x – x2)······(x – x10)
11(x)
参考: Numerical Analysis, Timothy Sauer
➢插值函数的选择和构造 ➢插值函数的存在唯一性 ➢插值误差估计的问题
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存在唯一性
定理5.4 x0和x1互异, 满足插值条件的次数小于等于三 次的Hermite插值是存在且唯一的。
证明:
1 1wenku.baidu.com
0
0
x0 x1 1 1
x02 x12 2 x0 2 x1
x03 x13 3 x02 3 x12
f ( x) L10 ( x)
f
(11) ( n
11 !
)
11 (
x)
11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
11(x)
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在[-5, 5]区间上,选取11个切比雪夫节点
(2k 1)
xk 5cos( 22 )
( k=10, 9, 8, ···, 1, 0 )
x x j1 x j x j1
yj
x xj x j1 x j
y j1
( j= 0,1,···,n-1)
|
R1( x) |
1 2
f ( ( x))( x a)( x b) M (b a)2
8
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Demo1 x=-5:5; y=1./(x.^2+1); u=-5:.01:5; v1=polyinterp(x,y,u); plot(x,y,'o',u,v1,'-')
《数值分析》 13
切比雪夫插值 分段插值函数 Hermite插值
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插值误差
选取插值结点 a≤x0＜x1＜······＜xn≤b
满足插值条件Ln(xk)=f(xk)的 n 次多项式插值余项
Rn ( x)
f ( x) Ln ( x)
f (n1) (n
(
1)
n
!
)
n1
(
x
)
其中 n1( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
hold on, v2=piecelin(x,y,u); plot(u,v2,'r-')
分段线性插值函数是连续函数, 但它的一阶导数不 连续。在每个子区间内导数为常数, 但在节点(break point)上它的值发生跳变。
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程序片段1:
Matlab Code : 分段线性插值 function v = piecelin(x,y,u) %PIECELIN Piecewise linear interpolation. % v = piecelin(x,y,u) finds the piecewise linear L(x) % with L(x(j)) = y(j) and returns v(k) = L(u(k)). % First divided difference delta = diff(y)./diff(x); % Find subinterval indices k so that x(k) <= u < x(k+1) n = length(x); k = ones(size(u)); for j = 2:n-1
k(x(j) <= u) = j; end % Evaluate interpolant s = u - x(k); v = y(k) + s.*delta(k);
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多项式插值是一个极端, 它可以进行无限次的微分, 但它通常不能保持 给定数据所描述的形状, 特别是在端点附近。分段线性插值是另一个极端, 它几乎没有任何光滑性。它连续但一阶导数存在跳变。另一方面它保持了 给定数据的局部单调性。
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插值函数L10(x)选 取等距节点插值
插值函数L10(x)选取 切比雪夫节点插值
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分段线性插值(piecewise-linear)
插值节点满足: x0<x1<······<xn 已知 yj=f (xj) ( j= 0,1,2,···,n)
x∈[xj, xj+1]时, 线性插值函数
Lh( x)
a0
a1
aa23
y0
y1
m0 m1
1 x0 x02 x03
1 0
x1 1
x12 2 x0
x13 3 x02
( x1 x0 )4
0 1 2 x1 3 x12
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Hermite插值的基函数(Building Block)
H ( x) y00 ( x) y11( x) m00 ( x) m11( x)
f ( x0 ) y0
f ( x0 ) m0
f ( x1 ) y1 f ( x1 ) m1
插值函数 H(x)= a0 + a1x + a2x2 + a3x3
H ( x0 ) y0 , H ( x1 ) y1, H ( x0 ) m0 , H ( x1 ) m1
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插值问题研究包括如下三个方面:
是否可以在光滑性和局部单调性之间折衷呢9/1?9
Hermite插值问题
不仅要求函数值相等，而且要求若干阶导数值也相等。 即要求插值函数 (x) 满足 (xi) = f (xi), ’ (xi) = f ’ (xi),
…, (m) (xi) = f (m) (xi)。
两点三次插值问题, 已知插值条件如下:
思路1:
选取节点x0, x1 ,······, xn
max
a xi b
n1
(
x
)
思路2: 局部化(分段线性)
|
R1( x) |
1 2
f ( ( x))( x a)( x b)
M (b a)2 8
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例1. 函数
1
f ( x) 1 x2 x∈[-5, 5]
选取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5