离散傅里叶变换

变化对：
F (u,v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy
f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv
二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为：
| F(u,v) | R2 (u,v) I 2 (u,v)
(u,v) arctan I (u,v)
相角：
(u) arctan I (u)
R(u)
幅度函数|F(u)|称为f(x)的傅里叶谱或频率谱，φ(u)称为 相位谱。
E(u) | F (u) |2 R2 (u) I 2 (u)
称为f(x)的能量谱或称为功率谱。
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2.二维连续傅里叶变换
傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数 f(x,y)若f(x,y)满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶
1 1
j
1 j
2
1 1
W 0 W 5 W 2 W 7 W 4 W 1 W 6 W 3
W 0
W6
W4
W2
W0
W6
W4
W
2
W 0 W 7 W 6 W 5 W 4 W 3 W 2 W 1
1
1 j
2
1 j
j 1
1 j 2
j
1 1 j 2
1j
j
1
j
2
1
j
1
1 j 2
j
1 j 1 1 j j
上述二式形成傅里叶变换对，记做 ：
f (x) F(u)
函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表 示： F(Βιβλιοθήκη Baidu)=R(u)+jI(u)
R(u),I(u)分别为F(u)的实部和虚部。
写成指数形式： F u F u e ju
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4.1 连续傅里叶变换
F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角： 幅度： | F (u) | [R2 (u) I 2 (u)]1/ 2
1
4.1 连续傅里叶变换
1.一维连续傅里叶变换 设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件： (1)具有有限个间断点； (2)具有有限个极值点； (3)绝对可积。
则定义f(x)的傅里叶变换为：
F(u) f (x)e j2uxdx
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4.1 连续傅里叶变换
从F(u)恢复f(x)称为傅里叶反变换，定义为： f (x) F(u)e j2uxdu
1
1 j 2
j 1 j 1 1 j
2
2
j
1
j
2
W 0
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W
7
1
j
1
j
1 j 1
j
W 0
W
W
0
W 0
W2 W3 W4
W4 W6 W0
W6 W1 W4
W0 W4 W0
W2 W7 W4
W4 W2 W0
W6
W W
5 4
1
1
1 j 2
1
j 1
1 j 2
1
1 1 j 2
2
2
1 j 2
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4.1.2 离散傅里叶变换
2.二维离散傅里叶变换
一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此， 数字图像处理主要是二维数据处理。
u 0 : F(0) [ f (0)e0 f (1)e0 f (2)e0 f (3)e0 ]
u 1: F (1) [ f (0)e0
j
f (1)e 2
j2
f (2)e 2
j3
f (3)e 2
]
u 2 : F (2) [ f (0)e0
j 2
f (1)e 2
j4
f (2)e 2
3
1
j
1
j
W 0 W 2 W 0 W 2 1 1 1 1
W
0
W3
W2
W
1
1
j
1 j
同理N=8见图4-1(b)的单位圆。N=8的W阵应把单位圆分 为8份，顺时顺次转0份,1份、…,7份，可得W阵为:
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4.1.2 离散傅里叶变换
1 1 1 1 1 1 1 1
W 0 W 0 W 0 W 0 W 0 W 0 W 0 W 0
f f
(0)
(1)
F (2) e0 e j e0 e j f (2)
F
(3)
e0
j 3
e2
e j
j
e2
f
(3)
记作： F Wf
可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时， 参看图4.1(a)。
把单位圆分为N=4份，则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该 行系数。
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W42
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4.1.2 离散傅里叶变换
W43
W86
W85
W87
W40 W84
W80
W41
W83
W82
W81
(a)
(b)
图4.1 复平面单位圆 (a)N＝4 (b)N＝8
10
4.1.2 离散傅里叶变换
W 0 W 0 W 0 W 0 1 1 1 1
W 0
W1
W2
W
R(u, v)
E(u,v) R2 (u,v) I 2 (u,v)
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4.1.2 离散傅里叶变换
1.一维离散傅里叶变换
对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。 设共采了N个点，则这个离散序列可表示为 {f(0),f(1),…,f(N-1)}。借助这种表达，并令x为离散空域 变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为：
第4章 图像变换
为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需 要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他 空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理， 然后通过逆变换操作转换到图像空间。
本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交 变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。
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j6
f (3)e 2 ]
u 3 : F (3) [ f (0)e0
j 3
f (1)e 2
j6
f (2)e 2
j9
f (3)e 2
]
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4.1.2 离散傅里叶变换
将e指数项化简可写成矩阵形式：
e0 e0
e0
e0
F (0)
F
(1)
e0
j
e2
e j
e
j 3 2
N 1
j 2 ux
F (u) f (x)e N
x0
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4.1.2 离散傅里叶变换
傅里叶反变换定义由表示：f
(x)
1 N
N 1
j 2 ux
F (u)e N
u0
可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。
其傅里叶谱、相位和能量谱如下：
| F (u) | [R2 (u) I 2 (u)]1/ 2
(u) arctan I (u)
R(u) E(u) | F (u) |2 R2 (u) I 2 (u)
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4.1.2 离散傅里叶变换
2.离散傅里叶变换（DFT）的矩阵表示法
由DFT的定义，N＝4的原信号序列 f(x)={f(0),f(1),f(2),f(3)}的傅里叶变换F(u)展开为：