3.1不等式与不等关系课(共32张PPT)

2 x 1 2 x ≥0.∴当 x>－1 时， x＋1>0， ≥0， 即 ≥1 1＋ x 1＋x
x2 1 －x.当 x<－1 时，x＋1<0， ≤0，即 ≤1－ 1＋x 1＋ x x.
【错因分析】 作差比较大小，变形后的结果难以 确定时，一般要分类讨论，但需要有统一的分类标 2 x 准． 这里分类不完全， 在 x<－1 时， x2>0， 不应有 1＋x ≤0，最好把 x＝0 分一类进行讨论，这样比较恰当． 2 1 x 【正解】 ∵ －(1－x)＝ ， 1＋x 1＋x 而 x2≥0， x2 1 (1)当 x＝0 时， ＝0，∴ ＝1－x. 1＋ x 1＋x
√
【解析】
（1）错，若 c <0, 则ac < bc;
（2）错，若 c = 0, 则ac2 = bc2 ;
a <0 a > ab; （3）对，a < b,
2
a < b, b <0 ab > b2 ; 故a2>ab>b2.
（4）对， a < b < 0 1 > 0; ab 1 1 1 1 1 1 a× < b× < ，即 . ab ab b a a b （5）错， 如 -3 < -2 <0,2 < 3 . 3 2
（4）
ac>bc ⇔_______ ac<bc ⇔_______
性质
具体名称
性质内容
特别提醒
（5 ）
同向可加性
同向同正 可乘性
a b a+c>b+d ⇒ ________ c d a b 0 ac>bd ⇒ ______ c d 0
⇒
（6 ）
（7 ） （8 ）
⇒
a,b同 为正数
可乘方性 可开方性
a >b a>b>0 ⇒ ________ (n∈N,n≥2)
n a>b>0 ⇒ ________ anb
n
n
(n∈N,n≥2)
【即时练习】
比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
【解析】因为 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 7，
所以 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0，
所以 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
A．x2＜ax＜a2
C．x2＜a2＜ax
B．x2＞ax＞a2
D．x2＞a2＞ax
【解析】∵x＜a＜0，∴x2＞a2. ∵x2－ax＝x(x－a)＞0，∴x2＞ax. 又ax－a2＝a(x－a)＞0，∴ax＞a2. ∴x2＞ax＞a2.
a 15 < b < 36,求a - b， 的取值范围. 例2 已知12 < a < 60, b
a b D. < d c
【解析】选 D.因为 c<d<0，所以 -c>-d>0，即
1 1 得 > >0 ，又 -d -c
a b a b a>b>0，得 -d > -c >0 ，从而有 d < c .
1．已知a>b，c>d，且cd≠0，则( C ) A．ad>bc B．ac>bc C．a＋c>b＋d D．a－c>b－d 【解析】∵a>b，c>d， ∴a＋c>b＋d，故选C.
探究点1
不等式的性质
（对称性) (1)a > b b < a; (传递性) (2)a > b,b > c a > c；
(可加性) (3) a > b a + c > b + c；
由性质（3）可得：
a + b > c a + b +( - b )> c +( - b ) a > c - b .
2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应不少于2.3％，
f≥2.5% 写成不等式组为 p≥2.3% .
【即时练习】 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.
行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不
等式表示为( B )
A．v≤120 (km/h)或 d≥10 (m)
v≤120 km/h B. d≥10 m
C．v≤120 (km/h) D．d≥10 (m)
【提升总结】 将实际的不等关系写成对应的不等式时，应 注意实际问题中关键性的文字语言与数学符号间 的正确转换. 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 ＞ 大于 ≤ 至多 ＜ 至少 ≥ 小于 ≥ 大于等于 ≥ 不少于 不多于 小于等于 ≤ ≤
x2 (2)当 1＋x<0，即 x<－1 时， <0， 1＋ x 1 ∴ <1－x. 1＋x (3)当 1＋x>0 且 x≠0， x2 即－1<x<0 或 x>0 时， >0， 1＋x 1 ∴ >1－x. 1＋x
1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A ) A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 【解析】∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0， ∴a－b>0.
【规律总结】
欲求a - b的取值范围，应先求出 - b的取值范围； a 1 欲求 的取值范围，应先求出 的取值范围. b b 再利用不等式的性质求解.
【变式练习】
（2014·四川高考）若 a>b>0，c<d<0，则一定 有( D )
a b A. > c d
a b B. < c d
a b C. > d c
3.不等式的基本性质列表
性质 具体名称 性质内容 特别提醒
（1）
对称性 传递性 可加性 可乘性
b<a a>b ⇔ ______ a>c a>b,b>c⇒ ____ a+c>b+c a>b ⇔ _________
a b c 0 a b c 0
⇔
⇒
（2）
（3）
⇔
注意c 的符号
2.设M=x2，N=x-1，则M与N的大小关系为 ( A ) A．M>N C．M<N B．M=N D．与x有关
【解析】 ∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1 1 3 ＝x －x＋ ＋ 4 4
2
12 3 ＝(x－ ) ＋ >0. 2 4 ∴M>N.
第2课时
不等式的性质
我们知道，等式有一些基本性质，如
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探究点2
作差法比较两个实数大小
关于实数a,b大小的比较，有以下事实： 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零， 那么a=b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对. 这可以表示为
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
c c 例1 已知 a > b > 0,c < 0,求证 > . a b
还可以利用作差法.
c c bc ac c (b a ) 证明： 因 为 . a b ab ab
又
a b 0, c 0,
c (b a ) 所以 0. ab c c 所以 . a b
【变式练习】 设x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是( B )
解：因为15 < b < 36,所以 - 36 < -b < -15. 又因为12 < a < 60,所以12 - 36 < a - b < 60 - 15， 所以 - 24 < a - b < 45. 1 1 1 12 a 60 因为 < < ,所以 < < ， 36 b 15 36 b 15 1 a 所以 < < 4. 3 b
【规律总结】 不等式的性质是证明不等式和解不等式的 理论基础，必须熟练掌握，注意不等式性质 中的条件.
探究点2
不等式的性质的应用
1 证明：因为a > b > 0,所以ab > 0, > 0. ab 1 1 于是a× > b× ， ab ab 你还有其 1 1 他证明方 即 > . b a 法吗？ c c 由c < 0,得 > . a b
(5) a > b,c > d a +c > b+d;
（同向不等式的可加性）
(6) a > b > 0,c > d > 0 ac > bd；
(同向不等式的可乘性)
( 7 ) a > b > 0 a
n
> b ,n ∈N,n ≥1;
(可乘方性)
n
n
(8) a > b > 0 a > b,n ∈N,n ≥ 2.
b c 5.已知c＞a＞b＞0，试比较 与 的大小. c-b c a 解： a b -b>-a
c b c a 0
1 1 0 c a c b
c b c a c b b c 即 c b c a
又c b 0
1.不等式的基本性质；
2.不等式基本性质的应用.
2.下列命题正确的是( D ) A．若 a＞b，则(a－b)c＞(b－a)c B．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd 1 1 C．若 a＞b，则a＜b a b D．若 ac＞bc，则 c ＞c
【解析】对 A，当 c＝0 时，不成立； 对 B 由于不具备性质 6 的条件，因而结论不成 立； 1 1 对 C， 由于 ab 的符号不定， 故 ＜ 不一定成立； a b 对 D，∵ac＞bc，∴c≠0， ac bc a b ∴ 2 ＞ 2 ，即c＞c . c c
n
(可开方性)
【即时练习】 判断对错： (1)若a > b,则ac > bc;
×
×
2
(2)若a > b,则ac2 > bc2;
2
(3)若a < b < 0,则a > ab > b ; 1 1 √ (4)若a < b < 0,则 > ; a b b a (5)若a < b < 0,则 > . × a b
所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x > x－2. 作差，变 形，判断
【规律总结】
作差比较法的步骤是：
1. 作差；
2. 变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）
有理化等；
3. 判断符号；
4. 作出结论．
【易错点拨】
1 设 x∈R 且 x≠－1，比较 与 1－x 的大小． 1＋x
1－1－x2 1 x2 【错解】 ∵ －(1－x)＝ ＝ ，而 1＋x 1＋x 1＋x
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式
第1课时 不等关系与比较大小
实际生活中:
长短
轻重
大小
高矮
探究点1
用不等式表示不等关系 在数学中，我们怎样来表示不等关系？
提示：用不等式表示.
一、请看下面现实生活的例子: 1.右图是限速40 km/h的路标， 指示司机在前方路段行驶时， 应使汽车的速度v不超过40 km/h， v≤40 km/h 写成不等式就是：___________. 40
a = b b = a; a = b,b = c a = c; a = b a + c = b + c; a = b,c ≠ 0 ac = bc.
不等式是否有类似性质呢？ 带着这个问题，我们继续学习！
1. 掌握不等式的基本性质； 2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；（重点） 3. 会将一些基本性质结合起来应用.（难点）
一般地说，不等式中任何一项可以改变符号 后移到不等号的另一边.
(4) a b, c 0 ac bc ; a b, c 0 ac bc ;(可乘性)
证明如下： 因为ac - bc =(a - b)c, 又因为a > b,所以a - b > 0. 所以当c > 0时，(a - b)c > 0,故ac > bc; 当c < 0时, (a - b)c < 0,故ac < bc.
因为 a ，b ，m 都是正数,且 a b , 所以 m 0, a m 0, a 0, a b 0 .
bm b bm b 0, 所以 . 所以 am a am a
【变式练习】 比较x2－x与x－2的大小.
【解析】(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1， 因为(x－1)2≥0，
bm b . 例 已知 a ， b ，m 都是正数,且 a b ,求证: am a
b m b (b m)a (a m)b 证明: 因为 am a (a m)a
ab ma ab bm m(a b) . (a m)a ( a m) a