第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值
静电场的边值问题
问题-02-7-1 静电场的边值问题可分为哪几类，是否均满足唯一性定理？
解答：静电场中的典型边值条件包括3类：（1）给定场域边界上的电位值，称为第一类边值条件；（2）给定场域边界上电位的法向导数值，称为第二类边界条件；（3）部分场域边界上给定电位、另一部分场域边界上给定电位的法向导数，称为混合边界条件。
上述三类边界条件与标量电位满足的泛定方程组合成相应的边值问题。
对于第一类边值问题，电位和电场强度的解均唯一；对于第二类边值问题，电场强度的解唯一，电位的解可以相差某一常数，若选定电位参考点，则电位的解也唯一；对于混合边值问题，电位和电场强度的解均唯一。
数学物理方法试题(卷)
数理方法概论试题及参考答案一、简答题（每小题5分，共20分）1. 写出高斯定理⎰⎰⋅∇=⋅SVdV d A S A2. 在斯托克斯定理()⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLd A d S l A中, L 是式中那个量的边界线? 3. 定解问题包含那两部分?在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件,数学物理方程本身(不连带定解条件)叫做泛定方程.定解条件提出具体问题,泛定方程提供解决问题的依据,作为一个整体,叫做定解问题. 4. 边界条件有那几类?1) 直接规定边界上的值.这叫做第一类边界条件.()()t ,z ,y ,x f t ,z ,y ,x u S 000=2) 直接规定梯度在边界上的值.这叫做第二类边界条件.()t ,z ,y ,x f nu S000=∂∂3) 规定了边界上的数值与(外)法向导数在边界上的数值之间的一个线性关系.()t ,z ,y ,x f n u H u S 000=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+4) 除上述的边界条件外,在求解物理问题时,一般还会遇到所谓的自然边界条件.自然边界条件一般由物理问题本身提出,由于真实的物理量应该是有限的,而在无穷远或坐标原点处的数学的解往往会包含无穷大的解在内,这时从物理上考虑应该舍去这些解,这就构成了上述的自然边界条件.除此之外还有周期性自然边界条件.二、证明题（每小题20分，共40分）1. 证明 ϕϕ2∇≡∇⋅∇ 证: 2222222x y z x y z x y z ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇⋅∇=++⋅++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂=++≡∇ ⎪∂∂∂⎝⎭xy z x y z e e e e e e 2. 证明不同阶的勒让德多项式在区间()11+-,上正交.()()()l k dx x P x P lk≠=⎰+-011证明：设本征函数k P 和l P 分别满足勒让德方程()()()()01101122=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l l k k P l l dx dP x dx d P k k dx dP x dx d前一式乘以l P ，后一式乘以k P ，然后相减得()()()()[]0111122=+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l k l k k lP P l l k k dx dP x dx d P dx dP x dx d P 从1-到1+积分得()()()()11221101111k l l k k l dP dP d d P x P x dx k k l l P Pdx dx dx dx dx ++--⎧⎫⎡⎤⎡⎤=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰ ()()()()1122111111k l l k k l dP dP d x P x P dx k k l l P Pdx dx dx dx ++--⎧⎫=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎰⎰()()()()()()()()222211111111111111k l k l l k l k x x k l k l dP dP dP dP x P x P x P x P dx dx dx dx k k l l P Pdxk k l l P Pdx==-+-+-⎡⎤⎡⎤=-------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+⎡⎤⎣⎦=+-+⎡⎤⎣⎦⎰⎰当l k ≠时即有：()110k lP Pdx k l +-=≠⎰三、计算题（每小题20分，共40分）1. 研究矩形波(见图1)1(0,)(2,(21))()1(,0)((21),2)m m f x m m ππππππ++⎧=⎨---⎩于以及于以及的频谱.解:根据()01cos sin k k k k x k x f x a a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑及()1cosln ln n a f d l lπξξξδ-=⎰ ()1sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰这里l π=可以求得:x()()000111(1)10222111cos (cos )cos 0n a f d d d a f n d n d n d ππππππππξξξξπππξξξξξξξπππ----==-+===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[][]00122sin sin cos 22cos 1(1)1n nb f n d n d n n n n n ππππξξξξξξππππππ-===-⎡⎤=-+=--+⎣⎦⎰⎰当 220k n kb == 当 21421(21)k n k b k π+=+=+因此得到该函数的展开式为:04sin(21)()21k k xf x k π∞=+=+∑ 需要注意的是:由于所给函数是奇函数,所以展开式中只有sin 项而没有cos .如果所给函数是偶函数,那么展开式中就只有cos 项而没有sin 项.2. 求0=+''y y λ (0=+''ΦλΦ)满足自然周期条件()()x y x y =+π2 [()()φΦπφΦ=+2]的解.解：方程的系数()()λ==x q ,x p 0在指定的展开中心00=x ，单值函数(),x p 00=和()λ=0x q 是有限的，它们必然是有限的，它们必然在00=x 为解析的.因此，点00=x 是方程的常点.可设() +++++=k k x a x a x a a x y 2210从而()() ++++++='+k k x a k x a x a a x y 123211321()()() +++++⋅+⋅+⋅=''+k k x a k k x a x a a x y 2243212342312把以上的级数代入微分方程.至于()()λ==x q ,x p 0都是只有常数项的泰勒级数，无需再作展开.现在把各个幂次的项分别集合如下令上表各个幂次合并后的系数分别为零，得一系列方程01202=+⋅a a λ 02313=+⋅a a λ03424=+⋅a a λ 04534=+⋅a a λ............... ...............()()0122=++++kk a a k k λ最后一个式子是一般的.所有这些式子指出从kx 项的系数k a 可以推算出2+k x 项的系数2+k a ，因而叫做系数的递推公式.按照递推公式具体进行系数的递推.()()()()()()20312242053122120021112!3!434!545!11112!2!21!kk kkkkkkk k a a a a a a a a a a a a a a a k k k λλλλλλλλ++=-=-=-=+=-=+⋅⋅-=-=-=-=+这样，我们得到方程的解()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=+ 125312420!1211!51!31!211!41!211k k k kxk x x x a x k x x a x y λλλλλλλλ还需要确定这个级数的收敛半径.其实，上面两个[ ]正是cos θ和sin θ，其收敛半径为无穷大.于是()0y x a =既然1a 是任意常数，λ1a 当然还是任意常数，将λ1a 写成B ，0a 写成A ，则有()y x A B =+这个常微分方程和它的解实际早已知道，这里用级数方法只是为了了解级数解法的步骤.考虑到要满足自然周期条件()()x y x y =+π2则m =λ， 3210,,,m =.所以有解()cos sin y x A mx B mx =+。
第三章 静电场边值关系
电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电 位微分方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
求得
C1 ln r C 2
利用边界条件：
V r a
C1 ln a C 2 V C1 ln b C 2 0
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
r a 与 △ OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为 r f
代入上述边界条ห้องสมุดไป่ตู้，求得镜像电荷如下：
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解
V a b
O
对于这种边值问题，镜像法不适
用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱 坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
三类典型的数学物理方程
第二类边界条件
规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n x0 ,y0 ,z0 f (x0 , y0 , z0 , t)
（9.1.24）
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x0 ,y0 ,z0 f (x0, y0, z0, t) （9.1.25）
utt Tuxx g 0
(9.1.6)
即为
utt a2uxx g
（9.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．
其中 a2 T /
讨论：
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的 重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
utt a2uxx
（9.1.16）
2i x 2
LC
2i t 2
(9.1.17)
具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同
(3)无漏导，无电感线
2v x2
RC v t
2i
i
x 2
RC t
（9.1.18） (9.1.19)
它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式， 尽管它们的物理本质根本不同．
讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确：
(1)要研究的物理量是什么？
弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律.
（3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
注意：
物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设 才能使方程简化．
例9．1．1 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和
分离变量法的适用条件
教改教法摘要分离变量法是求解数学物理方程有界区域定解问题的一种基本算法，本文首先给出分离变量法的数学思想和主要步骤，然后重点讨论分离变量法的适用条件，最后说明分离变量法的一种应用推广。
关键词数学物理方程分离变量法线性齐次边界条件Applicable Conditions of Separation of Variables//Yu ZhaoxianAbstract Separation of variables is a basic algorithm in solving equations of mathematical physics on limited region.This paper first simply introduces basic ideas and main steps of separation of variables,then focuses our discussion on the applicable condi-tions of separation of variables,and finally illustrates an extended application of separation of variables.Key words mathematical physics equation;separation of vari-ables;linear homogeneous boundary conditions1引言数学物理方程主要是指从物理科学研究和工程技术应用中所产生的偏微分方程，它是大学理工科专业的一门非常重要的数理基础课，不管是将来从事基础理论研究，还是进行技术开发都离不开它，与此同时它又公认是大学理工专业一门难教难学的课程，需要大家在教学中花费更多的时间和精力研究教学方法，对各种疑难问题必须清楚地向学生讲解，这样学生才能熟练掌握这门难度大要求高的必修课。
电磁场公式整理
第一章标量三重积： 矢量三重积方向导：梯度：计算公式：矢量线方程:通量：散度：散度计算公式： 散度定理（高斯定理）： 旋度：斯托克斯定理： 拉普拉斯运算：第二章电流连续性方程微分形式：对于恒定电流场： )()()(B A C A C B C B A⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅CB A BC A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯grad nu u en∂=∂zy x x y x∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e ),,(d ),,(d ),,(d z y x F zz y x F y z y x F x z y x ==00cos cos cos |lim M l u u u u ul lx y z αβγ∆→∂∆∂∂∂==++∂∆∂∂∂d d d n SSψψF S F e S==⋅=⋅⎰⎰⎰ττ∆⋅=⎰→∆SSd F div F lim 0z F y F x F Sd F div z y x S ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∆⋅=⎰→∆ττF lim⎰⎰⋅∇=⋅VSVF S F d dmax ]rot [F e F n n =⨯∇zy x z y xF F F z y xe e e F ∂∂∂∂∂∂=⨯∇=⎰⎰⋅⨯∇=⋅SCS F l F d d )()(2F F F ⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇uu 2)(∇=∇⋅∇0d ⎰=⋅SS J 、0=⋅∇JtJ ∂∂-=⋅∇ρ静电场散度：高斯定理的积分形式： 静电场旋度：毕奥萨法尔定律：任意电流回路 C 产生的磁感应强度恒定磁场散度： 恒定磁场是无散场恒定磁场旋度： 恒定磁场是有旋场，它在任意点的旋度与该点的电流密度成正比，电流是磁 场的旋涡源。
极化强度：----------电介质的电极化率电位移矢量：电介质中高斯定理的积分形式： 磁化强度矢量： 磁化电流体密度： 真空中安培环路定理推广到磁介质中： 磁场强度 ：M B H-=0μ麦克斯韦方程组的微分形式传导电流和变化的电场都能产生涡旋磁场。
微分方程第二边界条件
微分方程第二边界条件
微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
在
微分方程的求解过程中，第二边界条件是一个非常重要的概念。
第二边界条件是指在求解微分方程时，需要给出函数在某个边界点处
的值或导数值。
通常情况下，第二边界条件是在区间的右端点处给出的。
在求解微分方程时，第二边界条件的作用是确定常数。
因为微分方程
的通解中包含一个或多个常数，而这些常数需要通过边界条件来确定。
举个例子，假设我们要求解一个二阶常微分方程y''+y=0，且已知
y(0)=0，y'(1)=1。
这时，我们可以先求出该微分方程的通解
y=Acosx+Bsinx，然后利用第一边界条件y(0)=0和第二边界条件
y'(1)=1来确定常数A和B的值。
具体地，我们有A=0，B=1，因此
该微分方程的特解为y=sinx。
需要注意的是，第二边界条件并不总是在区间的右端点处给出的。
在
某些情况下，第二边界条件可能在区间的左端点或中间某个点处给出。
此时，我们需要根据具体情况来确定常数的值。
总之，第二边界条件是微分方程求解过程中不可或缺的一部分。
它的作用是确定常数，从而得到微分方程的特解。
在实际应用中，我们需要根据具体问题来确定边界条件的形式和位置，以便求解微分方程。
数学物理方程
x x0 时，对 y(x,x0,y0)， 有 y 0 ，则称 y 0 解稳定。
定义11:
设 yg(x,y)为方程 的平凡解， 00,x0, 0,y0
若 y0 ，当 x1 x时0 ，
，
有 y(x1,x0,y0)
，则 y(x)bk(x,t)y(t)dt a
y
(
x0
)
y0
称为SturmLiouville方程。
六、微分方程解的理论基础
定义8
对于一阶微分方程，称以下问题为Cauchy问题：
f(x, y, y, y)0, t(, ) a1y()a2y()a3y()a4y()a5
定义9
对于二阶微分方程，称以下问题为边值问题：
y 0
定义10:
设为 yg(x,y) 方程 0,x0 I,(,x0)0, y0的平凡解，
一、散度与通量
设S是一分片光滑的有向曲面，其单位侧向量
为 A(x, y, z)，则向量场 AdSAn0dS沿曲面S的第二类曲
面积分
S
S
AdS An0dS
S
S
p(x, y, z)dydzq(x, y, z)dzdxr(x, y, z)dxdy S
(px qy rz)dxdydz V
称为向量场通过曲面S向着指定侧的通量。
求导算子D：
梯度算子
与Laplace算子x,
, y
z
是两个最基本的算符：
x22 y22 z22
uu(x, y, z)
设为向量场，graduu为数值函数，则有
以下公式：
divA A
rot A A
2u u gradu u
( u v ) u v u v
浅谈数理方程中线性边界条件的分类
浅谈数理方程中线性边界条件的分类摘要： 数学物理方程中有定解离不开初始条件和边界条件，其反映了具体问题所处的环境和背景。
本文针对线性边界条件的分类进行归纳。
关键词： 数学物理方程 线性边界条件 分类一、 引言物理课程中所研究论述的物理规律是物理量在空间和时间中变化的规律。
物理规律用数学表达是：物理量u 在各个地点和各个时刻所取值之间的联系。
通过这种联系，我们就可以由边界条件和初始条件推算出物理量在任意地点和任意时刻的u(x,y,z,t)。
同时它也是解决问题的依据。
为了解算具体问题，应该考虑到所研究的区域所处的环境。
边界条件和初始条件就是反映具体问题所处的环境和背景。
二、 线性边界条件的分类物理规律反映的是物理量在时间和空间上的联系，与特定的周围环境和历史有关。
物理中的联系总是要通过中介，周围环境的影响是通过边界传给其研究对象，所以，周围环境的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件。
而不同的物理过程，因其具体的条件不同，结果也不一样。
下面，将对线性边界条件进行简单的归纳。
1、第一类边界条件这类边界条件直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。
()(),,,U x y z t 00000边界x ,y ,z 0,=f t,x ,y ,z ，又称狄利克雷()Dirichlet 边界条件。
首先以弦振动为例：取一根长为L 的弦，把它的两端0X =和X L =固定起来，然后让它振动。
边界条件0X =和X L =既然是固定的，那位移U 当然始终为零。
()0,0x U x t ==()()()()()000000,,000,,,,,,0,0,,,0x x tx x ax lx y z x a U x t N U x t N f z t u x t uuf t x y z nkUn ρϕ=========∂=∂=边界(),0x t U x t ==对于细杆导热问题，如果杆的某一端点x=a 的温度U 按已知的规律f (t)变化，则该点的边界条件是：()(),x aU x t f t ==特别是如果该端点恒温u 0 ,则边界条件成为()()0,x aU x t f u ==再如，半导体扩散工艺的“恒定表面浓度扩散”中，硅片周围环境是携带着充足杂质的氮气，杂质通过硅片表面向内部扩散，而硅片表面的杂质浓度保持一定。
大学物理-波动方程的定解问题
另外，数理方程理论还有三个主要问题：
(1) 解的存在性问题 (2) 解的唯一性问题
唯一性问题：讨论在什么定解条件下，对于哪一函数类， 方程的解是唯一的。通过唯一性问题的研究，可以明确： 对于一定的方程，需要多少个以及哪些定解条件才能唯 一确定一个解。
y
vx = 0 x=0
vy = v0−gt y = v0t −gt2/2
o
x
(抛出点为 坐标原点)
(2) 对斜向上抛，有
结论：不同的初始条件 (个性) 不同的运动状态，但 都服从牛顿第二定律 (共性)。
注：以上例子是大家熟悉的常微分方程的求解，实际上后 面要求解的是偏微分方程。
定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规
F(x,t)
简化假设： (1) 弦是柔软的，即不抵抗弯曲，弦上的任意一点的张力
沿弦的切线方向；
(2) 振幅极小，则张力与水平方向的夹角 1 和 2 很小， 仅考虑 1 和 2 的一阶小量，略去二阶小量，有
(线性化)
并且由此导出弦的长度近似不变： (3) 弦的重量与张力相比很小，可以忽略。
由牛顿第二定律，得到
三、自由空间中电磁场的波动方程 自由空间：无电荷与电流分布的空间 自由空间中麦克斯韦方程组的微分形式为
将以上方程组中的第三式两边取旋度，并利用第四式，有
再利用矢量分析公式，得到 因此，可得到自由空间中电场的波动方程 同理，可得到自由空间中磁场的波动方程
四、波动方程的定解条件
1. 初始条件——描述系统的初始状态 振动方程含有对时间的二阶偏导数
场波教案-3静电场-45-105
⊕
㊀ ㊀
⊕
㊀
⊕
㊀
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
⊕
㊀
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
㊀
E 0
E = 0
例 已知半径为r1 的导体球携带的正电量为q，该导体球被 内半径为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其 介电常数为1 ，球壳的外半径为 r3 ，球壳的外表面敷有一层 介质，该层介质的外半径为r4 ，介电常数为2 ，外部区域为真
考虑到导体中不存在静电场，因而电场强度和电通密
度均为零。
E1t E2t 0
D2n S
S 为导体表面存在的自由电荷面密度
en D S
说明介质中与导体表面相邻处的电场强度和电通密 度都垂直于导体表面。en E 0
电位的边界条件 两种介质分界面两侧 电位必须连续，否则将意味着 无限大的电场强度，在物理上不可能，即电位连续。
令 h 0 ，则通过侧面的通量为零，又考虑到 S 必
S
D dS D2n S D1n S
式中D1n 及 D2n 分别代表对应介质中电通密度与边界垂直的 法线分量。边界法线的方向 en 规定为由介质①指向介质②。
得
q D2n D1n s S
s 为边界上存在的表面自由电荷的面密度。在两种介质形
这种边值问题又称为诺依曼问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一
部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称
为混合边界条件。
解的存在、稳定及惟一性问题： 存在 是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 稳定性 是指当定解条件发生微小变化时，所求得的 解是否变化很大。 惟一性 是指在给定的定解条件下所求得的解是否是 惟一的。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在 确信无疑。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到 证明。 可以证明电位微分方程解具有惟一性。
静电场电位边值问题唯一性定理的补充与完整证明
静电场电位边值问题唯一性定理的补充与完整证明陈文卿;闫述【摘要】The electrostatic boundary value problem and the uniqueness of solutions are sup-plemented and proved in this paper.At first,the region condition and the convergence bound-ary are distinguished from the usual mixed singularity.The form of Robin Problem in electro-static field boundary value problem is confirmed.The convergence condition and the infinite boundary condition are added to the uniqueness theorem of solutions.These boundary condi-tions are re-classified according to the form of mathematical expressions.Then in the proof of the uniqueness of the potential solutions under boundary conditions,infinite boundary condi-tions and convergence conditions,the problem of the coefficient of the third kind of boundary condition and the applicative boundary value problem with infinite space are solved.We also demonstrate the uniqueness of potential solutions for Dirichlet and Robin Problem and con-stant differences in the potential of Neumann Problem.Finally,the application of region,in-finity and convergence boundary conditions in problems solving is illustrated by an example.The supplemented theorem can be better used as the basis for solving problems and follow-up learning.%本文对静电场电位边值问题与解的唯一性定理作了补充与完整的证明.首先将区域边界与衔接边界从通常的混称中区分开来,确认了静电场边值问题中第三类边界条件应有的形式,在解的唯一性定理中增加了衔接条件和无限远边界条件,并根据数学表达式的形式重新归类.然后在区域边界条件、无限远边界条件和衔接条件下电位解的唯一性的证明中,讨论了第一、第三类边值问题电位解的唯一性与全二类边界条件下电位存在常数差的问题,解除了第三类边界条件系数为正的限制,说明了整个求解空间为无限大时适用的边值问题.最后通过例题说明了区域、无限远和衔接3种边界条件在解题中的应用.补充后的定理可以更好地作为解题和后续学习的依据和基础.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2017(027)006【总页数】6页(P54-59)【关键词】电位的边值问题;区域边界条件;衔接条件;唯一性定理;证明【作者】陈文卿;闫述【作者单位】江苏大学计算机科学与通信工程学院,江苏镇江 212013;江苏大学计算机科学与通信工程学院,江苏镇江 212013【正文语种】中文电位的边值问题与解的唯一性是通信和电子信息类相关专业本科阶段电磁场与电磁波和电动力学课程中静电场部分的重要内容，也是求解其他边值问题的基础。
不同边界条件下园管对流换热系数与研究
摘要对流换热系数是换热器（如电厂锅炉中的省煤器、空预器，冶金炉中的各种换热设备及其日常生活中的各种热水器等）设计和校核的重要参数。
通常，对流换热系数是在实验中以电加热试验管壁面后根据牛顿冷却定律计算得来的。
管道壁面是定热流密度（第二类边界条件）。
但在实际应用中多数情况是传热条件，即第三类边界条件。
探讨这两种边界条件下管内外的对流换热系数的差别及相应的对应关系对于换热设备的设计具有重要的意义。
采用数值模拟和实验研究相结合的方法研究了管道的对流换热。
在传热边界条件下高温气体横掠单管，水在管内流动。
这种情况下管内外对流换热是藕合的，得到的管内外对流换热系数分别与电加热管道壁面的边界条件下管内和管外流动的对流换热系数相对比，为了使他们具有可比性，我们规定在这两种边界条件下通过管子的平均热流密度相等。
首先研究在这两种情况下管内（外）壁温、管内（外）流温、管内（外）壁面局部热流密度、管内（外）局部对流换热系数沿管子轴向的变化。
然后研究平均对流换热系数在电加热边界条件和传热边界条件下的区别，同时提出对以往在电加热条件下所得出的换热系数经验式的修正。
研究结果表明：在实验室中电加热方式得到的管外对流换热系数低于工程中传热条件下的管外对流换热系数，若按传热准则式关系，后者的努谢尔特数约为前者的1.4倍；而管内的对流换热系数在两种边界条件下的差别不大。
关键词：对流换热，绕流圆管，边界条件，紊流，数值模拟ABSTRACTThe coefficient of convective heat transfer is important to design a heat exchanger. Normally,coefficient of convective heat transfer is gotten through experiments which is heating testing tube by electricity and computed through Newton cooling law.The wall of this testing tube is in definite heat flux(e.g.the second boundary condition).But actually much of condition of tube wall is in thermal boundary condition（e.g.the third boundary condition）.So if there is any difference of coefficient of convective heat transfer between this two boundary condition?Both numerical simulation and experiment were adopted to research ducted heat convection.For thermal boundary condition,the gas wash across a tube and the water flow in the tube at the same time.In this condition heat convection inside and outside of tube are coupled.Coefficient of convective heat transfer inside and outside of tube gotten through such way compare with coefficient of convective heat transfer inside and outside of tube gotten through by electricity.For comparability between this two condition,the average heat flux on the tube must be equal for this two condition.Fist we resarch local wall temperature ouside and inside of tube,local fluid temperature inside and outside of tube,local heat flux inside and outside of tube,local coefficient of convective heat transfer inside and ouside of tube along the tube axial direction.At the same time,we suggest a correction factor to the before coefficient of convective heat transfer formula at the second boundary condition.The end show that coefficient of convective heat transfer at thermal boundary condition is higher than that at definite heat flux boundary condition.If according to dimensionless equation of heat convection,Nu number of the latter almost is mutiplied 1.47times of the formal,but the coefficient of convective heat transfer in tube between this two condition is almost equalKey word:Heat convection,Flow across a tube,Boundary conditions,Turbulent flow,Numerical simulation重庆大学硕士学位论文主要符号表主要符号表α对流换热系数,w/m 2∙Kq 热流密度，w/m 2t 温度,Kc 比热容，J/（kg ∙K ）d 直径，mg 重力加速度，m/s 2I 电流，AL 长度，mρ密度，kg/m 3λ导热系数,w/m 2∙Kc p 压力比热容,kj/kg ∙Ku 速度,m/sa 热扩散率，m 2/sν运动粘度，m 2/sμ运动粘度,kg/(m ∙s)m 质量流量，kg/m 2∙sτ时间,sNu 奴谢尔数，λα/l ⋅St 斯坦顿数，pc u ραPr 普朗特数αν/Re 雷诺数u ∙l/ν独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
三类边界条件推导
三类边界条件的推导边界条件是弦在两个端点处的状态或受到的约束情况，一般有三种：1. 第一类边界条件：已知未知函数在边界上的值()i g t ，即端点处弦的位移：1(0,)()u t g t =，2(,)()u l t g t =当()0i g t =时，表示在端点处弦是固定的。
2. 第二类边界条件：已知未知函数在边界上法向导数的值，即端点处弦所受到的垂直于弦的外力() f t ：对0x =，即弦的左端：弦的张力在垂直方向的分量为：sin T α，根据牛顿第二定律，有：000sin () x x u T Tf t x α==∂=-=∂对于x l =，即弦的右端：同理可得：sin () x l l x l u T T f t x α==∂==∂特别地，当()0i f t =时，表示弦在两端不受约束作用，即可以自由滑动，适应于自由端的情形。
3. 第三类边界条件：又称混合边界条件，它给出了未知函数和它的法线方向上的导数的线性组合在边界上的值。
对弦的一维振动问题，即已知端点处弦的位移（引起弹性支撑的力）和所受的垂直于弦线的外力。
对0x =，即弦的左端：弦对支撑外力的垂直分量为：u T x∂∂，由胡克定律知： 000(t)x x u T ku f x==∂=+∂ 设k T σ=，()()f t v t T=，可以得到，弹性支撑条件下，弦振动的边界条件为： 0()()x u u v t xσ=∂-=∂ 对于x l =，即弦的右端：弦对支撑外力的垂直分量为：u Tx ∂-∂，由胡克定律知(t)x l x l l u T ku f x ==∂-=+∂此时得到的弦振动的边界条件为： ()()x l u u v t x σ=∂+=∂对于外力()0i f t =的特殊情况，即()0v t =，边界条件在弦的两端可统一简化为：()0 (0,)x a u u a a l x σ=∂===∂。
电磁场与电磁波-第3章要点
镜像法
实质：是以一个或几个等效电荷代替边界的影响， 将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自 由空间，从而简化电位分布的计算。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来 的边值条件不变，从而保证原来区域中静电场没有 改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。 这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电 荷，而这种方法称为镜像法。
自由空间——S 表面无限远，面积分为零。
若 V 为无源区——体积分为零。 推论：面积分可视为泊松方程在无源区中的解，或 者拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。
电位微分方程解的惟一性
存在——客观存在 稳定——数学方法已证明 惟一——反证法（惟一：只有一个，仅仅一个） 静电场惟一性定理：对于导体边界（并不仅限于此） 的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导 数，或导体表面电荷分布给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。 电位的法向导数与导体表面电荷密度的关系 S n
4 π r
r
q f
q
d
q 4 π r
为保证球面上任一点电位为零，必须有
q r q r
镜像法
为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要 r 求比值 r 对于球面上任一点为常数。可见，若要 r a 求三角形 △OPq 与 △OqP 相似，则 r f 常 数。由此获知镜像电荷应为 a
E t
E"
E
En
为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边 界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数 为1 的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点 电荷处的q" 等效原来的点电荷q 与边界上束缚电 荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2 的 均匀空间。
边值问题的分类与解的唯一性定理
p
q q
q q 2 4 π 2 R
q q ˆ D2 a 2 R 4 πR
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相 等的边界条件：
1 2
q q
D1n D2n
1
q q
2
q q q q
q a b q d a
a q q d
a2 b d
空间任意点 ( r , ) 的电位： q 1 a 2 2 2 2 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra 2 cos a 4 )1/ 2
a2 b d
l l
两平行线电荷的电位分布
空间电位为： l r2 ln c 2π 0 r1
2 2 r r d 2dr cos 其中： 1
r2 r 2 b 2 2br cos
电动力学
第2章 静电场
8. 带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像
r2 a 2 b 2 2ab cos
电动力学
第2章 静电场
在柱面上取两个特殊点M和N，则 l l N ln(d a) ln(a b) 2π 0 2π 0
l l M ln(d a) ln(a b) 2π 0 2π 0
电动力学
第2章 静电场
例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如图所示。 求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。
解：
a1 q1
a2
( r , , )
q2
d2
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V
dV | r r |
(r )
上式为泊松方程在自由空间的特解。
利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的 通解。
数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。 定解条件 初始条件
边界条件 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程 及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。 根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是 静电场的边值问题。 此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于 前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。
须引入几个镜像电荷。
例如，夹角为 π 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。
3
/3
q
/3
q
仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，
才可求出其镜像电荷。
为什么？
位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠
加原理得知，同样可以应用镜像法求解。
l
l
–l
（2）点电荷与导体球
P r q f
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的散度为
E
那么，电位满足的微分方程式为 2
泊松方程
对于无源区， 0 ，上式变为
2
2 0
拉普拉斯方程
已知分布在V 中的电荷 (r ) 在无限大的自由 空间产生的电位为
1 (r ) 4π
定理。
对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位 2 满足泊松方程方程 在无源区，电位满足拉普拉斯方程
2 0
静电场的边值问题 —— 根据给定的边界条件求 解静电场的电位分布。 利用格林函数，可以求解泊松方程。 利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。 求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。
若导体球接地，导体球 的电位为零。令镜像点电荷
a r O q d
q 位于球心与点电荷 q 的连
线上，那么球面上任一点电 位为
q q 4 π r 4 π r
为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜 像电荷为
q r q r
为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求
比值
在圆柱轴线与线电
r
l
f
荷之间，离轴线的距离 d 处，平行放臵一根镜
像线电荷 l 。 l 已知无限长线电荷产生的电场强度为E er ， 2π r
因此，离线电荷 r 处，以 r0 为参考点的电位为
r r0
l r0 Edr ln 2π r
2. 镜像法 实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响， 将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。 这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位臵，因 此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变 原来的边界条件。 关键：确定镜像电荷的大小及其位臵。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的 电荷分布才有可能确定其镜像电荷。
存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得 的解是否变化很大。 惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否
是惟一的。
静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在 确信无疑。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已 经得到证明。 可以证明电位微分方程解具有惟一性。
q 的位臵和量值应该如何?
为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q 必须位于球心。
为了满足电荷守恒定律，
第二个镜像电荷q 必须为
q" q' q
q q
以保证导体球表面上总电荷 量为零值。
导体球的电位?
q q 4π a 4π f
（3）线电荷与带电的导体圆柱
P a O d – l
若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位
就是第一类边界。
已知
S n
可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。
因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。 因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位 的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的 静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性
r r
对于球面上任一点均具有同一数值。
P
a r q f r
若 △OPq ~ △ OqP ，则
q
O d
r a 常数 r f
求得镜像电荷为
q a q f
镜像电荷离球心的距离d 应为
a2 d f
若导体球不接地，则其电 位不为零。
0
q
由q 及 q 在球面边界上 形成的电位为零，因此必须再 引入一个镜像电荷q 以产生一 定的电位。
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分 完全相同。
z
电场线
等位线
r
P q h h q
r
P
q
介质
导体
r
介质 介质
*
根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等
于导体表面上感应电荷的总电荷量。
*
上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因
为在上半空间中，源及边界条件未变。
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用 镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必
边界条件有三种类型： 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种 边值问题又称为狄里赫利问题。 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数 值，这种边值问题又称为诺依曼问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及
另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件
又称为混合边界条件。
解的存在、稳定及惟一性问题。
第三章 静电场的边值问题
主 要 内 容
电位微分方程、镜像法、分离变量法。 1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法
5. 球坐标系中的分离变量法
1. 电位微分方程 已知电位 与电场强度 E 的关系为
E
对上式两边取散度，得
E 2
（1）点电荷与无限大的导体平面
r q介质 介质
以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间
变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电 位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 4 π r 4 π r
q q
无限大导体平面的电位为零